第3章 线性离散系统的描述及分析

第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析

3.1.1 差分方程

3.1.2 差分方程的解

A递推解

B古典解

C Z变换求解

3.2 Z变换

3.2.1 Z变换的定义

3.2.2 Z变换的性质

3.2.3 Z反变换

A长除法

B留数法

C部分分式法

3.3 离散时间系统的Z域分析

3.3.1 零输入响应

3.3.2 零状态响应

3.3.3 完全响应

3.4 Z传递函数及其求法

3.4.1 Z传递函数的定义

3.4.2 离散系统的运算

3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化

A对G(s)的讨论

B对离散化方法的评价

C 留数法

D直接代换法

E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法

G部分分式法

3.4.4 离散化方法小结

3.5 线性离散时间系统的稳定性分析

3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系

3.5.2 稳定判据

3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性

3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法

第3章 线性离散系统的描述及分析

3.1 差分方程及其时域分析

3.1.1 差分方程

在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式

1101101-1

()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,

(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n

--+++-++++=

=+++-+

+++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律: (2.1)

或写成

∑∑==-+--+=+m i n

j j i j n k y a i m k u b n k y 0

1

)

()()(

上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当

00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。

推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。

考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m ≤n 。

当m =n 时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”；

当m

差分方程也可以写成降序方式——式(2.1)中各项序号均减n

121011()(1)(2)(1)()()(1)(1)()

n n m m y k a y k a y k a y k n a y k n b u k b u k b u k n b u k n --+-+-++-++-==+-+

+-++- (2.2)

在降序方式中的n 和m 与升序方式中的n 和m 的含义不完全相同，因而对n 和m 并无限制。

在降序方式中，当b 0≠0时，相当于升序方式中m =n 的情况。此时“当前时刻的响应与当前时刻的输入有关”。

升序意味着超前，与连续时间系统中的微分相对应；当用Z 变换法求解差分方程时，升序方式便于考虑初始条件。

降序意味着滞后，与连续时间系统中的积分相对应；当用Z 变换法求解差分方程时，降序方式无法考虑初始条件。

3.1.2 差分方程的解

例：已知差分方程51

(2)(1)()(+1)+0.5()66

x k x k x k r k r k +-++=，其中r (k )=1，k ≥0，x (0)=1，x (1)=2

试由迭代法求其全解的前5项；

分别由古典法求其零输入解y zi (k )、零状态解y zs (k )，以及全解y (k )。

给定一个差分方程，根据特定的输入时间序列u (k ) 和初始条件，来求得其输出序列y (k )，一般有三种方法。 A. 递推解（迭代解）

对式(2.1)差分方程可以写成

显然给定初始条件后，就可依次求出各点值。

但是，式(2.1)差分方程中的n 个初始条件x (0)，x (10)，… x (n -1)仅仅是指“零输入初始条件”，进行递推求解时的初始条件应该是“全解初始条件”；因而应该先求出其“零状态初始条件”，“全解初始条件”是“零输入初始条件”与“零状态初始条件”之和。

上例……

已知零状态初始条件，由此可递推求得零输入解y zi (k )； 可求零输入初始条件，由此可递推求得零状态解y zs (k )；

以上初始条件之和为全解初始条件，由此递推即可直接求得全解y (k )=y zi (k )+y zs (k )。 B. 古典解法

1) 零输入解

在式(2.1)中令输入为零，即u (k )=0，k ≥0，则得齐次方程

01...111=++++-+++-)()()()(k y a k y a n k y a n k y n n

(2.3)

类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p ，对差分方程定义一个移序（增序）算子d ，即

)

()()()(n k y k y d n k y k y d n

n -=+=- (2.4)

于是式(2.3)可以表示成

111()()()()0n n n n d a d ...a d a y k A d y k --+++==＋

∑∑==-+--+=+m i n

j j i j n k y a i m k u b n k y 0

1

)

()()(

以多项式A (d )存在n 个单根为例，即

()1

()0,1,2,...,n

i i i A d d d d i n

==-≠=∏， ，

则有零输入解y zi (k )的“通解”式为

zi 11221

(),n

k k k k n n i i i y k C d C d ...C d C d k 0==+++=≥∑

(2.5)

其中C 1, C 2, ..., C n 是由n 个（另输入）初始条件决定的n 个待定常数。

设给定初始条件为 y (i )=y i ，i =0，1…，n -1，分别代人上式可得

10211222221211111

2111n n 3n n n n n n C y ...C y d d ...d y d d ...d C ......

...

...

......y d d ...

d C ----??

??????????????????????=????????

????????????????

