第三讲 积分和简单的微分方程
1 对于保守力有p dE F dx
=-
，势能极值点就是受力平衡点
2 小量展开能将复杂的表达式简化，用多项式逼近任意函数。重要的公式：
当1x <<时 2
(1)(1)1 (2)
n n n x nx x -+=++
+ 3 常见的求导公式
1[]'n n x nx -=；[]'x x e e =；[sin ]'cos x x =；[cos ]'sin x x -=；1[ln ]'x x
=
积分是变量累计的基本方法。掌握积分之后一方面可以用更为简明的办法处理部分竞赛题，另一方面为同学们自学各种高级课程扫平了障碍。
物理方程常常同时包括某个物理量和这个物理量的导数，这样的方程就叫微分方程。掌握微分方程之后，对于许多问题便可以跳出具体的已知量、未知量的限制，从物理本质的角度，讨论问题的可解性，归纳多题一解的方法。
第一部分 单元函数积分
知识点睛
引入：物理公式分类 物理公式分成：状态方程（初中常见，例如牛二，万有引力）和过程方程（例如动能定理，动量定理）。判定以下方程是状态方程还是过程方程：m V ρ=；F ma =；x vt = 看下面两组方程 U
I R
=；U IR =
q
I t
=
；q It = 前一组是状态的方程。后一组是过程的方程。当电流是常数的时候，两个式子都是对的。然后电流是变化的时候，前一组方程还成立，后一组得到的就不是电流了，而是电流的平均值。如果还要求结果是瞬时的电流，必须把第二组第一个变成求导数，后一个方程就把乘积变成了对瞬时的电流*时间再求和，也就是我们今天要学的积分。 先看两个例子：
上讲回顾
本讲目标
知识模块
一 变速直线运动的路程。
我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是v ，则它a t 到0t -段时间间隔内走过的路
程是()b a s v t t =-
对于变速直线运动来说，物体的速率v 是时间的函数：()v v t =，函数的图形是一条曲线（见图()a ），只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线（参见图()b ）。对于变速直线运动，()b a s v t t =-式已不适用。但是，我们可以把a t t =到b t t =这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到a t 到b t 这段时间里走过的总路程。
设时间间隔()b a t t -被()1a t t t ==、2t 、3t 、…、n t 、b t 分割成n 小段，每小段时间间隔都是t ?，则在1t 、2t 、3t 、…、n t 各时刻速率分别是()1v t 、()2v t 、()3v t 、…、()n v t 。如果我们把各小段时间的速率钞看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分别等于()1v t t ?、()2v t t ?、()3v t t ?、…、()n v t t ?。于是，在整个()b a t t -这段时间里的总路程是
()()()()123n s v t t v t t v t t v t t =?+?+?+
?
()1
n
i i v t t ==?∑
现在我们来看看上式的几何意义。在函数()v v t =的图形中，通过1t t =、2t 、3t 、n t 各点垂线的高度分别是()1v t 、()2v t 、()3v t 、…、()n v t （见图()b ），所以()1v t t ?、()2v t t ?、()3v t t ?、()n v t t ?就分别是图中那些狭长矩形的面积，而()1n
i i v t t =?∑则是所有这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状
图形的面积。
二 变力做功 当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置a s s =移到b s s =的过中，恒力F 对它所作的功为 ()b a A F s s =-。
如果力F 是随位置变化的，即F 是s 的函数：()F F s =，则不能运用式来计算力F 的功了。这时，我们也需要像计算变速运动的路程那样，把()b a s s -这段距离分割成n 个长度为s ?的小段（见图），并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程s ?上的功，然后加起来取n →∞、0s ?→的极限值。具体地说，设力F 在各小段路程内的数值分别为()1F s 、()2F s 、()3F s 、…、()n F s 。则在各小段路程上力F 所作的功分别为()1F s s ?、()2F s s ?、()3F s s ?、()n F s s ?。
在()b a s s -整段路程上力F 的总功A 就近似地等于()1
n
i i F s s -?∑，因为实际上在每小段路程上力F 都是
变化的，所以严格地计算，还应取n →∞、0s ?→的极限值，即()01
lim n
i s i n A F s s ?→=→∞=?∑。
同上例，这极限值应是()b a s s -区间内()F s 下面的面积（见图）。
我们把计算函数与横轴圈出的面积的极限定义为定积分:
()0
1
()lim b
a
n
s i s s i n F s ds F s s ?→=→∞=?∑?
