信息光学
信息光学（傅立叶光学）是综合性大学、工科院校和高等师范院校近代光学、信息光学、激光、光电子等专业研究生和大学高年级的必修课，它是从事光学和光电子领域科学研究和产品开发人员必须的理论基础。其主要内容一般包括傅立叶光学、标量衍射理论、透镜的性质、部分相干光理论、光学全息及光信息处理等。限于本课程的课时限制，我们准备主要讲授傅立叶光学、透镜性质、标量衍射理论、部分相干光理论的内容本课程的主要内容讲授拟分八章。
第一章：数学预备知识；
第二章：二维傅立叶分析；
第三章：衍射理论基础；
第四章：菲涅耳衍射、夫琅和费衍射；
第五章：透镜的傅立叶变换特性与成象性质；
第六章：成象光学系统的传递函数；
第七章：部分相干光理论；
主要参考书
①黄婉云，傅立叶光学教程，北师大出版社，1984
②羊国光，宋菲君，高等物理光学，中国科大出版社，1991
③J. W. Goodman, 詹达三译，傅立叶光学导论，科学出版社，1976
④朱自强等，现代光学教程，四川大学出版社，1990
⑤卞松玲等，傅立叶光学，兵器工业出版社，
⑥蒋秀明等，高等光学，上海交大出版社
⑦M. 波恩，E. 沃耳夫，光学原理，科学出版社，1978
⑧吕乃光等，傅立叶光学基本概念和习题
⑨谢建平等，近代光学基础，中国科技大学出版社，1990
第一章：数学预备知识
为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数
一、 矩形函数（rectangle function ）
1、一维矩形函数
表达式为：???
????>-≤-=-2
1||0
21
||
1)(rect 000a x x a x x a x x
其函数图形为：
当x 0=0，a =1时，矩形函数为：???
?
??
?
>
≤=2
1||021
||1)(rect x x x [此时rect(x )=rect(-x )]
其图形为
2、二维矩形函数
表达式为：???
?
???>->-≤-≤-=-?-2
1||,21||0
21
||,21||
1)()(000000b y y a x x b y y a x x b y y rect a x x rect
其函数图形为：
二维矩形函数可以用来描述屏上矩形孔的透过系数。对于单缝，则单缝的透过率函数可以写为
)(
rect ).(0
a
x x y x f -=， 其中x=x 0是单缝的中心，单缝宽度为a 。
矩形函数是一个十分有用的函数，它可以用来以任意幅度和任意宽度截取某个函数的任一段。例如x x rect πsin )1(-，其截取的是sin πx 的[1/2，3/2]间的一段，其图形为
二、 sinc 函数 sinc 函数的定义是
b
x x )b x x sin()b
x x (
sinc 00
-π
-π
=- 其函数图形为
-15
-10
-5
5
10
15
20
-0.4
-0.20.00.20.40.6
0.81.01.2s i n c (x )
X
单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数就是sinc(x)函数。单缝夫琅和费衍射的光强分布
函数则为sinc 2(x)，函数在x=x 0 有一极大值1，零点在x-x 0=±nb ，图形为
-10
-5
5
10
15
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s i n c 2
(x )
X
二维sinc 函数的定义为
a
y y )a y y sin(b x x )b x x
sin()a
y y (sinc )b x x (
sinc 00
000
0-π
-π?-π-π
=-- 其函数图形为(矩孔夫琅和费衍射空间振幅分布)
f
单矩孔衍射空间光强分布
f
三、 符号函数
符号函数定义为
??
?
??<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x
四、 阶跃函数
阶跃函数的定义为
????
???<=>=0
x ,00x ,210x ,1)x (step
作用相当于一个“开关” 五、 三角函数
三角函数的定义为
?????≤-
=Λother ,
0a |x |,a
|
x |1)a x (（或用tri(x)表示三角函数）
a>0,函数以原点为中心，底边宽为2a,高为1的等腰三角形。 三角函数可表示为光瞳为矩形的非相关成像系统的光学传递函数。
六、 圆域函数
圆域函数的定义是
????
?>+≤+=+=0
2
2
0220
2200
1
)(circ )(circ r y x r y x r y x r r
可表示圆孔的透射率。
七、 高斯函数（Gaussian Function ）
])a
x x (exp[)a x x (
Gaus 2
00-π-=- 其函数图形为
高斯函数可描述激光器发出的高斯光束。
§1-2 δ函数
一、 δ函数的概念
在物理技术研究中，经常会碰到单位脉冲函数。因为许多物理现象具有脉冲性质。对于质点、点电荷、点光源、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的某一瞬时的抽象模型，在物理学中引入了狄拉克（Dirac ）函数描述具有集中或瞬时的物理现象，简记为δ函数。
??
?≠=∞=δ0x 00
x )x ( ??
?≠=∞=δ0
x 00
x )y ,x ( 1dx )x (?∞
∞
-=δ
1dx dy )y ,x (?
∞∞
-=δ
δ函数是一个广义函数（它是某种通常函数系列的极限，且这个极限是在积分意义上说的），它没有普通意义下的“函数值”，所以它不能用通常意义下“值的对应关系”来定义。
以一维为例说明为什么？
)Nx (Nrect )(x lim n ∞
→=δ
x
1
2N -1
2N
工程上常将δ函数称为单位脉冲函数，将δ函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示δ函数的积分，叫做δ函数的强度。δ函数的形式是多种多样的，课本表1-1给出了几个δ函数形式。
?
