周世勋《量子力学教程》习题解答
第一章 习题解答
1．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ（常数）。并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：由能量密度的公式：
1
85
-?=
λ
λλ
λ
πλρkT hc e
d hc
d
则由
0=λ
ρλ
d d 解得m λ： 2256181185??
?
? ??-?-?--??-=λλ
λλλλπλπλρkT hc kT hc
kT hc e e kT hc hc
e hc d d 05
11186=?
????
? ??---?=λ
λλλλπkT hc kT hc
kT hc e e
kT hc e hc 即 051
=--λλλkT hc
kT hc
e e kT hc 令
x kT hc
m
=λ，则 051
=--x x
e xe 解得 97.4=x
所以 )(29.097
.41038.110999.210626.61610
27K cm kx hc T m ?=?????==--λ 2．在K 0附近，钠的价电子能量约为eV 3，求其德布罗意波长。
解：0
10
19
30
34
09.7)(10
09.710
6.1310
91.0210626.62A m mE h P h K
=?=??????===
----λ
3．氦原子的动能是kT E 2
3
=（k 为玻尔兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。
解：氦原子的动能)(1007.211038.12
3
2323J E --?=???=
，氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--?=??=，所以
10
23
27
34
6.12)(10
6.1210
07.210
68.6210626.62A m mE
h =?=?????=
=
----λ
4．利用玻尔——索末菲量子化条件，求 （1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场T H 10=，玻尔磁子T J M B /10924
-?=，试计算动能的量子化间隔E ?，并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。
解：（1）方法一：玻尔——索末菲量子化条件为
nh Pdq =? =n 1、2、3·
·· 对于一维谐振子，2222
1
2q M M P E ω+=
，即 (
)
1222
222
2=???
?
?
?+
ωM E q ME
P
这是一个椭圆方程，半长轴2
2ω
M E
a =
，半短轴ME b 2=。 ∴ =?Pdq 椭圆面积ωπωπ
πE
ME M E ab 2222
=?==
由nh Pdq =?
，得到能量量子化条件为
nh E n
=ω
π2
∴ ωωπ
n h
n
E n ==2 =n 1、2、3··· 方法二：因为一维谐振子的运动方程为t A x ωcos =，所以t A v ωωsin -=。利用量子
化条件得
ET T A m tdt A m dt mv mvdx pdq T
=====?
???2202
2222
1
sin ωωωnh = ωπ
ω n nh T nh E ===
2 （2）电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定线速度v 作半径为R 的圆周运动，则广义动量——角动量Rv P μθ=是守恒量，与此广义动量相对应的广义坐标是θ。则
nh Rv Rvd d P ===??πμθμθπ
θ220
∴ R
n v μ
=
又 R
v evB 2
μ=
，所以μ
eBR
v =
。因此电子轨道的可能半径为
eB
n R n
=
=n 1、2、3··· 电子的动能
B nM nheB n eB n R n v E B k =====πμ
μμμμ42121212222222
动能的量子间隔为
J B M E B k 23109-?==?
热运动能量为
J kT E 23111028.823
-?==
J kT E 21221007.223
-?==
5．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相同，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
解：两个光子转化为正负电子对-
++→e e γ2，要求光子的最大波长，即要求产生的
正负电子对静止，由能量守恒得
2022c m h =ν （0m 是电子的静止质量）
012
8
30340024.0)(104.21031091.010626.6A m c m h =?=????==---λ
补 充
1．应用普朗克的黑体辐射公式证明斯特凡定律：辐射总能量和绝对温度四次方成正比。
解： 1
83
3
-?=kT
h e
d c h d ννννπνρ
各种频率的辐射总能量为
??
∞∞
-==0330
1
8kT h e d c
h d E ννν
νπνρ
令
x kT h =ν，x h kT =ν，则dx h
kT
d =ν，所以 4
34
31
8T e dx x h kT c h E x
σπ=-?
?
?
??=?
∞
I h c k e dx x h
c k x ?=-=?
