习题4－2
一维稳态导热问题的控制方程：
022=+??S x
T
λ 依据本题给定条件，对节点2采用二阶精度的中心差分格式，
节点3采用第三类边界条件具有二阶精度的差分格式，最后得到各节点的离散方程： 节点1： 1001=T
节点2： 1505105321-=+-T T T 节点3：
75432=+-T T
求解结果：
852=T ，403=T
对整个控制容积作能量平衡，有：
02150)4020(15)(3=?--?=?+-=?+x S T T h x S q f f B
即：计算区域总体守恒要求满足
习题4－5
在4－2习题中，如果25
.03)(10f T T h -?=，则各节点离散方程如下：
节点1： 1001=T
节点2： 1505105321-=+-T T T
节点3：
25.03325.032)20(4015])20(21[-?+=-?++-T T T T
对于节点3中的相关项作局部线性化处理，然后迭代计算； 求解结果：
818.822=T ，635.353=T （迭代精度为10-4）
迭代计算的Matlab 程序如下：
x=30; x1=20;
while abs(x1-x)>0.0001
a=[1 0 0;5 -10 5;0 -1 1+2*(x-20)^(0.25)]; b=[100;-150; 15+40*(x-20)^(0.25)]; t=a^(-1)*b; x1=x; x=t(3,1); end tcal=t
习题4-14
充分发展区的温度控制方程如下：
)(1r
T
r r r x T u
c p ????=??λρ 对于三种无量纲定义w b w T T T T --=
Θ、∞∞
--=ΘT T T T w 、w w T T T T --=Θ∞进行分析如下
1）由w
b w
T T T T --=
Θ得：
w w b T T T T +Θ-=)(
由T 可得：
x T x T x T T T x T w b w w b ??Θ-+??Θ=?+Θ-?=??)1(]
)[(
r
T r T T r T T T r T w w b w w b ??Θ-+?Θ?-=?+Θ-?=??)1()(])[( 由b T 与r 无关、Θ与x 无关以及
x T ??、r
T
??的表达式可知，除了w T 均匀的情况外，该无量纲温度定义在一般情况下是不能用分离变量法的； 2）由∞
∞
--=
ΘT T T T w 得：
∞∞+Θ-=T T T T w )(
由T 可得：
x
T x T T T x T w w ??Θ=?+Θ-?=??∞∞]
)[(
r
T r T T r T T T r T w w w ??Θ+?Θ?-=?+Θ-?=??∞∞∞)(])[( 由b T 与r 无关、Θ与x 无关以及
x T ??、r
T
??的表达式可知，在常见的四种边界条件中除了轴向及周向均匀热流const q w =的情况外，有0=??r
T w
离变量法的；
3）由w
w
T T T T --=
Θ∞得：
w w T T T T +Θ-=∞)(
由T 可得： x
T x T T T x T w w w ??Θ-=?+Θ-?=??∞)1(]
)[(
r
T r T T r T T T r T w w w w ??Θ-+?Θ?-=?+Θ-?=??∞∞)1()(])[( 同2）分析可知，除了轴向及周向均匀热流const q w =的情况外，有0=??r
T w
，该无量纲温度定义是可以用分离变量法的；
习题4－18
1）采用柱坐标分析，写出统一的稳态柱坐标形式动量方程：
S r r r r r r x x w r v r r r u x +????+????+????=??+??+??)(1)(1)()(1)(1)(θ
φλθφλφλφρθφρφρ x 、r 和θ分别是圆柱坐标的3个坐标轴，u 、v 和w 分别是其对应的速度分量，其中x 是
管内的流动方向；
对于管内的层流充分发展有：
0=v 、0=w ，
0=??x
u
；
并且x 方向的源项：x p S ??-= r 方向的源项：r p
S ??-=
θ方向的源项：θ
??-=p
r S 1 由以上分析可得到圆柱坐标下的动量方程： x 方向： 0)(1)(1=??-????+????x p
u r r r u r r r θλθλ r 方向：
0=??r p
θ方向：
0=??θ
p
边界条件： R r =，0=u
0=r ，
0=??r u ；对称线上，0=??θ
u 不考虑液体的轴向导热，并简化分析可以得到充分发展的能量方程为：
)(
1)(1θ
λθλρ????+????=??T
r r r T r r r x T u
c p 边界条件： R r =，w q r T =??λ；0=r ，0=??r
T
πθ/0=，0=??-θ
λT
2）定义无量纲流速：
dx
dp R u
U 2
-=
λ
并定义无量纲半径：R r /=η；将无量纲流速和无量纲半径代入x 方向的动量方程得：
0))1
((1))1((122
=??-?-???+?-???
x
p U dx dp R R R R U dx dp R R
R R θληλθηηλληη
η 上式化简得：
01)1(1)(1=+????+????θ
ηθηηηηηU U 边界条件：
1=η，0=U
0=η，
0=??ηU ；对称线上，0=??θ
U
定义无量纲温度：
λ
/0R q T T b
-=
Θ
其中，0q 是折算到管壁表面上的平均热流密度，即：R
q q w
π=
0； 由无量纲温度定义可得： b T R
q T +Θ=
λ
将T 表达式和无量纲半径η代入能量方程得：
)(1)(100θ
ληλθηηλληηηρ?Θ
???+?Θ???=??R q R R R R q R R R x T u
c b p 化简得：
)1(1)(10θ
ηθηηηηηρ?Θ???+?Θ???=??x T u c q R b p （1）
由热平衡条件关系可以得：
m
m m b m p b p p RU U q R u u R q A u u dx dT A u c x T u c x T u
c 02022
1221)(===??=??ππρρρ 将上式代入式（1）可得：
)1(1)(12θ
ηθηηηηη?Θ
???+?Θ???=m U U 边界条件： 0=η，
0=?Θ
?η
；1=η，R q q w πη10==?Θ?
0=θ，
0=?Θ?θ；πθ=，0=?Θ
?θ
单值条件：
由定义可知：
0/0=-=Θλ
R q T T b b b 且： ??Θ=ΘA
A
b UdA
UdA
即得单值性条件：
0=Θ??A
A UdA
UdA 3）由阻力系数f 及Re 定义有：
228)(21/Re ??? ??=?????