∞
∞
-=δ)0(f dx )x ()x (f
)0,0(f dxdy )y ,x ()y ,x (f ??∞
=δ
位于x 0点的δ函数可以写成
?
?
?=∞≠=-δ00
0x x x x 0)x x ( 一个三维δ函数往往用三个一维δ函数的乘积表示
)()()()(z y x δδδδ=r
二、 δ函数的性质
1、δ函数是偶函数，其导数是奇函数；
2、δ函数的挑选性（筛选性）；即?∞
∞-=-δ)x (f dx )x x ()x (f 00
3、δ函数的卷积性质：即)x (f )x (*)x (f =δ
4、δ函数的相乘性质：若f (x )在x 0连续，则)x x ()x (f )x x ()x (f 000-δ=-δ
5、δ函数的坐标缩放性质：即)x (|
a |1
)ax (δ=
δ 6、可分离变量性 如：三维 )()()()(z y x δδδδ=r δ函数的这些性质在Fourier 光学中很有用。 三、 梳状函数及性质
若在同一直线上有无穷多个等距离的脉冲物理量，则可以用无穷多个δ函数之和来描述，为了方便，定义梳状函数 ∑∞
-∞
=-=
n n x x )()(comb δ n 为整数，其函数图象如下。
在描写光栅透过率时，用梳状函数很方便。
梳状函数的性质
1. ∑∞
-∞
=+-δ=-n 00
)na x x (|a |)a x x (comb 2. ∑∞
-∞
=-=
*n )n x (f )x (f )x (comb
3. ∑∞
=-=?n )()()()(comb n x n f x f x δ
∑∞
=-=?n )()()()(comb 1
τδττ
τn x n f x f x
§1-3卷积与相关 1、卷积（褶积）的定义
函数f (x )和g (x )的卷积定义为：
?
∞∞
--=*ξξξd x h f x h x f )()()()(
对于二维情况，定义为：
?∞
∞---=*ηξηξηξd d y x h f y x h y x f ),(),(),(),(
如果f (x ，y )和h (x ，y )描述的是两个真实的光学量，则f (x ，y )* h (x ，y )总是存在的。卷积的几何意义可以由下面的图形说明。 设2
)(),sin()(ξξξξ-==e h f ，其函数图形为
-4-20246
f (ξ),h (ξ)
ξ
函数2
)(ξξ-=e h 对称竖轴反转，再沿ξ轴平移x 之后，其图形变为
-4-20246
f (ξ),h (ξ)
ξ
2
)()sin(x e --ξξ的图形为
-4-20246
f (ξ),h (ξ)
ξ
所以卷积?∞
∞--=*ξξξd x h f x h x f )()()()(就是
求2
)()sin(x e --ξξ曲线（绿色）与ξ轴所围的面积。当x 不同时，2
)()sin(x e --ξξ曲线（绿色）与ξ轴所围的面积也就不同（如右图）。
1）卷积符合交换律
2）卷积满足分配律
3）卷积的位移性质
若f(x,y)*g(x,y)=h(x,y)，则f(x-x0,y-y0)*g(x,y)=h(x-x0,y-y0) (证略) 4）结合律
3、相关函数的定义
§1-4 Fourier 级数
Fourier 分析方法是研究振动和波动现象的重要工具。其在物理上说明：任意波形总能进行谱分解——即表示为不同频率、不同振幅的简谐波的叠加。上世纪六十年代发展了快速Fourier 变换（FFT ），为Fourier 分析在实际中广泛应用创造了条件。现在的有关数值计算程序，如Fortran 、Matlab 、Mathcad 等都加挂了FFT 程序模块，为实际应用提供了方便。
因为三角函数族 ,x n sin ,x 2sin ,x sin ,x n cos ,x 2cos ,x cos 1
ωωωωωω，是区间[-T/2，T/2]上的完备正交函数系（其中ω=2π/T ），所以一个以T 为周期，在[-T/2，T/2]上绝对可积的函数f (x )可以展为Fourier 级数，即
)2sin 2cos (2~)(10∑∞
=++n n n T
x n b T x n a a x f ππ
其中
1.常用的非初等函数：矩形函数、Sinc函数、三角形函数、符号函数、阶跃函数、圆柱函 数。 2.δ函数的定义：a.类似普通函数定义b.序列极限形式定义c.广义函数形式定义 δ函数的性质：a.筛选性质 b.坐标缩放性质 c.可分离变量性 d.与普通函数乘积性质 4.卷积，性质：线性性质、交换律、平移不变性、结合律、坐标缩放性质 5.互相关，两个函数f(x,y）和g(x,y)的互相关定义为含参变量的无穷积分 6.惠更斯-菲涅尔原理：光场中任意给定曲面上的诸面元可以看作是子波源，如果这些子 波源是相干的，则在波继续传播的空间上任意一点处的光振动都可看作是子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。 7.基尔霍夫理论：在空域中光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上 的场分布则等于他们所发出的带有不同权重的因子的球面子波的相干叠加。 8.角谱理论：孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单 色平面波分量的线性组合。 9.点扩散函数：面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，这个像场分布函数叫做~。 10.菲涅尔衍射成立的充分条件： 传递函数： 11.泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透 明片后的某些距离上出现该周期函数的现象，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为~。 12.夫琅禾费衍射： 13.衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。 14.单色信号的复表示：去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成分。 多色信号的复表示： 16.如果两点处的光扰动相同，两点间的互相干函数将变成自相干函数。 18.光学全息：利用干涉原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，使物光 波前的全部信息都储存在记录介质中，做记录的干涉条纹图样被称为“全息图”，当用光波照射全息图时，由于衍射原理能能重现出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维像，这个波前记录和重现的过程成为~ 19.+1级波（虚像），-1级波（实像），±1级波（赝像） 20.从物光与参考光的位置是否同轴考虑：同轴全息、离轴全息。 从记录时物体与全息图片的相对位置分类：菲涅尔全息图、像面全息图、傅里叶变换全息图。 从记录介质的厚度考虑：平面全息图、体积全息图。 21.菲涅尔全息图：记录平面位于物体衍射光场的菲涅尔衍射区，物光由物体直接照到底片 上 傅里叶全息图：物体或图像频谱的全息记录。
