第三讲推理与证明
(1)归纳推理的一般步骤:
①通过观察某些个别情况发现某些相同性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
(2)类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
(3)综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,要求逐步推理,实际
上是寻找它的必要条件.
(4)分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,即从要证明的结论出
发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,即把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止.
(5)适合用反证法证明的四类数学命题:
①唯一性命题;
②结论涉及“至多”“至少”“无限”的命题;
③否定性命题;
④直接证明较繁琐或困难的命题.
(6)数学归纳法
数学归纳法证明的步骤
①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立;
②假设n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论成立,证明n=k+1时结论也成立.
由①②可知,对任意n≥n0,且n∈N*时,结论都成立.
1.(2013·福建)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:
(1)T
={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1 B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0 C.A={x|0 D .A =Z ,B =Q 答案 D 解析 对于A ,取f (x )=x +1,满足题意. 对于B ,取f (x )=???? ? -8,x =-1,x +1,-1 x 2+1,0≤x ≤3, 对于C ,取f (x )=tan[π(x -1 2)],满足题意. 排除法,选D. 2. (2013·陕西)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 …… 照此规律,第n 个等式可为________. 答案 12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n +1·n (n +1) 2 解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第n 个等式左边有n 项,指数都是2,且正、负相间,所以等式左边的通项为(-1)n + 1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间, 其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,….设此数列为{a n },则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5,…,a n -a n -1=n ,各式相加得a n -a 1=2+3+4+…+n ,即a n =1+2 +3+…+n =n (n +1)2 .所以第n 个等式为12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n + 1n (n +1)2. 3. (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第n 个三角形数为n (n +1)2=12n 2+1 2 n ,记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3), 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式: 三角形数 N (n,3)=12n 2+1 2n , 正方形数 N (n,4)=n 2, 五边形数 N (n,5)=32n 2-1 2n , 六边形数 N (n,6)=2n 2-n ……………………………………… 可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)=___________. 答案 1 000 解析 由N (n,4)=n 2,N (n,6)=2n 2-n ,可以推测:当k 为偶数时,N (n ,k )=k -22n 2+ 4-k 2n , ∴N (10,24)=24-22×100+4-24 2×10 =1 100-100=1 000. 4.(2012·陕西)观察下列不等式: 1+122<32, 1+122+132<53, 1+122+132+142<74, …… 照此规律,第五个... 不等式为________. 答案 1+122+132+142+152+162<11 6 解析 归纳观察法. 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等,且每行右端分数的分子构成等差数列. ∴第五个不等式为1+122+132+142+152+162<11 6 . 5.(2013·福建)当x ∈R ,|x |<1时,有如下表达式: 1+x +x 2+…+x n +…=1 1-x . 两边同时积分得:?1201d x +?120x d x +?120x 2d x +…+?120x n d x +…=?1201 1-x d x , 从而得到如下等式: 1×12+12×(12)2+13×(12)3+…+1n +1×(12)n +1+…=ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算: C 0 n ×12+12C 1n ×(12)2+13C 2n ×(12)3+…+1n +1C n n ×(12 )n +1=________. 答案 1n +1[(32 )n +1 -1] 解析 设f (x )=C 0n x +12C 1n x 2+13C 2n x 3+…+1n +1C n n x n +1 , ∴f ′(x )=C 0n +C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n =(1+x )n . ∴f ????12=?120(1+x )n d x = ??1n +1(1+x )n +112 0 =1n +1????1+12n +1-1n +1(1+0)n +1 =1n +1??????? ?32n +1-1, 即C 0n ×12+12C 1n ×????122+13C 2n ×????123+…+1n +1C n n ×????12n +1=1n +1??????? ?32n +1-1. 