∞
3
34
33
34
818ππσ 1
1112-=-=+++++----x x
x
nx
x
x
e e e e
e
e
∴ ()
∑∞
=-------=+++=+++=-1
322111n nx x
x x x x x x e e e e e e e e
∴ ∑?
∑?∞=∞
∞=∞-===-=1
440
103315!31n n nx
x n dx e x e dx x I π
∴ 3
34
5158h c k πσ=
2．应用玻尔——索末菲量子化条件，计算一个在铅直方向作弹性往复运动的小求的允许能级。
解： mgx P E +=μ22
∴ )(2mgx E m P -= x 的积分区：最高点0=P ，mg E x =
。所以x 的变域：mg
E →0。所以 nh mE g
m dx mgx E m Pdq mg
E ==-=??
23
2
/0
)2(32)(22 ∴ 3
1
222329??
? ??=h n mg E n 3．应用玻尔——索末菲量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量。箱的尺度为a 、
b 、
c 。
解：粒子在箱子内是自由的，动量是守恒量，在与箱碰撞时，动量反向，但数值不变，即弹性碰撞。选箱的三度为坐标轴，利用量子化条件
321、、、、=??
??
???===???z y x z z
y y x x n n n h n dx P h n dx P h n dx P
??
??
????=?=?=???c P dx P b P dx P a P dx P z z
y y x x 222
c
h n P b
h n P a
h
n P z
z y
y x
x 222===∴ ???
? ??++=++==∴
222222222228)(212c n b n a n m h P P P m m P E z y x z y x 321、、、、=z y x n n n
第二章 习题解答
1．证明在定态中，几率流密度与时间无关。
解： 定态波函数可表示为
t iE n n n e
r t r -
=ψ)(),(ψ，代入几率流密度表达式中，得
[]n n n n i J ψ?ψ-ψ?ψ= **2μ[]
)()()()(2**r r r r i n n n n ψψψψμ
?-?=
可见)(r J J
=而与t 无关。
2．由下列两定态波函数计算几率流密度：
（1）ikr e r 11=
ψ （2）ikr e r
-=1
2ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内（即向原点）传播的平面波。
解：由球坐标中?
θθ?θ??
?
+??+??=?sin 11r e r e r e r ，所以 （1）对)(1r ψ，有
??
??????-??=)()()()(21*
1*11r r e r r r e r i J r r ψψψψμ r ikr ikr ikr ikr ikr ikr e e r ik r e r e e r ik r e r
e i
??
???????? ??+--???
? ??-+-=---222μ r e r ik i
??
????-=222μ
r e r k 2μ= 说明J
是沿径向向外传播的，即为向外的球面波。
（2）对)(2r ψ，有
??
??????-??=)()()()(22*2*22r r e r r r e r i J r r ψψψψμ r ikr ikr ikr ikr ikr ikr e e r ik r e r e e r ik r e r
e i
??
???????? ??-+--???
? ??+-=---222μ r e r ik i
??
????=222μ
r e r k 2μ-= 说明J
是沿径向向内传播的，即为向内的球面波。
3．一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a
x a x x x U 00
0)( 中运动，求粒子的能级和对应的本征函数。 解：由dinger o Schr ..
方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+- 在0
在a x ≤≤0区域，0)(=x U 。令2
2
2
mE k =，则方程变为 0)()(2
22=+x k x dx
d ψψ 此方程的通解为
)sin()(δψ+=kx A x
因为)(x ψ在0=x 处连续，即0sin )0(==δψA ，所以0=δ。
因为)(x ψ在a x =处连续，即0sin )(==ka A a ψ，所以πn ka =（ 3,2,1=n ）。
因此
a
n k π
=
故
2
2
222ma
n E n π= 与n E 相应的波函数为
x a
n A x n πψsin
)(= 由归一化条件得
12
sin )(20
2
2
2
===?
?
A a
xdx a n A
dx x a
a
n πψ a
A 2=
所以
x a
n a x n πψsin 2)(=
4．证明??
?
??