实验算法BP神经网络实验 【实验名称】 BP神经网络实验 【实验要求】 掌握BP神经网络模型应用过程，根据模型要求进行数据预处理，建模，评价与应用； 【背景描述】 神经网络：是一种应用类似于大脑神经突触联接的结构进行信息处理的数学模型。BP神经网络是一种按照误差逆向传播算法训练的多层前馈神经网络，是目前应用最广泛的神经网络。其基本组成单元是感知器神经元。 【知识准备】 了解BP神经网络模型的使用场景，数据标准。掌握Python/TensorFlow数据处理一般方法。了解keras神经网络模型搭建，训练以及应用方法 【实验设备】 Windows或Linux操作系统的计算机。部署TensorFlow，Python。本实验提供centos6.8环境。 【实验说明】 采用UCI机器学习库中的wine数据集作为算法数据，把数据集随机划分为训练集和测试集，分别对模型进行训练和测试。 【实验环境】 Pyrhon3.X，实验在命令行python中进行，或者把代码写在py脚本，由于本次为实验，以学习模型为主，所以在命令行中逐步执行代码，以便更加清晰地了解整个建模流程。 【实验步骤】 第一步：启动python： 1
命令行中键入python。 第二步：导入用到的包，并读取数据： (1).导入所需第三方包 import pandas as pd import numpy as np from keras.models import Sequential from https://www.doczj.com/doc/b511135829.html,yers import Dense import keras (2).导入数据源,数据源地址:/opt/algorithm/BPNet/wine.txt df_wine = pd.read_csv("/opt/algorithm/BPNet/wine.txt", header=None).sample(frac=1) (3).查看数据 df_wine.head() 1
资源Github，kaggle Python工具库：Numpy，Pandas，Matplotlib，Scikit-Learn，tensorflow Numpy支持大量维度数组与矩阵运算，也针对数组提供大量的数学函数库 Numpy : 1.aaa = Numpy.genfromtxt(“文件路径”,delimiter = “,”,dtype = str)delimiter以指定字符分割，dtype 指定类型该函数能读取文件所以内容 aaa.dtype 返回aaa的类型 2.aaa = numpy.array([5,6,7,8]) 创建一个一维数组里面的东西都是同一个类型的 bbb = numpy.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,0],[11,22,33,44,55]]) 创建一个二维数组aaa.shape 返回数组的维度print(bbb[:,2]) 输出第二列 3.bbb = aaa.astype(int) 类型转换 4.aaa.min() 返回最小值 5.常见函数 aaa = numpy.arange(20) bbb = aaa.reshape(4,5)
numpy.arange(20) 生成0到19 aaa.reshape(4,5) 把数组转换成矩阵aaa.reshape(4,-1)自动计算列用-1 aaa.ravel()把矩阵转化成数组 bbb.ndim 返回bbb的维度 bbb.size 返回里面有多少元素 aaa = numpy.zeros((5,5)) 初始化一个全为0 的矩阵需要传进一个元组的格式默认是float aaa = numpy.ones((3,3,3),dtype = numpy.int) 需要指定dtype 为numpy.int aaa = np 随机函数aaa = numpy.random.random((3,3)) 生成三行三列 linspace 等差数列创建函数linspace(起始值，终止值，数量) 矩阵乘法： aaa = numpy.array([[1,2],[3,4]]) bbb = numpy.array([[5,6],[7,8]]) print(aaa*bbb) *是对应位置相乘 print(aaa.dot(bbb)) .dot是矩阵乘法行乘以列 print(numpy.dot(aaa,bbb)) 同上 6.矩阵常见操作
1.简述激活函数的作用 使用激活函数的目的是为了向网络中加入非线性因素；加强网络的表示能力，解决线性模型无法解决的问题 2.那为什么要使用非线性激活函数？ 为什么加入非线性因素能够加强网络的表示能力？——神经网络的万能近似定理 ?神经网络的万能近似定理认为主要神经网络具有至少一个非线性隐藏层，那么只要给予网络足够数量的隐藏单元，它就可以以任意的精度来近似任何从一个有限维空间到另一个有限维空间的函数。 ?如果不使用非线性激活函数，那么每一层输出都是上层输入的线性组合；此时无论网络有多少层，其整体也将是线性的，这会导致失去万能近似的性质 ?但仅部分层是纯线性是可以接受的，这有助于减少网络中的参数。3.如何解决训练样本少的问题？ 1.利用预训练模型进行迁移微调（fine-tuning），预训练模型通常在特征上拥有很好的语义表达。此时，只需将模型在小数据集上进行微调就能取得不错的效果。CV 有 ImageNet，NLP 有 BERT 等。 2.数据集进行下采样操作，使得符合数据同分布。
3.数据集增强、正则或者半监督学习等方式来解决小样本数据集的训练问题。 4.如何提升模型的稳定性？ 1.正则化（L2, L1, dropout）：模型方差大，很可能来自于过拟合。正则化能有效的降低模型的复杂度，增加对更多分布的适应性。 2.前停止训练：提前停止是指模型在验证集上取得不错的性能时停止训练。这种方式本质和正则化是一个道理，能减少方差的同时增加的偏差。目的为了平衡训练集和未知数据之间在模型的表现差异。 3.扩充训练集：正则化通过控制模型复杂度，来增加更多样本的适应性。 4.特征选择：过高的特征维度会使模型过拟合，减少特征维度和正则一样可能会处理好方差问题，但是同时会增大偏差。 5.你有哪些改善模型的思路？ 1.数据角度 增强数据集。无论是有监督还是无监督学习，数据永远是最重要的驱动力。更多的类型数据对良好的模型能带来更好的稳定性和对未知数据的可预见性。对模型来说，“看到过的总比没看到的更具有判别的信心”。 2.模型角度
