导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根（或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用．
题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题型概览:函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论.
（1)单调性讨论策略:单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点,把函数定义域分段,在各段上讨论导数的符号,在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．
（2)极值讨论策略:极值的讨论是以单调性的讨论为基础,根据函数的单调性确定函数的极值点.
(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论,是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值.
已知函数f(x)=x-＼f(1,x)，ｇ(x)=a ln x（a∈R).
（1）当a≥－2时，求Ｆ(x)=ｆ(x）－g(ｘ)的单调区间;
（2)设ｈ(x)=f(x)＋g(x),且h(ｘ)有两个极值点为x1,x2,其中x1∈错误!,求h(x1)-h(x２）的最小值.
[审题程序］
第一步:在定义域内，依据F′(ｘ)=0根的情况对F′(ｘ)的符号讨论;
第二步:整合讨论结果,确定单调区间；
第三步:建立x1、x2及ａ间的关系及取值范围；
第四步：通过代换转化为关于x1(或x2）的函数，求出最小值.
[规范解答］(１）由题意得F(x)＝x－错误!-a lｎx，
其定义域为(0，+∞),则F′(ｘ)=＼f（x2-aｘ+１,x2),
令m(x)＝x2-ａx+1,则Δ＝a2－4.
①当-2≤a≤2时，Δ≤0，从而Ｆ′(x)≥０,∴F（ｘ)的单调递增区间为(０,+∞）;
②当ａ＞2时，Δ>0，设F′(x)=0的两根为x1=错误!,x2＝错误!，
∴Ｆ(x)的单调递增区间为
错误!和错误!,
F(ｘ）的单调递减区间为错误!.
综上,当－2≤a≤2时,F（x)的单调递增区间为(0,＋∞);
当a>２时,Ｆ(x)的单调递增区间为
错误!和错误!,
Ｆ(x ）的单调递减区间为错误!.
(2)对h （x )＝x －１
x ＋a ln x ，x ∈（0，＋∞) 求导得,h ′(x )＝１+错误!＋错误!＝错误!，
设h ′（x )=0的两根分别为ｘ1,x 2,则有x 1·x 2=1，x １＋x 2=-a , ∴ｘ2=１
x 1
，从而有a ＝－ｘ1-＼f(１，ｘ1)．
令H （x ）＝h (ｘ）-h 错误! =x －错误!＋错误!l ｎx －错误!
=２错误!,
H ′(x )=2错误!ln x ＝错误!．
当x ∈错误!时,H ′(x )＜0, ∴H (x )在错误!上单调递减,
又H (x 1）=h (x 1)-h 错误!＝h （ｘ1）－h (x 2）, ∴［h (ｘ1)－h (ｘ2)]ｍin =H 错误!=5ln2-3.
[解题反思］ 本例（1)中求Ｆ(ｘ）的单调区间,需先求出F （x )的定义域，同时在解不等式F ′（x ）>0时需根据方程x ２
-ａx +1=0的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“Δ”的取值作为分类讨论的依据．在(２）中求出h (ｘ1)－h （x 2）的最小值，需先求出其解析式．由题可知x 1，ｘ
2是ｈ′(x )＝0
的两根,可得到x 1x 2＝1，x 1+x 2=－a ,从而将h (x 1）-h (x 2)只用一个变量ｘ1导出.从而得
到Ｈ(x 1)＝h (ｘ1)－ｈ错误!，这样将所求问题转化为研究新函数Ｈ（x )＝h (x )－h 错误!在错误!上的最值问题,体现转为与化归数学思想.
[答题模板］ 解决这类问题的答题模板如下:
[题型专练]
1．设函数f(ｘ)=(1＋ｘ)2-2ln（1+x).
