2.4 位错的弹性性质
位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。
一、位错的连续介质模型
早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。
1.位错的连续介质模型基本思想
将位错分为位错心和位错心以外两部分。在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。用线性弹性理论处理。即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。对此，我们仅作一般性的了解。
2.应力与应变的表示方法
(1)应力分量
如图1所示。物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。它们是：
图1 物体中一受力单元的应力分析
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。如σxy表示作用在与yoz坐标面平行的小平面上，而指向y方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。同样的分析可以知道:σxx，σyy，σzz3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx，σyy，σzz，σxy，σxz和σyz，而σxy =σyx，σxz =σzx，σyz =σzy。同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr，σθθ，σzz，σrθ，σrz，σθz。（2）应变分量
与6个独立应力分量对应也有6个独立应变分量。直角坐标系中：εxx，εyy，εzz，ε，εxz和εyz。柱面坐标系中：εrr，εθθ，εzz，εrθ，εrz和εθz。
xy
二位错的应力场
晶体中存在位错时，位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产生应力场。在位错的核心区，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围，虎克定律已不适用。中心区外，位错所形成的弹性应力场可用各向同性连续介质的弹性理论来处理。该模型首先假设晶体是完全弹性体，服从虎克定律；其次，把晶体看成是各向同性的；第三，近似地认为晶体内部由连续介质组成，晶体中没有空隙，因此晶体中的应力、应变、位移等量是连续的，可用连续函数表示。 （1）螺位错的应力场
取外半径为R ，内半径为r o 的各向同性材料的圆柱体两个。圆柱中心线选为Z 轴，将圆柱沿XOZ 面切开，使两个切面分别沿Z 轴方向相对位移b ，再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图2。
图2 螺位错的连续介质模型
采用圆柱坐标系，坐标选取如图2。从这个圆柱体中取一个半径为r 的薄壁圆筒展开，便能看出在离开中心r 处的切应变为r b z πεθ2/=，其相应切应力r
Gb z z z G πθθθεσσ2.=
==，式
中G 为切变模量。由于圆柱只在Z 方向有位移，X ，Y 方向无位移，所以其余应力分量为零。
0=======zr rz r r zz rr σσσσσσσθθθθ，如果采用直角坐标系表示，则
)
(222
sin y x r
Gb z zx xz +-=-==π
θθσσσ，)
(222cos y x x Gb z zy yz +=
==πθθσσσ，
0=====yx xy zz yy xx σσσσσ。由前面的式子知，螺位错应力场中不存在正应力分量。
切应力分量只与r 有关，与θ无关，所以螺位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力相等。当r 趋向0时，z θσ与θσz 趋于无限大，显然不符合实际情况，这是因为线弹性理论不适用于位错中心的严重畸变区。
螺型位错的应力场(如图2所示)具有以下特点：
1).只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错不引起晶体的膨胀和收缩。 2).螺型位错所产生的切应力分量只与r 有关（成反比），而与θ、z 无关。只要r 一定，z 就为常数。因此，螺型位错的应力场是轴对称的，即与位错等距离的各处，其切应力值相
等，并随着与位错距离的增大，应力值减小。 （2）刃位错应力场
取外半径为R ，内半径为r o 的各向同性材料的圆柱体两个。圆柱中心线选为Z 轴，将圆柱沿XOZ 面切开，使两个切面分别沿X 轴方向相对位移b ，再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图3。
图3 刃位错的连续介质模型
刃位错应力场比螺位错复杂，按图3，根据弹性理论可求得2
2222)()3(y x y x r xx D
++-=σ，222
2
2
)
()
(y x
y x r yy D +-=σ，
)
(yy xx zz r σσσ+=，
2
22
2
2
)
()
(y x y x x yx xy D +-
==σσ，
0====zy yz zx xz σσσσ，其中)
1(2γπ-=
Gb D ，γ为泊松比，G 为切变模量。
由上式可看出，刃型位错应力场具有以下特点：
1).同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的大小与G 和b 成正比，与r 成反比，即随着与位错距离的增大，应力的绝对值减小。