信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1、1 简要说明以下系统就是否有线性与平移不变性、 (１) (2) (3） (4） (5） 解：（１）线性、平移不变; (2）线性、平移不变; （3）非线性、平移不变; （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1、２ 证明 证明:左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边=0,当n 为偶数时,右边＝ 所以当n 为偶数时,左右两边相等。 1、3 证明 证明:根据复合函数形式得δ函数公式 式中就是h （x)=０得根，表示在处得导数.于就是 1、4 计算图题1、1所示得两函数得一维卷积。 解:设卷积为g （x)。当—１≤ｘ≤０时，如图题1、1（a ）所示, 图题１、1 当０ < x ≤１时,如图题1、1(b)所示， 即
1、5 计算下列一维卷积。 （1） （２) (3） 解：(1)?? ? ??-=??? ??-*??? ??-=??? ??-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ (2)设卷积为ｇ（x)，当x ≤０时，如图题1、2(a ）所示， 当0 〈 x 时,如图题1、2(b ）所示 图题1、2 即 （３） １、６ 已知得傅立叶变换为,试求 （1） （2) 解:设 即 由坐标缩放性质 得 （1)(){}{} )ex p()ex p(/ex p(ex p 2222 2 ξπππππ-=-=-?=-?z y x （2） 1、7 计算积分、(1） （2) 解：应用广义巴塞伐定理可得 （１)3 2)1()1()()()(sin )(sin 1 2 1 2 2 2 = -++=ΛΛ= ???? -∞ ∞ -∞ ∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c (2）????????? ?? -Λ+??? ??+Λ=???∞∞ -∞∞-∞ ∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2 １、8 应用卷积定理求得傅里叶变换、 解:{}{}{}?? ? ??*= ?*?=?2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c
数据库常用函数
一、基础 1、说明：创建数据库 CREATE DATABASE database-name 2、说明：删除数据库 drop database dbname 3、说明：备份和还原 备份：exp dsscount/sa@dsscount owner=dsscount file=C:\dsscount_data_backup\dsscount.dmp log=C:\dsscount_data_backup\outputa.log 还原：imp dsscount/sa@dsscount file=C:\dsscount_data_backup\dsscount.dmp full=y ignore=y log=C:\dsscount_data_backup\dsscount.log statistics=none 4、说明：创建新表 create table tabname(col1 type1 [not null] [primary key],col2 type2 [not null],..) CREATE TABLE ceshi(id INT not null identity(1,1) PRIMARY KEY,NAME VARCHAR(50),age INT) id为主键，不为空，自增长 根据已有的表创建新表： A：create table tab_new like tab_old (使用旧表创建新表) B：create table tab_new as select col1,col2… from tab_old definition only 5、说明：删除新表 drop table tabname 6、说明：增加一个列 Alter table tabname add column col type 注：列增加后将不能删除。DB2中列加上后数据类型也不能改变，唯一能改变的是增加varchar类型的长度。 7、说明：添加主键： Alter table tabname add primary key(col) 说明：删除主键： Alter table tabname drop primary key(col) 8、说明：创建索引：create [unique] index idxname on tabname(col….) 删除索引：drop index idxname 注：索引是不可更改的，想更改必须删除重新建。 9、说明：创建视图：create view viewname as select statement 删除视图：drop view viewname 10、说明：几个简单的基本的sql语句 选择：select * from table1 where 范围 插入：insert into table1(field1,field2) values(value1,value2) 删除：delete from table1 where 范围 更新：update table1 set field1=value1 where 范围