???????-=D D U D u u dx dp D f e m e m m
e νρ 且：
m W b m W b m W R q T T D T T q Nu ,0,,0~
2
)/(2Θ=-=-=
λ
λ
5－2
1．一维稳态无源项的对流－扩散方程如下所示：
x
x u 22??Γ=??φφρ （取常物性）
边界条件如下：
L L x x φφφφ====,;
,00
上述方程的精确解如下：
1
1
)/(00--=--?Pe
L x Pe L e e φφφφ Γ=/uL Pe ρ 2．将L 分成20等份，所以有：
?=Pe 20
图示如下：
1 2 3 4 5 6 ………… …………… 17 18 19 20 21 对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK 格式分别分析如下： 1） 中心差分
中间节点： 2
)5.01()5.01(1
1-?+?++-=i i i P P φφφ 20,2Λ=i
2） 一阶迎风
中间节点： ?
-?++++=P P i i i 2)1(1
1φφφ 20,2Λ=i
3） 混合格式
当1=?P 时，中间节点：
2
)5.01()5.01(1
1-?+?++-=
i i i P P φφφ
20,2Λ=i
当10,5=?P 时，中间节点： 1-=i i φφ 20,2Λ=i 4） QUICK 格式
*
12111)35(8122121
???
???---++++++=+--??
-??+?i i i i i i i P P P P P φφφφφφφ 2≠i *
1111)336(8122121
??
????--++++++=+-?
?
-??+?i i i i i i P P P P P φφφφφφ 2=i 5－3
乘方格式：??????
?<-≤≤--+≤≤->=????????10
,010,
)1.01(100,
)1.01(10,055
P P P P P P P P D a e E
当1.0=?P 时有：
951.0)1.01.01()1.01(55=?-=-=?P D a e
E
因为：
301.0/3)()()()()()(===Γ=Γ=
?e
e
e e e e e e e P u x u u x D ρδρρδ 所以：
5297.2830951.0951.0=?==e E D a
由系数关系式
?=-P D a D a e
E
w W 可得： 53.3130)951.01.0()(=?+=?+
=?w e
E
W D D a P a 且： 205
.01
.010=?=
??=t
x
a P p ρ 当采用隐式时1=f ，因此可得：
0597.62253.315297.280
=++=++=P W E P a fa fa a
同理可得当10=?P 时有：
0=E a ，3=W a ，5=P a
5－5
二维稳态无源项的对流－扩散问题的控制方程：
)()()()(y
y x x y v x u ??Γ??+??Γ??=??+??φφφρφρφφ 对于一阶迎风、混合、乘方格式的通用离散方程：
S S N N W W E E P P a a a a a φφφφφ+++=
其中：
[]0,)(e e e E F P A D a -+=? []0,)(w w w W F P A D a +=? []0,)(n n n N F P A D a -+=? []0,)(s s s S F P A D a +=?
5－7
1）QUICK 格式的界面值定义如下：
???
???
?-+=-+=)36(81)36(8
1WW P W w W E P e φφφφφφφφ
0>u 对（5－1）式dx
dx d d dx u d )
()(φφρΓ=积分可得： w e w e dx
d dx d u u )()()()(φ
φφρφρΓ-Γ=-
对流项采用QUICK 格式的界面插值，扩散项采用线性界面插值，对于0>u 及均分网格有：
)]()([]))(36())(36[(81
x x u u W P w P E e w WW P W e W E P ?-Γ-?-Γ=-+--+φφφφρφφφρφφφ 整理得：
WW w W w e w E e e P w e w e u u u x u x x x u u φρφρρφρφρρ)(8
1
])(43)(81[])(83[)]()(83)(43[-++?Γ+-?Γ=?Γ+?Γ+-上式即为QUICK 格式离散得到的离散方程；
2）要分析QUICK 格式的稳定性，则应考虑非稳平流方程：
x
u
t ??-=??φ
φ 在t ?时间间隔内对控制容积作积分：
????
?+?+??-=??t t t e w e w t
t t
dxdt x u dtdx x
φφ
得：
dt u dx t
t t
w e e w
t
t
t ?
??+?+--=-)()(φφφφ
φ随时间变化采用阶梯显式，随空间变化采用QUICK 格式得：
t u x WW P W W E P t
P t t P ?+---+-=?-?+)]3636(8
1[)(φφφφφφφφ
整理得：
x
u t n
i n i n i n i n
i n i ?+-+-?---++87332111φφφφφφ
对于初始均匀零场，假设在),(n i 点有一个扰动n i ε； 对1+i 点写出QUICK 格式的离散方程：
x
u t
n
i n i n i n i n i n i ?+-+-?--+++++87331211
11φφφφφφ
可得：
n
i n i x
t u εφ??=
++8711 对1-i 点分析可得：
n
i n i x
t u εφ??-
=+-8311 由于扩散对扰动的传递恒为正，其值为
n
i x t ερ2
?Γ?，所以根据符号不变原则有： 0)/)83(2
≥?Γ?+??-
n
i n i n i x
t x t u εερε 整理得到QUICK 格式的稳定性条件为：
3
8
≤
?P 5－9
1）三阶迎风格式采用上游两个节点和下游一个节点的值来构造函数界面插值形式，所以定义如下：
??
?<++=>++=0
0u c b a u c b a EE
E P e W P E e φφφφφφφφ
根据上述定义，在0>u 时对控制容积内的对流项作积分平均可得：
])()([1)(1
1WW W P E e w w e c b c a b a x
x
dx x x φφφφφφφ--+-+?=-?=????
由表2－1式可知三阶迎风格式的差分格式：
x
x
n
i n i n i n i n
i ?+-+=
??--+12212642
11,φφφφφ 由控制容积积分法得到的对流项离散格式应与Taylor 离散展开得到的离散格式具有相同的形式和精度，所以比较可得：
6
1,65,31-===c b a
所以三阶迎风格式的函数插值定义为：
???
???
?
<-+=>-+=0
6165310
616531u u EE E P e W P E e φφφφφφφφ
2）由上述分析可知，得到的三阶迎风格式的插值定义与给出节点上导数表达式的定义在形式上显然是一致的；
6－1
二维直角坐标中不可压缩流体的连续方程及动量方程如下：
??????
??????