(１)求ｆ(x)的单调区间;
(2)当0 ∵ｆ（x)＝(１＋x)２-2ｌn(1＋x),x∈(-1，＋∞）， ∴ｆ′(x)=2（1+x）－＼ｆ(２，1＋x)＝错误!. 由f′(x）>0,得x>0；由f′（x）<0,得-1＜x<０. ∴函数f(x)的单调递增区间为(０,＋∞)，单调递减区间为(－1，0）. （２)由题意可知g（ｘ)=(2-a)x-2ln(１+ｘ)(x>-1), 则g′(x)＝2－ａ－错误!=错误!． ∵0 令g′(ｘ)=0，得x=＼f(a，2－ａ)， ∴函数g (x )在错误!上为减函数,在错误!上为增函数. ①当0<＼ｆ(a ，2-ａ)<３,即0 ②当错误!≥3,即错误!≤a <2时，ｇ(ｘ)在区间[0,3]上为减函数， ∴g (x ）min ＝g (3)=６-３a -2ln4. 综上所述，当０ 2时，ｇ(ｘ)m ｉn ＝a －2l ｎ＼ｆ(2,２－a ); 当＼ｆ(3,2)≤a <２时,ｇ(x )m ｉn =6-3a －2ｌn4． 北京卷（19）(本小题1３分） 已知函数f （ｘ）＝e ｘ ｃos x ?x . （Ⅰ）求曲线ｙ= f (x )在点（0，f (０））处的切线方程; （Ⅱ)求函数f (x )在区间[0,π 2 ］上的最大值和最小值. (19)（共１3分) 解:(Ⅰ)因为()e cos x f x x x =-,所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. (Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-． 当π(0,)2 x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2 上单调递减． 所以对任意π(0,]2 x ∈有()(0)0h x h <=,即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2 上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22 f =- . 21.（１２分） 已知函数3 ()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥． （１)求ａ； (2）证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2 30()2e f x --<<. 21.解： （1)()f x 的定义域为()0， +∞ 设()g x =ax -a -lnx ,则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1 1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x 若a =１，则()1 1- g'x =x .当０ 综上，a=1 (2)由(1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1 22ln ,则'()2h x x x h x x =--=- 当10,2x ??∈ ?? ? 时,()'＜0h x ;当1,+2 x ??∈∞ ??? 时，()'＞0h x ,所以()h x 在10,2? ? ??? 单调递减，在1,+2 ?? ∞ ??? 单调递增 又() ()2 1＞0,＜0,102h e h h -??= ???,所以()h x 在10,2?? ???有唯一零点x 0，在1,+2?? ∞???? 有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时， ()＜0h x ,当()1,+x ∈∞时,()＞0h x . 因为()()'f x h x =，所以x ＝x 0是ｆ(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01 '＜ 4 f x 因为ｘ=x ０是ｆ(ｘ)在(0,1）的最大值点，由()() 110,1,'0e f e --∈≠得 ()() 120＞f x f e e --= 所以()2-20＜＜2e f x - 题型二利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点 题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 已知函数f(x)=(x+a）eｘ,其中e是自然对数的底数，a∈R． (1)求函数ｆ（ｘ)的单调区间; （２）当a<1时，试确定函数g(x)=f（x－a）-ｘ2的零点个数,并说明理由． ［审题程序] 第一步：利用导数求函数的单调区间; 第二步:简化g(x)＝０，构造新函数; 第三步：求新函数的单调性及最值； 第四步:确定结果. ［规范解答](1）因为ｆ（ｘ)＝(x+a)eｘ,x∈R， 所以f′(ｘ)＝(ｘ＋ａ+1)ｅx. 令ｆ′（x）＝0,得x=－a-1. 当x变化时,f(x)和ｆ′(x)的变化情况如下: ｘ（－∞，-a-1)－ａ-１(-a-1,+∞) f′(x)－0＋ f(x) 故f( (2)结论:函数g(x)有且仅有一个零点. 理由如下： 由g（ｘ)=ｆ(x-ａ）－x２＝0，得方程x eｘ-a＝x2, 显然x＝0为此方程的一个实数解， 所以x＝0是函数g(ｘ）的一个零点. 当x ≠0时，方程可化简为e x -a =x . 设函数F (x ）＝e x -ａ-x ，则F ′(x ）=e ｘ－a －１， 令F ′(x )＝0,得ｘ＝a . 当x 变化时,F (x ）和F ′(ｘ)的变化情况如下： 即F （ｘ所以F （ｘ）的最小值F (x )min ＝F （a ）=1-a ． 因为a ＜1,所以F (x )mi ｎ=F (a ）＝１－ａ>0, 所以对于任意ｘ∈R ,F (ｘ)＞0， 因此方程e x -a ＝x 无实数解. 所以当x ≠０时，函数g (x )不存在零点. 综上,函数ｇ(ｘ)有且仅有一个零点. 典例3 21.(12分) 已知函数3 ()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ; （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2 30()2e f x --<<． 21.解: (１)()f x 的定义域为()0， +∞ 设()g x =ax -a -lnx ,则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1 1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x 若ａ＝1，则()1 1- g'x =x ．当0＜x<１时,()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x >0,()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，ａ＝１ （2）由(１）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1 22ln ,则'()2h x x x h x x =--=- 当10,2x ??∈ ?? ? 时，()'＜0h x ；当1,+2x ??∈∞ ??? 时,()'＞0h x ，所以()h x 在10,2? ? ??? 单调递减，在1,+2 ?? ∞ ??? 单调递增 又() ()2 1＞0,＜0,102h e h h -??= ???,所以()h x 在10,2?? ???有唯一零点x 0，在1,+2?? ∞???? 