量子物理习题、答案与解答
一． 选择题
1. 已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是eV
2.1，而钠的红限波长是nm 540，那么入射光的波长是（A ）.（普朗克常量
s J 1063.634??=-h ，基本电荷C 1060.119-?=e ,J 101.6eV 1-19?=）
（A ）、nm 355；（B ）、nm 500；（C ）、nm 435；（D ）、nm 535。 参考答案：202
1
mv W h +=ν k E c
h
c h +=0
λλ
()nm 35510
540106.12.11031063.6105401031063.69
198349
83400=????+????????=+=-----λλλk E hc hc 2.当照射光的波长从nm 400变到nm 300时，对同一金属，在光电效应实验中测得的遏止电压将（C ）。（普朗克常量s J 1063.634??=-h ，基本电荷C 1060.119-?=e ）
（A ）、减小V 56.0；（B ）、减小V 034；（C ）、增大V 035.1；（D ）、增大V 165.0。 参考答案：202
1
mv W h +=ν k E eU c
h
+=0λ
0eU c
h
=λ
()V 032.110400110
3001106.11031063.611991983412=???
???-?????=???? ??-=?----λλe hc U 3．钨的红限波长是nm 230，用波长为nm 180的紫外光照射时，从表面逸出的电子的最大动能为（C ）。（普朗克常量s J 1063.634??=-h ，基本电荷C 1060.119-?=e ）
(A)、eV 5.4； (B)、eV 0.3； (C)、eV 5.1； (D)、eV 5.0。 参考答案： 202
1
mv W h +=ν k E c
h
c h +=0
λλ
()eV 5.110230110
1801106.11031063.699198340=???
???-?????=-=----λλc
h c
h E k
4.电子波长为，则其能量及动量的大小为（A ）。 (A)、能量为λhc ，动量的大小为λh ； (B)、能量为h ，动量的大小为λhc ； (C)、能量为λc h ，动量的大小为λh ； (D)、能量为λhc ，动量的大小为λc h 。
参考答案：能量的大小为λhc ，动量的大小为λh
5.康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向夹角为多少时，散射光子的频率小的最多（A ）。
(A)、π； (B)、2π； (C)、π； (D)、0。 参考答案： λ
νc
=
2
sin 2200?
λλλc m h =
-=? 6. 康普顿散射中，当入射光子与散射光子波长分别为λ和λ'，则反冲电子获得的动能k E 为（C ）。
(A)、
λλλλ''-hc ； (B)、λλλλ''+hc ； (C)、λλλλ'-'hc ； (D)、λλλ
λ'
+'hc 。
参考答案： 2
sin 2200?
λλλc m h =
-=? λλλλλλ'-'='-=
hc hc hc E k 7．氢原子基态的电离能是eV 6.13。电离能为eV 544.0+的激发态氢原子，其电子处在n 等于多少的轨道上运动。（B ）
(A)、4 ； (B)、5； (C)、6 ； (D)、7。
参考答案： 21
n
E E n = 52510
6.1544.0106.16.1319
19
1
==????==
--n
E E n 8.要使处于基态的氢原子受激后可辐射出可见光谱线，最少应供给氢原子的能量为（D ）
A 、eV 5.1；
B 、eV 89.1；
C 、eV 20.10；
D 、eV 09.12。
参考答案： h
E E n
m nm -=
ν
()eV 82.1110
6.1107001031063.6106.16.1319
9
8
3419
11-=?????+??-=+=----n n hc E E λ 9.氢原子中的电子从3=n 的激发态被电离出去，需要的能量为 D
eV 。
(A)、eV 6.13； (B)、eV 09.12； (C)、eV 20.10； (D)、eV 51.1。
参考答案： ??
??
?
==3
21
n n E E n
()eV 51..13
1
106.1106.16.133219
19213=????-==-=--∞E E E E 电离 10.具有下列哪一能量的光子，能被处在2=n 的能级的氢原子吸收？（B ）
A 、eV 51.1；
B 、eV 89.1；
C 、eV 16.2；
D 、eV 40.2。
参考答案： 21n E E n = ()eV 89.1213
1
106.1106.16.132219
19
23=??? ??-???-=
-=?--E E E
11.为使电子的德布罗意波长为nm 1.0，需要的加速电压为（B ）。（普朗克常量s J 1063.634??=-h ，基本电荷C 1060.119-?=e ，电子静止质量
kg 1011.931-?=e m ）
A 、V 75；
B 、V 150；
C 、V 300；
D 、V 600。
参考答案： ???