≥<+'=a x a x a x a n A n 0 )(sin πψ中的归一化常数是a A 1='。
证：把波函数归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a n A x A dx a x a n A dx a x a n A dx a
a
a
a a
a a a a
a
n 222
2
222
22
)(sin 2)(cos 22)(cos 121)(sin 1'=+?'-'=+'-'=??
?
???+-'=+'==-----∞
????πππππψ 所以a
A 1=
'。
5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解：一维谐振子的第一激发态为
2
2
112
11222222)()(x x xe
x H e
N x αααπ
α
αψ-
-
?=
=
则粒子出现在)(dx x x +，的几率为
dx e x dx x dx x w x
2
223
2
112)()(α
π
αψ-=
=
则几率最大的位置满足
0)22(2)(32312
2=-=-x x e dx x dw x απ
αα α
1
±
=x
因为
[]
0)62()22(22)(2
232232
122
2=-+--=-x x x x e dx x w d x αααπ
αα 所以
0)1622)(2213
1
2
12
?
-=
-±
=ααπαα
e dx x w d x
因此α
1
±
=x 是第一激发态几率最大的位置。
6．在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-。证明粒子的定态波
函数具有确定的宇称。
解：一维势场中运动的粒子满足的薛定格方程为
)()()(2222x E x x U dx d ψψμ=??
????+- 因为)(2?2
2
x U dx d m H
+-= 是空间反演不变的，所以 )()()(?)()(?x E x x H x x H
-=-=--ψψψ 即
)()()(2222x E x x U dx d m -=-??
????+-ψψ 即)(x ψ与)(x -ψ是属于同一本征值E 的本征态。
由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。两个方程可相互进行空间反演 )(x x -?而得对方，所以
)()( x c x ψψ=- )()( x c x -=ψψ
所以
)x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ
可见，12
=c ，即
1±=c
当1+=c 时，)()(x x ψψ=-，)(x ψ具有偶宇称；当1-=c 时，
)()(x x ψψ-=-，)(x ψ具有奇宇称。
所以，当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
7．一粒子在一势阱
a
x a x U x U ≤>???>=0
)(0
中运动，求束缚态（00U E <<）的能级所满足的方程。
解：粒子所满足的dinger o Schr ..方程为
)()()()(22
22x E x x U x dx d ψψψμ=+- 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ： )x (E )x (U )x (dx d 2110122
2ψψψμ=+-
a x <<∞- （1） Ⅱ： )()(2222
2
2x E x dx d ψψμ=- a x a ≤≤- （2） Ⅲ： )x (E )x (U )x (dx d 233032
2
2ψψψμ=+-
∞< Ⅰ： 0) (212 01 =--''ψμψ E U （4） Ⅱ： 0E 2222 =+''ψμψ （5） Ⅲ： 0) (232 03 =--''ψμψ E U （6） 令 )(22 021 E U k -= μ，22 22 E k μ=， 则 Ⅰ： 012 11 =-''ψψk （7） Ⅱ： 022 22 =+''ψψk （8） Ⅲ： 012 13 =-''ψψk （9） 各方程的解为 ??? ??+=+=+=-+-x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 111132221cos sin ψψψ 利用波函数的有限性： 因为)(1-∞ψ有限，所以0=A ； 因为)(3∞ψ有限，所以0=E 。因此 x k Be 11=ψ x k Fe 13-=ψ 利用波函数的连续性： 因为)()(21a a -=-ψψ，所以 a k D a k C Be a k 22cos sin 1+-=- （10） 因为)()(21 a a -'=-'ψψ，所以 a k D k a k C k Be k a k 22221sin cos 1+=- （11） 因为)()(32a a ψψ=，所以 a k Fe a k D a k C 122cos sin -=+ （12） 因为)()(32 a a ψψ'='，所以 a k Fe k a k D k a k C k 112222sin cos --=- （13） 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 F sin cos 00 F cos sin 00 0D sin cos 0 0cos sin 111112222222222122??? ????=+-+=-++=+--=+-+----a k a k a k a k e k aD k k aC k k e aD k aC k a k k aC k k B e k aD k aC k B e 解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式。