5.已知在△ABC 中,A ∶B ∶C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +c sin A -2sin B +sin C =________. 解析:∵A ∶B ∶C =1∶2∶3,∴A =30°,B =60°,C =90°. ∵a sin A =b sin B =c sin C =1 sin 30°=2,∴a =2sin A ,b =2sin B ,c =2sin C . ∴ a -2 b +c sin A -2sin B +sin C =2. ★答案★:2 6.已知b =10,c =56,C =60°,解三角形. 解:∵sin B = b sin C c =10·sin 60°56 =2 2, 且b =10,c =56,b 0,∴cos A =0,即A =π 2 ,∴△ABC 为直角三角形. ★答案★:直角三角形 8.在△ABC 中,a cos ????π2-A =b cos ????π 2-B ,判断△ABC 的形状. 解:法一:∵a cos ????π2-A =b ·cos ????π2-B , ∴a sin A =b sin B .由正弦定理,得a ·a 2R =b ·b 2R , ∴a 2=b 2,∴a =b , ∴△ABC 为等腰三角形. 法二:∵a cos ????π2-A =b cos ????π 2-B , ∴a sin A =b sin B . 由正弦定理,得2R sin 2A =2R sin 2B , 即sin A =sin B ,
新人教版初中数学中考几何的知识点大全
初中中考数学几何知识点大全 直线:没有端点,没有长度 射线:一个端点,另一端无限延长,没有长度 线段:两个端点,有长度 一、图形的认知 1、余角;补角:邻补角: 二、平行线知识点 1、对顶角性质:对顶角相等。注意:对顶角的判断 2、垂线、垂足。过一点有条直线与已知直线垂直 3、垂线段;垂线段长度==点到直线的距离 4、过直线外一点只有一条直线与已知直线平行 5、直线的两种关系:平行与相交(垂直是相交的一种特殊情况) 6、如果a∥b,a∥c,则b∥c 7、同位角、内错角、同旁内角的定义。注意从文字角度去解读。 8、两直线平行====同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 三、命题、定理 1、真命题;假命题。 4、定理:经过推理证实的,这样得到的真命题叫做定理。 四、平移 1、平移性质:平移之后的图形与原图形相比,对应边相等,对应角相等 五、平面直角坐标系知识点 1、平面直角坐标系: 2、象限:坐标轴上的点不属于任何象限 横坐标上的点坐标:(x,0)纵坐标上的点坐标:(0,y) 3、距离问题:点(x,y)距x轴的距离为y的绝对值,距y轴的距离为x的绝对值 坐标轴上两点间距离:点A(x1,0)点B(x2,0),则AB距离为x1-x2的绝对值 点A(0,y1)点B(0,y2),则AB距离为y1-y2的绝对值 4、角平分线:x=y x+y=0 5、若直线l与x轴平行,则直线l上的点纵坐标值相等 若直线l与y轴平行,则直线l上的点横坐标值相等 6、对称问题: 7、距离问题(选讲):坐标系上点(x,y)距原点距离为 坐标系中任意两点(x1,y1),(x2,y2)之间距离为 8、中点坐标(选讲):点A(x1,0)点B(x2,0),则AB中点坐标为 六、与三角形有关的线段 1、三角形分类:不等边;等腰;等边三角形
高中数学教案必修四:正弦定理
课 题 1.1.1 正弦定理 授课人 雷 娜 授课时间 5月 日 年 级 高 一 班 次 1321、1322 教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的 内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法: 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中, 边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到 一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感、态度、价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形 函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 内容分析 重 点: 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难 点: 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 关 键: 掌握正弦定理的内容并能够灵活应用 教学方法 探究式教学 教 学 过 程 一、课题导入: 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课探究 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === A B C B A C
高中立体几何常用结论、定理
立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1.公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.若A∈l,B∈l,A∈α,B∈α,则l?α. 2.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. P∈α,P∈α?α∩β=l,且P∈l. 3.公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面. 4.异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.(若a?α,A/∈α,B∈α,B/∈a,则直线AB和直线a是异面直线.) 5.公理4(空间平行线的传递性):平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.等角定理:如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.7.定理:如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线.若b∥c,a⊥b,则a⊥c. 8.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 若a?/α,b?α,a∥b,则a∥α. 9.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行. 若a∥α,a?β,α?β=b,则a∥b. 10.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,这条直线和这个平面垂直. 若m?α,n?α,m?n=O,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. 11.:若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也和这个平面垂直.若a∥b,a⊥α,则b⊥α. 12.直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行.若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 13.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 若a?α,b?α,a?b=A,a∥β,b∥β,则α∥β. 14.平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b. 15.定理:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.若α∥β,a⊥α,则a⊥β. 16.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 若l⊥α,l?β,则α⊥β. 17.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 若α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l,则a⊥β. 18.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
平面几何中几个重要定理的证明
1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在?ABC 内一点P ,该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点,则有 1AD BE CF DB EC FA ??=. 证明:运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==. 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -, 所以 APC BPC S AD DB S ??=.同理可得 APB APC S BE EC S ??=, BPC APB S CF FA S ??=. 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=. 注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”. 2.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理:在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ,且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点,若 1AD BE CF DB EC FA ??=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点. 证明:设直线AE 与直线BF 交于点P ,直线CP 交AB 于点D /,则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=. 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=,所以有 A B C D F P A B C D E F P D /
(推荐)高中数学二项式定理
二项式定理 【2011?新课标全国理,8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( ). A .-40 B .-20 C .20 D .40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理. (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数;展开式共有n +1项. 注意:(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1 时,系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中,第r+1项的二项式系数为r n C ,第
3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等( m n m n n C C- = ). 【方法技巧提炼】
(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小,可考虑把它展开得到多个;②观察()()a b c d ++是否可以合并;③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式,综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为( ) A .1 B .46 C .4245 D .4246
答案: D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .
答案: 632 例5 若对于任意实数x,有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ,则2 a的值为()
初中数学几何定理汇总
几何是初中数学中重要的一部分内容,考试时一般会出现在大题里。学习几何,需要证明,这时定理就很重要! 点的定理: 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 角的定理: 1、同角或等角的补角相等 2、同角或等角的余角相等 直线定理: 1、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 平行定理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 证明两直线平行定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行 两直线平行推论:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补 定理:三角形两边的和大于第三边
推论:三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 定理:全等三角形的对应边、对应角相等 边角边定理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角定理(ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边定理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边定理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 推论1: 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
人教版高中数学,正弦定理(一)
人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一) 课时目标 1.熟记正弦定理的内容; 2.能够初步运用正弦定理解斜三角形. 1.在△ABC 中,A +B +C =π,A 2+B 2+C 2=π2 . 2.在Rt △ABC 中,C =π2,则a c =sin_A ,b c =sin_B . 3.一般地,把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 4.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C ,这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若A ∶B ∶C =1∶2∶3,则 a ∶b ∶c 等于( ) A .1∶2∶3 B .2∶3∶4 C .3∶4∶5 D .1∶3∶2 答案 D 2.若△ABC 中,a =4,A =45°,B =60°,则边b 的值为( ) A.3+1 B .23+1 C .2 6 D .2+2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A =b sin B , 得4sin 45°=b sin 60° ,∴b =2 6. 3.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为( ) A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形 D .等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A =sin 2B +sin 2C ?(2R )2sin 2A =(2R )2sin 2B +(2R )2sin 2C ,即a 2=b 2+c 2,由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形. 4.在△ABC 中,若sin A >sin B ,则角A 与角B 的大小关系为( ) A .A > B B .A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5.在△ABC 中,A =60°,a =3,b =2,则B 等于( ) A .45°或135° B .60°
高一数学必修2空间几何部分公式定理大全
必修2空间几何部分公式定理总结 棱柱、棱锥、棱台的表面积 设圆柱的底面半径为,母线长为,则它的表面积等于圆柱的侧面积(矩形)加上底面积(两个圆),即 . 设圆锥的底面半径为,母线长为,则它的表面积等于圆锥的侧面积(扇形)加上底面积(圆形),即 . 设圆台的上、下底面半径分别为,,母线长为,则它的表面积等上、下底面的面积(大、小圆)加上侧面的面积(扇环),即 . 柱、锥、台的体积公式 柱体体积公式为:,(为底面积,为高) 锥体体积公式为:,(为底面积,为高) 台体体积公式为: (,分别为上、下底面面积,为高) 球的体积和表面积 球的体积公式 球的表面积公式
其中,为球的半径.显然,球的体积和表面积的大小只与半径有关. 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 空间两条直线的位置关系有且只有三种: 共面直线:相交直线(在同一平面内,有且只有一个公共点);平行直线(在同一平面内,没有公共点);异面直线:不同在任何一个平面内且没有公共点. 空间中直线与平面位置关系有且只有三种: 直线在平面内——有无数个公共点 直线与平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面平行——没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 两个平面的位置关系只有两种: 两个平面平行——没有公共点 两个平面相交——有一条公共直线 异面直线所成的角 已知两条异面直线,经过空间任一点作直线∥,∥,把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作. 异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线 是异面直线.