(2.6)

可简记为矩阵方式

0*Y D C =

以n 个单根为例，矩阵D 一定可逆。于是可得待定常数为

10C D Y -=

当A (d )存在重根时，亦可得相应结果，不再赘述。 上例……求得零输入解y zi (k )。 2) 零状态解

当“零输入初始状态”为零时，为求得式(2.1)在任意输入u (k )激励下的“零状态响应”y zs (k )，首先考虑单位脉冲激励u (k )=δ(k )的特殊情况，此时的系统响应为单位脉冲响应，记为h (k )，式(2.1)成为

11011()(1)(1)()

()(1)(1)()

n n m m h k n a h k n a h k a h k b k m b k m b k b k δδδδ--+++-+???+++=+++-+???+++

可写成如下形式

()()(),m n

i j i j h k n b k m i a h k n j m n δ==+=+--+-<∑∑

(2.7)

上式中依次令k=-n ，-n+1，…，-2，-1，0，可求得前面n +1个点的结果，

011(0)(1)(1)()n n

h h h h h n h h n h -==??????

-==，当m

当k >0时，在式(2.7)中恒有k +m -i >0，即恒有δ(k +m -i )=0，此时式(2.7)又成为一个齐次方程，等价为

1112()(1)(1)()0

,0(1),(2),,()n n n

h k n a h k n a h k a h k k h h h h h n h -+++-+???+++=??>?

==???=?? (2.8) 上式按差分方程的零输入解法求解，并考虑h (0)=0，即可得到式(2.1)的单位脉冲响应序列h (k )，k ≥0。

对于一个一般的输入序列u (k )={ u (0)，u (1)，u (2)，……}，可以写成

()()()(0)()(1)(1)i u k u i k i u k u k δδδ∞

==-=+-+???

∑

按照线性系统的迭加原理，δ(k -1)所激励的响应为h (k-i )1(k-i )，i =0，1，…，于是可得u (k )激励下的响应为

()(0)()1()(1)(1)1(1)()(0)

()()()()

=()() , 0

k k

i i y k u h k k u h k k u k h u i h k i u k i h i u k h k k ===+--+???+=

-=-*≥∑∑ (2.9)

称为()u k 和()h k 的“卷和”。

显然，卷和的定义与连续时间函数的卷积具有类似的形式。 卷和计算例……

上例……求得零状态解y zsi (k )。 3) 全解

1) 和2)二者之和。 上例……y (k )=y zi (k )+ y zs (k )。 C. Z 变换解法——后面再讲

3.2 Z 变换——对离散时间信号f (k )定义的

3.2.1 Z 变换的定义

Z 变换是对离散序列定义的，设有

{}

()(0),(1), (0)()(1)(1)(2)(2),0

y k y y y k y k y k k δδδ=???=+-+-+???≥

则()y k 的Z 变换定义为（单边）罗朗级数

1

()(0)(1)()i

i Y z y y z

...y i z

∞

--==++=∑ (2.10)

z ——Z 变换域变量 d ——增序算子

两者在数字上具有完全相同的表现形式，但意义却不同，不能混淆。就像 s ——S 变换域（拉氏变换）变量 p ——微分算子

二者表现形式相同，但意义截然不同

为什么要定义Z 变换？？

Z 变换把离散（等距时间点上）数值序列变换成有理分式； L 变换把连续时间信号变换成有理分式；

——便于利用代数学的某些结论进行简单处理。 Z 变换的另一种“定义”

对于时域信号y (t )=f (t )，采样得离散信号y *(t )——记得第1章中讨论过y *

(t )和y *

(k )的（冲量的）等价性，

∑∞

=-=+-+-+=0*)

()( )2()2()()()()0()(k kT t kT f T T T f T t T f t f t f δδδδ 取其拉氏变换，得

∑∞

=-==0

)()](*[)(*k kTs e kT f t f L s F

(2.11)

再令

Ts e z = ！

！ (2.12)

即得，

∑∞

=-==0

)()](*[)(k k

z

kT f t f Z z F

二者的结果是一致的。但是，二者有两点区别，

① 前者是对y (k )定义的，后者是对y *(t )定义的。在离散时间系统中使用前者更符合工程实际。但是，对于首先熟悉了Laplace 变换的工程技术人员而言，后者更容易理解。

② 前者在数学上是严格的；而后者中的式(2.11)容易使得误解z 和s 之间的关系。实时上z 和s 之间并没有式(2.11)所示的关系，仅仅是有时同一个被控对

象的Z 变换传递函数和L 变换传递函数的特征根具有那个关系。

3.2.2 Z 变换的性质

A. 在简单的情况下，可直接按定义求得y (k )的Z 变换Y (z )。

[]0()()1i i Z k i z δδ∞

-===∑

(2.13) []100

1

1()1()11i

i

i i z Z k i z z z z ∞∞

---======--∑∑ (2.14) 10

1

()1kT

iT

i

T i T T i i z Z e

e

z e z z e e z

λλλλλ∞

∞

----==??===

=??--∑∑ (2.15)