要方程组有非零解，必 须 0Be k a k sin k a k cos k 0 e a k cos a k sin 00 a k sin k a k cos k e k 0a k cos a k sin e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=-------- 解此方程组 a k a k a k a k a k a k e k a k k a k k e a k a k a k a k e k e k a k k a k k e a k a k a k k a k k e 111111122222222112222222222sin cos cos sin 0 cos sin sin cos cos sin 0 sin cos 0--------------= ] sin cos sin cos cos sin [ ]cos sin sin cos sin cos [22222122 2221122222221222222211111111111a k e k a k a k e k a k e k a k a k e k e k a k a k e k a k e k k a k a k e k a k e k k e a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k -----------++ +-- +++-= ] 2cos 22sin )[( ] 2sin 2sin 2cos 2[ 221221 2 2222 1222221211a k k k a k k k e a k k a k k a k k k e a k a k --=-+-=-- 因为012≠-a k e ，所以 02cos 22sin )(22122122=--a k k k a k k k 即 022)(212212 2=--k k a k tg k k 这就是所求束缚态能级所满足的方程。 方法二：由（10）（11）式消去B ，得 a k D k k a k C k k a k D a k C 21 221222sin cos cos sin += +- 由（12）（13）式消去F ，得 a k D k k a k C k k a k D a k C 21 221222sin cos cos sin +- =+ 所以 0)cos sin (sin cos cos sin sin cos 221 2 2212221 2 2212=--+-+a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k 解得 0)cos sin )(sin cos ()cos sin )(sin cos ( 22122212221 22212=-+--+-a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k 0)cos sin )(sin cos ( 221 22212=-+a k a k k k a k a k k k 0cos sin cos sin cos sin 22221 222 1222212 2=--+a k a k a k k k a k k k a k a k k k 02cos 2 2sin ) 1(21 22212 2=-+-a k k k a k k k 02cos k 2 2sin )( 2212212 2=--a k k a k k k 022)(2122122=--k k a k tg k k 解法三：由(11)-(13)消去C ，得 )(sin 21122F B e k a k D k a k +=- 由(10)+(12) 消去C ，得 )(cos 212F B e a k D a k +=- 所以 122k a tgk k = （14） 由(11)+(13)消去D ，得 a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---= 由(12)-(10)消去D ，得 a ik e B F a k C 1)(sin 22--= 所以 122k a ctgk k -= （15） 令 ，，a k a k 12==ηξ 则 ηξξ=tg ηξξ-=ctg 2)(2 2 02 22 21 2 2 a U a k k μηξ=+=+ 合并（14）（15），得 2 1 222 122212122222/1/2122k k k k k k k k a k tg a tgk a k tg -=-=-= 8．分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ???? ???>≤≤-<≤<∞=b x b x a U a x U x x U 0 00)(10 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态薛定格方程为 )()()()(22 22x E x x U x dx d ψψψμ=+- 对各区域的具体形式为 Ⅰ： )0( )(21112 <=+''-x E x U ψψψμ Ⅱ： )0( 222022 a x E U <≤=+''-ψψψμ Ⅲ： )( 233132 b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ Ⅳ： )( 02442 x b E <=+''-ψψμ 对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故0)(1=x ψ。且 0) ( 222 02 =--''ψμψ E U （1） 0) ( 232 13 =++''ψμψ E U （2） 0242 4 =+''ψμψ E （3） 对于束缚态，有0<<-E U ，令2021)( 2 E U k -=μ，2 12 2)( 2 E U k +=μ，2232 E k μ-=，则 022 12 =-''ψψk （4） 032 23 =+''ψψk （5） 04234 =-''ψψk （6） 各方程的解分别为 ??? ??