我们把算面积的起点和终点,a b S S 叫做积分的下限和上限。 每次都通过极限计算定积分是不现实的。如果一个函数满足()
()dF x f x dx
=，叫()f x 是()F x 的导函数，()F x 叫()f x 的原函数。我们不加证明的给出：
()()()b
a
f x F b F a =-?
。这就是著名的牛顿
-莱布尼兹公式。我们只做简单的说明：当积分上限增加x ?的时候，面积增加()f x x ?，可见积分结果随着积分上限的变化率为()f x 。我们定义下限大于上限的丁积分为圈出的面积的负值，这样定义就能保持牛顿-莱布尼兹公式依旧成立。
从导函数求原函数的过程叫做不定积分。由于常数求导数等于0，一个导函数对应着不只一个原函数，相差一个常数，经常记做C 。定积分是针对一个函数取上下限计算面积，结果是一个数。不定积分是求导数的逆运算，结果是一群相差常数的函数。二者通过牛顿-莱布尼兹公式联系起来。通常是通过计算不定积分，代入公式求得定积分。通过基本求导公式可以计算基本不定积分。
【例1】 求以下不定积分
adx ?;;(1)n x dx n ≠-?；2(31);(1)x dx n +≠-?；sin xdx ?；1dx x ?； x
e dx ?；
[解析] 略
积分实际上就是猜原函数的过程。四则元算有章可循，求导数有法可依，积分过程基本靠猜。某
些大神们积分基本不动笔，目测答案…当然猜也有猜的方向。利用换元法可以处理更多的积分。换元
的基本想法就是把被积的函数变成基本积分。
如果对函数积分
(())f g x dx ?，f 是一个我们会积分的函数，令()u g x =，反解出 1
()x g u -=，
1
()g u -是反函数。则原来的积分变成11
(())()()()[()]'f g x dx f u dg x f u g u du --==???，如果
1[()]'g u -非常简单，那么函数就可以积分了。注意：使用换元法计算定积分的时候，积分上下限也要
跟着进行变化。
【例2】 求以下积分
0()b
a
v gt dt +?
;sin()b
a
kx dx ?+?；22
1()
a
a
dx a x +?；12
01x dx -?(提示令cos x θ=) [答案]
22
001()()()2b
a
v gt dt v b a g b a +=-+-?
1sin()(cos()cos())b a
kx dx kb ka k
???+=-+++?
/2
1cos 1(sin sin 0)2444d πθππ
θπ-2==--=?
由此可以计算圆的面积
/* 段子 物理学家于水管工
在欧美水管工（当前北京市里的木工）是一个高级工种。一个没落的物理学家的收入尚不如一位高级水管工（高级木工）。某天一个物理学家的水管坏了，请了水管工来修。水管工花了一个小时，收费居然有100美元。（某天物理学家请木匠打了一个柜子，发前木匠月薪两万）物理学家就出离愤怒了:小样，我读的书比你见过的字都多，工资居然是我的两三倍。于是第二天物理学家就辞职了，去了物业公司（家政公司）。凭着其超强的模型理解能力和长年累月积淀的忽悠能力迅速的获得了职位，从此过上了没有积分公式的快乐生活。好景不长，公司决定成立夜校，提高水管工们（木匠们）的文化知识。公司请了一个小学奥数老师，让物理学家上黑板默写园的面积公式。他就上去了。发现忘记公式。于是开始积分现推。推呀推呀就发现圆面积成了2R π-。这时候工友递上来一张纸条“唉呀妈呀，老哥你是学物理地吧，积分上下限整拧了吧” 这个故事告诉我们三件事： 1 物理学好了啥都能做 2 摆平心态，实用性工作也是值得尊敬的工作 3 积分上下限要弄对（这个段子要讲好关键在于抖包袱，让学生看出来那个管道工也是学物理的，学物理的是无处不在的弱势群体！）*/
【例3】 求以下不定积分 (自学)
2
x
xe dx ?；422
x
dx x x +-?