做为线性离散系统的Z 变换，它有许多与L 变换类似的性质，不同的是按照Z 变换的定义，这些性质更容易被证明一些。

B. 线性迭加性质：

已知1122[()](),[()](),,Z f k F z Z f k F z a b R ==∈，下同。按定义可得，

1211212[()()][()][2()][()][()]()()

Z af k bf k Z af k Z bf k aZ f k bZ f k aF z bF z +=+=+=+ (2.16)

C. 增序性质：（对应于L 变换的微分性质） 设g (k )=f (k +n )，k ≥0， 为什么？

()00110

1

12[()][()]()()()()(()())

()()()(0)(1)(2)(1)

k

k 0

j

j n n

j j n n i n

i n

i n i n i i n n

i

n i

i i n n n Z f k n =Z g k g k z =f j n z

f j n z z f i z z f i z z f i z z z

f i z

f i z z F z z f z f ...z f n zf n ∞

-=∞

∞

--+==∞

-----===∞

---==-+=+=+=+-=-=-------∑∑∑∑∑∑∑∑ (2.17)

（令i=j+n ）

注意两点：

一是为什么要减去前面几项？因为按照定义g (k )中没有这几项！ 二是与L 变换的微分性质相比，…形式上多了一个“z ”。 D. 减序性质：（对应于L 变换的积分性质） 设g (k )=f (k -n )，k ≥0， 为什么？

()

1

[()]()()()()()

i

n i n i i n

j

n

j

j n

j n Z f k n f i n z z f i n z z

f j z

z

f j z z F z ∞∞

----==-∞

----=-=--=-=-=+=∑∑∑

∑

（令i -n =j ） (2.18)

为什么第一项没啦？因为按照定义f (k )中的这几项为零！ E. 卷和性质：（对应于L 变换的卷积性质）

1212[()*()]()()Z f h f h F z F z =

(2.19)

F. 初值性质：

(0)lim ()lim ()k z f f k F z =→∞

==

(2.20)

证明：——按照Z 变换的定义。 G. 终值性质：

-11

1

()lim ()lim(1)()lim(1)()k z z f f k z F z z F z →∞

→→∞==-=-

(2.21)

当f (k )不收敛（F (z )中有单位圆外极点）时，终值性质不能使用！ 证明：

[][]0(1)()[()(0)]()(1)()(0)

(1)()[(1)()]i i Z f k+-f k z F z f F z z-F z zf Z f k+-f k f i+-f i z ∞

-=?=--=-??=?

?

∑

同令z →1得，

1

lim(1)()

(0)[(1)(0)][(2)(1)]...[()(1)]...()

z z-F z =f +f -f f -f f k -f k f →+++-+=∞ 其它略……

3.2.3 Z 反变换

已知F (z )——有理分式，求f (k )——使得Z[()]()f k F z =，记为

1()Z [()]f k F z -=

(2.22)

A. 长除法——罗朗级数展开

如果F (z )是有理分式，必可展开为罗朗级数，

如果F (z )是真有理分式，必可展开为（单边）罗朗级数（有始函数），即有 f (k )，k ≥0

如果F (z )是严格真有理分式，则一定有f (0)=0。 例，…… B. 留数法

在实时离散控制系统中有f (k )，k ≥0,则一定有

010

()(0)(1)()k k F z f z f z +...f k z ∞

---==+=∑

按照复变函数的留数理论，考虑如下围线（逆时针包围含全部极点）积分，

1

1C

C

1111C 1212C 1C

()()[(0)(1)(1)()(1)][(0)(1)(1)()(1)]()2()k i

k i k k k k k k F z z dz f i z

z dz

f f z ...f k z f k z f k z +...z dz f z f z ...f k f k z f k z +...dz f k z dz jf k π∞

---=--+---------==+++-+++=+++-+++==∑?

?

???

留数是如何定义的？

1C

1

()()2k f k F z z dz j π-=

?

称为1()k F z z -的留数 于是有

-11

11

()Z [()]Res[()]Res[()]i

n

k k z i f k F z F z z

F z z --====∑

(2.23)

即1

()()k f k F z z -????为在其所有极点z i ，i =1，2，…，n ，处的留数之和。

按照留数计算规则，若z 0是F (z )的单重极点则有

110Res ()lim()()k k z z z F z z z z F z z --→??=-?? 若z 0是F (z )的m 重极点,则有

0011

01Res ()lim [()()](1)!m 1k m k m 1z z z d F z z z z F z z m dz ----→??=-?