?+????+????+??-=??+??+??+????+????+??-=??+??+??=??+??)
3()
()()()()()2()()()()()()
1(0v
u S y y v x x v y p y vv x vu t v S y y u x x u x p y uv x uu t
u y v x u ηηρρρηηρρρ
假设常粘性，则0==v u S S ；对公式（2）及（3）分别对y x ,求偏导得：
???
??????+???? ??????+???? ??????-=???? ??????+??? ??????+??? ?????????
?
??????+??+??? ??????-=???? ??????+??? ??????+??? ??????33
222233)()()()()()(y v x v y y p y y vv y x vu y t v y y u x x u x p x y uv x x uu x t u x ηηρρρηηρρρ 两式相加得并变换积分顺序有：
??
?
??????? ????+????+???
??????? ????+????+?
???
????+??-=???
??????? ????+??+????+???? ?
???+??+????+???? ????+????y v x u y
y v x u x
y p x p x v u x u v y v v y y v u y u v x u u x y v x u t 2222
22
22
22ηηρρ
利用连续方程有：
???? ????+??-=???
??????? ????+????+???? ?
???+????2222y p x p x v u y v v y y u v x u u x ρ ???? ????+??-=??????????-????+??+??+????22222222222y p x
p y v x u y v x u y v x u x v y u ρ 最后即得：
???
???????-????=?
??
? ????+??x v y u y v x u y p x p ρ22222
6－4
假设5*
=P p ，则有：
5105*-=-=e u 5.3)05(7.0*=-?=n v
由连续性条件有：
s w n e v u v u +=+
按SIMPLE 算法有：
'''*5)(P E P e e e p p p d u u +-=-+= '''*7.05.3)(P n P n n n p p p d v v +=-+=
将上两式代入连续性方程中有：
20507.05.35''+=+++-P P p p
计算得：
06.42'
=P p
所以：
06.4706.425'
*
=+=+=P P P p p p
06.371006.47=-=-=E P e p p u 94.32)006.47(7.0)(7.0=-?=-=N P n p p v
6－5
假设250*3=p ，150*
6=p ，所以各点的流量为：
????
?????-=-?==-?=-=-?=-=-?==-?=11
)15040(1.020)150250(2.024)25010(1.04)270250(2.010)250275(4.0*****E D
C B A Q Q Q Q Q 上述流量满足动量方程，但并不满足连续性方程，所以对流量修正：
?????????-?+-=-?+=-?+-=-?+-=-?+=)
(1.011)(2.020)(1.024)(2.04)(4.010'6'5'6'3'3'4'2'3'
3'1p p Q p p Q p p Q p p Q p p Q E
D C B A 对节点3作质量守恒有：
B D
C A Q Q Q Q +=+
即得：
)(2.04)(2.020)(1.024)(4.010'
2'3'6'3'3'4'3'1p p p p p p p p -?+--?+=-?+--?+
对节点3作质量守恒有：
F E D Q Q Q =+
即得：
20)(1.011)(2.020'6'5'6'3=-?+--?+p p p p
联立求解上两式有：
70.48'3-=p ，13.69'
6-=p
修正后的压力为：
3.20170.48250'
3*33=-=+=p p p 87.8013.69150'6*66=-=+=p p p
修正后的流量为：
?????????-=-?==-?=-=-?=-=-?==-?=09
.4)87.8040(1.009.24)87.803.201(2.013.19)3.20110(1.074.13)2703.201(2.048.29)3.201275(4.0E
D C B A Q Q Q Q Q
由)(76p p C Q F F -=
精确解： p=[1,5,10]; x=0:1/19:1; for i=1:1:3 for j=1:1:20 y(i,j)=(exp(p(1,i)*19*x(1,j))-1)/(exp(p(1,i)*19)-1); end plot(x,y(i,:)); hold on ; end 由题对中心差分、一阶迎风、混合格式进行模块编程： 他们之间可以通用，只需更改ae 关于p 的函数即可： 程序如下: (1)中心差分 p=[1,5,10]; for i=1:1:3 ae=1-0.5*p(1,i); x/L (Φ-ΦL )/(Φ0-ΦL ) 精确解图像
aw=p(1,i)+ae; ap=ae+aw; for i=1:1:18 for j=1:1:20 a(i,j)=0; end end for i=1:1:18 j=i; a(i,j)=aw; a(i,j+1)=-ap; a(i,j+2)=ae; end for i=1:1:17 n=i+1; for m=i:-1:1 b(1,1)=a(m,n); a(m,n)=-a(i+1,n)/a(i+1,n)*b(1,1)+a(m,n); a(m,n+1)=-a(i+1,n+1)/a(i+1,n)*b(1,1)+a(m,n+1); a(m,n+2)=-a(i+1,n+2)/a(i+1,n)*b(1,1)+a(m,n+2); end end F(1)=0; F(20)=1; F(19)=(-a(1,20)*F(20)-a(1,1)*F(1))/a(1,19); for i=2:1:18 F(i)=(-a(i,20)*F(20)-a(i,19)*F(19))/a(i,i); end x=0:1/19:1; y(1,:)=F; plot(x,y); hold on end