题型一 合情推理 例1 (1)设数列{a n }是首项为0的递增数列,n ∈N *,f n (x )=??? ?sin 1 n (x -a n ),x ∈[a n ,a n +1],满足:对于任意的b ∈[0,1),f n (x )=b 总有两个不同的根,则{a n }的通项公式为_______. (2)若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)外,则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1,P 2, 则切点弦P 1P 2所在直线方程是x 0x a 2+y 0y b 2=1.那么对于双曲线则有如下命题:若P 0(x 0,y 0) 在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)外,则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1,P 2,则切点 弦P 1P 2所在的直线方程是________. 审题破题 (1)先求数列{a n }的前几项,归纳项的规律,作出猜想;(2)双曲线和椭圆方程相比,形式类似,只要注意到椭圆的切线方程中x 2,y 2分别换成了x 0x ,y 0y 即可. 答案 (1)a n =n (n -1)π2 (2)x 0x a 2-y 0y b 2=1 解析 (1)∵a 1=0,当n =1时,f 1(x )=|sin(x -a 1)|=|sin x |, x ∈[0,a 2],又∵对任意的b ∈[0,1),f 1(x )=b 总有两个不同的根,∴a 2=π; f 2(x )=????sin 12(x -a 2)=????sin 1 2(x -π) =? ???cos x 2,x ∈[π,a 3], ∵对任意的b ∈[0,1),f 2(x )=b 总有两个不同的根, ∴a 3=3π;f 3(x )=??? ?sin 1 3(x -a 3) =????sin 13(x -3π)=????sin 1 3x ,x ∈[3π,a 4], ∵对任意的b ∈[0,1),f 3(x )=b 总有两个不同的根, ∴a 4=6π. 由此可得a n +1-a n =n π,∴a n =n (n -1)π2 . (2)对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1,切点弦P 1P 2所在直线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1,x 2→xx 0,y 2→yy 0.类比, 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的切点弦P 1P 2所在直线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1. 反思归纳 应用合情推理应注意的问题: (1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质. 注意:归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性. 变式训练1 (1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2,则三 角形面积之比 2 211N OM N OM S S ??= OM 1OM 2·ON 1 ON 2 .如图,若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2,点Q 1、Q 2和点R 1、R 2,则类似的结论为________. 答案 2 22111R Q P O R Q P O V V --=OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1 OR 2 解析 考查类比推理问题,由图看出三棱锥P 1-OR 1Q 1及三棱锥P 2-OR 2Q 2的底面面积 之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2,又过顶点分别向底面作垂线,得到高的比为OP 1 OP 2 ,故体积之比为 2 22111R Q P O R Q P O V V --= OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1 OR 2 . (2)已知命题:若数列{a n }为等差数列,且a m =a ,a n =b (m ≠n ,m 、n ∈N *),则a m +n =bn -am n -m ;现已知等比数列{b n } (b ≠0,n ∈N *),b m =a ,b n =b (m ≠n ,m 、n ∈N *),若类比上述结论,则可得到b m +n =__________. 答案 n -m b n a m 解析 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ,等差数列中的bn -am 可以类比等比数列中的b n a m ,等差数列中的bn -am n -m 可以类比等比数列中的 n -m b n a m , 故b m +n = n -m b n a m . 题型二 直接证明与间接证明 例2 设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +1=a n +1S n (n ∈N *). (1)若a 1,S 2,-2a 2成等比数列,求S 2和a 3; (2)求证:对k ≥3有0≤a k +1≤a k ≤4 3 . 审题破题 (1)根据S 22=-2a 1a 2及S 2=a 2a 1从方程的角度求出S 2.再由S 3=a 3S 2=S 2+a 3,求出a 3. (2)根据S n +1=a n +1S n (n ∈N *)的关系,寻找a n +1与a n 的递推关系,再用不等式放缩法、分析法、反证法的思想方法求解. (1)解 由题意????? S 22=-2a 1a 2,S 2=a 2S 1=a 1a 2 ,得S 2 2=-2S 2, 由S 2是等比中项知S 2≠0.因此S 2=-2. 由S 2+a 3=S 3=a 3S 2解得a 3= S 2S 2-1=-2-2-1=23 . (2)证明 由题设条件有S n +a n +1=a n +1S n , 故S n ≠1,a n +1≠1且a n +1=S n S n -1,S n =a n +1a n +1-1, 从而对k ≥3有 a k =S k -1S k -1-1=a k -1+S k -2 a k -1+S k -2-1 =a k -1+ a k -1 a k -1-1a k -1+a k -1a k -1-1 -1 =a 2k -1 a 2k -1-a k -1+1 . ① 因a 2k -1-a k -1+1=????a k -1-122+34>0且a 2k -1≥0, 由①得a k ≥0. 要证a k ≤43,由①只要证a 2k -1 a 2k -1-a k -1+1≤43 , 即证3a 2k -1≤4(a 2 k -1-a k -1+1), 即(a k -1-2)2≥0,此式明显成立.因此a k ≤4 3(k ≥3). 