有唯一零点1,且当()00,x x ∈时,()＞0h x ；当()0,1x x ∈时， ()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x . 因为()()'f x h x =,所以x=x 0是f(ｘ）的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01 '＜ 4 f x 因为x=x 0是f(x)在(0,１)的最大值点,由()() 110,1,'0e f e --∈≠得 ()() 120＞f x f e e --= 所以()2-20＜＜2e f x - [解题反思] 在本例(1)中求f (ｘ)的单调区间的关键是准确求出f ′(x ),注意到ｅx >0即可．（2)中由g (ｘ)=0得x e x －a ＝x 2，解此方程易将x 约去,从而产生丢解情况．研究ｅx －a ＝x 的解转化为研究函数F (ｘ)＝e ｘ－ａ－x 的最值，从而确定F （x )零点，这种通过构造函数、研究函数的 最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握. [答题模板］解决这类问题的答题模板如下： [题型专练] 2．(2０１７·浙江金华期中)已知函数ｆ(ｘ)=ax3+bｘ2＋(c－3a-2b)x＋ｄ的图象如图所示． (1）求c，d的值； (2)若函数f（x）在x＝2处的切线方程为3x＋y-1１＝0,求函数f(x)的解析式； (３)在(2)的条件下，函数y =f （x )与y =错误!f ′(ｘ）+5x ＋m 的图象有三个不同的交点,求ｍ的取值范围． [解］ 函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3ａx ２+2bx ＋c －3a －2ｂ. （１）由图可知函数f (ｘ)的图象过点（０,3),且f ′(1）=0, 得错误!解得错误! (2)由(1）得,f (x ）＝ａx 3+bx ２-(3a +2b )x +3, 所以ｆ′(x )=3ａx 2+2bx -（3ａ＋２ｂ). 由函数f (ｘ)在x =2处的切线方程为３ｘ＋y -1１=０， 得错误! 所以错误!解得错误! 所以f (x )=x 3－６x 2+9x +３. (3)由(2)知f (x ）=x 3-6x 2+9x ＋3，所以f ′（x ）=3x ２ －12x ＋9. 函数y ＝f (x )与y =＼ｆ(１，3)f ′(x )＋5x +m 的图象有三个不同的交点, 等价于x 3-6x 2+９x ＋3=(x ２-4x ＋3)+5x +m 有三个不等实根， 等价于g (x ）=x 3-7x ２＋8x -m 的图象与x 轴有三个交点． 因为g ′(ｘ)＝3ｘ２-14x ＋８＝(3x -2)(ｘ-4), 当且仅当错误!时，g (x )图象与x 轴有三个交点，解得-1６ 2１.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) ｅｘ ﹣ｘ． (1)讨论()f x 的单调性； （2)若()f x 有两个零点，求ａ的取值范围． ２1．解：(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，(十字相乘法) （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. (ⅱ）若0a >,则由()0f x '=得ln x a =-. 当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增. (2）(ⅰ）若0a ≤,由（1)知，()f x 至多有一个零点. （ⅱ）若0a >,由（1)知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1 (ln )1ln f a a a -=-+.（观察特殊值1) ①当1a =时，由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于1 1ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点; ③当(0,1)a ∈时，1 1ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<. 又4 22(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a ->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). 题型三 利用导数证明不等式 题型概览：证明f (ｘ）＜g (x ），x ∈(ａ,b ),可以直接构造函数Ｆ(x ）=f (x ）-g (x )，如果F ′(x )<0,则F (x )在(a ，ｂ)上是减函数，同时若F (a )≤０,由减函数的定义可知，ｘ∈（a ,ｂ)时，有F （x )<0,即证明了f （x ） (2017·陕西西安三模)已知函数f (ｘ）＝e x x . （１)求曲线y ＝ｆ(ｘ)在点Ｐ错误!处的切线方程; (2）证明:f (x ）>2（x -ln x ). [审题程序］ 第一步：求f ′(x )，写出在点Ｐ处的切线方程; 第二步：直接构造ｇ(ｘ)＝f （x )－2(x －ln x ),利用导数证明g (x )m ｉn ＞0. [规范解答] (1）因为f (x )＝e x ｘ ，所以f ′(x ）＝错误!＝错误!,f ′（２）＝错误!,又切点为错误!，所以切线方程为 y －错误!=错误!(x －2),即e 2ｘ-４ｙ=０. (2)证明：设函数g (x )＝f (ｘ）-２(x -l ｎx )=e x x －2ｘ＋２ln ｘ，x ∈(0，+∞), 则ｇ′(x )＝e x (x －1) x 2－2+错误!=错误!，x ∈(０,＋∞)． 设h (x )=e x －２x ,x ∈(0,＋∞), 则h ′（x )＝ｅx -2,令ｈ′(x )=0,则x ＝ln2. 当x ∈(0,l ｎ2）时，ｈ′（x )<0;当x ∈（ｌｎ2，＋∞)时,h ′(x ）＞0． 所以h (x ）min =h (ln2)＝2－２ln2>0,故ｈ(x ）=e ｘ-2x >0. 令g ′(ｘ)=＼f((e x -2x )(x －1),ｘ２)=0，则x ＝1. 当ｘ∈（０,1)时，g ′(x )<０；当x ∈(1,＋∞）时，g ′(x )>0. 所以g (x )mi ｎ=g (１)=e-2>0，故g （x )＝f (ｘ)-2(x -ln x )>0,从而有ｆ(x )>2(x -ln x ). [解题反思] 本例中（2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一,通过合理地构造新函数g (x ）.求g （x )的最值来完成．在求ｇ(x )的最值过程中，需要探讨g ′(x )的正负,而此时g ′(ｘ)的式子中有一项e ｘ－２x 的符号不易确定，这时可以单独拿出e x －２ｘ这一项，再重新构造新函数ｈ(x )=ｅｘ-2x (x ＞0）,考虑h （ｘ）的正负问题,此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在(２)中定义域也是易忽视的一个方向. ［答题模板］ 解决这类问题的答题模板如下: ［题型专练] 3.(201７·福建漳州质检)已知函数f(x)=ａe x－bｌn x,曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝错误!x+1．(1)求a，b； （２）证明:ｆ(x）>0． [解](１)函数f(x）的定义域为(0，+∞). f′(x)=aｅｘ－错误!,由题意得ｆ(１)=错误!,f′(1）＝错误!－１， 所以错误!解得错误! (2）由(1)知f(x)=错误!·e x-ln x. 