数值计算大作业 一、用数值方法求解尺度为100mm×100mm 的二维矩形物体的稳态导热问题。物体的导热系数λ为1.0w/m·K。边界条件分别为： 1、上壁恒热流q=1000w/m2; 2、下壁温度t1=100℃； 3、右侧壁温度t2=0℃; 4、左侧壁与流体对流换热，流体温度tf=0℃，表面传热系数 h 分别为1w/m2·K、10 w/m2·K、100w/m2·K 和1000 w/m2·K; 要求： 1、写出问题的数学描述； 2、写出内部节点和边界节点的差分方程； 3、给出求解方法； 4、编写计算程序(自选程序语言)； 5、画出4个工况下的温度分布图及左、右、下三个边界的热流密度分布图； 6、就一个工况下（自选）对不同网格数下的计算结果进行讨论； 7、就一个工况下（自选）分别采用高斯迭代、高斯——赛德尔迭代及松弛法（亚松弛和超松弛）求解的收敛性（cpu 时间，迭代次数）进行讨论； 8、对4个不同表面传热系数的计算结果进行分析和讨论。 9、自选一种商业软件（fluent 、ansys 等）对问题进行分析，并与自己编程计算结果进行比较验证（一个工况）。（自选项） 1、写出问题的数学描述 设H=0.1m 微分方程 22220t t x y ??+=?? x=0，0 y=H ，0 取步长δx=0.02。已知x=0,Φ=0;x=1,Φ=1.令k=ρｕ/Γ计算结果图表： 程序及数据结果： 追赶法： #include a[i]=2+0.02*k; b[i]=4; c[i]=2-0.02*k; f[i]=0; } tdma(a,b,c,f,x); for(i=0;i 4-1 解：采用区域离散方法A 时；网格划分如右图。内点采用中心差分 23278.87769.9 T T T === 22d T T=0dx - 有 i+1i 12 2+T 0i i T T T x ---=? 将2点,3点带入 32122 2+T 0T T T x --=? 即321 209T T -+= 432322+T 0T T T x --=?4321322+T 0T T T x --=? 即4 321 209 T T T -+-= 边界点4 （1）一阶截差 由x=1 1dT dx =，得 431 3 T T -= （2）二阶截差 11B M M q x x x T T S δδλλ -=++ 所以 434111. 1. 36311 T T T =++ 即 431 22293 T T -= 采用区域离散方法B 22d T T=0dx - 由控制容积法 0w e dT dT T x dT dT ????--?= ? ????? 所以代入2点4点有 322121011336 T T T T T ----= 即 239 028T T -= 544431011363 T T T T T ----= 即 34599 02828T T T -+= 对3点采用中心差分有 432 32 2+T 013T T T --=?? ??? 即 23499 01919 T T T -+= 对于点5 由x=1 1dT dx =，得 541 6 T T -= （1）精确解求左端点的热流密度 由 ()2 1 x x e T e e e -= -+ 所以有 ()22 20.64806911x x x x dT e e q e e dx e e λ -====- +=-=++ （2）由A 的一阶截差公式 21 0.247730.743113 x T T dT q dx λ =-=-= =?= （3）由B 的一阶截差公式 0 0.21640 0.649213 x dT q dx λ =-=-= = （4）由区域离散方法B 中的一阶截差公式： 210.108460.6504()B B T T dT dx x δ-?? ==?= ? ?? 通过对上述计算结果进行比较可得：区域离散B 有控制容积平衡法建立的离散方程与区域离散方程A 中具有二阶精度的格式精确度相当！ 4-3 解：将平板沿厚度方向3等分，如图 参考文献 [1]金国淼等.除尘设备[M].北京:化学工业出版社,2002:1-300 [2]Louis E. Stein, Alex. C. Hoffmann.旋风分离器-原理、设计和工程应用 [M].北京,化学工业出版社,2004:1-78 [3]国家环保局标准处.中华人民共和国国家标准环境空气质量标准[J],油气田环境保护,1996(04 ) [4]姚玉英,黄凤廉,陈常贵等.化工原理[M].天津:天津大学出版社,1999:138 [5]舒帆.影响旋风除尘器除尘效率的因素分析[J],粮食加工.2008, 33 (3):73-75 [6]韩占忠,王敬,兰小平.FLUENT流体工程仿真计算实例与应用[M].北京：北京理工大学出版社,2004:20 [7]魏志军,张平.旋风分离器气相流场的数值模拟[J].北京理工大学学报.2000, 20 (5):19-21 [8]嵇鹰,张红波,田耀鹏等.进口位置对旋风分离器特性影响的数值模拟[J].金属矿山,2008, 387 (3):127-129 [9]岑可法,倪明江,骆仲泱等.循环流化床锅炉理论设计与运行[M].北京:中国电力出版社, 2002:511-540 [10]陈明绍，吴光兴，张大中等.除尘技术的基本原理与应用[M].北京：中国建筑工业出版社，1981:333-518 [11]钱付平,章名耀.基于边界层理论旋风分离器分离效率的改进模型[J],中国电机工程学报.2007, 27 (5):71-74 [12]Hoffmann A C, Stein L E. Gas cyclones and twirl tubes：principles，design and operation [M]. Springer-Verlag，Berlin，Heidelberg，2002，169． [13]Leith D, Licth W. The collection efficiency of cyclone type particle collector. A new theoretical approach[J]. AIChE Symp Series,1972，126 (68)：196-206． [14]Obermair S，Woisetschlager J，Staudinger G．Investigation of the flow pattern in different dust outlet geometries of a gas cyclone by laser Doppler anemometry[J].Powder Technology，2003，2-3 (138):239-251 [15]Zhao Bingtao．Development of a new method for evaluating cyclone 【2-1】一食品冷藏室由内层为19 mm 厚的松木，中层为软木层，外层为51 mm 厚的混凝土所组成。内壁面温度为-17.8 ℃,混凝土外壁面温度为29.4 ℃。松木、软木和混凝土的平均热导率分别为, 3, W/(m ·K)，要求该冷藏室的热损失为15W/m 2。求所需软木的厚度及松木和软木接触面处的温度。 解：三层平壁的导热。 1）所需软木的厚度2b 由 ∑=-=3141i i i b T T q λ 得 151 .0019.00433.0762.0051.08.174.29152+++=b 解得： m b 128.02= 2）松木和软木接触面处的温度3T 由 151 .0019 .08.17153+==T q 解得：9.153-=T ℃ 解题要点：多层平壁热传导的应用。 【2-2】为减少热损失，在外径为150 mm 的饱和蒸汽管道外加有保温层。已知保温材料的热导率λ=+ 198 T(式中T 为℃),蒸汽管外壁温度为180 ℃,要求保温层外壁温度不超过50 ℃,每米管道由于热损失而造成蒸汽冷凝的量控制在1×10-4 kg/(m ·s)以下,问保温层厚度应为多少(计算时可假定蒸汽在180 ℃下冷凝)。 