?- C. 部分分式法——留数法的特例——一般都是直接查表

部分分式法是应用留数法得到的一些易于实际应用的特例情况，设F (z )有n 个单重根z 1，…，z n ，则可以写成部分分式形式

1()n

i

i i

z

F z A z z ==-∑ (2.24)

按照迭加原理，我们可以求得其中每一项的Z 反变换，即

1

1

1

1()[()][]n

n K

i i i

i i i z f k Z F z Z A A z z z --====-∑∑＝ 按式(2.23)有，

1

111

1

11()Res[()]Res()

()lim()

i i n

n

k k i z i i i n

k i i z z i i n

k

i i i z f k F z z

A z z z z z z A z z z A z --==-→===--=-=∑∑∑∑＝

(2.25)

正是所希望的结果。

3.3 离散时间系统的Z 域分析

利用Z 变换求解差分方程。

3.3.1 零输入响应

对式（2.1）所示差分方程，当输入u (k )=0, k ≥0时，成为齐次方程,

zi 1zi 1zi zi ()(1)(1)()0n n y k n a y k n ...a y k a y k -+++-++++=

y (0)=y 0，y (1)=y 1，...，y (n -1)=y n -1

应用Z 变换的增序性质，并注意给定的零输入初始条件，得

1zi 0111110210()[()][()]()0

n n n n n n n n n z Y z z y z y zy a z Y z z y zy ...

a zY z zy a Y z ----------+---++-+=zi zi zi 整理可得

0121111(,,...,,)()...n n n

n n n

B y y y y Y z z a z a z a ----=++++zi

于是可得式(2.1)的零输入响应为

1()[()]y k Z Y z -=zi zi

3.3.2 零状态响应

设式(2.1)所示系统在没有输入激励时，其内部初始能量积累为零，即所谓零状态，此时不考虑初始条件

对式2.1的两边同时进行Z 变换，可得

10111

11()()m m m m

n n n n

b z b z ...b z b Y z U z z a z ...a z a ----++++=++++zs 定义

1011111()m m m m

n n n n

b z b z ...b z b G z z a z ...a z a ----++++=++++

(2.26)

称为离散动态系统式(2.1)的Z 传递函数，则上式可写成

zs ()()()Y z G z U z =

则有

11()[()][()()]zs zs y k Z Y z Z G z U z --=＝

按照卷和定理

()()*()()(),0

k

zs i y k g k u k g k i u i k ===-≥∑

其中

1()[()]g k Z G z -=

g (k )是什么，以及如何求得g (k )？

设u (k )=δ(k )是一个单位脉冲函数，

已知，U (z )=Z[δ(k )]=1，即可得系统对u (k )=δ(k )的零状态响应，称为单位脉冲响应，并记为h (k ), k ≥0，并有

1()[()]()h k z G z g k -==

现在，如欲解析求解式（2.1）所示的差分方程的零状态响应，主要有两种方法。

Z 域法：1()[()()]zs y k Z G z U z -= 时域法：()()*()zs y k h k u k =

3.3.3 完全响应

对式（2.1）求Z 变换时，同时考虑初始条件，即可得系统的完全响应，与分别求出y zi (k )和y zs (k )再相加是一致的。

即：

01211

11(,,,)

()()()...()()()()

n n n n n n

zi zs zi zs B y y ...,y y Y z G z U z z a z a z a Y z Y z y k y k y k ----=+++++++＝()＝ (2.27)

几点说明：

在求零状态响应时，显然零状态解y zs (k)的初始n 个值并不一定为零，零状态仅仅是说当输入为零时，系统初值为零。

求零状态响应时，对式(2.1)两边求Z 变换时，此时的y zs (k )与u (k )都是有初值的，因此亦应考虑增序性质时的初值，但是在整理时两边的初值正好相互抵消，因此在求零状态响应时的Z 变换时，可以不考虑初值。

在求完全响应时，由u (k )引起的y zs (k )中的那一部分初值效应必然由u (k )的初值效应所抵消，因此只考虑系统的零输入初值。

例：已知差分方程51

(2)(1)()(+1)+0.5()66x k x k x k r k r k +-++=，其中

r (k )=1，k ≥0，x (0)=1，x (1)=2。试由Z 变换法求其全解。

3.4 Z 传递函数及其求法

3.4.1 Z 传递函数的定义

——定义一个离散时间被控对象的动态特性，或连续时间对象的离散控制

动态特性。

——由输入-输出序列Z 变换之比来定义。

——传递函数描述一个动态系统的输入输出稳态传递特性（稳态的含义仅

仅是不包含初始条件的影响，并不是指直流分量）。 A 对于离散时间系统

比如这个离散时间系统原来是由差分方程描述的。对于式(2.1)描述的差分方程，

图 2.1 离散时间被控对象传递函数

Y (z )

()

()()

Y z G z U z

=

y (k )

u (k )

U (z )

离散时间 系统

G (z )

1101101-1

()(1)...(1)()()(1)...(1)()

0,1,2,...,(0),(1),...,

(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k m n

y y y y y n y --+++-++++==+++-++++=≤=== (2.1)