+=+=+=-+-x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 331142232cos sin ψψψ 利用波函数的有限性： 因为)(4∞ψ有限，所以0=E ，因此x k Fe 34-=ψ 。 利用波函数及其一阶导数的连续： 因为 )0()0(21ψψ=，所以A B -=，因此)(112x k x k e e A --=ψ； 因为)()(32a a ψψ=，所以 a k D a k C e e A x k x k 22cos sin )(11+=-- （7） 因为)()(32 a a ψψ'='，所以 a k Dk a k Ck e e Ak a k a k 22221sin cos )(11-=+- （8） 因为)()(43b b ψψ=，所以 b k Fe b k D b k C 322cos sin -=+ （9） 因为)()(43 b b ψψ'='，所以 b k e Fk b k Dk b k Ck 332222cos sin --=- （10） 由（7）、（8）得 a k D a k C a k D a k C e e e e k k a k a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=-+-- (11) 由（9）、（10）得 D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- D b k b k k k C b k b k k k )sin cos ()sin cos ( 223 22232+-=+ （12） 令21 11 11k k e e e e a k a k a k a k ?-+=--β，则（11）式变为 0)sin cos ()cos sin (2222=++-D a k a k C a k a k ββ （13） 联立（12）、（13）得，要此方程组有非零解，必须 0) sin cos ()cos sin () cos sin ()sin cos ( 2222223 22232=+-+-+a k a k a k a k b k b k k k b k b k k k ββ 解方程 0)cos sin )(cos sin ()sin cos )( sin cos ( 223 222223222=+---++b k b k k k a k a k b k b k k k a k a k ββ 0 cos cos sin cos )cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos 2222223222322222223 22232=+--++++a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k ββ ββ 0)1)(((cos ))((sin 3 22322=+-+- -k k a b k k k a b k ββ )()1()( 3 2322ββ-+ =-k k k k a b tgk 把β代入即得 )()1()( 111111112132322a k a k a k a k a k a k a k a k e e e e k k k k e e e e k k a b tgk -----+--++=- 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 附：从方程（10）之后也可以直接用行列式求解。 补 充 1．设一粒子的状态用)(x ψ描述，问在0>x 的区域找到此粒子的几率。设)(x ψ是归一化的波函数。 解：因为此粒子出现在)(dx x x +，处的几率为dx x 2 )(ψ，所以在0>x 区间出现的几率为 ? ∞ 2 )(dx x ψ。 2．设一粒子的状态用归一化波函数），，z y x (ψ描述，问在)(dx x x +，薄立方体内找到粒子的几率。 解：因为粒子出现在体积元 )dz z z dy y y dx x x +++—，—，—（中的几率为τψd z y x 2 )(，，，所以在)(dx x x +，内找到粒子的几率为 ? ? ∞∞ 2 )(dydz z y x dx ，，ψ 3．设粒子的状态用归一化波函数），，?θψr (描述，问在)(dr r r +，球壳内找到粒子的几率。 解：因为粒子出现在点），，?θr (的领域τd 内的几率为 ?θθ?θψτ?θψd drd r r d r sin )()(22 2，，，，= 所以在)(dr r r +，球壳内找到粒子的几率为 2 20 2 )(sin ?θψ?θθπ π，，r d d dr r ?? 4．设)(1x ψ和)(2x ψ是体系的哈密顿量H ?的两个本征函数，分别属于本征值1E 和2E ， 问线性叠加态 t iE t iE e x c e x c t x 2 1 )()(),(2211- - +=ψψψ 是否为定态？ 解：由题设知 )()(?111x E x H ψψ= )()(?2 22x E x H ψψ= t iE e x 1 )(1- ψ是能量为1E 的定态，t iE e x 2 )(2- ψ是能量为2E 的定态，但它们的叠加态不 是定态，因为 t iE t iE e x c E e x c E t x H 2 1 )()(),(?2221 11- - +=ψψψ ??? ? ????+≠--t iE t iE e x c e x c E 21)()(2211ψψ),(t x E ψ= 即在),(t x ψ态下，能量无确定值。 第三章 习题解答 1．