因为f′(x)=e x－2－＼f(1,x）在(0，＋∞)上单调递增,又f′(1)<0，f′(2)>0, 所以f′(x)=0在(0，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈（1，2). 当x∈(0，ｘ0)时,f′(ｘ)＜０，当ｘ∈(x0，+∞)时，ｆ′(ｘ)>0， 从而当x＝x0时，ｆ（x)取极小值，也是最小值. 由f ′(x 0)＝0,得e x 0－2＝＼f(1,x 0）,则ｘ0－2=－ln ｘ0. 故f （x )≥f (x 0)＝e x 0-2-ｌn ｘ０＝错误!+ｘ０-2>2错误!-2＝0，所以ｆ(x )>0. 4、【2０17高考三卷】２1．(12分）已知函数()f x =x ﹣1﹣a ln x ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值； (2）设m 为整数，且对于任意正整数ｎ,21 111++1+)2 22n ()(1)(﹤ｍ,求ｍ的最小值. 21.解：（1)()f x 的定义域为()0，+∞. ①若0a ≤，因为11=-+2＜022 f a ln ?? ??? ,所以不满足题意； ②若＞0a ,由()1a x a f 'x x x -=-= 知，当()0x ,a ∈时,()＜0f 'x ;当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ,所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增,故ｘ=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当ａ=１时,()0f x ≥. 故a =１ （2)由（1)知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x -- 令1=1+ 2n x 得1 1 1+＜2 2 n n ln ?? ???，从而 22111 11 111++1+++1+＜+++=1-＜1222 22 22n n n ln ln ln ???????????? ? ? ??????? 故21111+1+1+＜222n e ????????? ??? ?? ?? ? ? ? 而231111+1+1+＞2222?????? ?????? ?? ?? ? ，所以m 的最小值为3． 21．(12分） 已知函数()f x =ln x ＋ａx 2 +(２a ＋1)ｘ. (1)讨论()f x 的单调性； (2)当a ﹤０时,证明3 ()24f x a ≤- -. 【答案】（１）当0≥a 时,)(x f 在),0(+∞单调递增；当0 单调递增，在),21 (+∞-a 单调递减；(2）详见解析 题型四利用导数研究恒成立问题 题型概览:已知不等式恒成立求参数取值范围,构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题;若参数不便于分离,或分离以后不便于求解，则考虑直接构造函数法,利用导数研究函数的单调性，求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围． 已知函数f(ｘ）=＼ｆ（1,2)ln x-mｘ,g(x）=x-错误!(ａ＞０)． (1）求函数f(ｘ)的单调区间; (２)若m＝1 ２e２ ，对?x1,x2∈[2,2e２]都有ｇ(x1)≥ｆ(x2）成立，求实数a的取值范围. [审题程序] 第一步:利用导数判断f(x)的单调性，对m分类讨论； 第二步：对不等式进行等价转化，将g(x1)≥f(x２)转化为g(x)ｍin≥f(x)max；第三步:求函数的导数并判断其单调性进而求极值(最值）； 第四步：确定结果． [规范解答］(1)f(x)=1 ２ lｎｘ-ｍx，ｘ＞0,所以ｆ′（x)=错误!-m， 当m≤0时,f′(x)＞0,ｆ(x)在(０,＋∞)上单调递增． 当m＞0时,由f′(0）=0得x＝＼f(１，2ｍ)；由错误!得0 综上所述，当m≤0时,f′(x)的单调递增区间为(0,＋∞); 当m>0时,f(ｘ）的单调递增区间为错误!,单调递减区间为错误!． （2)若m=错误!，则f（ｘ)＝错误!ｌｎx-错误!x. 对?x1,x2∈[2,2e2]都有ｇ（x１）≥f(ｘ2)成立， 等价于对?ｘ∈[2,２e2]都有ｇ(ｘ)ｍin≥ｆ(x)mａｘ， 由(１)知在[2,２e2]上f(x)的最大值为f（e2)＝错误!， g′（x)=1＋错误!＞0(a>0)，ｘ∈[2,2ｅ2],函数ｇ(x)在[2,２ｅ2]上是增函数,g(x)min＝g(2)=2－错误!,由2-错误!≥＼ｆ(1,2),得ａ≤３，又a>０,所以a∈(0,3],所以实数ａ的取值范围为(0,３]. [解题反思］本例（1)的解答中要注意f(x)的定义域,（2)中问题的关键在于准确转化为两个函数f(ｘ)、g(x）的最值问题．本题中，?x1,ｘ2有g(x1)≥ｆ(ｘ2）?ｇ(x）ｍin≥f(ｘ)maｘ.若改为:?x1,?ｘ2都有ｇ（x１）≥f(x2），则有g(x)ｍax≥f（x)max.若改为：?ｘ1，?ｘ２都有g(x1）≥ｇ(x2),则有ｇ（ｘ)min≥ｆ(x)ｍin要仔细体会,转化准确. [答题模板］解决这类问题的答题模板如下: [题型专练] 4．已知f(x)＝ｘｌn x，g(x)=-x2+ax－3. (１）对一切x∈(０,＋∞),2f(ｘ）≥g(ｘ）恒成立,求实数a的取值范围；（2)证明：对一切x∈（0，＋∞)，ｌn x>＼f（１,e x)-错误!恒成立. ［解]（1)由题意知2ｘｌn x≥－x２＋ax-３对一切x∈(０,＋∞)恒成立， 则a≤2ｌnｘ+x＋３x, 设h(x）=２lｎx＋x＋错误!(x>0)， 则h′(ｘ）=错误!, ①当x∈(０,1）时，ｈ′（ｘ）＜0,h(ｘ)单调递减， ②当x∈（１，+∞）时，ｈ′(ｘ）>０，h(x)单调递增, 所以h(x）mi ｎ＝ ｈ(1)=4，对一切x∈(0，+∞)，2ｆ（x)≥g(x)恒成立, 所以a≤ｈ(x)mｉn=4. 即实数a的取值范围是(－∞，4]． (2)证明:问题等价于证明x ln x>错误!－错误!(ｘ∈（０,＋∞）). 又f(x)=ｘｌn x,ｆ′（x)=ｌnｘ+1, 当x∈错误!时,f′(ｘ)<0，ｆ(ｘ)单调递减； 当x∈错误!时,ｆ′(x)＞0，f(ｘ)单调递增，所以ｆ（ｘ)min=f错误!＝－错误!. 设m(ｘ)=＼f(x，e x)－＼ｆ(2,ｅ)(x∈(０，+∞))， 则m′(x)=错误!, 易知m（x)ｍax＝m(１)＝－错误!, 从而对一切x∈(0,+∞),ｌn x>错误!－错误!恒成立． ②当x∈(1,+∞)时,ｈ′(ｘ)>0,h（x)单调递增， 所以h(ｘ)mｉn＝h（1）＝4,对一切x∈(0，+∞)，2f（x)≥g(x）恒成立，所以a≤h(x)min=4． 即实数a的取值范围是(-∞,４]. 题型五:二阶导主要用于求函数的取值范围 23．（１2分)已知函数f(ｘ）=(x+1）lnx﹣ａ（x﹣1）. （Ｉ)当a＝４时,求曲线y=ｆ（x）在（1，f(1)）处的切线方程； (ＩＩ）若当x∈（１,+∞)时,ｆ（ｘ)＞0,求a的取值范围． 【解答】解：（I)当a=4时,f(ｘ）＝（x+1）lｎｘ﹣4（x﹣1）. f（1)=0，即点为(１,0），函数的导数f′（x）=lnｘ+（x+1)?﹣４， 则ｆ′(1)=ln1＋2﹣4=2﹣4=﹣２,即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2， 则曲线y=f(x）在（1，0)处的切线方程为y＝﹣2(x﹣1)=﹣2x+２; (IＩ）∵f(x)=(ｘ+１）lnx﹣a（x﹣1）, ∴f′（ｘ)=1++lnx﹣a，∴f″（x）=， ∵ｘ>１，∴f″(x）＞0, ∴f′(x）在(1,＋∞）上单调递增, ∴f′(x）>f′(1)=２﹣a. ①ａ≤２,ｆ′(ｘ)＞f′(1)≥０， ∴f(x）在(１,+∞）上单调递增,∴ｆ(x）>f（1)=0,满足题意; ②ａ＞2，存在x０∈(1，＋∞），f′（x0）=0, 函数f(x)在（1，ｘ０）上单调递减,在(x０，＋∞）上单调递增， 由f(1）=0,可得存在ｘ０∈(１,＋∞），f（x０）<０，不合题意． 