信息光学公式 1·矩形函数 ? ??? ? ≤-=??? ??-其它 , 021,10 0a x x a x x rect F { a sinc(a x ) } = rect(f /a ) F ?? ? ??Λ= b f b 1 (bx)}{sinc 2 2·inc s 函数 ()()a x x a x x a 0 00sin x x sinc --= ??? ??-ππ 3·三角形函数 ? ????≤-=??? ??Λ其它 , 0,1a x a x a x 4·符号函数 ()?? ? ??<-=>=0,10,00, 1sgn x x x x 5·阶跃函数 ()? ??<>=0,00 ,1x x x step 6·圆柱函数 ?? ???<+=???? ??+其它 ,0, 12 22 2a y x a y x circ 极坐标内 ?? ?><=??? ??a r o a r a r , ,1circ 7·δ函数的定义 普通函数形式的定义 ()()????? ?? =? ? ?==∞≠≠=∞ ∞ -?? 1 ,0,0,0, 0,dxdy y x y x y x y x δδ 广义函数形式的定义 ()()()0,0,,φφδ=∞ ∞ -?? dxdy y x y x 其中()y x ,φ在原点处连续 δ函数的性质 设函数()y x f ,在()00,y x 点出连续，则有 筛选性质 ()()()y x f dxdy y y x x y x f ,,,00=--∞ ∞ -?? δ 坐标缩放性质 ()()y x ab by ax ,1,δδ= 可变性 ()()()y x y x δδδ=, 8·梳状函数性质 ()()()∑∑∞ -∞ =∞∞ -=-= m nx j m x x πδ2exp comb ()∑∞ ∞ -?-?=??? ???x m x x x x δcomb ()∑∞ -∞=?? ? ?? ?-?=?m x m x x δ1 xx comb ()()ξcomb x comb ??→←? ()ξx comb x x comb ????→←?? ? ????x ()()()y x comb comb y x,comb = 9·傅里叶变换 ()()(){}dxdy y x j y x f F ηξπηξ+-=∞ ∞-?? 2exp ,, ()()()[]ηξηξπηξd d y x j F y x f += ∞ ∞ -?? 2exp ,, 10·阶跃函数step(x)的傅里叶变换 (){}(){}()? ?????-= +=??πξξδj 21x sgn 12 1 x step 11·卷积的定义 ()()()()()x h x f d x h f x g *=-= ?∞ ∞ -α αα 定义()x f 和()x h 的二维卷积： ()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--= ??∞ ∞ -β αβαβα 卷积的几个重要性质： 线性性质： {) ,(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+卷积符合交换律： ,(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=* 卷积符合结合律： [][] ),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则
一、描述统计 描述性统计是指运用制表和分类，图形以及计筠概括性数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度、峰度。 1、缺失值填充：常用方法：剔除法、均值法、最小邻居法、比率回归法、决策树法。 2、正态性检验：很多统计方法都要求数值服从或近似服从正态分布，所以之前需要进行正态性检验。常用方法：非参数检验的K-量检验、P-P图、Q-Q图、W检验、动差法。 二、假设检验 1、参数检验 参数检验是在已知总体分布的条件下（一股要求总体服从正态分布）对一些主要的参数(如均值、百分数、方差、相关系数等）进行的检验。 1）U验使用条件：当样本含量n较大时，样本值符合正态分布 2）T检验使用条件：当样本含量n较小时，样本值符合正态分布 A 单样本t检验：推断该样本来自的总体均数μ与已知的某一总体均数μ0 (常为理论值或标准值)有无差别； B 配对样本t检验：当总体均数未知时，且两个样本可以配对，同对中的两者在可能会影响处理效果的各种条件方面扱为相似； C 两独立样本t检验：无法找到在各方面极为相似的两样本作配对比较时使用。 2、非参数检验 非参数检验则不考虑总体分布是否已知，常常也不是针对总体参数，而是针对总体的某些一股性假设（如总体分布的位罝是否相同，总体分布是否正态）进行检验。 适用情况：顺序类型的数据资料，这类数据的分布形态一般是未知的。
A 虽然是连续数据，但总体分布形态未知或者非正态； B 体分布虽然正态，数据也是连续类型，但样本容量极小，如10以下； 主要方法包括：卡方检验、秩和检验、二项检验、游程检验、K-量检验等。 三、信度分析 检査测量的可信度，例如调查问卷的真实性。 分类： 1、外在信度：不同时间测量时量表的一致性程度，常用方法重测信度 2、内在信度；每个量表是否测量到单一的概念，同时组成两表的内在体项一致性如 何，常用方法分半信度。 四、列联表分析 用于分析离散变量或定型变量之间是否存在相关。 对于二维表，可进行卡方检验，对于三维表，可作Mentel-Hanszel分层分析。列联表分析还包括配对计数资料的卡方检验、行列均为顺序变量的相关检验。 五、相关分析 研究现象之间是否存在某种依存关系，对具体有依存关系的现象探讨相关方向及相关程度。 1、单相关：两个因素之间的相关关系叫单相关，即研究时只涉及一个自变量和一个因变量； 2、复相关：三个或三个以上因素的相关关系叫复相关，即研究时涉及两个或两个以上的自变量和因变量相关； 3、偏相关：在某一现象与多种现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量之间的相关关系称为偏相关。 六、方差分析
Tensorflow笔记：第七讲 卷积神经网络 本节目标：学会使用CNN实现对手写数字的识别。 7.1 √全连接NN：每个神经元与前后相邻层的每一个神经元都有连接关系，输入是特征，输出为预测的结果。 参数个数：∑（前层×后层+后层） 一张分辨率仅仅是28x28的黑白图像，就有近40万个待优化的参数。现实生活中高分辨率的彩色图像，像素点更多，且为红绿蓝三通道信息。 待优化的参数过多，容易导致模型过拟合。为避免这种现象，实际应用中一般不会将原始图片直接喂入全连接网络。 √在实际应用中，会先对原始图像进行特征提取，把提取到的特征喂给全连接网络，再让全连接网络计算出分类评估值。
例：先将此图进行多次特征提取，再把提取后的计算机可读特征喂给全连接网络。 √卷积Convolutional 卷积是一种有效提取图片特征的方法。一般用一个正方形卷积核，遍历图片上的每一个像素点。图片与卷积核重合区域内相对应的每一个像素值乘卷积核内相对应点的权重，然后求和，再加上偏置后，最后得到输出图片中的一个像素值。 例：上面是5x5x1的灰度图片，1表示单通道，5x5表示分辨率，共有5行5列个灰度值。若用一个3x3x1的卷积核对此5x5x1的灰度图片进行卷积，偏置项