解：保温层平均热导率为： )./(126.02 501801098.1103.04K m W =+??+=-λ 由于本题已知的是蒸汽管道外壁面温度，即保温层内壁面温度，故为一层导热。 由 )()(21 221r r Ln T T L Q -=λπ 得： )()(21 221r r Ln T T L Q -=πλ （1） 式中：m W L Wr L Q /9.2011 103.20191013 4=???==- 将其及其它已知数据代入式（1）得： )075 .0()50180(126.029.2012r Ln -??=π 解得：m r 125.02= mm m 5005.0075.0125.0==-=∴δ壁厚 解题要点：单层圆筒壁热传导的应用。 【2-8】烤炉内在烤一块面包。已知炉壁温度为175 ℃，面包表面的黑度为,表面温度为100 ℃,表面积为 5 m 2，炉壁表面积远远大于面包表面积。求烤炉向这块面包辐射 传递的热量。 解：两物体构成封闭空间，且21S S <<，由下式计算辐射传热量： W T T S Q 0.65)448373(0645.085.01067.5) (448424111012-=-????=-=-εσ 负号表示炉壁向面包传递热量。 解题要点：辐射传热的应用，两个灰体构成的封闭空间。 【2-10】在逆流换热器中，用初温为20 ℃的水将1.25 kg/s 的液体［比热容为 kJ/(kg ·K)、密度为850 kg/m 3 ］由80 ℃冷却到30 ℃。换热器的列管直径为Φ25 mm ×2.5 mm,水走管内。水侧和液体侧的对流传热系数分别为850 W/（m 2·K ）和1 700W/（m 2·K ）,污垢热阻可忽略。若水的出口温度不能高于50 ℃，求水的流量和换热器的传热面积。 习题4－2 一维稳态导热问题的控制方程： 022=+??S x T λ 依据本题给定条件，对节点2 节点3采用第三类边界条件具有二阶精度的差分格式，最后得到各节点的离散方程： 节点1： 1001=T 节点2： 1505105321-=+-T T T 节点3： 75432=+-T T 求解结果： 852=T ，403=T 对整个控制容积作能量平衡，有： 02150)4020(15)(3=?--?=?+-=?+x S T T h x S q f f B 即：计算区域总体守恒要求满足 习题4－5 在4－2习题中，如果25 .03)(10f T T h -?=，则各节点离散方程如下： 节点1： 1001=T 节点2： 1505105321-=+-T T T 节点3： 25.03325.032)20(4015])20(21[-?+=-?++-T T T T 对于节点3中的相关项作局部线性化处理，然后迭代计算； 求解结果： 818.822=T ，635.353=T （迭代精度为10-4） 迭代计算的Matlab 程序如下： x=30; x1=20; while abs(x1-x)>0.0001 a=[1 0 0;5 -10 5;0 -1 1+2*(x-20)^(0.25)]; b=[100;-150; 15+40*(x-20)^(0.25)]; t=a^(-1)*b; x1=x; x=t(3,1); end tcal=t 习题4-12的Matlab程序 %代数方程形式A i T i=C i T i+1+B i T i-1+D i mdim=10;%计算的节点数 x=linspace(1,3,mdim);%生成A、C、B、T数据的基数； A=cos(x);%TDMA的主对角元素 B=sin(x);%TDMA的下对角线元素 C=cos(x)+exp(x); %TDMA的上对角线元素 T=exp(x).*cos(x); %温度数据 %由A、B、C构成TDMA coematrix=eye(mdim,mdim); for n=1:mdim coematrix(n,n)=A(1,n); if n>=2 coematrix(n,n-1)=-1*B(1,n); end if n 【最新整理，下载后即可编辑】 2T 3T 4T 4-1 解：采用区域离散方法A 时；网格划分如右图。内点采用中心差分123278.8 7769.9T T T === 22 d T T=0dx - 有 i+1i 1 2 2+T 0i i T T T x ---=? 将2点,3点带入 321222+T 0T T T x --=? 即3 21 209T T -+= 432322+T 0T T T x --=?432132 2+T 0T T T x --=? 即4321 209 T T T -+-= 边界点4 （1）一阶截差 由x=1 1dT dx =，得 431 3 T T -= （2）二阶截差 11B M M q x x x T T S δδλλ -=++ 所以 434111. 1. 36311 T T T =++ 即 43122293 T T -= 采用区域离散方法B 22d T T=0dx - 由控制容积法 0w e dT dT T x dT dT ???? --?= ? ????? 所以代入2点4点有 322121011336 T T T T T ----= 即 239 028T T -= 544431011363 T T T T T ----= 即 34599 02828T T T -+= 对3点采用中心差分有 432 32 2+T 013T T T --=?? ??? 即 23499 01919 T T T -+= 对于点5 由x=1 1dT dx =，得 541 6 T T -= （1）精确解求左端点的热流密度 由 ()2 1 x x e T e e e -= -+ 所以有 ()2200 20.64806911x x x x dT e e q e e dx e e λ -====-+=-=++ （2）由A 的一阶截差公式 21 0.247730.743113x T T dT q dx λ=-=-= =?= （3）由B 的一阶截差公式 0.21640 0.649213 x dT q dx λ=-=-= = （4）由区域离散方法B 中的一阶截差公式： 210.108460.6504()B B T T dT dx x δ-??==?= ??? 通过对上述计算结果进行比较可得：区域离散B 有控制容积平衡 法建立的离散方程与区域离散方程A 中具有二阶精度的格式精确度相当！ 4-3 解：将平板沿厚度方向3等分，如图 3 由题可知该导热过程可看作无限大平板的一维稳态有源导热问题，则控制方程为 22d T +S=0dx λ x=0， T 0=75℃ x=0.1 dT =h(T-T )dx f λ- 1点 ，2点采用中心差分有 5-2 解：根据课本p158式（5—1a ）得一维稳态无源项的对流－扩散方程如下所示： 2 2x x u ??Γ =??φ φρ （取常物性） 边界条件如下： L L x x φφφφ====,; ,00 由（5—2）得方程的精确解为： 1 1)/(00--=--?Pe L x Pe L e e φφφφ Γ=/uL Pe ρ 将L 分成15等份，有：?=P Pe 15 对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK 格式分别分析如下： 1） (CD)中心差分 节点离散方程： 2 )5.01()5.01(1 1-?