；tan d θθ?；
[解析] 1、换元2
x u =；222211112222
x x u u x xe dx e dx e du e C e C ===+=+???
2、换元把2x 当自变量，下面因式分解
22
22222211111()(ln(1)ln(2))2(1)(2)6126
dx dx x x C x x x x =--=-+--++-+-??
3、换元把cos θ当作自变量。
cos tan ln cos cos d d C θ
θθθθ
-==-+??
【例4】 计算下面函数围出的面积(自学)
1、0y =与21y x =-；
2、y x =与23y x x =--
[答案]
1、1
21
1S x dx -=
-?
；令sin x u =，得到：
22222
22
2
cos 211cos sin sin 22422u u S ud u du u π
πππ
ππ
πππ
-
---+===+=??
竖线的意义代表竖线左边的函数在取竖线右边上面值减去取下方值结果只差：
()()()b
a f x f
b f a =-
2、3
3
32
3
3
2
111
1
2(23)2
3103
23x x x x dx x -------=-
++=?
【思路总结】物理量之间的关系出了可以有简单的初等运算关系，例如p mv =。还有一类物理量是通过一个物理量随着另一个物理量的变化定义的，例如
d p F dt =
；d r v dt =；dv
a dt
=；
从上面的讨论可以看出积分可以看为是求导数的逆运算。通过积分运算就可以从()a t 计算()v t ，从()v t 计算()s t ，从()F s 计算()W s 。
【例5】 1、推导运加速直线运动的运动方程。
2、某用电器流过电流随时间变化关系为：()I t t α=。求流过用电器电量随时间的关系。
3、管道里分布着大量的微小的豆子，单位长度上豆子的数目与到原点距离的关系为
()n x x α=。怪物从0x =的位置开始向右吃豆子。问怪物走到x a =的地方共吃了多少豆子。
【例6】 例题 给定以下受力情况下，用外力缓慢的将物体从a 到拉到b ，求外力做的功。
1、 弹簧：()F x kx =-；
2、 万有引力：2
()GMm
F x x =-
； 3、点电荷q 受到单位长度带电为λ的长直导线给的电场力：
0()2q
F x x
λπε=-
；（除x 外都是常数）
4、圆柱形气缸内一端封闭，一端加有光滑的轻质导热活塞。初始状态体积为0V ，压强为0p ，保
持温度恒定，将体积压缩到V ，求外力做功。 [解析]略
【例7】 一个平方的光滑的半径为R 圆柱上搭了一条均匀的质量为m 的链条，长度为
2
R π
。用外力F
拉着链条使得链条静止在如图的位置。求外力大小。
[解析] 设角度为θ的地方，绳子张力大小。对着θ到d θθ+的角度内的链条，写出切向的受力方程： ()()cos F d F dm g θθθθ+-=?
