分形用途及意义
分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。
首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。
其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。
第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数
据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
最后，分形在艺术和文学领域也有着重要的应用价值。分形结构在艺术品和文学作品中被广泛运用，例如，分形图形被用于艺术作品的设计、分形结构被用于音乐、文学作品的创作等，为艺术家和作家提供了一种更为富有创意和独特性的表现手段，有助于创造出更具有个性和魅力的作品。此外，分形理论还为人类对美的追求和对自然规律的探索提供了新的视觉和思维方式，推动了艺术和文学领域的不断创新和发展。
总之，分形在各个领域具有广泛的应用价值，为人类认识世界、改造世界提供了新的视角和方法，促进了各个领域的发展和进步。相信随着分形理论的不断深入和应用，其在各个领域的作用和意义将会得到进一步的发展和扩展，为人类社会的发展注入新的活力和动力。
分形学理论 分形理论是20世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。分形理论把传统的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动力学等多个学科领域中被广泛应用, 称为非线性科学研究的一个十分重要的分支。 一．分形学的产生 在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。 在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础, 牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中, 提出了一个形象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理
1、国土空间用途分区的目的 对国土空间实施用途管制，这是国际上实现空间治理的通行做法。中国政府于2018年在国家层面全面推进的空间规划体制改革，其目的就是要形成以国土空间规划为基础，以统一用途管制为手段的国土空间开发保护制度。对所有国土空间分区分类实施用途管制，是国家空间治理体系和治理能力现代化的重要内容。国土空间用途分区的目的，主要就是为了落实国家战略，全面协调国土空间开发利用保护的矛盾，克服国土空间开发利用的负外部效应，推进国土空间规划落地生效，优化配置国土空间资源，实现国土空间的可持续发展。国土空间用途分区的目的，具体阐述如下： （一）降低负外部性 国土空间开发利用，是具有高度外部性的过程，也就是某一块国土空间开发利用活动对相邻或区域国土空间开发利用质量、开发利用方式选择、国土空间价值产生都会有显著的影响。比如，采掘工业、冶金工业、大中型机械制造工业、化学工业、造纸工业、制革工业、建材工业等三类工业用地，与居住用地、公共设施用地、道路广场用地、市政公用设施用地、绿地等分开，危险品仓储用地与居住用地、公共设施用地、工业用地、对外交通用地、道路广场用地、市政公用设施用地、绿地、特殊用地等分开，都是国土空间开发利用负外部性的典型例子。因此，国土空间治理必须详细研究国土空间开发利用的负外部性问题。不少经济学家试图通过市场的途径来解决国土空间开发利用的负外部性问题，但均未取得预期效果。庇古（A.C.Pigou）认为对付负外部性最有效的方法是，可以通过课税或补贴予以解决；科斯（R.H.Coase）相信可以通过市场机制解决负外部性问题。但是在实际操作上，因为信息不对称和不完全，寻找
浅谈数学怪物——分形 1 分形理论的产生 分形（Fractal）理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的.大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然景物的描绘成为可能,这也是分形几何得到高度重视的原因之一.在分形理论真正发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性. 2 分形理论的发展 分形理论的发展可以分为三个阶段[1](P114-115)： 第一个阶段是从1827年到1925年,在此期间,数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象,还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动,虽然人们认为此函数是极为“病态”的，但人们还是从不同方面推广了它,并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年，瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被认为在传统的研究中是可以忽略的,但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890年,意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线,这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题,并为研究此类问题提供了最基本的数学工具. 第二阶段大致是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不仅逐渐使其形成了理论,而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,首先,他第一个系统地研究了自相似
分形用途及意义 分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。 首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。 其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。 第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数