综上所述，a≤２. 23.(12分)已知函数ｆ(x）=（x+1)lｎx﹣a（x﹣1). (I)当a=4时，求曲线y=f（x）在（1,f（１））处的切线方程; （ＩI)若当x∈（1,+∞)时，f(ｘ）＞0，求ａ的取值范围. 【解答】解:(I)当a=4时，ｆ（x）=(x＋1）lｎｘ﹣4（x﹣1）. f（1）=0，即点为（１，0),函数的导数f′(ｘ）=lnx＋(x＋1）?﹣4， 则ｆ′(1)=ｌn1＋2﹣４=2﹣4=﹣２,即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣２， 则曲线y=f（ｘ）在(1，0)处的切线方程为y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2; (ＩI）∵f（ｘ）=(ｘ+１）lnx﹣a(x﹣１), ∴f′（x)=１++lｎｘ﹣a,∴f″(ｘ）＝， ∵x＞1，∴ｆ″（x）＞0,? ∴f′（x)在（１，+∞）上单调递增， ∴f′(x）＞ｆ′(1）=2﹣a． ①a≤2,ｆ′(ｘ)>f′（1）≥0， ∴f（x)在（1,+∞)上单调递增，∴f（ｘ)＞f（1)=0,满足题意； ②a>2，存在x０∈（1,+∞)，ｆ′（x0）=0， 函数f（x)在(1，ｘ0)上单调递减，在(ｘ0,+∞）上单调递增， 由f（1）=０，可得存在ｘ０∈（1,+∞),f（ｘ0)＜０，不合题意． 综上所述，a≤２. 题型六:求含参数求知范围 此类问题一般分为两类:一、也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．此法适用于方便分离参数并可求出函数最大值与最小值的情况，若题中涉及多个未知参量需分离出具有明确定义域的参量函数求出取值范围并进行消参,由多参数降为单参在 求出参数取值范围。二、未能将参数完全分离一类，需要根据题意对参数进行分类讨论,以求出参数取值范围 已知函数()f x =e ｘ（e x ﹣ａ)﹣a ２x ． (1)讨论()f x 的单调性； （2)若()0f x ≥，求a 的取值范围. 【解析】(1)函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-， ①若0a =,则2()x f x e =,在(,)-∞+∞单调递增. ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =． 当(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减,在(ln ,)a +∞单调递增. ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2 a x =-． 当(,ln())2a x ∈-∞-时,()0f x '<;当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>,故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减,在(ln(),)2 a -+∞单调递增. （２)①若0a =,则2()x f x e =,所以()0f x ≥. ②若0a >，则由（1）得,当ln x a =时,()f x 取得最小值，最小值为2 (ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2 ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥. ③若0a <,则由（１)得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值,最小值为2 3(ln())[ln()]2 42 a a f a -=--.从而当且仅当2 3[ln()]042 a a --≥，即 34 2e a ≥-时()0f x ≥. 综上,a 的取值范围为34 [2e ,1]-． 2１.（１2分） 设函数2 ()(1)x f x x e =-. （1)讨论()f x 的单调性; （2)当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ）在(,1-∞-- 和(1)-++∞单调递减，在(11--+单调递增(Ⅱ）[1,)+∞ 【解析】 试题分析：(1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间(2）对a 分类讨论，当a ≥1 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?? ?? 0，12，求 h (x 1)－h (x 2)的最小 值． [审题程序] 第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值范围； 第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2， 令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4. ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4 2 ， 导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x 13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= . 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ①确定定义域（易错点） ②求导函数)('x f ③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理. ④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间. 例1：x x a x a x f ++-=232 13)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增； 若0)(' ≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2 )(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞. ⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)(' x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段. 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2 )(2≠++-= a x x a x a x f ，则x x ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f 在每个子区间内的正负，求得)(x f 的单调区间。 2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2 导数 一、单选题（共3题；共6分） 1、（2017?浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A、 B、 C、 D、 2、（2017?新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A、﹣1 B、﹣2e﹣3 C、5e﹣3 D、1 3、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（） A、﹣ B、 C、 D、1 二、解答题（共8题；共50分） 4、（2017?浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥ ）． （Ⅰ）求f（x）的导函数； （Ⅱ）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 5、（2017?山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分） （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6、（2017?北京卷）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（13分） (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个 零点x0， g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0， 2]，满足| ﹣x0|≥ ． 8、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b2＞3a； （Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 9、（2017?新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（12分） (1)讨论f（x）的单调性； (2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 10、（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 11、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值． 导数题型分类（A ） 题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则 （一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0 / x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数 )(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 / x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝)(0/ x f 。 例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求 ()()t t a f t a f t 54lim +-+→。 例2．2 3 33 x y x x += =+求在点处的导数。 （二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ; cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(; )(' ' ==； e x x x x a a log 1 )(log ;1 )(ln ''= = 法则1： )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()([' ' ' x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ?==，则'()'()x y f x x ?'=g 如，sin ()'x e =_______________;(sin )'x e =_____________ 公式1 / )(-=n n nx x 的特例：①=')x (______; ②=' ?? ? ??x 1_______, ③=')x (_________. a － a 2－4 2 a ＋ a 2－4 2 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1） 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点 的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2) 极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3) 最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极 值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数 f (x )＝x 1 g (x )＝a ln x (a ∈R )． － ， x (1) 当 a ≥－2 时，求 F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2) 设 h (x )＝f (x )＋g (x )，且 h (x )有两个极值点为 x ，x ，其中 x ∈ 1 ，求 h (x )－h (x )的最 1 2 1 (0， ] 1 2 2 小值． [审题程序] 第一步：在定义域内，依据 F ′(x )＝0 根的情况对 F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立 x 1、x 2 及 a 间的关系及取值范围； 第四步：通过代换转化为关于 x 1(或 x 2)的函数，求出最小值． [规范解答] (1)由题意得 F (x )＝x 1 a ln x ， － － x x 2－ax ＋1 其定义域为(0，＋∞)，则 F ′(x )＝ ， x 2 令 m (x )＝x 2－ax ＋1，则 Δ＝a 2－4. ①当－2≤a ≤2 时，Δ≤0，从而 F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当 a >2 时，Δ>0，设 F ′(x )＝0 的两根为 x 1＝ ，x 2＝ ， 函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ． 导数解答题题型分类之拓展篇（一） 编 制:王 平 审 阅：朱 成 2014-05-31 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立； 经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一 种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）； 第三种：关于二次函数的不等式恒成立； 第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立） ；参考例4； 例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例3.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例4.