其中/2/2
dl d dm m m R θ
ππ==，所以：
()()cos /2
d F d F mg θ
θθθθπ+-=
于是/20
cos /2/2
d mg F mg πθθππ==? /* 可以考虑复习虚功原理*/ 【点评】
实际物理过程中谁是积分变量，谁是被积分函数常常不是那么明显。这是后需要先写出一个状态的方程。状态方程总是最基本，最直接的物理定理。（重剑无锋，大巧不工。最简单的方程能解决最多的问题）
例如：对于静力学就是静力平衡，对动力学就是牛顿定理。然后选取一个合适的变量，将所有其他变量都换到这个变量的函数，写出积分式。
第二部分 简单的微分方程
知识点睛
物理规律经常同时包括某个物理量和其导数。这样的方程不同于一般的代数方程，不能通过初等运算直接的到物理量的关系。这样的方程叫做微分方程。我们不系统的介绍微分方程的理论，只是告诉大家一般的解法
【例8】 一个质量为m 的质点沿直线运动，受到与速度大小成正比的阻力f kv =-。初始时刻位于坐
标轴0点，初速度为0v 。求t 时刻物体的位置和速度。
[解析] 动力学问题，先写出牛顿定律： ma kv =-
因为考虑的是,v t 的关系，所以全部写成,v t 描述的变量：
F
θ
dv
m
kv dt
=- 由于导数就是由除法极限定义的，所以,dv dt 可以像,v t ??一样在等号两边乘除
kv dv dt m
=-
然后把,v t 分别放在等号两端： d v k dt v m
=-
两边同时做定积分，注意积分上下限要对应相等：
()
v T T
v dv k dt v m =-?
?
/*写习惯了之后就容易写
00
v
t
v dv k dt v m =-??，当然有0ln v k t v m
=- 。不过这么写把积分上限和积分变量用相同字母标示，容易把初学者逼疯。 */
0()ln v T k
T v m
=-，整理得到0()k
t m v t v e -= 再做定积分：
00
()(1)
k
k t t
m
m
v m x t v e
d e k
ττ--=
=-? [变化] 如果只问位移为x 时候速度为多少，可以这么干：
dv
m
kv dt
=-，由于只问x 与v 的关系，所以变量都换成x 与v 。 变为mdv kvdt =-，mdv kdx =-；两边积分的得到 0
()
v X X
v m dv k dx =-?
?，得到0(())(0)m v x v k x -=--
解得：0()/v x v kx m =-
[点评] 后一种题型是竞赛中可能出现的情景。为此各类竞赛书给出了各种解法，并冠以各种名称。我们希望还原其物理本质，将类此问题给出统一解法。
【思路总结】从上面的问题我们可以总微分方程的一般解法。 1. 首先根据具体问题，写出物理规律对应的方程。 2. 根据要求选取适当的自变量。
3. 然后把整个方程写成应变量与自变量的微分的形式。
4. 然后分离变量，使得等号的同侧只含有共一种变量。
5. 最后带入起止条件做积分，得到结果。
6. 解微分方程本质是通过物理量在特定状态下的关系，推演出其在一个过程中的变化规律。
【例9】 证明一维运动的微分形式的动能定理
k dE Fdx =
[解析] 写出牛顿第二定律ma F =
a 和目标的式子太遥远，换成dv a dt
=
dv
m
F dt
= dt 和目标式子太遥远，换成dx dt v =
： dx mdv F v
= 左边的dv 在召唤所有和v 有关的量。
mvdv Fdx = 换元的到：
21
()2
d mv Fdx =，就是微分形式的动能定理，积分得到动能定理。 【点评】 牛顿定律是对某个状态写的，动能定理是对过程写的。微分方程能把状态的方程推演到过程方程 【例10】 一根质量为m ，长度为l 的均匀细杆，一段固定但可以自由转动，另一端受到大小为F ，垂
直与杆身的力，不考虑其他力，请计算此杆在此力作用下的运动规律（提示：杆会匀加速转动，角加速度α与线加速度a 关系为：a=rα，r 为圆周运动半径）。
【解析】对距离固定点，设其受外力dF ,由牛顿第二定律：
αr dr l
m
dF ?=
，注意到此事积分左边是合力（积分的结果实际是质心牛顿定律）
，会出现另一个未知数（转轴处受外力），所以把左右两边乘个r 做成力矩方程，α2
r dr l m rdF ?=，积分之得：ml F 3=
α 【点评】引入本题的目的是为了方便接下来引导刚体的学习。
【例11】 在Dota 游戏中，白牛冲向目标的加速方式很有意思：初始时刻白牛与目标（比如自爆地精）
相距为0l ，初始时白牛勇猛的以初速速度为0v 沿直线跑向目标。并且在他靠近目标的过程中
速度与到目标的距离成反比，问他什么时候与目标相遇？
[解析] 按照题意，写出状态的方程，也就是任意时刻都成立的一般方程：k
v x
=-，负号代表x 减小。 带入初始条件：00
l v v x
=-
；由于要问x t -关系，所以变量转为,x t 00l v dx
dt x
=-；分离变量00xdx v l dt -=
两边积分0
000
T
l xdx v l dt -
=?