最后证a k +1≤a k ,若不然a k +1=a 2k a 2k -a k +1>a k , 又因a k ≥0,故a k a 2k -a k +1>1,即(a k -1)2<0.矛盾. 因此a k +1≤a k (k ≥3). 综上,当k ≥3时有0≤a k +1≤a k ≤4 3 . 反思归纳 综合法与分析法是直接证明中的“姊妹证明”方法.通常情况下,运用分析法,由果索因,找到一个正确的结论或已知条件,然后运用综合法正确推理书写.在进行立体几何证明中,我们常从结论出发寻找问题的突破口,但在逆推时也可能碰到障碍,这时再从已知出发顺推找寻中间细节,问题即可得以解决.当然,若所证命题从正面难以入手时,不妨使用反证法. 变式训练2 (2013·陕西)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式; (2)设q ≠1,证明:数列{a n +1}不是等比数列. (1)解 设{a n }的前n 项和为S n , 当q =1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1; 当q ≠1时,S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n - 1. ① qS n =a 1q +a 1q 2+a 1q 3+…+a 1q n , ② ①-②得,(1-q )S n =a 1-a 1q n , ∴S n =a 1(1-q n )1-q , ∴S n =????? na 1 ,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1. (2)证明 假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *, (a k +1+1)2=(a k +1)(a k +2+1), a 2k +1+2a k +1+1=a k a k +2+a k +a k +2+1, a 21q 2k +2a 1q k =a 1q k - 1 ·a 1q k + 1+a 1q k - 1+a 1q k + 1, ∵a 1≠0,∴2q k =q k - 1+q k + 1. ∵q ≠0,∴q 2-2q +1=0, ∴q =1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{a n +1}不是等比数列. 题型三 数学归纳法 例3 已知数列{a n }满足关系式a n +1=n a n +2,n ∈N *,且a 1=2. (1)求a 2,a 3,a 4; (2)求证:n +1≤a n (3)求证:n +1-1<1a 1+1a 2+…+1 a n <2(n +3-3). 审题破题 (1)根据递推式和初始值求解即可;(2)根据已知的递推式a n +1=n a n +2,使用 数学归纳法进行证明;(3)根据(2)的结果进行证明. (1)解 由题意,知a 2=52,a 3=145,a 4=43 14. (2)证明 由a n +1=n a n +2及a 1=2,知a n >0. 下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,a 1=2满足1+1≤a 1<1+1+1,成立. ②假设当n =k (k ∈N *)时,k +1≤a k 则当n =k +1时,a k +1=k a k +2>k k +1+1+2=k +1+1. a k +1=k a k +2≤k k +1 +2. 下面用分析法证明:k k +1 +2 欲证k k +1+2 只需证k +k +1<(k +1)k +2, 只需证(k +k +1)2<[(k +1)k +2]2, 只需证2k +1>0,此式显然成立. 所以k k +1 +2 从而a k +1=k a k +2≤k k +1 +2 由①②可知,对一切k ∈N *,n +1≤a n (3)证明 由(2)知1n +1+1<1a n ≤1 n +1, 而1n +1+1≥1n +1+n =n +1-n , 1n +1=2(n +1)+(n +1)<2 n +3+n +2 =2(n +3-n +2), 所以n +1-n <1 a n <2(n +3-n +2), 所以(2-1)+…+(n +1-n )<1a 1+1a 2+…+1 a n <2(4-3)+…+2(n +3-n +2), 所以n +1-1<1a 1+1a 2+…+1 a n <2(n +3-3). 反思归纳 在递推数列问题中,如果给出的是形如a n +1=f (a n )的递推式,则可以考虑用数学归纳法进行证明,这是因为在设出a k 满足的结论后,可以根据a n +1=f (a n )得到a k +1满足的结论.在使用数学归纳法证明问题时,在归纳假设后,归纳假设就是证明n =k +1时的已知条件,把归纳假设当已知条件证明后续结论时,可以使用综合法、分析法、反证法,也可以再次使用数学归纳法. 变式训练3 已知f (n )=1+123+133+143+…+1n 3,g (n )=32-1 2n 2,n ∈N *. (1)当n =1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小关系; (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明. 解 (1)当n =1时,f (1)=1,g (1)=1,所以f (1)=g (1); 当n =2时,f (2)=98,g (2)=11 8,所以f (2) 当n =3时,f (3)=251216,g (3)=312 216,所以f (3) (2)由(1),猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明: ①当n =1,2,3时,不等式显然成立. ②假设当n =k (k ≥3,k ∈N *)时,不等式成立, 即1+123+133+143+…+1k 3<32-12k 2, 那么,当n =k +1时,f (k +1)=f (k )+1(k +1)3<32-12k 2+1 (k +1)3 , 因为12(k +1)2-? ???12k 2-1(k +1)3=k +32(k +1)3-12k 2=-3k -12(k +1)3k 2<0, 所以f (k +1)<32-1 2(k +1)2=g (k +1). ∴当n =k +1时f (n )≤g (n )成立. 由①②可知对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立. 典例 (1)(2012·江西)观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5 =11,…,则a 10+b 10等于 ( ) A .28 B .76 C .123 D .199 解析 观察规律,归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a 10+b 10=123. 