根据Z 变换的性质，两边求Z 变换（不考虑初始条件），并化简可得

1

01

1111...(z)()(z)...m m m m n

n n n

b z b z b z b Y G z U z a z a z a ----++++==++++ (2.28)

如果差分方程是由式2.2描述的，

121011()(1)(2)...(1)()()(1)...(1)()

n n m m y k a y k a y k a y k n a y k n b u k b u k b u k m b u k m --+-+-++-++-==+-++-++- (2.2)

则同理可得

1(1)01111110111

11...(z)()(z)...(...)...n n n m n m

m m n n n n

n m m m m m n n n n

b z b z b z b z Y G z U z a z a z a z b z b z b z b z a z a z a ------------++++==

++++++++=++++ (2.29)

当n ＝m 时，与式(2.28)相同 注意：

2） 为什么上二式求Z 变换时不考虑初始条件？

——传递函数只描述稳态特性，与初始条件无关！ 3） 式(2.28)和(2.29)称为有理分式；

n

n >m 时称为严格真有理分式，输入-输出至少延时一拍。 B 对于一个连续时间的采样控制系统

对于一个连续时间系统，对其进行离散时间控制时前面必须加一个零阶保持器（ZOH ）。只有对其输入和输出采样得到响应的输入-输出离散时间序列时，才能对其定义Z 传递函数。

3.4.2 离散系统的运算

——流图化简，与连续时间系统完全相同。 A 串联

()

u t ()

y t ()

y k ()

u k 离散时间系统

G (z )

y (k )

u (k )

()()()

Y z G z U z =

()U z

()Y z

连续时间系统

G (s )

图 2 采样控制的连续时间系统的离散时间传递函数

()()/()G s Y s U s =

ZOH

B 并联

C 反馈系统

()

Y z

G 1(z ) G 2(z )

G n (z )

…

()U z

()Y z

G (z )

()U z

1

()()

n

i i G z G z ==∏图3 离散时间系统的串联。

()Y z

1()

G z 1()

G z 1()

G z …

…

()Y z

()

G z ()

U z ()

U z

1

()()

n

i i G z G z ==∑图4 离散时间系统的并联

()

Y z

1()G z 2()G z

＋

－

()

U z ()

Y z ()G z

()

U z 112()

()1()()

G z G z G z G z =

+

图5 离散时间反馈系统

自动控制原理例题详解线性离散控制系统的分析与设计考习题及答案

精心整理 ----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3 4．（x()∞5．(5解：(G 6．(5试用Z 解：二、（ (i X s ) z 图1 1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数 () () o i X z X z ； 2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。

解：1.101 1 1 1 11 1()(1)(1)11(1)1(1)()1e 11e 1e G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e z -------??=-??+????=--??+?? =-----=---= -1 1 010******* 1e ()()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------== -++--=-+--=-+- 2．（5 三、(8 已知(z)1Φ=1．(3分)简述离散系统与连续系统的主要区别。 解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。 2．(3分)简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。 解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。 3．(3分)简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．(5分)设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2+--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 211x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22 ()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+--+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制() D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。

信号与系统 线性系统的稳定性

线性系统的稳定性 一、系统的因果性 因果系统（连续的或离散的）指的是，系统的零状态响应()?zs y 不出现于激励()?f 之前的系统。也就是说，对于0=t （或0=k ）接入的任意激励()?f ，即对于任意的 ()0=?f ， t （或 k ）0< （8.7-1） 如果系统的零状态响应都有 ()0=?zs y ， t （或 k ）0< （8.7-2） 就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 ()0,0<=t t h （8.7-3a ） 或者，系统函数()s H 的收敛域为 []0Re σ>s (8.7-3b) 即其收敛域为收敛坐标0σ以右的半平面，换言之，()s H 的极点都在收敛轴[]0Re σ=s 的左边。 离散因果系统的充分必要条件是：单位序列响应为 ()0,0<=k k h （8.7-4a ）

或者，系统函数()z H 的收敛域为 0ρ>z （8.7-4b ） 即其收敛域为半径等于0ρ的圆外区域，换言之，()z H 的极点都在收敛圆0ρ=z 内部。 现在证明连续因果系统的充要条件。 设系统的输入()()t t f δ=，显然在0t 时，上式为 ()()()?-=t zs d t f h t y 0τττ 即0=s t h s H L 即式（8.4-3b ）。 离散因果系统的充要条件的证明也上类似，这里从略。 二、系统的稳定性