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 导数的综合大题及其分类 ②当a>2时, A >0，设F ' (x) = 0的两根为 a —寸 a 2—4 ，X 2 = a + ” a 2—4 其定义域为 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、 极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根 (或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等?体现了分类讨论、数 形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用 . 题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论. (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于 零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论. (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点. ⑶最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在 极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值. 1 已知函数 f(x) = x — -， g(x)= alnx(a € R). X (1)当a>— 2时，求F(x) = f(x) — g(x)的单调区间; 1 、 ⑵设h(x) = f(x) + g(x)，且h(x)有两个极值点为 X 1，X 2，其中X 1 € 0，2，求h(x”一 h(X 2)的最 小值. ［审题程序］ 第步： 在定义域内，依据F '(X) - 0根的情况对F '(X)的符号讨论; 第二步： 整合讨论结果，确定单调区间； 第三步： 建立X 1、X 2及a 间的关系及取值范围； 第四步： 通过代换转化为关于X 1(或X 2)的函数，求出最小值. 1 ［规范解答］(1)由题意得F(x) = x — X — alnx ， x 2 — ax + 1 (0，+-)，贝U F '(x)二 X^— 令 m(x) = x 2— ax+ 1，贝U △= a 2— 4. ①当一2 导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性; （2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 ① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2 a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)2 a x ∈- +∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证12 2 x x a +>， (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证：12 x x ( )()02 f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++（*） 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得： 2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2导数 一、单选题（共3题；共6分） 1、（2017?浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A、 B、 C、 D、 2、（2017?新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A、﹣1 B、﹣2e﹣3 C、5e﹣3 D、1 3、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（） A、﹣ B、 C、 D、1 二、解答题（共8题；共50分） 4、（2017?浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （Ⅰ）求f（x）的导函数； （Ⅱ）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 5、（2017?山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分） （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g（x）﹣af（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 6、（2017?北京卷）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（13分） (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 8、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′ 导数 1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =- '()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '' '2 ()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换） 例如：已知2()3sin (2)3f x x π =+，求'()f x 。 4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4y x π =- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231 x x y x -=+ (6)221 1()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为22 3s t t =+（t 是时间，s 是位移），则物体在 时刻2t =时的速度为 。 【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。 4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。 5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。 6.若23ln 4 x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。 7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。 8.已知曲线11 x y x += -在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。 专题16 函数与导数（2） 函数与导数大题：10年10考，每年1题．函数的载体上：对数函数很受“器重”，指数函数也较多出现，两种函数也会同时出现（2015年）．