+?++-=i i i P P φφφ 10,2 =i 2） 一阶迎风 节点离散方程： ? -?++++=P P i i i 2)1(1 1φφφ 10,2 =i 3） 混合格式 当1=?P 时，节点离散方程：2 )5.01()5.01(1 1-?+?++-= i i i P P φφφ ，10,2 =i 当10,5=?P 时，节点离散方程： 1-=i i φφ ， 10,2 =i 4） QUICK 格式，节点离散方程： ??? ???--++++++= +-?? -??+?)336(8122121 1111i i i i i i P P P P P φφφφφφ， 2=i ?? ????---++++++= +--? ? -??+?)35(8122121 12111i i i i i i i P P P P P φφφφφφφ， 2≠i 用matlab 编程如下：（本程序在x/L=0-1范围内取16个节点进行离散计算，假设y(1)= 0φ=0,y(16)=L φ=1,程序中Pa 为?P ，x 为题中所提的x/L 。由于本程序假设 y(1)=0φ=0,y(16)=L φ=1，所以 y y y y y y L =--=--=--0 10 )1()16()1(00φφφφ） Pa=input('请输入Pa=') x=0:1/15:1 Pe=15*Pa; y=(exp(Pe*x)-1)/(exp(Pe)-1) plot(x,y,'-*k') %精确解 hold on y(1)=0,y(16)=1; for i=2:15 y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2; end plot(x,y(1:16),'-or') %中心差分 hold on for i=2:15 y(i)=((1+Pa)*y(i-1)+y(i+1))/(2+Pa); end plot(x,y(1:16),'-.>g') %一阶迎风 hold on for i=2:15 if Pa==1 y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2; else y(i)=y(i-1) end end plot(x,y(1:16),'-+y') %混合格式 hold on for i=2:15 if i==2 y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(6*y(i)-3*y(i-1)-3*y(i+1))/8 else y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(5*y(i)-y(i-1)-y(i-2)-3*y(i+1))/8 end end plot(x, y(1:16),'- 主讲陶文铨 西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER 2009年9月7日,西安 数值传热学 第一章绪论 课程简介 1. 教材－《数值传热学》第二版，2001 2. 学时－45学时理论教学；10学时程序教学 3. 考核－平时作业/计算机大作业： 考试－40/60；考查－60/40 4. 方法－开放，参与，应用 5. 助手－郭东之，周文静，李兆辉 有关的主要国外期刊 1.Numerical Heat Transfer, Part A-Applications; Part B- Fundamentals 2.International Journal of Numerical Methods in Fluids. https://www.doczj.com/doc/b46466163.html,puter & Fluids 4.Journal of Computational Physics 5.International Journal of Numerical Methods in Engineering 6.International Journal of Numerical Methods in Heat and Fluid Flow https://www.doczj.com/doc/b46466163.html,puter Methods of Applied Mechanics and Engineering 8.Engineering Computations 9.Progress in Computational Fluid Dynamics 10. Computer Modeling in Engineering & Sciences (CMES) 11.ASME Journal of Heat Transfer 12.International Journal of Heat and Mass Transfer 13.ASME Journal of Fluids Engineering 14.International Journal of Heat and Fluid Flow 15.AIAA Journal 第一章: 1-1 对于附图所示的两种水平夹层，试分析冷、热表面 间热量交换的方式有何不同？如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用哪一种布置？ 解：（a ）中热量交换的方式主要有热传导和热辐射。 （b ）热量交换的方式主要有热传导，自然对流和热辐射。 所以如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用（ a ）布置。 1-2 一炉子的炉墙厚13cm ，总面积为20m 2 ，平均导热系数为 1.04w/m 〃k ，内外壁温分别是520 ℃及50 ℃。试计算通过炉墙的热损失。如果所燃用的煤的发热量是 2.09 ×10 4 kJ/kg ，问每天因热损失要用掉多少千克煤？ 解：根据傅利叶公式 每天用煤 1-3 在一次测定空气横向流过单根圆管的对流换热实验中，得到下列数据：管壁平均温度t w = 69 ℃，空气温度t f = 20 ℃，管子外径d= 14mm ，加热段长80mm ，输入加热段的功率8.5w ，如果全部热量通过对流换热传给空气，试问此时的对流换热表面传热系数多大？ 解：根据牛顿冷却公式 1-4宇宙空间可近似的看作0K 的真空空间。一航天器在太空中飞行，其外表面平均温度为250K ，表面发射率为0.7 ，试计算航天器单位表面上的换热量？ 解：航天器单位表面上的换热量 1-5附图所示的空腔由两个平行黑体表面组成，孔腔内抽成真空，且空腔的厚度远小于其高度与宽度。其余已知条件如图。表面 2 是厚δ= 0.1m 的平板的一侧面，其另一侧表面 3 被高温流体加热，平板的平均导热系数λ=17.5w/m ? K ，试问在稳态工况下表面3 的t w3 温度为多少？ 解： 表面1 到表面2 的辐射换热量= 表面2 到表面3 的导热量 第二章: 西安交通大学西安交通大学《《数值传热学数值传热学》》课程大作业 20140114 一. 题目 （1） 百叶窗翅片的二维模型如图1 所示。在流动与换热已经进入周期性充分发展的阶段，可以取 出一个翅片单元进行传热与流动阻力的分析计算。