???
?==
λh p m p eU e
22
()V 150106.11011.92110
1.01063.62119312
9342
=???????
?
????=????
??=----e m h U e λ 12.不确定关系式h p x ≥???表示在x 方向上（D ） A 、粒子位置不能准确确定； B 、粒子动量不能准确确定；
C 、粒子位置和动量都不能准确确定；
D 、粒子位置和动量不能同时准确确定。 二．填空题
1．某金属产生光电效应的红限波长为0λ，今以波长为()0λλλ?的单色光照射该金属，金属释放出的电子（质量为e m ）的动量大小为
???? ?
?-002λλλλhc m e 。
参考答案：2
021mv W h +=ν e
k m p c h E c h c h 2200+=+=λλλ
???? ?
?-=????
??-=00022λλλλλλhc m m c h c h p e e 2.某光电管阴极，对于nm 491=λ的入射光，其发射光电子的遏止电压为V 71.0，当入射光的波长为nm 382时，其遏止电压变为V 43.1。（普朗克常量s J 1063.634??=-h ，基本电荷C 1060.119-?=e ）
参考答案：??
???=
+=λννc W
V e h 22
11V e hc
V e hc -=-λλ ()
()()
nm 38271.043.1106.1104911031063.6104911031063.61998349
8341211
2=-???+????????=-+=
-----V V e hc hc λλλ
3. 光子能量为MeV 5.0的X 射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射。若反冲电子的能量为MeV 1.0，则散射光的波长的改变量λ?与入射光的波长0λ之比值为4。
参考答案：????????
??
??-=?==0
00
0λλλλλλλ
hc E hc E 反冲
41106.1101.0106.1105.0119
619
600
00=-??????=-=-
=?--反冲反冲E E E hc E hc
E hc λλ 4. 在康普顿散射中，如果设反冲电子的速度为光速的%60，则因散射使电子获得的能量是静止能量的41倍。
参考答案： ?
???
?
??????-==-=22
2
0002021c v m m c m E E E c m mc E k k
4
11531111122
2
2
2
02
020=
-??
? ??-=
--=-=c
c c
v c m c m m c E E k 5．由氢原子理论知，当大量氢原子处于3=n 的激发态时，原子跃迁将发出 3 种波长的光。 参考答案：
6.根据玻尔理论，氢原子中的电子在4=n
的轨道上运动的动能与在基
1
2
3
态的轨道运动的动能之比161。
参考答案： ????
?
???
?==1
2
14E E n n E E n
n 161
4
1122121
1====n E n E E E n
7. 根据玻尔理论，氢原子在5=n 轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比25。 参考答案： ).,3,2,1(2 ==n h
n
L n π
25
2225
25==π
πh h
L L
8. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时的速度的大小之比31v v 是3。
参考答案： ?????
??
???
?===
n n n n E E n n E E m v E 121
2
32
1 2
1
22
1212
121???? ??===n n
n v v m v m v n E E 31==n v v n 9．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，比较这两种粒子的动量、能量、速度及动能，相同的是动量。 参考答案： λ
h
p = νh E = 22
1
mv E k =
三．计算题
1. 用单色光照射某一金属产生光电效应，如果入射光的波长从
nm 500=λ减到nm 400=λ（m 10nm 1-9=），那么遏止电压改变多少？数
值加大还是减少？（普朗克常量s J 1063.634??=-h ，基本电荷
C 1060.119-?=e ）
解： ??
???=
+=λννc W
V e h 22
11V e hc
V e hc -=-λλ ()
V e hc V V V 622.0105001104001106.11031063.61199198341212=??? ???-?????=???
?
??-=-=?----λλ 遏止电压加大
2. 以波长nm 500=λ()m 10nm 19-=的单色光照射某一金属，产生的光电子的最大动能eV 7.0=k E ，求能使该金属产生光电效应的单色光的最大波长是多少？（普朗克常量s J 106
3.634??=-h ） 解：由爱因斯坦光电方程
???????=+=0max
0W hc
E W hc
k
λλ ()nm 69610500106.17.01031063.6105001031063.69
198349834max
=????-????????=-=-----λλλk E hc hc 3.已知X 射线光子的能量MeV 65.0，若康普顿散射中散射光的波长为入射光子的25.1倍，试求反冲电子的动能。
???
??
?
??
??????? ??-=-====λλλλλ1125
.165.002
0200hc c m m c E MeV E hc E k ()MeV E hc hc E k 13.0106.1105106.11065.0515********
600=??????===???