第2小题：2019年不等式恒成立问题，2018年证明不等式，2017年不等式恒成立问题，2016年函数的零点问题，2015年证明不等式，2014年不等式有解问题（存在性），2013年单调性与极值，2012年不等式恒成立问题，2011年证明不等式，2010年不等式恒成立问题． 1．（2019年）已知函数f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ， f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 【解析】（1）∵f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ，∴f ′（x ）＝2cos x ﹣cos x +x sin x ﹣1＝cos x +x sin x ﹣1， 令g （x ）＝cos x +x sin x ﹣1，则g ′（x ）＝﹣sin x +sin x +x cos x ＝x cos x ， 当x ∈（0，2π）时，x cos x ＞0，当x ∈（2 π，π）时，x cos x ＜0， ∴当x ＝2π时，极大值为g （2π）＝12π-＞0， 又g （0）＝0，g （π）＝﹣2， ∴g （x ）在（0，π）上有唯一零点， 即f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点； （2）由（1）知，f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点x 0，使得f ′（x 0）＝0， 且f ′（x ）在（0，x 0）为正，在（x 0，π）为负， ∴f （x ）在[0，x 0]递增，在[x 0，π]递减， 结合f （0）＝0，f （π）＝0，可知f （x ）在[0，π]上非负， 令h （x ）＝ax ， 作出图象，如图所示： 2007 年高考数学试题汇编 函数与导数 (07广东) 已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则= ?N M （ ） C. B. ） A A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要的条件 B （07江西） 设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为 A ．－ 51 B ．0 C ．5 1 D ．5 B. (07浙江) 设()?? ?<≥=1 , 1, 2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值 域是（ ） A.(][)+∞-∞-,11,Y B.(][)+∞-∞-,01,Y C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 C. B. A. (07湖南) 函数()? ? ?>+-≤-=1,341 ,442 x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 B. (07湖南) 设集合{ }6,5,4,3,2,1=M ，k S S S ,,,21Λ都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的 {} i i i b a S ,=、 {} j j j b a S ,=（ {} k j i j i ,,3,2,1,,Λ∈≠）都有 ?? ? ???????≠?????j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min ， （{}y x ,m in 表示两个数y x ,中的较小者） ，则k 的最大值是（ ） A.10 B.11 C.12 D.13 B. C. D B. (07山东) 设? ?? ??? -∈3,21, 1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 A. （07江西） 北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编 一、选择题： （5）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）设0x >，且1x x b a <<，则 （A ）01b a <<< （B ）01a b <<< （C ） 1b a << （D ） 1a b << 【答案】C 【解析】因为0x >，且1x x b a <<，所以1b a <<。 8．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点 ,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线： ① 3(03)y x x =-+≤≤； ② (0)y x =≤； ③ y = 其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C 【解析】对于①，3(03)y x x =-+≤≤的图像是一条线段，记为,BB '如图（1）所示，从 的图象是圆22 2x y +=在第二象限的部分，如图（2）所示，显然，无论点B 、C 在何处，△ABC 都不可能为正三角形，所以②不是Γ型曲线。 对于③，1 (0)y x x =- >表示双曲线在第四象限的一支，如图（3）所示，显然，存在点B,C ，使△ABC 为正三角形，所以③满足； 综上，Γ型曲线的个数为2，故选C. 7. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了 70% 1% x x ?-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的 2012年 21．（本小题满分12分） 已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥ 221)(，求b a )1(+的最大值． 2013年 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋ d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 2014年 21.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝1 ln x x be ae x x -+，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1 2015年 21．【2015新课标1】已知函数f （x ）=x 3 +ax+，g （x ）=﹣lnx （i ）当 a 为何值时，x 轴为曲线y=f （x ）的切线； （ii ）用min {m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h （x ）=min { f （x ），g （x ）}（x ＞0），讨论h （x ）零点的个数 2016年 （21）（本小题满分12分） 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x 2017年 21.（12分）已知函数f (x )＝ae 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论f (x )的单调性； （2）若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.导数的综合大题及其分类.
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