b=1，则求卷积的计算是：(-1)x1+0x0+1x2+(-1)x5+0x4+1x2+(-1)x3+0x4+1x5+1=1（注意不要忘记加偏置1）。 输出图片边长=（输入图片边长–卷积核长+1）/步长，此图为：（5 – 3 + 1）/ 1 = 3，输出图片是3x3的分辨率，用了1个卷积核，输出深度是1，最后输出的是3x3x1的图片。 √全零填充Padding 有时会在输入图片周围进行全零填充，这样可以保证输出图片的尺寸和输入图片一致。 例：在前面5x5x1的图片周围进行全零填充，可使输出图片仍保持5x5x1的维度。这个全零填充的过程叫做padding。 输出数据体的尺寸=(W?F+2P)/S+1 W：输入数据体尺寸，F：卷积层中神经元感知域，S：步长，P：零填充的数量。 例：输入是7×7，滤波器是3×3，步长为1，填充为0，那么就能得到一个5×5的输出。如果步长为2，输出就是3×3。 如果输入量是32x32x3，核是5x5x3，不用全零填充，输出是（32-5+1）/1=28，如果要让输出量保持在32x32x3，可以对该层加一个大小为2的零填充。可以根据需求计算出需要填充几层零。32=（32-5+2P）/1 +1，计算出P=2，即需填充2
15个常用EXCEL函数,数据分析新人必备 本文实际涵盖了15个Excel常用函数，但是按照分类只分了十类。 很难说哪十个函数就绝对最常用，但这么多年来人们的经验总结，一些函数总是会重复出现的。 这些函数是最基本的，但应用面却非常广，学会这些基本函数可以让工作事半功倍。 SUM 加法是最基本的数学运算之一。函数SUM就是用来承担这个任务的。SUM的参数可以是单个数字、一组数字，因此SUM的加法运算功能十分强大。 统计一个单元格区域： =sum(A1:A12) 统计多个单元格区域： =sum(A1:A12,B1:B12) AVERAGE 虽然Average是一个统计函数，但使用如此频繁，应在十大中占有一席之位。 我们都对平均数感兴趣。平均分是多少？平均工资是多少？平均高度是多少？看电视的平均小时是多少？
Average参数可以是数字，或者单元格区域。 使用一个单元格区域的语法结构： =AVERAGE(A1:A12) 使用多个单元格区域的语法结构： =AVERAGE(A1:A12,B1:B12) COUNT COUNT函数计算含有数字的单元格的个数。 注意COUNT函数不会将数字相加，而只是计算总共有多少个数字。因此含有10个数字的列表，COUNT函数返回的结果是10，不管这些数字的实际总和是多少。 COUNT函数参数可以是单元格、单元格引用，甚或数字本身。 COUNT函数会忽略非数字的值。例如，如果A1:A10是COUNT函数的参数，但是其中只有两个单元格含有数字，那么COUNT函数返回的值是2。 也可以使用单元格区域作为参数，如： =COUNT(A1:A12) 甚至是多个单元格区域，如： =COUNT(A1:A12,B1:B12) INT和ROUND INT函数和ROUND函数都是将一个数字的小数部分删除，两者的区别是如何删除小数部分。
Tensorflow笔记：第四讲 神经网络优化 4.1 √神经元模型：用数学公式表示为：f(∑i x i w i+b)，f为激活函数。神经网络是以神经元为基本单元构成的。 √激活函数：引入非线性激活因素，提高模型的表达力。 常用的激活函数有relu、sigmoid、tanh等。 ①激活函数relu: 在Tensorflow中，用tf.nn.relu()表示 r elu()数学表达式 relu()数学图形 ②激活函数sigmoid：在Tensorflow中，用tf.nn.sigmoid()表示 sigmoid ()数学表达式 sigmoid()数学图形 ③激活函数tanh：在Tensorflow中，用tf.nn.tanh()表示 tanh()数学表达式 tanh()数学图形 √神经网络的复杂度：可用神经网络的层数和神经网络中待优化参数个数表示 √神经网路的层数：一般不计入输入层，层数 = n个隐藏层 + 1个输出层
√神经网路待优化的参数：神经网络中所有参数w 的个数 + 所有参数b 的个数 例如： 输入层 隐藏层 输出层 在该神经网络中，包含1个输入层、1个隐藏层和1个输出层，该神经网络的层数为2层。 在该神经网络中，参数的个数是所有参数w 的个数加上所有参数b 的总数，第一层参数用三行四列的二阶张量表示（即12个线上的权重w ）再加上4个偏置b ；第二层参数是四行两列的二阶张量（）即8个线上的权重w ）再加上2个偏置b 。总参数 = 3*4+4 + 4*2+2 = 26。 √损失函数（loss ）：用来表示预测值（y ）与已知答案（y_）的差距。在训练神经网络时，通过不断改变神经网络中所有参数，使损失函数不断减小，从而训练出更高准确率的神经网络模型。 √常用的损失函数有均方误差、自定义和交叉熵等。 √均方误差mse ：n 个样本的预测值y 与已知答案y_之差的平方和，再求平均值。 MSE(y_, y) = ?i=1n (y?y_) 2n 在Tensorflow 中用loss_mse = tf.reduce_mean(tf.square(y_ - y)) 例如： 预测酸奶日销量y ，x1和x2是影响日销量的两个因素。 应提前采集的数据有：一段时间内，每日的x1因素、x2因素和销量y_。采集的数据尽量多。 在本例中用销量预测产量，最优的产量应该等于销量。由于目前没有数据集，所以拟造了一套数据集。利用Tensorflow 中函数随机生成 x1、 x2，制造标准答案y_ = x1 + x2，为了更真实，求和后还加了正负0.05的随机噪声。 我们把这套自制的数据集喂入神经网络，构建一个一层的神经网络，拟合预测酸奶日销量的函数。