据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。 第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。 最后，分形在艺术和文学领域也有着重要的应用价值。分形结构在艺术品和文学作品中被广泛运用，例如，分形图形被用于艺术作品的设计、分形结构被用于音乐、文学作品的创作等，为艺术家和作家提供了一种更为富有创意和独特性的表现手段，有助于创造出更具有个性和魅力的作品。此外，分形理论还为人类对美的追求和对自然规律的探索提供了新的视觉和思维方式，推动了艺术和文学领域的不断创新和发展。 总之，分形在各个领域具有广泛的应用价值，为人类认识世界、改造世界提供了新的视角和方法，促进了各个领域的发展和进步。相信随着分形理论的不断深入和应用，其在各个领域的作用和意义将会得到进一步的发展和扩展，为人类社会的发展注入新的活力和动力。
分形理论概述 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼 德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题 为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有 什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方 式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。 分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方 法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识 部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复 杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。 分形理论的原则 自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下 具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上 的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。 分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a 的相似的b个图形所组成，有： a^D=b, D=logb/loga Koch曲线 的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找
一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714... 所谓的''分形''本意是指''破碎,不规则'',所谓''分形艺术''图就是利用数学方法通过计算机程序进行无数次运算最终形成的分形艺术图案. Fractal（分形）一词的由来 据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
基于分形理论的图形设计研究与应用的开题报告 一、选题背景 随着计算机技术的发展，图形设计已经成为一个重要的领域。而分 形理论是近年来很受关注的一种数学理论，它可以将不规则的、复杂的 图形和形态用简单的数学规律进行描述和生成。因此，本文选题“基于 分形理论的图形设计研究与应用”，主要是探究如何使用分形理论来设 计和生成图形，并将其应用在实际生活中，以提高设计的创造性和实用性。 二、选题意义 分形理论是一种可以描述复杂事物的数学方法，可以在数学、物理、生物学等领域中得到广泛的应用。在图形设计领域中，分形理论可以被 用来生成各种形态的图案，如自然界中的云、树、山脉、江河等等，也 可以用来设计具有艺术感的、抽象的图形。除此之外，基于分形理论的 图形设计不仅能够提高设计的创造性和实用性，还可以拓展我们对自然 和数学的认识。 三、研究方法和内容 本文的研究方法以文献资料法和实验法相结合。研究内容主要包括 以下几个方面： 1. 分形理论的数学原理和基本概念。 2. 常用的分形算法和生成器，如分形树、分形云等。 3. 分形设计的应用，包括艺术设计、视觉展示、图像处理等。 4. 分形设计实验研究，结合计算机软件，设计各种类型的图形，并 分析其应用价值和使用效果。 四、预期成果
通过本文的研究，我们可期望达到以下成果： 1. 系统的介绍分形理论及其在图形设计中的应用。 2. 论述分形技术在图形设计中的实际应用，如广告设计、展示设计等等。 3. 基于分形理论开发出一些可以实际应用的分形算法，如分形树、分形云等。 4. 实验出一些艺术感和实用性兼备的分形设计案例，并分享分形设计的思路和技巧。 五、论文结构 1. 绪论 2. 分形理论的数学原理和基本概念 3. 常用的分形算法和生成器 4. 分形设计的应用 5. 分形设计实验研究 6. 结论 七、参考文献 本文的参考文献主要来自于相关著作、学术期刊和网络资源，主要包括以下： 1. Peitgen H-0, Jürgens H, Saupe D. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science[M]. Berlin: Springer, 2004. 2. 刘德华.分形数学[M].北京：科学出版社，2002. 3. 马锁民.分形分析及其应用[M].上海：上海科学技术出版社，200 4. 4. 刘国华.基于分形的图形设计研究[J].山东科技大学学报，2006，25(6)：67-71.
分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。