?；解得0
2l T v =
【变化】 如果目标以也以相同的加速方式，对称的跑向白牛（比如能偷学技能的魔导士），那么他们俩多久相遇？
【例12】 一个高h ，底面积S 的圆柱形筒内，装密度为ρ的液体。下方开小孔，面积为0S ，液体从小
孔漏出，不考虑水流动中损耗能量。
⑴ 问液面高度为x 时，水流速度v 。
⑵ 问液面高度为h 降到2
h
要多少时间？
【解析】 ⑴ 设一小团液体dm 流出，
整体能量守恒有：
21
2
dm g x dm v ??=?
∴2v gx =。 ⑵ 单位时间为高度下降
S vdt dv
dx S S
=-=- ∴02S dx
dt S gx
=-
积分： 20
22h
h
S x
T g
S
?
=-
? ∴0
224S h h T S g g ??=
?- ? ???
【例13】 假设大气温度恒定为T 。在地面附近压强为0p 。气体摩尔质量为μ。设大气是静态的。问高
度为h 处压强为多少？（h 相对地球半径很小）
【解析】 考虑面积ds 高度dh 的气体。
体积dv ds h =??，压强约为()p h
由状态方程：pdv dnRT =。 ∴()0
p h ds dh dh RT ?=
对质量dm dn μ= 由受力平衡：
()()0dmg p h dh ds p h ds ++?-= ∴()()0
pdh
g p h dh p h RT μ-=+- ∴0dh dp g RT p
μ-
= 两边积分得到()00
ln p h h
g RT μρ-
= ∴0
0h
g RT p p e μ-=
选讲：扰动问题 【例14】 写出描述下列情景的微分方程。所需的参数均当作已知。你能总结出什么规律？ 1 单摆在平衡位置受到小扰动。
2 弹簧振子（水平光滑桌面上一个弹簧一端接在墙上，一端接在质量为m 的质点上）在平衡位置受到扰动。
3 密度为ρ，正立漂浮在密度为0ρ的液体表面，给一个扰动。
4 一个质量为m 面积为S 的光滑活塞压在气缸上。气缸内封闭恒温为T 的理想气体，气缸外真空。平衡的时候气体体积为V 。求体系受到扰动之后位置随时间的变化规律。 /* 5此题不讲！！一个绕地球做圆周运动半径为r 的卫星，受到一个径向扰动。描述卫星和地球距离随时间变化规律。*/
[解析] 4 气体状态方程做小量展开。
平衡态：0mg
p S
=
扰动位移为x 之后：
000()p V S p p p x V xS V
==-+
牛顿定理： 202d x S
m p x dt V
=- /* 5 写出径向的动力学方程，其中的角速度用角动量守恒代替。 然后做小量展开的得到方程。 圆周运动的时候： 22;;v GMm GM m v L mvr m GMr r r r ==== 受到扰动之后： 2222(()())()d x d GMm
m r x dt dt r x θ-+=-
+； ()d m
r x L dt
θ
+=；
2()d GMr dt r x θ=+
带入整理得到2223223
;(2)()()d x GMmr GMm d x GMm
x O dt r x r x dt r -=-=-+++ */
巩固练习
1将理想理想气体保持绝热状态压缩，初始状态00,p V ，末态压强p ，求末态体积V 。 已知摩尔等体热容量为V C 。
[解析] 写出热力学第一定律：
du pdV dQ =-+。
由于绝热0dQ =，把变量统一到p V ?关系上来。
内能V u nC T = 利用状态方程：V
C u pV R
=
()V
C d pV pdV R
=- 积分：
00ln ln
V p
r V p =- （令1V C V R
=+） 整理得到00pV p V γγ==常数，即绝热方程。