习题2 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。 (1) ()rect(2)n f x x n ∞=-∞ = -∑ (2) ()tri(2)n g x x n ∞ =-∞ =-∑ 证明下列傅里叶变换关系式： (1) {rect()rect()}sinc()sinc()F x y ξη=; (2) 2 2 {()()}sinc ()sinc ()F x y ξηΛΛ=; (3) {1}(,)F δξη=; (4) 11{sgn()sgn()}i πi πF x y ξη???? = ??????? ; (5) {(sin )}F n nx δ; (6) { }222 π()/e x y a F -+。 求x 和(2)xf x 的傅里叶变换。 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。 ()tri(1)tri(1)H ξξξ=+-- ()rect(/3)rect()G ξξξ=- 证明下列傅里叶变换定理： (1) 在所在(,)f x y 连续的点上1 1 {(,)}{(,)}(,)FF f x y F F f x y f x y --==--； (2) {(,)(,){(,)}*((,)}F f x y h x y F f x y F g x y =。 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式： (1) 若0()()r f r r r δ=-，则000{()}2πJ (2π)r B f r r r ρ=; (2) 若1a r ≤≤时()1r f r =，而在其他地方为零，则11J (2π)J (2π) {()}r a a B f r ρρρ -= ; (3) 若{()}()r B f r F ρ=，则21{()}r B f r a a ρ??= ??? ; (4) 2 2 ππ{e }e r B ρ--= 设(,)g r θ在极坐标中可分离变量。证明若i (,)()e m r f r f r θ θ=，则： i {(,)}(i)e H {()}m m m r F f r f r φ θ=- 其中H {}m 为m 阶汉克尔变换：0 {()}2π ()J (2π)d m r r m H f r rf r r r ρ∞ =? 。而(,)ρφ空间频率中的极坐 标。(提示：i sin i e J ()e a x kx k k a ∞ =-∞=∑)
【收藏】R数据分析常用包与函数 2016-09-26 R语言作为入门槛较低的解释性编程语言，受到从事数据分析，数据挖掘工作人员的喜爱，在行业排名中一直保持较高的名次（经常排名第一），下面列出了可用于数据分析、挖掘的R包和函数的集合。 1、聚类 常用的包：fpc，cluster，pvclust，mclust 基于划分的方法: kmeans, pam, pamk, clara 基于层次的方法: hclust, pvclust, agnes, diana 基于模型的方法: mclust 基于密度的方法: dbscan 基于画图的方法: plotcluster, plot.hclust 基于验证的方法: cluster.stats 2、分类 常用的包： rpart，party，randomForest，rpartOrdinal，tree，marginTree， maptree，survival 决策树: rpart, ctree 随机森林: cforest, randomForest 回归, Logistic回归, Poisson回归: glm, predict, residuals 生存分析: survfit, survdiff, coxph 3、关联规则与频繁项集 常用的包： arules：支持挖掘频繁项集，最大频繁项集，频繁闭项目集和关联规则 DRM：回归和分类数据的重复关联模型 APRIORI算法，广度RST算法：apriori, drm ECLAT算法：采用等价类，RST深度搜索和集合的交集：eclat 4、序列模式 常用的包：arulesSequences SPADE算法：cSPADE 5、时间序列 常用的包：timsac 时间序列构建函数：ts 成分分解: decomp, decompose, stl, tsr 6、统计 常用的包：Base R, nlme 方差分析: aov, anova 假设检验: t.test, prop.test, anova, aov
信息光学复习提纲 信息光学的特点 Ch1. 线性系统分析 1.矩形函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数 2.sinc函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数 3.三角函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数 4.符号函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数 5.阶跃函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数 6.余弦函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数 7. 函数：①三种定义②四大性质③作用 8.； ②图像③作用④傅里叶变换谱函数 9.梳状函数：①定义 10.高斯函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数 11.傅里叶变换（常用傅里叶变换对） 12.卷积：四大步骤，两大效应 13.互相关、自相关的定义、物理意义 14.傅里叶变换的基本性质和有关定理 15.线性系统理论 16.线性不变系统的输入输出关系，脉冲响应函数，传递函数 17.抽样定理求抽样间隔 ~
Ch2. 标量衍射理论 1. 标量衍射理论成立的两大条件 2.平面波及球面波表达式: exp[(cos cos cos )]A ik x y z αβγ++ （求平面波的空间频率） )](2exp[]exp[22y x z ik ikz z A + 3.惠更斯——菲涅耳原理： ()?? ∑ =ds r ikr K P U c Q U )exp()()(0θ ? 4.基尔霍夫衍射理论： ?? ∑ -= ds r ikr r n r n r ikr a j Q U ) exp(]2),cos(2),cos([)exp(1 )(0000 λ 令()()θλK r ikr j Q P h ) exp(1,= 所以()??∑ = ds Q P h P U Q U ,)()(0 当光源足够远，且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大时， (),1,cos 0≈r n (),1,cos ≈r n ().1≈∴θK 故()z ikr j Q P h ) exp(1,λ=，]})()[(211{20020z y y z x x z r -+-+≈ 5. 菲涅耳衍射——近场衍射： 0000202000022)](2exp[)](2exp[ ),()](2exp[)exp(),(dy dx yy xx z j y x z jk y x U y x z jk z j jkz y x U +-++= ?? ∞ ∞ -λπ λ6. 夫琅禾费衍射——远场衍射：（根据屏函数求衍射光强分布）