分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。它 们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。 一、分形的基本概念和性质 分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。分形，定义简 单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。比如说， 我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶 的结构。这个例子就是分形学的一个典型例子。 分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。自相似性是指， 在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度 不变性，即不会因为放大或缩小而改变。不规则性是指，分形的 形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没 有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。 在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神 经元等。利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发 展规律。此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理 论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。 二、混沌的基本概念和性质 混沌又称为非线性动力学。混沌指的是用微观因素推算出宏观 效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生 成复杂、有规律的系统。混沌体系可用方程式表示出来，但由于 该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化 而产生巨大的差异。 混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不 稳定，难以预测和控制。混沌理论可以用于预测经济和金融领域 中出现的一些紊乱现象，如股市波动。 混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。这些轨道不像我们所想的那样规律。然而，混沌的发现不仅
浅谈分形科学及其哲学意义 在当今的世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为是三大非线性科学的前沿。从上个世纪80年代以来，分形的新概念成为全球科学界热议的话题之一，并形成了分形理论的研究和探索热潮。加入这个热潮的有各种门类的科学家，包括自然科学家、社会科学家、哲学家，甚至包括各类艺术家和电影制片工作者。 一、分形科学的产生及其基本特征[1] 分形理论的创立者是当代美籍数学家曼德布罗特，他在欧式几何整数维度的基础上提出了分数维度的概念——分维，进而对大自然林林总总的各类粗糙的、貌似支离破碎的的不规则形状进行描述并研究，1975年冬天，曼德布罗特为这一门更加接近自然的新学科进行了命名——分形科学。自此，“分形”一词成为一种新方法，可以用来描绘、计算和思考那些不规则的、凹凸不平的、零散分布的、支离破碎的图形，例如从雪花晶体的曲线到散落在星系中的繁星点点。而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏的复杂图形中的有序结构。 于是，分形的理论和方法被广泛采用。在那些最实用的水平上，它提供了一套工具，被研究人员广泛接纳，公认的非线性动力学提供良方的那些结构都证明是分形的。由于开辟了一条不寻常的学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康托尔齐名的少数科学家的名单上，因为这些科学家的工作在科学史上具有革命的意义。 分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎的几何形体，有着自己内在的规律和特性：这就是自相似性、层次性、递归性和仿射变换不变性。 自相似性就是局部的形态和整体的形态相似，或者说从整体中割裂出来的部分仍能体现整体的基本精神与主要特征。在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构的研究，还是对无限次重复形状的探讨，都贯穿着自相似性。例如，一个立于两面镜子之间的无穷反射，这是制作动画的最好方法。自相似性作为制作曲线的一种方法，同样的变换在越来越小的尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比的科克雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等图形。自相似性是分形理论的核心，是所有特性中的基本特性。 层次性就是分形整体中存在的等级不同、规模不等的次级系统，可以说整体中的任何部分又是一个自身的整体，依次重复，直至无限。埃菲尔铁塔就是它的类似物，它的小梁、构架和大梁不断分叉成构件更细的格式，层次性的网络结构浑然一体。 递归性就是结构之中存在着结构。由于自相似性是不同尺度的对称，这就意
数学、分形与龙 作者：佚名 分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有殴几里得物体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形、……）。但许多随意性的自然现象似乎难于由欧几里得的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们知道，欧几里得几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里得几何发祥于古代的希腊（约于公元前300年，欧几里得写下了《几何原本》），而分形出现的时间则要迟至19世纪。事实上，分形这个术语在1975年B·曼德勃罗之前还没有被造出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在1与2之间的分数，而在空间里分形维数在2与3之间。在分形的世界里，我们不能把它说成是2维或3维的，而应说它是1.75维或2.3维等等。在分形几何里海岸线的长度被认为是无限的，因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩的数量在不断地变化，就像在龙的曲线构造里那样。分形有许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分不会损失，放大后具有与原先相同的结构。下图所示的例子是塞沙洛曲线。