答案 C (2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,利用倒序求和的方法,可将S n 表示成首项a 1、末项 a n 与项数n 的一个关系式,即公式S n =n (a 1+a n ) 2;类似地,记等比数列{b n }的前n 项积 为T n ,且b n >0 (n ∈N *),试类比等差数列求和的方法,可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式,即公式T n =________. 解析 利用等比数列的性质:若m +n =p +q ,则b m ·b n =b p ·b q ,利用倒序求积方法有 ? ???? T n =b 1b 2·…·b n ,T n =b n b n -1·…·b 1,两式相乘得T 2n =(b 1b n )n ,即T n =(b 1b n ) . 答案 (b 1b n ) 得分技巧 合情推理的关键是寻求规律,明确已知结论的性质或特征.高考中此类问题的指向性很强,要得到正确结论的归纳或类比. 阅卷老师提醒 (1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质. (3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性. 1. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2a n (n ≥2),而a 1=1,通过计算a 2,a 3,a 4,猜想a n 等于 ( ) A.2(n +1)2 B.2n (n +1) C.2 2n -1 D.22n -1 答案 B 解析 a n =S n -S n -1=n 2a n -(n -1)2a n -1, n 2 n 2 ∴(n -1)2a n -1=(n -1)(n +1)a n .∴a n =n -1 n +1a n -1 . 由a 1=1知:a 2=13,a 3=1 6. ∴猜想a n =2 n (n +1) ,故选B. 2. 下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通 项公式为 ( ) A .a n =3n - 1 B .a n =3n C .a n =3n -2n D .a n =3n - 1+2n -3 答案 A 解析 a 1=1,a 2=3,a 3=9,a 4=27,故猜a n =3n - 1. 3. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 ( ) A .设数列{a n }的前n 项和为S n ,由a n =2n -1,求出S 1=12,S 2=22,S 3=32,…,推 断:S n =n 2 B .由f (x )=x cos x 满足f (-x )=-f (x )对?x ∈R 都成立,推断:f (x )=x cos x 为奇函数 C .由圆x 2+y 2=r 2的面积S =πr 2 ,推断:椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的面积S =πab D .由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推断:对一切n ∈N *,(n +1)2>2n 答案 A 解析 注意到,选项A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{a n }是等差数列, 其前n 项和等于S n =n (1+2n -1)2=n 2 ,选项D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.因 此选A. 4. 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2S a + b +c ; 类比这个结论可知:四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,内切球的半径为R ,四面体P —ABC 的体积为V ,则R 等于 ( ) A.V S 1+S 2+S 3+S 4 B.2V S 1+S 2+S 3+S 4 C.3V S 1+S 2+S 3+S 4 D.4V S 1+S 2+S 3+S 4 答案 C 解析 本题考查类比推理,用体积分割的方法,可以得出 R =3V S 1+S 2+S 3+S 4 . 5. 观察等式:11×2+12×3=23,11×2+12×3+13×4=34,11×2+12×3+13×4+14×5=4 5 ,根据 以上规律,第四个等式为________. 答案 11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=56 6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以 上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,________,________,T 16 T 12 成等比数列. 答案 T 8T 4 T 12 T 8 解析 等差数列类比于等比数列,和类比于积,减法类比于除法,可得类比结论为:设 等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,T 8T 4,T 12T 8,T 16 T 12 成等比数列. 专题限时规范训练 一、选择题 1. 观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 014的末两位数字为 ( ) A .01 B .43 C .07 D .49 答案 D 解析 因为71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,…,所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期T =4.又因为2 014=4×503+2,所以72 014的末两位数字与72的末两位数字相同,故选D. 2. 定义一种运算“*”:对于自然数n 满足以下运算性质:(ⅰ)1*1=1,(ⅱ)(n +1)*1=n *1+1, 则n *1等于 ( ) A .n B .n +1 C .n -1 D .n 2 答案 A 解析 由(n +1)*1=n *1+1,得n *1=(n -1)*1+1=(n -2)*1+2= (1) 3. 定义A *B ,B *C ,C *D ,D *A 的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4),那么下图中的(A)(B) 所对应的运算结果可能是 ( ) A . B *D ,A *D B .B *D ,A * C C .B *C ,A *D D .C *D ,A *D 答案 B 解析 由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|,B 表示□,C 表示—,D 表示○,故图(A)(B)表示B *D 和A *C . 4. 已知数列:11,21,12,31,22,13,41,32,23,1 4 ,…,依它的前10项的规律,这个数列的第 2 013项a 2 013满足 ( )