线性离散系统基础

第七章 线性离散系统基础 一．基本内容 1．了解离散控制系统基本概念、采样过程及采样定理；零阶保持器的传递函数、频率特性及应用特点。 2．掌握z 变换及z 反变换的求取方法；熟练掌握脉冲传递函的定义，开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数求解方法； 3．熟练掌握离散控制系统的稳定性分析； 4．熟练掌握离散控制系统的稳态误差计算 二．重点和难点 离散控制系统与连续控制系统的根本区别，在于连续控制系统中的信号都是时间的连续函数，而离散控制系统中有一处或多处的信号是脉冲序列或数码形式的。 把连续信号变为离散信号的过程叫做采样，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。 离散控制系统的采样定理给出了从采样的离散信号恢复到原来连续信号所必须的最低采样频率（max 2ωω≥s ）。 离散信号的恢复，是在系统中加入代替理想滤波器的实际保持器来实现的。按恒值外推规律实现的零阶保持器，由于其实现简单，且具有最小的相移，被广泛的应用于离散控制系统中，其传递函数为 s e s G Ts h --=1)( 1．脉冲传递函数 脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性定常离散系统输出离散信号的z 变换与输入离散信号的z 变换之比，称为脉冲传递函数。 比较常见的一种离散控制系统的结构形式如图7-1所示，其闭环脉冲传递函数为

) (1)()() (2121z H G G z G G z R z C += 式中 ， )]()()([)(2121s H s G s G Z z H G G = )]()([)(2121s G s G Z z G G = 图7-1典型离散控制系统的结构图 其中：)(21z H G G 为系统的开环脉冲传递函数。 2．离散系统分析 （1）离散系统的稳定性 离散系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在z 平面上以原点为中心的单位圆内。即 ),2,1(1n i z i =<。 因此，可以通过求解闭环特征方程式的根来判断离散系统的稳定性。但当系统的阶次较高或有待定常数时，采用此法不太合适，可以通过双线性变换 1 1 -+= w w z 将z 平面上的单位圆内部分映射到w 平面的左半平面，即可使用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性。 （2）稳态误差 单位反馈的离散系统（即图7-1中1)(=s H ）的的稳态误差为： ) (1) () 1(lim )(1 z G z R z e z +-=∞→ 其中)()(21z G G z G =为开环脉冲传递函数。 通常选用三种典型输入信号，即单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号，对应z 变换分别为 3 22)1(2) 1(,)1(,1 -+--z z z T z Tz z z 三．典型例题分析 )(1s G ) (s H )(s R T ) (s E ) (s C ) (2s G

线性离散系统的分析

§10-4 线性离散系统的分析 前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。 一、稳定性 稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。有两大类的稳定性分析方法。一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。本节只介绍代数判据法。 Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。如果已知一个系统的特征多项式 ()n n n a z a z a z A +++=- 1 10 (10.87) Jury 把它的系数排列成如下的算表： 1 1 110a a a a a a a a a a n n n n n n = --α ――――――――――――――――――― 1 0111 1012 11 11 1110 --- ----------=n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a α ――――――――――――――――――― ――――――――――――――――――― 10 11 1110a a a a 10 11 1a a =α ――――――――――――――――――― 0a 其中

第八章 脉冲传递函数及性能分析

第八章 脉冲传递函数及性能分析 分析线性定常线性离散系统时，脉冲传递函数也是一个很重要的概念，线性定常线性离散系统的动态特性可以由脉冲传递函数来描述。通过脉冲传递函数，可以对线性定常线性离散系统的性能进行分析。 第一节 脉冲传递函数 一、定义 图8－1 开环离散系统 设开环离散系统如图8－1 所示。 线性离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下，系统的输出采样信号的Z 变换与输入采样信号的Z 变换之比，记作： ()()G ()() ()n n n n c nT z C z z R z r nT z ∞ -=∞ -== = ∑∑ （8－1） 零初始条件是指：在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(-T)、r(-2T)、……以及输出脉冲序列各采样值 c(-T)、c(-2T)、……均为0 。 图8－2 实际的开环离散系统 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号 c(t) ,而不是采样

信号*() c t，如图8－2所示。此时，可以在系统输出端虚设一个理想采样开关，如图8－2中虚线所示。它与输入采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。如果系统的实际输出c(t)比较平滑，且采样频率较高，则可由*() c t近似描述c(t)。必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只是表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出连续函数在采样时刻上的离散值*() c t。 二、脉冲传递函数的求法 1、由差分方程求 （1）令初始条件为零，对差分方程两边作为z变换（查z变换表及用z变换定理）； （2）据脉冲传递函数的定义G(z)=C(z)／R(z)，求出脉冲传递函数G(z)。 2、由系统方块图求 脉冲传递函数同样可以用方块图表示。求取脉冲传递函数时，可以利用方块图变换来实现。但是，在离散系统的方块图中，除了信号线、函数方块、引出点和比较点，还增加了采样开关。连续系统的方块图分析法，不能照搬到离散系统。 第二节开环系统脉冲传递函数 一、串联环节 1、离散环节串联——串联环节之间有采样开关 等效的脉冲传递函数等于各环节脉 冲传递函数之乘积，即 G(z)=Z[G1(s)]*Z[G2(s)]=G1(z)G2(z) 图8－3 离散环节串联 2、连续环节串联——串联环节之间无采样开关 等效的脉冲传递函数等于各环节传 递函数乘积之z变换，即 G(z)=Z[G1(s)G2(s)]= G1G2(z)。 图8－4 连续环节串联