分形的新应用不断被发现。由于分形能够用递推函数加以描述（斐波那契序列就是一个递推的例子，它的每个项都等于前两项的和），所以用计算机生成分形是理想的。像电影《星际旅行Ⅱ：可汗的愤怒》中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（1986年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化（如乔治亚洲奥克芬诺沼泽地和生态变化。注：H·哈斯汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残留下来）。 事实上，生态系统用分形来处理已成为当前的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以描述变化的宇宙！龙的曲线是由物理学家J·E·亥威最先发现的，它可以通过若干步骤形成。
混沌理论之分形交易系统的基本原理 分形也叫碎形，英文叫Fractal---交易的起始！ 一、分形原理 分形是利用简单的多空原理而形成。当市场上涨的时候，买方追高价的意愿很高，形成价格不断上升，随着价格不断上升买方意愿也将逐渐减少，最后价格终于回跌。然后市场进入一些新的资讯（混沌）影响了交易者的意愿，此时市场处于低价值区，买卖双方都同意目前的价格区，但对于价格却有不同的看法，当买方意愿再度大于卖方意愿时价格就会上涨，如果这个买方的动能足以超越向上分形时，我们将在向上分形上一档积极进场。下跌时原理亦同。 二、分形结构 分形是由至少五根连续的K线所组成。向上的分形中间的K线一定有最高价，左右两边的K 线分别低于中间K线的高点；向下的分形中间的K线一定有最低价，左右两边的K线分别高于中间K线的低点；你可以现在举起手，观察自己五根手指的结构，就是典型的向上分形。这是最典型的也是最基本的分形结构；若中间的K线同时高于和低于左右两边的K线，那么它即是一个向上的分形又是一个向下的分形。需要注意的是如果当天的K线最高点或最低点与前面一根K线的高点或低点相同时，需要等待后一根K线进行确认。
分形是证券混沌操作法的入场系统，也是鳄鱼苏醒时的第一个入场信号。一个分形产生后，随后的价格如果有能力突破分形的高点或低点，我们便开始进场。在证券混沌操作法中，一个有效的分形信号，必须高于或低于颚鱼线的牙齿。当有效的分形被突破后，只要价格仍然在鳄鱼线唇吻的上方或下方，我们便只在下一个分形被突破时进行顺势交易。 分辨向上分形时我们只在乎高点的位置，观察向下分形时则只在乎低点的位置。 在找寻分形时必须注意几点：
分形几何学 简介 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究 对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分 形几何学的研究对象为非负实数维数，如0.63、1.58、2.72、log2/log3（参见康托尔集）。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。 一个数学意义上分形的分解成就是基于一个不断运算的方程式，即为一种基于递回的 反馈系统。分形存有几种类型，可以分别依据整体表现出来的准确自相似性、半自相似性 和统计数据自相似性去定义。虽然分形就是一个数学结构，它们同样可以在自然界中被找出，这使它们被划归艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都存有 应用领域。 由来 客观自然界中许多事物，具备自相近的“层次”结构，在理想情况下，甚 分形几何学 分形几何学 至具有无穷层次。适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂 的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物都存有它自己的特征尺度，必须用恰当的尺度回去测量。用尺子去测量万里 长城，疑太短，而用以测量大肠杆菌，又疑太长。除了的事物没特征尺度，就必须同时考 量从小到大的许许多多尺度（或者叫做标度），这就是“并无标度性”的问题。 湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十 分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态。要描述湍流现象 就需要借助流体的的“无标度性”，而湍流中高漩涡区域，就需要用到分形几何学。
frac分形维数生态学意义 摘要： 1.分形维数的概念及意义 2.分形在生态学中的应用 3.分形维数在生态学研究中的实例 4.分形维数在生态系统管理中的作用 5.总结与展望 正文： 分形维数作为一个数学概念，自从引入生态学领域以来，便为生态学研究提供了新的视角和方法。生态学意义下的分形维数，主要研究生物栖息地、生态位、物种分布等方面的复杂性。本文将探讨分形维数在生态学中的应用及其在生态系统管理中的作用。 首先，分形维数能够描述生态系统的复杂性。在生态学中，分形维数通常用于衡量生态系统的空间结构、生物多样性和生态过程等方面的复杂性。例如，生态学家可以使用分形维数来描述森林结构、水域生态系统以及城市生态系统的复杂性。通过研究分形维数，我们可以更好地了解生态系统的稳定性和抗扰动能力，为生态保护提供理论依据。 其次，分形在生态学中的应用具有实际意义。在生态系统中，生物之间的相互作用和竞争关系往往呈现出分形特征。通过研究分形维数，生态学家可以更好地理解生物种群的动态变化、物种间的竞争关系以及生态系统的稳定性。例如，分形维数可以用于研究种群数量模型、生态位宽度和生态系统的生物多
样性。 分形维数在生态学研究中具有广泛的应用。例如，在森林生态系统研究中，分形维数可以用于分析树种分布、林分结构和生物多样性。通过分析分形维数，我们可以了解到森林生态系统的空间分布特征和物种多样性，从而为森林资源管理和生态保护提供科学依据。 此外，分形维数在生态系统管理中具有重要作用。通过研究分形维数，我们可以更好地评估生态系统的健康状况、预测生态系统对人类活动的响应以及制定合理的生态保护措施。例如，在城市生态系统中，分形维数可以用于评估城市绿化程度、生态岛布局等方面，从而为城市可持续发展提供参考。 总之，分形维数在生态学领域具有重要的理论和实践意义。通过研究分形维数，我们可以更深入地了解生态系统的复杂性、生物间的相互作用以及生态系统的稳定性。在生态系统管理中，分形维数为我们提供了评估生态系统健康状况、预测人类活动影响和制定生态保护措施的新视角。