在稳态，层流，常物性，翅片温度恒定的条件下，对于表1给定的几何尺寸，进行Re ＝10－500 范围内的数值模拟，揭示每个计算单元的平均Nu 数与阻力系数f 与Re 的关系； Nu ，f 以及Re 定为：1 12()Re ;;0.5p m m m dp dx L u L h L f Nu u νρλ==?= 其中m u 为来流平均速度；m h 为每块条片的平均换热系数。 表1 几何参数 L1/mm Tp/mm Lp/mm Delta/mm /θ 30 18.6 30 1.5 25 图1 百叶窗翅片二维模型 图2 阶梯型逼近 二. 建议建议与要求与要求 1. 为便于处理流固耦合问题，计算可对图1中打阴影线的区域进行； 2. 可采用图2 所示的阶梯型网格处理倾斜的翅片； 3. 按照《西安交通大学学报》的论文格式撰写本报告； 4. 2014年4月30号前交课程论文到东三楼204房间。 三. 参考文献 [1] 陶文铨编著，数值传热学（第二版），2001， 西安交通大学出版社，节11.2 [2] Wang L B, Tao, W Q. Numerical analysis on heat transfer and fluid flow for arrays of non-uniform plate length aligned at angles to the flow direction. Int J Numerical Methods for Heat and Fluid Flow , 1997, 7(5,6):496 [3] Gong L. Li Z Y, He Y L, Tao W Q. Discussion on numerical treatment of periodic boundary condition for temperature. Numerical Heat Transfer, Part B , 2007, 52(5):429-448 水—水蒸汽两相相变界面的数值模拟 ——两相流动与热物理大作业 姓名张蛟龙_______ 学号201328013524021__ 班级物理308_____ 指导教师刘捷__ 完成时间_2014.5.8_ 水—水蒸汽两相相变界面的数值模拟报告 一．文献综述 作为化石资源的替代产品，核能的高效，清洁一直备受青睐，然而光环之下，核废料的处理不禁让人黯然神伤。强致命性辐射，动辄千年的半衰期，惯用的办法只能是深埋，等待下一代的聪明才智。与此同时，核废料的利用和加速衰减一直是核能大国们的研究重点。欧洲的ADS系统第六代散裂靶模型计划的目标就是要验证高水平的核废料转换的可行性。散裂靶作为连接加速器和核废料的装置需要工作在高辐射和高热流密度的条件下，因此散裂靶的设计是ADS系统研制最有挑战的部分。由加速器产生的高能质子流轰击靶核产生中子作为外源中子驱动和维持次临界堆的运行。散裂靶在极小的空间内需承受极大的热负荷，质子束通道与靶核的自由面相邻更加剧了设计难度。受材料限制，流体的温度不能超过550度，因此必须保证流体维持在一定的流量。但同时又要考虑高流速带来的飞溅和回流造成的局部温度过高。这一装置在水作为散裂靶的实验中获得了成功。二．问题描述 2.1.模型及尺寸 图1、欧洲液态金属散裂靶V0.10示意图[1] 如图1所示的欧洲加速器驱动次临界堆（ADS ）之无窗散裂靶示意图，液态铅铋合金从上方管间流下并汇合，形成两相界面，质子束由中间的真空管进入打在自由面上。此次模拟用的是水，详细物理背景见文献[1]。 2.2. 控制方程 连续性方程 动量方程 能量方程 三． Openfoam 求解 有关Openfoam 的下载和安装在老师给的安装指导的推荐网站上有详细的操作，在此就不赘述。网址为：https://www.doczj.com/doc/b46466163.html,/download/ubuntu.php 。 3.1. OpenFoam 求解简述 Openfoam 是一款基于linex 的开源可编程软件，其求解过程的关键是三个文件夹的设置，即0，constant 和system 。0文件夹里存放的是初始条件和边界条件设置文件；constant 文件夹里存放的是网格文件，物性参数和求解器模型；system 文件夹里存放的是求解过程控制，差分格式和代数方程求解器设置文件。以下就三个文件的设置展开简述初始条件、边界条件、物性参数，网格个数、疏密设置差分格式、界面捕获算法、气蚀模型等的选择和设置。 3.2. 0文件夹 包含有5个文件，分别为alph-water ，p_rgh ，U ，epsilon ，k ，详细设置见附录1，这里只着重强调在大作业完成过程中几个曾经连续考虑的点。 首先是参数的量纲设置。在Openfoam 文件中常会见到这样一行代码：dimensions [0 0 0 0 0]，这便是量纲，单位顺序依次是 [质量，长度，时间，温度，物质的量，电流，光强]。 其次是边界条件和初始条件的设置。在alph-water 中，alpha 代表水所占比例，参照userguide ，1时表示全部为液相，0时表示全部为气相。初始内部场的设置均为1，即起始时刻，散裂靶内部充满水。水入口是边界类型为“定值”，即 0)(=?? +??i i u x t ρρi b j ij i j i j i F x x p x u u t u +??+??-=??+??τρρετδρρ+=+-++??++??j j b j c ij k i i ij i i j j i i u F Q u p u u u e u x u u e t ] )2 1 ([)]21([ 热物理过程的数值模拟Numerical Simulation of Thermophysics Process 讲稿 主讲：李隆键 第一章概论 1．1流动与传热过程的予测方法及特点 流动、传热、燃烧问题是热工类各专业和机械类动力机械专业所研究和解决的主要问题之一，燃烧问题实际上是有化学反应的流动与传热问题，推而广之，在所有热物理过程中，几乎都涉及到流动、传热问题。 预测的重要性： ①在规定设计参数的相应的结构下，热物理过程是否满足要求，达到预定的指 标？要预测； ②优化设计，不同方案的比较，要预测； ③减少设计、生产、再设计和再生产的费用； ④减少设计更改； ⑤减少试验和测量次数。 问题的核心：速度场、温度场（传热量）、浓度场等。 一、热物理问题的予测方法：理论分析法、实验测定、数值模拟 1、理论分析 以数学分析为基础，求解描述热物理过程的定解问题，获得函数形式的解，表示求解区域内物理量连续分布的场（速度场、温度场、浓度场……）。 控制方程+单值条件（数学模型）→理论解（分析解，解析解） 根据解的准确程度，又可再分为： （1）精确分析解（严格解） 特点：函数形式的解；它在求解区域精确地满足定解问题。 具体解法：直接积分法、分离变量法、积分变换法、热源法、映射法。 （2）近似分析解法 特点：函数形式的解，在求解区域上近似地满足定解问题（但在总量上满足相应的守恒原理，动量守恒、动量守恒、能量守恒、质量守恒）。 具体解法：积分法（从积分方程出发） 变分近似解法 摄动法（从微分方程出发） 2、实验测定 （1）纯实验法 （2）相似理论实验法：同类相似，减少变量数目→减少工作量，得到规律性结 传热学大作业——二维物体热传导 问题的数值解法 1.