2.3 数值积分 2.3.1 一元函数的数值积分 函数1 quad 、quadl 、quad8 功能 数值定积分，自适应Simpleson 积分法。 格式 q = quad(fun,a,b) %近似地从a 到b 计算函数fun 的数值积分，误差为10-6。 若给fun 输入向量x ，应返回向量y ，即fun 是一单值函数。 q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol 代替缺省误差。tol 越大，函数计 算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。 q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…) %将可选参数p1,p2,…等传递给函数 fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。 [q,n] = quad(fun,a,b,…) %同时返回函数计算的次数n … = quadl(fun,a,b,…) %用高精度进行计算，效率可能比quad 更好。 … = quad8(fun,a,b,…) %该命令是将废弃的命令，用quadl 代替。 例2-40 >>fun = inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’); equivalent to: function y=funn(x) y=3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3); >>Q1 = quad(fun,0,2) >>Q2 = quadl(fun,0,2) 计算结果为： Q1 = 3.7224 Q2 = 3.7224 补充：复化simpson 积分法程序 程序名称 Simpson.m 调用格式 I=Simpson('f_name',a,b,n) 程序功能 用复化Simpson 公式求定积分值 输入变量 f_name 为用户自己编写给定函数()y f x 的M 函数而命名的程序文件名 a 为积分下限 b 为积分上限 n 为积分区间[,]a b 划分成小区间的等份数 输出变量 I 为定积分值 程序 function I=simpson(f_name,a,b,n) h=(b-a)/n; x=a+(0:n)*h; f=feval(f_name,x); N=length(f)-1;
第6章 微分方程的求解 6．1 微分方程解 在Mathematica中使用Dsolove[]可以求解线性和非线性微分方程，以及联立的微分分方程组。在没有给得到的解包括C[1],C[2]是待定系数。求解微分方程就是寻找未知的函数的表达式，在Mathematica中，未稳中有y'[x],y''[x]等表示。 下面给出微分方程（组）的求解函数 Dsolve[eqn,y[x],x] 求解微分方程y[x] Dsolve[eqn,y,x] 求解微分方程函数y Dsolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,….},x] 求解微分方程组 1．用Dsolve求解微分方程y[x] 解y[x]仅适合其本身，并不适合于y[x]的其它形式，如y’[x]，y[0]等，也就是说y[x]不是函数，例如我们并没有发生变化。
2．解的纯函数形式 使用Dsolve命令可以给出解的纯函数形式，即y,请分析下面的例子 这里y适合y的所有情况下面的例子可以说明这一点 在标准数学表达式中，直接引入亚变量表示函数自变量，用此方法可以生成微分方程的解。如果需要的只是量很方便。然而，如果想在其他的的计算中使用该结果，那么最好使用不带亚变量的纯函数形式的结果。 3．求微分方程组
请分析下面的例子 当然微分方程组也有纯函数形式。 4．带初始条件的微分方程的解 当给定一个微分方程的初始条件可以确定一个待定系数。请看下面的例子 第二个例子由于给出一个初始条件所以只能确定C[1]. 5.进一步讨论 对于简单的微分方程的解比较简单，对一些微分方程它的解就复杂的多。特别是对一些微分方程组或高阶微解，其解中可能含有一些特殊函数。并且很多特殊函数的提出就是为了解这些方程的如:
常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：
变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.