土地用途规划分类及其含义 土地用途规划是指对土地进行合理利用和合理布局的一项重要任务，它将土地按照不同的功能进行划分和规划，以实现土地资源的最优配置。土地用途规划分类是根据土地的功能需求和综合条件，将土地划分为不同的用途类型，可以根据国家、地区的实际情况进行适当地调整。下面将介绍常见的土地用途规划分类及其含义。 一、城镇建设用地 城镇建设用地是指为城市、镇区以及与之相衔接的经济、文化、交通综合功能区划定的土地用途，包括住宅用地、商业用地、工业用地、公共设施用地等。城镇建设用地的规划应根据人口规模、经济发展水平、土地资源状况等因素，合理布局城镇各种功能区，以满足城镇发展的需求和提供良好的生活环境。 二、农业用地 农业用地是指为农业生产和农村居民生活提供的土地用途。农业用地可以划分为耕地、园地、林地、牧草地等。耕地主要用于种植农作物，是农业生产的基础，园地主要用于蔬菜、水果等的种植，林地主要用于林木的种植和经营，牧草地主要用于牲畜的饲养。农业用地的规划应充分考虑农业的生产特点和需求，保障农民的生产权益和农业的可持续发展。三、生态保护用地 生态保护用地是为了保护生态环境和生物多样性而划定的土地用途，包括自然保护区、湿地保护区、森林公园等。生态保护用地的规划应根据区域的生态环境状况和生物资源分布等因素进行科学划定，并采取相应的保护措施，保护珍稀濒危物种和生态系统的完整性和稳定性。
四、交通运输用地 交通运输用地是用于交通运输设施和相关用地的土地用途，包括公路、铁路、航空港、港口、机场等。交通运输用地的规划应根据交通需求和地 理条件，合理规划交通网络，提高交通运输效率，促进经济发展和人民生 活水平的提高。 五、资源开发用地 资源开发用地是用于矿产资源、能源资源等开发和利用的土地用途。 资源开发用地的规划应根据资源分布和开采条件，合理规划资源开发区， 对资源进行合理利用，促进经济发展和资源的可持续利用。 六、公共设施用地 公共设施用地是用于公共服务设施和公共事业设施的土地用途，包括 教育、医疗、文化、体育、公园、绿化、供水、供电、排水等。公共设施 用地的规划应根据人口规模、需求量和区域特点，合理规划公共设施的分布，提供良好的基础设施和公共服务，提升人民生活质量和城市竞争力。 以上是常见的土地用途规划分类及其含义，土地用途规划是城乡发展 的重要基础工作之一，它的合理规划和科学布局对经济、社会、环境的可 持续发展都具有重要意义。在土地用途规划的过程中，应充分考虑人与自 然的和谐发展，注重保护环境、节约资源，提高土地的利用效率，推动城 乡一体化发展和社会进步。
从分形与生态探索城市 一、分形是城市的本质特征 分形（fractal）是非线性科学中的重要概念。近30年来，它已经发展成为一个庞大的以几何学为基础，涉及自然科学、社会科学、方法论直至电子艺术的完整体系。 曼德布罗特（Mandelbrot，分形创始人）这样描述它：“……自然界的许多图样是如此的不规则和支离破碎，以致与欧几里得几何相比，自然界不只具有较高程度的复杂性，而且拥有完全不同层次上的复杂度……我构思和发展了大自然的一种新的几何学，并在许多不同领域中找到了用途。它描述了我们周围的许多不规则和支离破碎的形状，并鉴别出一族我称之为分形的形状，创立了相当成熟的理论。”（图1）[1] “自相似”（不同层次间的部分的相似）及“迭代”是对分形最直观的理解。万物都可以从分形的角度来分析和研究。中国传统城市就是一个非常标准、简洁的分形体。以著名的唐长安城为例，分为城、坊、院、屋四个层次，呈完美的自相似结构。在中国城市里，“墙”是分形迭代的主体：从外围最高大的城墙，到各街坊每晚需要各自关闭的坊墙，再到各家各户自己的院墙，最后是每间屋子的围合。不同的“墙”代表了不同等级的所有者权限——顶端的一国之君拥有天下，以绵延万里的长城来划定自己的权力范围；而基层的一家之长便统辖自家的院墙之内……围墙作为中国城市的典型特征，至今还在大多数城市占据着城市划分的主体地位。城市道路在中国则是“墙”划分的结果，是被动形成的交通体系，它同样贯彻了完整的分形结构：从主干道（如朱雀大街），到坊间次干道，再到坊内小街，最后是院内的庭和廊。庭是家庭的空间核心，居住的空间则位于庭的四周。 从分形的角度比较东西方城市，我们不难发现几个重要区别：①分形的层次。中国城市遵循3～4级的逐级迭代，而西方城市仅有从城市到单体建筑的2层。②分形的主体。中国城市分形的主体是墙，墙内区域的自相似性决定了墙间道路的自相似；西方城市分形的主体是道路，单体建筑只能在道路的划分之下占据空隙。③分形的相似度。从城市结构的最末端可以看出二者在相似度上的明显差异：中国的家庭院落内部，交通的组织仍然依靠房屋外侧的走道、走廊和中庭，与整个城市并无二致；而西方的家庭单体建筑，内部交通主要依靠房间之间的互通，与城市强有力的道路走向已相差很远了。
分形数学与艺术结合的明珠 大家注意到最近google 图标变成这个样子 很多人不明白，这是什么意思，其实这是为了纪念法国数学家Gston Julia是，他发现了在数论中有名的julia序列，就是在这个google LOGO上面看到的数学公式。通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则边的图形。学名，也叫做分形。我们在网上搜索了一些资料，为大家做一下分形这个图形学上的概念普及。 认识分形 作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：什么是分形？ 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 让我们来看下面的一个例子。下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。 如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许
多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长 的阶段的曲线图极为相似。 上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。 除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。 不管你信不信，上面的这张月球表面的照片也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节。