二维热传导问题的物理描述： 本次需要解决的问题是结合给定的边界条件，通过二维导热物体的数值解法，求解出某建筑物墙角稳态下的温度分布t以及单位长度壁面上的热流量φ。 1.1关于边界条件和研究对象选取的物理描述：如图所示为本次作业需要求解的 建筑物墙壁的截面。尺寸如图中所标注。 1.2由于墙角的对称性，A-A，B-B截面都是绝热面，并且由于对称性，我们只需 要研究墙角的1/4即可(图中阴影部分)。假设在垂直纸面方向上不存在热量 的传递，我们只需要对墙角进行二维问题的研究即可。 1.3 关于导热量计算截面的物理描述：本次大作业需要解决对流边界条件和等温 边界条件下两类边界条件的问题。由于对称性，我们只需研究1/4墙角外表面和内表面的导热量再乘4，即是墙壁的总导热量。 2.二维热传导问题的数学描写： 本次实验的墙角满足二维，稳态无内热源的条件，因此： 壁面内满足导热微分方程： ?2t ?x2+?2t ?y2 =0。 在绝热面处，满足边界条件： ?λ(?t ?n )=0。在对流边界处满足边界条件： ?λ?t ?n w =?(t w?t f) 3.二维热传导问题离散方程的建立： 本次作业中墙角的温度场是一个稳态的连续的场。本次作业中将1/4墙角的温度场离散化，划分成若干小的网格，每个网格的节点看成以它为中心的一个小区域的代表。 通过这些节点，采用“热平衡法”，建立起相应的离散方程，通过高斯-赛德尔迭代法，得到最终收敛的温度场，从而完成对墙角温度场的数值解。 对1/4墙角的网格划分如下： 选取步长Δx=Δy=0.1m，为了方便研究，对导热物体的网格节点进行编码，编码规则如下： x,y坐标轴的方向如图所示，x,y轴的单位长度为步长Δx,取左下角点为(1,1)点，其他点的标号为其在x,y轴上的坐标。以此进行编码，进行离散方程的建立。 建立离散方程，要对导热物体中的节点根据其边界条件进行分类（特殊节点用阴影标出）：首先以对流边界条件下的墙角为例 数值传热学（Numerical Heat Transfer,NHT）又称计算传热学(Computational Heat Transfer,CHT)，是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法，通过计算机求解的一门传热学与数值方法相结合的交叉学科。数值传热学的基本思想是把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场，温度场，浓度场等），用一系列有限个离散点(称为节点)上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点变量值之间关系的代数方程（称为离散方程，discretization equation）,求解所建立起来的代数方程已获得求解变量的近似值。 一、数值传热学的研究作用与地位 数值传热学在最近20年中得到飞速的发展，除了计算机硬件工业的发展给它提供了坚实的物质基础外，还主要因为无论分析的方法或实验的方法都有较大的限制，例如由于问题的复杂性，既无法做分析解，也因费用的昂贵而无力进行实验测定，而数值计算的方法正具有成本较低和能模拟复杂或较理想的过程等优点。经过一定考核的数值计算软件可以拓宽实验研究的范围，减少成本昂贵的实验工作量。在给定的参数下用计算机对现象进行一次数值模拟相当于进行一次数值实验，历史上也曾有过首先由数值模拟发现新现象而后由实验予以证实的例子。在这里要指出对数值模拟结果准确度应持正确认识。计算机本身不能创造信息，发现规律，它只是把人们送入的信息按照计算者所选定的规律进行处理，加工而已。但一旦建立了实际问题合理的数学模型，数值模拟又能发挥很大的作用。由于它本身的一些固定优点，它以发展成为工业界进行CAD/CAM及过程控制的重要手段,在多种工程领域中得到广泛应用。例如：叶轮机器粘性三元流体的计算，电站锅炉炉堂内流场与温度场的模拟；大型初见凝固过程中温度场的预测； ########学院 计算流体力学与传热学 学号： 专业： 学生姓名： 任课教师：教授 2013年12月 目录 第一章验证显式格式的稳定性 (4) 1.1 概述 (4) 1.2 数学推导 (4) 1.3 问题描述 (4) 1.4 数值模拟 (4) 1.5 结果及分析 (5) 第二章判断肋片可以按一维问题处理的主要依据 (6) 2.1 概述 (6) 2.2 问题描述及算法 (6) 2.3 数值模拟 (7) 2.4 结果及分析 (8) 第三章三层墙导热 (9) 3.1 概述 (9) 3.2 问题描述 (9) 3.3 TDMA算法 (9) 3.4 结果 (10) 第四章一维无源稳态对流扩散问题 (11) 4.1 公式及初值 (11) 4.2 情况一 (11) 4.3 情况二 (12) 4.4 情况三 (13) 第五章用ADI算法计算长方肋内的温度分布 (14) 5.1 问题描述 (14) 5.2 初始参数 (14) 5.3 情况一，一列列扫 (14) 5.4 情况二，一行行扫 (14) 5.5 情况三，采用ADI算法 (15) 5.6 结果分析 (15) 参考文献 (16) 第一章 验证显式格式的稳定性 1.1 概述 将一维非稳态热传导方程用显式格式差分化为代数方程，在求解的迭代过程中必须满足一定的条件，才能使方程收敛且结果正确。此处即验证β≤?。 1.2 数学推导 方程： 22T t T x α??=?? （1） 显式离散格式： 此处时间向前差分，空间中心差分 111 22n n n n n i i i i i T T T T T t x α+-+--+=?? 1112(2)n n n n n i i i i i t T T T T T x α +-+?-=-+? 令β=2 t x α ??则： 111(2)n n n n n i i i i i T T T T T β+-+-=-+ （2） 误差也应该满足上式，故： ()()1()()()2()()i i i i i Ikx Ikx Ik x x Ikx Ik x x n n n n n T e T e T e T e T e ψψβψψψ----?--+?+??-=-+?? ()()()1()12()()()i i i i Ikx Ikx Ik x x Ik x x n n n n T e T e T e T e ψβψβψψ----?-+?+??=-++?? ()()1()12()()i i i Ikx Ikx Ikx n n Ik x Ik x n T e T e e e T e ψβψβψ---+-??=-++ ()()1() 121() n Ik x Ik x n T e e T ψββψ+-??=-++≤ 因此 β≤?。即当β≤? 时方程（2）才会有收敛的解。 1.3 问题描述 在验证过程中同时可模拟一个实际问题，即冬季里墙壁中的温度分布。此时室内壁温设为Tl=30.0℃，室外壁温Tr=-25.0℃，墙壁以11号楼为例，L=1m ，热扩散系数ɑ=alfa=1.33e-6m 2/s 然后分别取β=0.4，n=10和β=0.6，n=10两种情况，看最后的结果是否收敛和正确。 1.4 数值模拟计算传热学中国石油大学(华东)第四章大作业
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