? ??-=--λλλ
4.处于第一激发态的氢原子被外来单色光激发后，从发射的光谱中金观察到3条巴耳末系光谱线，试求这3条光谱线的波长。（里德伯常量17m 10097.1-?=R ）
解：氢原子从5=n 能态可能跃迁的低能态为2=n 、3=n 和4=n 三能态，相应光子波长
??? ??-=2211
1n m R λ ???
?
??-=22221m n n m R λ ()nm 434255210097.11
122227
22221=????
??-?=???? ??-=m n n m R λ ()nm 486244210097.11
122227
22221=???? ??-?=???? ??-=m n n m R λ ()nm 656233210
097.11
122227
22221=???
? ??-?=???? ??-=m n n m R λ 5.若不考虑相对论效应，则波长为nm 550的电子的动能是多少eV ？（普朗克常量s J 1063.634??=-h ，电子静止质量kg 1011.931-?=e m ）
???
????
=
=
e
k m p
E h
p 22
λ
()eV 1098.4105501063.61011.92121262
934
312
2----?=???
? ???????=
??
?
??=
=λh m m p E e
e k
2
4
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
第十七 章量子物理 题17.1：天狼星的温度大约是11000℃。试由维思位移定律计算其辐射峰值的波长。 题17.1解：由维思位移定律可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长该波长 nm 257m 1057.27m =?== -T b λ 属紫外区域，所以天狼星呈紫色 题17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773 K ，地球的平均温度约为 293 K 。若把它们看作是理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？ 题17.2解：由斯特藩一玻耳兹曼定律4)(T T M σ=可知，这两个星体辐射能量之比为 4.484 =??? ? ??=地 金地 金T T M M 题17.3：太阳可看作是半径为7.0 ? 108 m 的球形黑体，试计算太阳的温度。设太阳射到地 球表面上的辐射能量为1.4 ? 103 W ?m －2 ，地球与太阳间的距离为1.5 ? 1011 m 。 题17.3解：以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d 为半径作一球面，地球处在该球面的 某一位置上。太阳在单位时间对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因此有 2 244)(R E d T M ππ= （1） 4)(T T M σ= （2） 由式（1）、（2）可得 K 58004 122=? ?? ? ??=σR E d T 题17.4：钨的逸出功是4.52 eV ，钡的选出功是2.50 eV ，分别计算钨和钡的截止频率。哪 一种金属可以用作可见光围的光电管阴极材料？ 题17.4解：钨的截止频率 Hz 1009.1151 01?== h W ν 钡的截止频率 Hz 1063.0152 02?== h W ν 对照可见光的频率围可知，钡的截止频率02ν正好处于该围，而钨的截止频率01ν大于可 见光的最大频率，因而钡可以用于可见光围的光电管材料。 题17.5：钾的截止频率为4.62 ? 1014 Hz ，今以波长为435.8 nm 的光照射，求钾放出的光电
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
习题 13-1 设太阳是黑体，试求地球表面受阳光垂直照射时每平方米的面积上每秒钟得到的辐射能。如果认为太阳的辐射是常数，再求太阳在一年内由于辐射而损失的质量。已知太阳的直径为1.4×109 m ，太阳与地球的距离为1.5×1011 m ，太阳表面的温度为6100K 。 【解】设太阳表面单位面积单位时间发出的热辐射总能量为0E ，地球表面单位面积、单位 时间得到的辐射能为1E 。 ()484720 5.671061007.8510W/m E T σ-==??=? 22 014π4πE R E R →=太阳地球太阳 () () ()2 92 3210 2 110.7107.85 1.7110W/m 1.510R E E R →?==? =??太阳 2 地球太阳 太阳每年损失的质量 ()() ()79 01722 87.851040.710365243600 1.6910kg 3.010E S t m c π?????????===??太阳 13-2 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐出度为22.8 W/cm 2，试求炉内温度。 【解】由4 0E T σ=得 ()1/4 1/4 40822.810 1.416 K 5.6710E T σ-?????=== ? ? ??? ?? 13-3 黑体的温度16000T = K ，问1350λ= nm 和2700λ= nm 的单色辐出度之比为多少？当黑体温度上升到27000T =K 时，1350λ= nm 的单色辐出度增加了几倍？ 【解】由普朗克公式 ()5 /1,1 hc k T T e λρλλ-∝- 348 239 11 6.6310310 6.861.3810600035010hc k T λ---???==???? 2112 3.43 5.88hc hc k T k T λλ==
清华大学大学物理习题库：量子物理 一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为??。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为??的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用 频率为2??的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ??- E K (C) h ??- E K (D) h ??+ E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量?与反冲电子动能E K 之比??/ E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若?粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则?粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］