全微分方程及积分因子
全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1
)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换
METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程
一、一阶微分方程 1. 线性齐次方程 'y ()0p x y += ①分离变量法求解 ②两边同时乘以()p x dx e ? ，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -?= 2. 线性非齐次方程 'y ()()p x y g x += ①常数变易法 ②两边同时乘以()p x dx e ? ，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -??=+? 线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。 3. Bernoulli 方程 '()()y p x y g x y α+= （1）0α=时，该方程为线性非齐次方程 （2）1α=时，该方程为线性齐次方程 （3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为 (1)()(1)()dz p x z g x dx αα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程 2()()()dy p x y q x y f x dx =++
Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。 （1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。 （2）当()0p x ≡时，是线性方程。 （3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。 当()f x r ≡，设已有一特解1()y x 命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx =-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。 （4）当Riccati 方程的形式为 22dy l b ay y dx x x +=+，可利用变量替换z xy =，将方程化为可分离变量方程 2(1)dz x az l z b dx =-+++ 当Riccati 方程的一个特解()y x ?=已知时，我们利用变换()y z x ?=+，代入方程后可得： 22()()(2()())()(())()dz d x p x z z x x q x z x f x dx dx ????+=+++++ 由于()y x ?=是方程的解，从上式消去相关的项后得： 2(2()()())()dz p x x q x z p x z dx ?=++，这是一个Bernoulli 方程。 （5）当Riccati 方程的形式为 2m dy ay bx dx +=，其中a 、b 、m 都是常数，且设0a ≠，又设0x ≠和0y ≠，则当 440,2,,,(1,2,)2121 k k m k k k --=-=+-L 时，方程可通过适当的变换化为变量可分离方程。
高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、001 01101lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ?
二阶微分方程 1 可降阶的二阶微分方程 一、 形如 ()y f x ''= （6.7） 型的微分方程 形如（6.7）式的微分方程是最简单的二阶微分方程，可以通过方程两边两次积分求解。 【例题1】 求微分方程21sin 2 x y e x ''=- 的通解. 解 对所给方程接连积分二次, 得 211cos 4 x y e x C '=++, 21211sin 82 x y e x C x C =+++, 这就是方程的通解. 【例题2】 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律. 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为 )(22t F dt x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而 )1()(0T t F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为 )1(022T t m F dt x d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0 ==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得 120)2(C T t t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得 21320)621(C t C T t t m F x ++-=. 由初始条件x|t =0=0, 0|0 ==t dt dx , 得
第二节 几类简单微分方程及其解法 本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法. 一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为： 0)',,(=y y x F 或),('y x F y =， 其中)',,(y y x F 为,,'x y y 的已知函数，),(y x F 为,x y 的已知函数. 一、可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程),('y x F y =的等式右端能分解为： )()(),(y g x f y x F =， 即)()('y g x f y = (7.2.1) 则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程. 设)(y g ≠0，则方程(6.2.1)改写为： dx x f dy y g )() (1=， 上式两边积分，可得 ??=dx x f dy y g )()(1. 上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法. 注：在分离变量时，未知函数y 的函数和微分要写在等式的左边. 例1 求微分方程)3(2'+=y x y 的通解. 解1： 原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,3ln 12c x y +=+即.312-±=+c x e y 记1c e c ±=，则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 解2：
原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,ln )3ln(2c x y +=+即,3ln 2x c y =+23x ce y =+ 则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为 ?u du 的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成 ln du u c u =+?，而是写成ln du u u =?； （2） 不定积分等式中至少有一个形为?u du 的积分时，任意常数不写成c ，而写成c ln 并放在等式右侧. 例2 求微分方程y xy ='的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 ,dy dx y x =?? c x y ln ln ln += cx ln = 则微分方程的通解为cx y = （c 为任意常数）. 例3 求微分方程dx e x dy x e y y )1(2)1(2+=+的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 dx x x dy e e y y ??+=+2121， c x e y ln )1ln()1ln(2++=+ )1(ln 2x c +=， ).1(12x c e y +=+ 则微分方程的通解为 ]1)1(ln[2-+=x c y （c 为任意常数）. 例4 求微分方程)'('2 y y a xy y +=-的通解.