习 题 4 尺寸为a b ?的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射 光场的角谱。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径 轴上的强度分布： (1) 00(,)t x y = (2) 001,(,)0,a t x y ??≤=???其它 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+ 式中，d 为光栅的周期，0a b >>。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下述值时，确定 单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) 2 2r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 2 42r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面 上，坐标为(0,)b 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。观察平面位 于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。求衍射图样的强度分布。 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。其透射率可以表示为： 001,()0,a r a t r ε≤≤?=??其他 用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强 度分布。 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。采用单 位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
一、软件下载 为了更好的达到预期的效果，本次tensorflow开源框架实验在Linux环境下进行，所需的软件及相关下载信息如下： 1.CentOS 软件介绍： CentOS 是一个基于Red Hat Linux 提供的可自由使用源代码的企业级Linux 发行版本。每个版本的CentOS都会获得十年的支持（通过安全更新方式）。新版本的CentOS 大约每两年发行一次，而每个版本的CentOS 会定期（大概每六个月）更新一次，以便支持新的硬件。这样，建立一个安全、低维护、稳定、高预测性、高重复性的Linux 环境。CentOS是Community Enterprise Operating System的缩写。CentOS 是RHEL（Red Hat Enterprise Linux）源代码再编译的产物，而且在RHEL的基础上修正了不少已知的Bug ，相对于其他Linux 发行版，其稳定性值得信赖。 软件下载： 本次实验所用的CentOS版本为CentOS7,可在CentOS官网上直接下载DVD ISO镜像文件。 下载链接： https://www.doczj.com/doc/b511135829.html,/centos/7/isos/x86_64/CentOS-7-x86_64-DVD-1611.i so. 2.Tensorflow 软件介绍： TensorFlow是谷歌基于DistBelief进行研发的第二代人工智能学习系统，其命名来源于本身的运行原理。Tensor（张量）意味着N维数组，Flow（流）意味着基于数据流图的计算，TensorFlow为张量从流图的一端流动到另一端计算过程。TensorFlow是将复杂的数据结构传输至人工智能神经网中进行分析和处理过程的系统。TensorFlow可被用于语音识别或图像识别等多项机器深度学习领域，对2011年开发的深度学习基础架构DistBelief进行了各方面的改进，它可在小到一部智能手机、大到数千台数据中心服务器的各种设备上运行。TensorFlow将完全开源，任何人都可以用。
第1章 二维傅里叶分析 第一讲 光学中常用的几种非初等函数 δ函数 Ⅰ重要的基本概念和公式 δ函数性质 (1)筛选特性 0000(,)δ(,)d d (,)f x y x x y y x y f x y +∞-∞ --=?? (2)可分离变量 0000δ(,)δ()δ()x x y y x x y y --=-- (3)乘法性质 000000(,)δ(,)(,)δ(,)f x y x x y y f x y x x y y --=-- (4)坐标缩放 1 δ(.)δ(,)ax by x y ab = (5)积分形式 1 1 δ()cos , δ()d 22i x x xd x e ωωωωππ∞∞ ±-∞ -∞ = =?? Ⅱ 例题讲解： 证明：()x df e x x f j x δπ=? ∞ ∞ -±2 ()()[]()()() x x f x f f df x f df x f i x f df e x x x f x x x x x x x f j x x δππππππ===±=∞ →∞ ∞ ∞ -∞ ∞-±??? 22sin 22cos 22sin 2cos lim 20 2 此证明利用了关系式()()Nx c N x f N sin =； ()()y x f x N N ,lim ∞ →=δ Ⅲ 练习题： 一、计算题 1. 已知连续函数f (x )， a >0和b >0 。求出下列函数： (1) ()()()0x ax x f x h -=δ (2) ()()()[]x x comb x f x g 0-= （提出：本题主要复习δ函数的缩放性质和筛选性质；梳妆函数的抽样特征和平移复制功能） 第二讲 卷积和相关 Ⅰ重要的基本概念和公式
信息光学习题答案 信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?; g?x??????f????h?x????d?; 2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝
2所以当n为偶数时，左右两边相等。n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为g(x)。当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2