第7章 线性离散控制系统的分析 参考答案

第七章 习题与答案 7-1 离散控制系统由哪些基本环节组成？ 答：离散控制系统由连续的控制对象，离散的控制器，采样器和保持器等几个环节组成。 7-2 香农采样定理的意义是什么？ 答：香农采样定理给出了采样周期的一个上限。 7-3 什么是采样或采样过程？ 答：采样或采样过程，就是抽取连续信号在离散时间瞬时值序列的过程，有时也称为离散化过程。 7-4 写出零阶保持器的传递函数，引入零阶保持器对系统开环传递函数的极点有何影响？ 答：零阶保持器的传递函数为s e s H Ts --=1)(0。零阶保持器的引入并不影响开环系统 脉冲传递函数的极点。 7-5 线性离散控制系统稳定的充要条件是什么？ 答：线性离散控制系统稳定的充要条件是： 闭环系统特征方程的所有根的模1

第九章线性离散控制系统

第九章 线性离散控制系统 A9－1 试求下列函数的Z 变换： （1）f(t)=1-e －at （2）f(t)=cos ωt （3）f(t)=αt/T （4）f(t)=te －at （5）f(t)=t 2 A9－2 求下列拉氏变换式的Z 变换（式中T 为采样周期）： （1）21)(s s F = （2）) 2)(1()3()(+++=s s s s F （3）2 )2(1)(+=s s F （4）) ()(a s s K s F += （5）)(1)(2a s s s F += （6）22)(ωω ?=s s F （7）) ()(a s e s F nTs +=? A9－3 求下列函数的Z 反变换（式中T 为采样周期）： （1）) )(1()1()(T T e z z e z z F ?????= （2）) 2()1()(2??=z z z z F （3）22)1()1()(?+= z z z z F （4）222) 1()1(2)(+?=z z z z F

（5）55 432546.035.0)(z z z z z z z F +++++= A9－4 用留数法求下列函数的Z 反变换： （1）) 2)(1(10)(??=z z z z F （2）3 )1()(2 ?=ze z z F A9－5 确定下列函数的初值与终值： （1）) 2.0)(18.0()1()(2222+++?++=z z z z z z z z F （2）) 1.0)(8.0()(2 ??=z z z z F （3）3212 14.26.52.411.03.01)(??????+?++=z z z z z z F A9－6 用Z 变换方法求解下列差分方程，结果以f(k)表示： （1）f(k+2)+2f(k+1)+f(k)=u(k) f(0)=0, f(1)=0, u(k)=k (k=0,1,2,…) （2）f(k+2)-4f(k)=coskn (k=0,1,2,…) f(0)=1, f(1)=0 （3）f(k+2)+5f(k+1)+6g(k)=cos 2 k n (k=0,1,2,…) f(0)=0, f(1)=1 A9－7 求图题A8－7所示各系统的脉冲传递函数和输出信号的Z 变换。

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+ --+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制()D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。

线性离散系统的数学模型和分析方法

§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法 大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。 一、线性离散系统的数学描述 1. 差分方程 对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示 )()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17) (10.17)式也可以写成如下紧缩的形式 ∑∑==-=-+n i n i i i iT kT u b iT kT y a kT y 1 )()()( (10.18) 如果引入后移算子1 -q ，即 )()(1T kT y kT y q -=- (10.19) 则(10.18)式可写成多项式的形式 )()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20) 式中 n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)( 方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。 2. 差分方程的解 线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解)(kT y 由齐次方程的通解