几类二阶变系数常微分方程解法论文
二阶变系数常微分方程几种解法的探讨 胡博（111114109） （湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000） 摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。 关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解 To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficient Zhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000) Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there
二阶常微分方程解
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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其
22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。
西南交通大学数值分析题库 用复化梯形公式计算积分 1 ()f x dx ?,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保 证满足误差小于0.00005的要求（这里(2) () 1f x ∞ ≤） ；如果知道(2) ()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1 ()f x dx ? 此实际值 大 (大，小)。 在以1 0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C = ∈?为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2 3 x 3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y y λ'=??=? 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确 解 解 Euler 公式 1 1,1, ,,k k k x y y h y k n h n λ -----------(5分) 1 011k k k y h y h y λλ ------------------- (10分) () 11(0)n n x n x y h e h n λλλ??=+=+→→ ?? ? 若用复化梯形求积公式计算积分1 x I e dx = ? 区间[0,1]应分 2129 等分，即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 -?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值 1．用Romberg 法计算积分 2 3 2 x e dx -? 解 []02()()2b a T f a f b -= += 9.219524346410430E-003 10221()222 b a a b T T f -+=+= 5.574989241319070E-003 10 022243 T T S -= = 4.360144206288616E-003 22T = 4.499817148069681E-003 21 122243 T T S -= = 4.141426*********E-003
微分方程中的几个基础概念 微分方程—基础 微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。 微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。 在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。 除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。 最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次
?微分阶数 虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。 常微分与偏微分 首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？ 如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。 常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。 另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。 下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：
2011年 6月 第 25卷第 2期总 84期北京联合大学学报 (自然科学版 Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011 Vol．25No．2Sum No．84 [收稿日期 ]2010－09－20 [作者简介 ]王海菊 (1966— , 女 , 黑龙江人 , 北京联合大学基础部讲师 , 研究方向为应用数学与数学教学。 二阶常系数线性非齐次微分方程 特解简易求法 王海菊 (北京联合大学基础部 , 北京 100101 [摘要 ]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法 , 计算量很大。本文 在不脱离教材特解的求法 , 利用推导特解过程中出现的重要式子 Q?(x +(2λ+p Q' (x +(λ2 +p λ+q Q (x =P m (x , 简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换 , 化简右端非齐次项。 [关键词 ]微分方程 ; 特解 ; 待定系数法 [中图分类号 ]O 241. 8 [文献标志码 ]A
[文章编号 ]1005- 0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients WANG Hai-ju (Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing 100101, China Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified． Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars 0引言 一般教材中 , 二阶常系数线性的非齐次方程 y? +py' +qy =f (x (1 的特解采用待定系数法 [1] , 计算量很大 , 也很繁琐 ; 有的文献给出特解公式 [2-3] , 又很难记住公式。采取以下方法减少运算量 , 又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项 f (x 主要有两种类型 :
毕业论文文献综述 数学与应用数学 几类常微分方程的典型解法 一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点) 常微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科. 常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的”求通解”到”求解定解问题”的转变,所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用. 二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述) 当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了. 常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段: 常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容
二阶微分方程 1 可降阶的二阶微分方程 一、 形如 ()y f x ''= （6.7） 型的微分方程 形如（6.7）式的微分方程是最简单的二阶微分方程，可以通过方程两边两次积分求解。 【例题1】 求微分方程21sin 2 x y e x ''= - 的通解. 解 对所给方程接连积分二次, 得 211cos 4x y e x C '= ++, 21211 sin 82x y e x C x C =+++, 这就是方程的通解. 【例题2】 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律. 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为 )(22 t F dt x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而 )1()(0T t F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为 ) 1(022T t m F dt x d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0 ==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得 120)2(C T t t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得 213 20)621(C t C T t t m F x ++-=. 由初始条件x|t =0=0, 0|0 ==t dt dx , 得
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -? ?=+?[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+? 解得
12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+? 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+? 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++? (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 33222232 1200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++?? 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++?? 2 232132x x x x x e c e c e ??=--++???? 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=