量子1 当照射光的波长从4000 ?变到3000 ?时，对同一金属，在光电效应实验中测得的遏止电压将： (A) 减小0.56 V ． (B) 减小0.34 V ． (C) 增大0.165 V ． (D) 增大1.035 V ． ［ (D) ］ (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C) 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光． (B) 两种波长的光． (C) 三种波长的光． (D) 连续光谱． ［ (C) ］ 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h ． (B) )/(eRB h ． (C) )2/(1eRBh ． (D) )/(1eRBh ． ［(A) ］ 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同． (B) 能量相同． (C) 速度相同． (D) 动能相同． ［(A) ］ 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4 ? ，则U 约为 (A) 150 V ． (B) 330 V ． (C) 630 V ． (D) 940 V ． ［ (D) ］ (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s) 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D 2倍． (B) 增大2D 倍． (C) 增大D 倍． . (D) 不变． ［ (D) ］ 在原子的K 壳层中，电子可能具有的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )是 (1) (1，1，0，21)． (2) (1，0，0，2 1)． (3) (2，1，0，21-)． (4) (1，0，0，2 1-)． 以上四种取值中，哪些是正确的？ (A) 只有(1)、(3)是正确的． (B) 只有(2)、(4)是正确的． (C) 只有(2)、(3)、(4)是正确的． (D) 全部是正确的． ［ (B) ］
Transcript 05-5 Exclusion A few introductory words of explanation about this transcript. This transcript includes the words sent to the narrator for inclusion in the latest version of the associated video. Occasionally, the narrator changes a few words on the fly in order to improve the flow. It is written in a manner that suggests to the narrator where emphasis and pauses might go, so it is not intended to be grammatically correct. The Scene numbers are left in this transcript although they are not necessarily observable by watching the video. There will also be occasional passages in blue that are NOT in the video but that might be useful corollary information. There may be occasional figures that suggest what might be on the screen at that time. 501 Avatar5-Exclusion CHAUCER: Now it’s time to investigate one of the most important properties of elementary particles… one that literally shapes the atoms of each element in the periodic table. Jeeves, please continue. 505 Exclusion JEEVES: We have just discussed how Schr?dinger’s Equation shows us how to accurately describe fundamental particles with a “Wave Function”, now, let’s examine why two electrons together reveal a feature of quantum mechanics totally unlike anything in the large-scale world we inhabit. In a classical setting, even if two things are identical, they are still individuals. As long as we keep track of them carefully, we can treat them separately and label them A and B… or X and Y… or 1 and 2. But consider what is different about a two-electron system – whether in an atom or in a box it doesn’t matter. Since the two electrons are constantly phasing in and out of existence and since they are absolutely identical, it is impossible to keep track of a specific individual. Because of this we must use a combined wave function to describe the pair rather than use two individual wave functions.
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω
大学物理 量子物理基础知识点 1.黑体辐射 （1）黑体：在任何温度下都能把照射在其上所有频率的辐射全部吸收的物体。 （2）斯特藩—玻尔兹曼定律：4 o M T T σ（）= （3）维恩位移定律：m T b λ= 2.普朗克能量量子化假设 （1）普朗克能量子假设：电磁辐射的能量是由一份一份组成的，每一份的能量是：h εν= 其中h 为普朗克常数，其值为346.6310h J s -=?? （2）普朗克黑体辐射公式：2 5 21M T ( )1 hc kt hc e λπλλ =-（,） 3.光电效应和光的波粒二象性 （1）遏止电压a U 和光电子最大初动能的关系为：21 2 a mu eU = （2）光电效应方程： 21 2 h mu A ν= + （3）红限频率：恰能产生光电效应的入射光频率： 00V A K h ν= = （4）光的波粒二象性（爱因斯坦光子理论）：2mc h εν==；h p mc λ ==；00m = 其中0m 为光子的静止质量，m 为光子的动质量。 4.康普顿效应： 00(1cos )h m c λλλθ?=-= - 其中θ为散射角，0m 为光子的静止质量，1200 2.42610h m m c λ-= =?，0λ为康普顿波长。 5.氢原子光谱和玻尔的量子论： （1）里德伯公式: ()221 11 T T H R m n n m m n ν λ ==-=->（）()(), % （2）频率条件: k n kn E E h ν-= (3) 角动量量子化条件：, 1,2,3...e L m vr n n ===
其中 2h π = ，称为约化普朗克常量，n 为主量子数。 （4）氢原子能量量子化公式： 122 13.6n E eV E n n =-=- 6.实物粒子的波粒二象性和不确定关系 （1）德布罗意关系式： h h p u λμ= = （2）不确定关系: 2 x p ??≥ ； 2 E t ??≥ 7.波函数和薛定谔方程 （1）波函数ψ应满足的标准化条件：单值、有限、连续。 （2）波函数的归一化条件: (,)(,)1V r t r t d ψψτ* =? （3）波函数的态叠加原理: 1122(,)(,)(,)...(,)i i i r t c r t c r t c r t ψψψψ=++= ∑ （4）薛定谔方程: 22(,)()(,)2i r t U r r t t ψψμ??? =-?+????? 8.电子自旋和原子的壳层结构 （1）电子自旋： 1,2 S s = = ；1, 2 z s s S m m ==± 注：自旋是一切微观粒子的基本属性. （2）原子中电子的壳层结构 ①原子核外电子可用四个量子数(,,,l s n l m m )描述： 主量子数：0,1,2,3,...n = 它主要决定原子中电子的能量。 角量子数：0,1,2,...1l n =- 它决定电子轨道角动量。 磁量子数：0,1,2,...l m l =±±± 它决定轨道角能量在外磁场方向上的分量。 自旋磁量子数：1 2 s m =± 它决定电子自旋角动量在外磁场方向上的分量。
量子物理习题解答文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
量子物理习题解答 习题17—1 用频率为1ν的单色光照射某一金属时，测得光电子的最大初动能为E k 1；用频率为2ν的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大初动能为E k 2。那么［ ］ (A) 1ν一定大于2ν。 (B) 1ν一定小于2ν。 (C) 1ν一定等于2ν。 (D) 1ν可能大于也可能小于2ν。 解：根据光电效应方程，光电子的最大初动能为 由此式可以看出，E k 不仅与入射光的频率ν有关，而且与金属的逸出功A 有关，因此我们无法判断题给的两种情况下光电子的最大初动能谁大谁小，从而也就无法判断两种情况下入射光的频率的大小关系，所以应该选择答案(D)。 习题17—2 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =5的轨道上的角动量与在第一激发态的角动量之比为［ ］ (A) 5/2。 (B) 5/3。 (C) 5/4。 (D) 5。 解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的轨道上角动量满足 n L = n =1，2，3…… 所以L 与量子数n 成正比。又因为“第一激发态”相应的量子数为n =2，因此应该选择答案(A)。 习题17—3 根据玻尔的理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为［ ］ (A) 5/9。 (B) 4/9。 (C) 7/9。 (D) 2/9。 解：由巴耳末系的里德佰公式 ??? ??-==22 12 11~n R H λν n =3，4，5，…… 可知对应于最大波长m ax λ，n =3；对应于最小波长min λ，n =∞。因此有 H H R R 536312111 22max =?? ? ??-=-λ； H H R R 4 2111 2min = ?? ? ??=-λ 所以 最后我们选择答案(A)。 习题17—4 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =4的轨道上运动的动能与在 基态的轨道上运动的动能之比为［ ］ (A) 1/4。 (B) 1/8。 (C) 1/16。 (D) 1/32。
10、量子力学 一、选择题 1．已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? 2．在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2 + (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ 3．用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K 4．在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 5．要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV 6．由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 7．已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV 8．在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和3.4 eV 9．若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh 10．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 11．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 12．设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 13．波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10-3 ?，则利用不 确定关系式h x p x ≥??可得光子的x 坐标的不确定量至少为： (A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm x (A) x (C) x (B) x (D)