离散线性时不变系统分析

实验六 离散线性时不变系统分析 一、 实验目的 1. 掌握离散LSI 系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意激励下响应的MATLAB 求解方法。 2. 掌握离散LSI 系统的频域分析方法； 3. 掌握离散LSI 系统的复频域分析方法； 4. 掌握离散LSI 系统的零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理及方法 1. 离散LSI 系统的时域分析 描述一个N 阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程，N 阶LSI 离散系统的差分方程一般形式为 ) ()(0 0i n x b k n y a M i i N k k -=-∑∑== （6.1） 也可用系统函数来表示 12001212120()()()()()1M i M i i M N N k N k k b z b b z b z b z Y z b z H z X z a z a z a z a z a z ----=----=++++====++++∑∑ （6.2） 系统函数()H z 反映了系统响应和激励间的关系。一旦上式中k a ，i b 的数据确定了，系统的性质也就确定了。特别注意0a 必须进行归一化处理，即01a =。 对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位序列或单位阶跃序列的线性叠加，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号作用于系统的零状态响应。因此，求解系统的单位序列响应和单位阶跃响应尤为重要。由图6-1可以看出一个离散LSI 系统响应与激励的关系。 图6-1 离散LSI 系统响应与激励的关系 (1) 单位序列响应（单位响应） 单位响应()h n 是指离散LSI 系统在单位序列()n δ激励下的零状态响应，因此()h n 满足线性常系数差分方程(6.1)及零初始状态，即 00()()N M k i k i a h n k b n i δ==-=-∑∑， (1)(2)0h h -=-== (6.3) 按照定义，它也可表示为 ()()()h n h n n δ=* (6.4) 对于离散LSI 系统，若其输入信号为()x n ，单位响应为()h n ，则其零状态响应()zs y n 为 ()()*()zs y n x n h n = (6.5) 可见，()h n 能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。一旦知道了系统的单位响应()h n ，就可求得系统对任何输入信号()x n 所产生的零状态响应()zs y n 。 MATLAB 提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impz()，其调用格式有

第3章 线性离散系统的描述及分析

第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 3.1.2 差分方程的解 A递推解 B古典解 C Z变换求解 3.2 Z变换 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 Z变换的性质 3.2.3 Z反变换 A长除法 B留数法 C部分分式法 3.3 离散时间系统的Z域分析 3.3.1 零输入响应 3.3.2 零状态响应 3.3.3 完全响应 3.4 Z传递函数及其求法 3.4.1 Z传递函数的定义 3.4.2 离散系统的运算 3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化 A对G(s)的讨论

B对离散化方法的评价 C 留数法 D直接代换法 E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法 G部分分式法 3.4.4 离散化方法小结 3.5 线性离散时间系统的稳定性分析 3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系 3.5.2 稳定判据 3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性 3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法

第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式 1101101-1 ()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),..., (-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n --+++-++++= =+++-+ +++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律: (2.1) 或写成 ∑∑==-+--+=+m i n j j i j n k y a i m k u b n k y 0 1 ) ()()( 上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当 00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。 推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。 考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m ≤n 。 当m =n 时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”； 当m

第7章线性离散系统的理论基础习题答案

第7章线性离散系统的理论基础 7.1 学习要点 1 控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式； 2 各种校正方法、方式的特点和适用性； 3各种校正方法、方式的一般步骤。 7.2 思考与习题祥解 题7.1 思考下述问题 （1）什么叫信号的采样？ （2）什么是采样控制系统？采样控制系统与连续系统的主要差别是什么？ （3）试述采样过程和采样定理。 （4）什么是保持器，保持器的功能是什么？ （5）零阶保持器的传递函数是什么？对应的脉冲传递函数是什么？ （6）用零阶保持器恢复的连续时间信号有何显著特征？ （7）常用的z变换的方法是什么？如何求系统的脉冲传递函数？ （8）求Z反变换有哪几种方法？各有什么特点？ （9）差分方程如何求解？ （10）脉冲传递函数是如何来描述采样系统的？ （11）如何求得采样系统的开/闭环脉冲传递函数？ （12）对于用闭环脉冲传递函数描述的采样控制系统，系统稳定的充分必要条件是什么？ （13）如何采用劳斯判据来判断采样系统的稳定性？ （14）闭环极点与采样控制系统瞬态特性的关系是什么？ 答： （1）采样控制系统是通过采样开关将连续的模拟量转换为离散量的，将开关闭合期间模拟量的传输称为采样。按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样，叫做信号的采样。 （2）在控制系统中，有一处或几处的信号是时间t的离散函数的控制系统称为离散控制系统。离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，故又称为采样信号。相应的离散系统亦称为采样控制系统。 连续控制系统每处的信号都是时间t的连续函数，而采样控制系统有一处或几处的信号是时间t 的离散函数。 （3）按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。

自动控制原理例题详解线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案样本

------------------------------ 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω不不大于信号最高有效频率h ω2倍时，可以从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是至少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数至少，且在采样时刻上无稳态误差随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定充要条件是：所有特性值均分布在Z 平面单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 通过验证(1)X()z z -满足终值定理使用条件，因而， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解：

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考习题及答案

精心整理 ----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻 3．(3 4．（解：x()∞5．(5解：(G 6．(5 解： 二、（c (i X s ) z 图1 1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数 () () o i X z X z ；

2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。 解：1. 101 1 1 1 1 1 1()(1)(1)11(1)1(1)(1e 11e 1G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e -------?? =-?? +????=--??+?? =-----=---= 1 10101111111 1e () ()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------== -++--=-+--=-+- 2．（5 三、(8 已知一、求解下列问题： 1．(3分) 简述离散系统与连续系统的主要区别。 解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。 2．(3分) 简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。 解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。 3．(3分) 简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．(5分) 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。