十大高中平面几何几何定理汇总及证明
高中平面几何定理汇总及证明 1.共边比例定理 有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M,则有以下比例式成立:△ PAB的面积:△ QAB的面积=PM:QM. 证明:分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证 S△PAB=(S△PAM-S△PMB) =(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB =(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线,面积比=底长比) 同理,S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB 所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线,面积比=底长比) 定理得证! 特殊情况:当PB∥AQ时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,则PB∥AQ。 2.正弦定理 在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R(r为外接圆半径,R为直径) 证明: 现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O。我们考虑∠C及其对边 AB。设AB长度为c。 若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c= 2r。 ∵(特殊角正弦函数值) ∴ 若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`交⊙O于C`,连接C'A, 显然BC'= 2r=R。 若∠C为锐角,则C'与C落于AB的同侧, 此时∠C'=∠C(同弧所对的圆周角相等) ∴在Rt△ABC'中有 若∠C为钝角,则C'与C落于AB的异侧,BC的对边为a,此时∠C'=∠A,亦可推出。 考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得 。
在△ABC中,D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点,连结AD, 则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。 证明: S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1) S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………(1.2) 由1.1式和1.2式得 BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) 4.张角定理 在△ABC中,D是BC上的一点,连结AD。那么∠∠∠。 证明: 设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD 由分角定理, S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5.帕普斯定理 直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F,设AE,BD交于G,AF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H共线。
初中数学几何公式定理大全
初中数学几何公式、定理大全 一、有关“线”的公式定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 二、有关“角”的公式定理 1、同位角相等,两直线平行 2、内错角相等,两直线平行 3、同旁内角互补,两直线平行 4、两直线平行,同位角相等 5、两直线平行,内错角相等
6、两直线平行,同旁内角互补 三、有关“三角形”的公式定理 1、定理三角形两边的和大于第三边 2、推论三角形两边的差小于第三边 3、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 4、推论1 直角三角形的两个锐角互余 5、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 6、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 7、全等三角形的对应边、对应角相等 8、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 9、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 10、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 11、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 12、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
13、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 14、定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 15、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 四、有关“等腰三角形”的公式定理 1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 2、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 4、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 5、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 6、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 7、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 8、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 9、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 10、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
(完整版)高中立体几何八大定理
l m β α α b a 线面位置关系的八大定理 一、直线与平面平行的判定定理: 文字语言:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行 图形语言: 符号语言: //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用:线线平行?线面平行 二、直线与平面平行的性质定理: 文字语言:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行。 图形语言: 符号语言://l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用:线面平行?线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 图形语言: 符号语言: //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用:线线平行? 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行
n m A α a α b a B A l β αa β α五、直线与平面垂直的判定定理: 文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面 图形语言: 符号语言: ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 作用:线线垂直?线面垂直 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行 图形语言: 符号语言: //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用:线面垂直?线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。 图形语言: 符号表示:a a ααββ⊥? ?⊥??? 注:线面垂直?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一 个平面 图形语言: 符号语言:l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? I 作用:面面垂直?线面垂直
立体几何定理大全
立体几何公式大全 基本概念 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面:平行、相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行
也不相交。 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系:直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直
初中数学几何定理大全
初中数学公理和定理 一、公理(不需证明) 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) 5、三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理:两点之间,线段最短。 8、直线公理:过两点有且只有一条直线。 9、平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行 10、垂直性质:经过直线外或直线上一点,有且只有一条 直线与已知直线垂直 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类: 一、直线与角 1、两点之间,线段最短。 2、经过两点有一条直线,并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定: (1)同位角相等,两直线平行; (2)内错角相等,两直线平行; (3)同旁内角互补,两直线平行; (4)垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. (5)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行 10、平行线的性质: (1)两直线平行,同位角相等。 (2)两直线平行,内错角相等。 (3)两直线平行,同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化(轴对称、平称、旋转) 11、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 15、轴对称的性质: (1)如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. (2)对应线段相等、对应角相等。 16、平移:经过平移,图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离,平移后,新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变,即它们是全等图形。即对应线段平行且相等,对应角相等,对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称: (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度(2)对应点到旋转中心的距离相等; (3)对应线段相等、对应角相等 18、中心对称: (1)具有旋转对称的所有性质: (2)中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对 称中心平分 四、三角形: (一)一般性质 19、三角形内角和定理:三角形的内角和等于180° 20、三角形外角的性质: ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角; ③三角形的外角和等于360° 21、三边关系: (1)两边之和大于第三边; (2)两边之差小于第三边 22、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 23、三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心),这点 到三个顶点的距离(外接圆半径)相等。 24、三角形的三条角平分线交于一点(内心),这点到三 边的距离(内切圆半径)相等。 (二)特殊性质: 25、等腰三角形、等边三角形 (1)等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的 边也相等.(简写成“等角对等边”) (3)“三线合一”定理:等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线和底边上的高互相重合 (4)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等 于60°. (5)三个角都相等的三角形是等边三角形。 (6)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 26、直角三角形: (1)直角三角形的两个锐角互余; (2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方; (3)勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形. (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (5)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所 对的直角边等于斜边的一半. (6)三角形一边的中线等于这边的一半,这个三角形是直 角三角形。 五、四边形 27、多边形中的有关公理、定理: (1)四边形的内角和为360° (2)N边形的内角和:( n-2)×180°. (3)任意多边形的外角和都为360° 28、平行四边形的性质: (1)平行四边形的对边平行且相等; (2)平行四边形的对角相等; (3)平行四边形的对角线互相平分。
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据锐角三角函数的定义,有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此,得 sin sin a b A B = ,同理可得 sin sin c b C B = , 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高,交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义,有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。由此,得 = ∠sin sin a b A ABC ,同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知,在?ABC 中, sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC =a, CA =b,AB =c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
初中数学几何公式大全
初中数学几何公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 错角相等,两直线平行 11 同旁角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,错角相等 14 两直线平行,同旁角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合