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对
No.6 量子物理 （运输） 一 选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0（使电子从金属逸出需做功eU 0），则此单色光的波长λ必须满足 （A ）λ≤ 0eU hc （B ）λ≥0 eU hc （C ）λ≤hc eU 0 （D ）λ≥hc eU 0 [ A ] 2. 光子能量为 0.5 MeV 的X 射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射．若反冲电子的动能为 0.1 MeV ，则散射光波长的改变量?λ与入射光波长λ0之比值为 （A ） 0.20． (B) 0.25． (C) 0.30． (D) 0.35． ［ B ］ 3．氢原子从能量为－0.85eV 的状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为－10.19eV 的状态时，所发射的光子的能量为 （A ）2.56 eV （B ）3.41 eV （C ）4.26 eV （D ）9.34 eV [ A ] 4. 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h ． (B) )/(eRB h ． (C) )2/(1eRBh ． (D) )/(1eRBh ． ［ A ］ 5. 关于不确定关系 ≥??x p x ()2/(π=h )，有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定． (2) 粒子的坐标不可能确定． (3) 粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定． (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子． 其中正确的是： (A) (1)，(2). (B) (2)，(4). (C) (3)，(4). (D) (4)，(1). ［ C ］ 6．描述氢原子中处于2p 状态的电子的量子态的四个量子数（n ，l ，m l ，m s ）可能取值为 （A ）（3，2，1，－21） （B ）（2，0，0，21 ） （C ）（2，1，－1，－21） （D ）（1，0，0，2 1 ）
精心整理 量子物理习题解答 习题17—1用频率为1ν的单色光照射某一金属时，测得光电子的最大初动能为E k 1；用频率为2ν的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大初动能为E k 2。那么［ ］ (A)1ν一定大于2ν。 (B)1ν一定小于2ν。 (C)1ν一定等于2ν。 (D)1ν可能大于也可能小于2ν。 解：根据光电效应方程，光电子的最大初动能为 由此式可以看出，E k 不仅与入射光的频率ν有关，而且与金属的逸出功A 有关，因此我们无法判 习题 所以L (A)。 习题 所以 习题(A)1/4。 (B)1/8。 (C)1/16。 (D)1/32。 解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的动能、角动量和轨道半径分别为 m P E k 22 = ； n P r L n == ；12r n r n = 所以电子的动能 与量子数n 2成反比，因此，题给的两种情况下电子的动能之比12/42 =1/16，所以我们选择答案(C)。 习题17—5在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反
冲电子动能E k 之比k E ε为［ ］ (A)2。 (B)3。 (C)4。 (D)5。 解：由康普顿效应的能量守恒公式 可得 所以，应该选择答案(D)。 习题17—6设氢原子的动能等于温度为T 的热平衡状态时的平均动能，氢原子的质量为m ，那么此氢原子的德布罗意波长为［ ］ (A)mkT h 3=λ。 (B)mkT h 5=λ。 (C)h mkT 3=λ。 (D)h mkT 5=λ。 把此式代入德布罗意公式有 所以 因此，应该选择答案(D)。 习题17—10氩(Z =18)原子基态的电子组态是：［ ］ (A)1S 22S 83P 8(B)1S 22S 22P 63d 8 (C)1S 22S 22P 63S 23P 6(D)1S 22S 22P 63S 23P 43d 2 解：对(A)示组态，既违反泡利不相容原理，也违反能量最小原理，是一个不可能的组态；对 (B)示组态和(D)示组态均违反能量最小原理，也都是不可能组态。因此，只有(C)示组态是正确组
量子物理 1. 当照射光的波长从400nm 变到300nm 时，对同一金属，在光电效应实验中测得的遏止电压将 (A) 减小0.56V ； (B) 增大0.165V ; (C) 减小0.34V ；(D) 增大1.035V 2.用频率为1ν的单色光照射某一种金属时，测得光电子的最大动能为E k1；用频率为2ν的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大动能为E k2。如果E k1 >E k2，那么 (A) 1ν一定大于2ν ; (B) 1ν一定小于2ν ; (C) 1ν一定等于2ν ; (D) 1ν可能大于也可能小于2ν. 3.普朗克能量子假设是为了解释 (A)光电效应实验规律而提出的 (B)X 射线散射的实验规律而提出的 (C)黑体辐射的实验规律而提出的 (D)原子光谱的规律性而提出的。 4．在康普顿散射实验中，如果设反冲电子的速度为光速的60%，则因散射使电子获得的能量是其静止能量的 ( ) (A) 2倍 ；(B) 1.5倍 (C) 0.5倍 (D) 0.25倍 5.温度为室温（20°C）的黑体，其单色辐出度的峰值所对应的波长和辐出度是( ) (A) nm 9890,22W/m 1017.4? ；(B) nm 989,2W/m 7.41 (C) nm 14490,23W/m 109-? ;(D) nm 1449,23W/m 109-? 6. 开有小孔的空腔，可近似地看作黑体的是（ ） A ．空腔 B ．小孔 C ．空腔壁 D ．空腔及腔壁 7．用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z =3）和铁（Z =26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别为1L λ和),(1λλλλ Fe L Fe ，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（ ）
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数
（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数
2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,
第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，