一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 22 /122)(-- =，求 （1）势能的平均值222 1 x U μω=； （2）动能的平均值2 21P T μ = ； （3）动量的几率分布函数。 解：（1）? ? ?∞ ∞ --=∞ ∞ --∞ ∞ -?== =dy e y dx e x dx x x x x y y x x 2 2 223 2 2 * 2 1)()(α παπ α ψψαα z y z dz dy y dy e y == ∞ -= = ? 22 20 22 2 π α ? ? ∞ -∞ -= 21 2 2 2 22 dz e z z dz ze z z π α π α ) (2 1 1 )(1 1 212 2320 1 2 32Γ??= Γ= = ? ∞ --παπ απ αdz e z z 22 212 11 αππα=??= ?? ? ? ? ? = μωα （或利用 a a n dx e x n n ax n π 10 22)12(5312 +∞ --??= ? ） 所以 222 1x U μω= ωμωμω 41 21212=??= （2）221P T μ=dx x dx d x )(2)(222* ψμψ?∞∞-??? ? ??-= ?∞∞---??? ? ??-=dx e dx d e x x 2 22222 2222ααμπα ?∞∞--+-??? ? ??-=dx x e x )(22 4222 2ααμπ αα ? ∞ ∞ ---= dx e x x ααπ μαα2 2)1(22 22 2 ? ?∞ -∞ ∞ --=-= -= 22 22 222 2 )1()1(2dy e y dy e y y y y x π μαπ μαα ? ∞ ∞ ----=-= dz e z z z z y )(212 312 1222π μα {}() πππ μαπμα2 1 2 22 3 21222)()(2- =Γ-Γ= ωμωμμα 4 144222=== 或 ωωω 4 1 4121=-= -=U E T 。 （3）dx e t x t P c iPx ?∞ ∞ -- = )(21 )(，，ψπ dx e e iPx t i x ? ∞ ∞ ---- = ωαπ α π2 22 1 2221 dx e e iP x t i P ? ∞ ∞ -?? ? ?? +---= 2 222222 22 22 121 ααωαπ α π πα π απωα2 212 22 12 2 2 ? = -- t i P e t i P e ωααπ2 221 2 2 2 1 -- = 所以，动量几率分布函数为 2 222 1 2 1 )(ααπ P e t P c - = ， 2．氢原子处在基态0 30 1 )(a r e a r - = π?θψ，，。求（1）r 的平均值；（2）势能r e 2 -的 平均值；（3）最可几半径；（4）动能的平均值；（5）动量的几率分布函数。 解：（1）r 的平均值为 τ?θψ?θψd r r r r ?=),,(),,(*?=τ?θψd r r 2 ),,( ?θθπππd rd d r re a a r sin 1 220 /230 0??? ∞ -=? ∞ -= /2330 04dr a r a a r 04 03023 2!34a a a =??? ? ??= 其中利用了 ? ∞ +-= 1 !n ax n a n dx e x 。 （2）势能r e 2 -的平均值为 2203020 /23 20 20 /23 02 20 2/23 2 2214 4 sin sin 1)(0 00a e a a e dr r e a e d drd r e a e d drd r e r a e r e U a r a r a r - =??? ? ??-=-=-=-=-=? ??? ??? ∞ -∞ -∞ -ππππ?θθπ?θθπ （3）电子出现在dr r +球壳内出现的几率为 ? ? =π π ?θθ?θψω0 20 22 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2 /230 04-= 2 /230 04)(r e a r a r -= ω 0/2030 )2 2(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0) (=dr r d ω，则0321 , ,0 a r r r =∞==。 当∞==21 ,0 r r 时，0)( =r ω为几率最小位置。因为 /222 03022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω 08) (2 30 2 20 <- =-=e a dr r d a r ω 所以，0a r =是最可几半径。 （3）因为22 22?21??-==μ μ p T ，所以动能的平均值为 ???∞--?-=ππ?θθπμ02002 /2/30 2 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ???∞---=ππ?θθπμ02002/22/3 02 sin )]([11200d drd r e dr d r dr d r e a a r a r ?∞----=0/020 302 )2()1(240 dr e a r r a a a r μ 2 2 2 0204022)442(24a a a a μμ =-= 其中利用了??? ?????+??? ? ?????+??? ??????=?22222 2 sin 1sin sin 11 ?θθθθθr r r r 。 （5）因为τ?θψψd r r p c p ),,()()(* ?= ，所以
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