2).各应力分量都是x ，y 的函数，而与z 无关。这表明在平行于位错线的直线上，任一点的应力均相同。
3).刃型位错的应力场对称于多余半原子面（y-z 面），即对称于y 轴。
4).y=0时，σxx=σyy=σzz=0，说明在滑移面上，没有正应力，只有切应力，而且切应力τxy 达到极大值。
5).y＞0时，即滑移面以上，σxx ＜0；而y ＜0时，即滑移面以下，σxx ＞0。这说明正刃型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。 6).在应力场的任意位置处，|σxx|＞|σyy|。
7).x=±y 时，σyy ，τxy 均为零，说明在直角坐标的两条对角线处，只有σxx ，而且在每条对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy 的符号相反。
显然，同螺位错一样，上述公式也不适用于刃位错中心区。刃位错周围的应力场如图4所示。
图4 刃位错周围的应力场
三位错的应变能
1 位错的应变能
位错在晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，我们称之为位错的应变能或位错的能量。与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部分：一是位错心的能量；二是位错心以外的能量。根据用点阵模型对位错心能量的估算，它大约是位错心以外能量的十分之一左右。因而作为近似，我们通常所说的位错的应变能就是指位错心以外的弹性应变能。这部分能量可用弹性模型来处理。
2 刃位错的弹性应变能
在连续介质模型中制造有关的位错时必须作功，位错形成后，这个功就转变为位错的应变能。因此，我们只要求出形成位错时外界所做的功即可。以刃型位错为例，仍考虑一圆柱体，图5所示。
图5 形成位错时的做功分析
内径为r0，外径为R。沿xoz面剖开至中心后，在两剖面上加切应力τyx(请同学们分析τyx的作用平面和施力方向)，使它们沿x方向相对移动。τyx起始值为零，然后逐渐增大，这是因为它必须克服弹性体中随变形而增长起来的内应力。最后当两剖面相对位移达到b 时，τyx恰好增大到与刃位错的应力分量σyx相等。考虑到τyx在剖面上不是常数，而是x
的函数。取z 轴的单位长度。x 轴上考虑d x 面积元内的情况。变形过程中外力在此面积元上所作元功为:dx
b dw yx σ21=，系数21是因为一开始τyx
=0，最后τ
yx
=σyx ，取其平均值而
得到的。将积分元在r 0~R 范围内积分(并考虑到y =0)，可得形成一单位长度刃型位错所需作的功w E ：02ln )()
1(4r R Gb E L W E W γπ-==，其中γ为泊松比，一般金属3
1=γ。 3 螺位错的弹性应变能
由弹性理论可知：弹性体变形时，单位体积内的应变能（W/V ）等于σε21，如果应力有若干分量，则总的单位体积应变能等于这些应力分别乘以其相应的应变分量总和的二分之一。对于螺位错，只有切应力分量，故dV dw z z θθεσ.2
1
=
，由图2，L rdr dV .2π=，其中L
为位错线长度。若位错中心区为0r ，应力场作用半径R ，则dr
r z z R
r L
dW L
W
.2..)(
210
πεσθθ??=，整理后得，r
dr R
r Gb L dW
L
W ?
?
=
240
)(π，单位长度螺位错的弹性应变能W s 为0
2
ln )(4r R Gb s L W s W π
=
=。 估算实际晶体中位错应变能的数值。首先要确定R 和r 0。对于一般金属晶体，位错应
力场受到亚晶界限制，因此R 为一般亚晶界的尺度，约为10-4cm~1μ。根据点阵模型的估算，r 0的数量级为10-8cm 。因此，ln(R /r 0)为10左右。
分析上述式子表明单位长度的位错的应变能大致可表示为)/(./2m J Gb L W α=，其中
α是与几何因素有关的系数。约为0.5-1.0。此式表明由于应变能与柏氏矢量的平方成正比，
故柏氏矢量越小，位错能量越低。
注意：位错应变能的单位量纲为：能量/长度。如对Cu 单晶，G =4×1011dyn/cm 2
，b =2.5×10-8cm ，得到位错的应变能为：2.5×10-4
erg/cm 。又如Fe 单晶，G =8.3×1011dyn/cm 2，b =2.48
×10-8cm ，位错的应变能为：5.2×10-4
erg/cm 。
位错的应变能使晶体的自由能增加，虽然位错出现也增大晶体的熵，使自由能下降。但是通常位错引起的熵是很小的。位错的自由能基本上就是位错的弹性应变能，具有正值。因而，从热力学上说，位错是不稳定的晶体缺陷。
混合位错的弹性应变能的计算，可将混合位错分解为螺型分量和刃型分量，然后按螺型位错和刃型位错的弹性应变能公式计算，最后相加。 四 外力场中位错所受的力
在切应力作用下，晶体中的位错将发生运动，由于位错移动的方向总是与位错线垂直，故可设想有一个垂直于位错线的力，造成了位错的移动，这就是“作用在位错线上的力”，常用虚功原理求得。作用于位错的力只是一种组态力，它不代表位错附近原子实际所受到的力，也区别于作用在晶体上的力。
图6 作用在位错线上的力
由图6可知，切应力τ使一小段位错线移动了ds 距离。此段位错线的移动使晶体中dA 面积上下两部分沿滑移面产生了滑移量为b 的滑移，故切应力作的功为
b ds dl b dA dW ..).(ττ==。另一方面，此功相当于作用在位错上的力F 使位错线移动ds 距离所作的功为：ds F W .=。两式相等可求出dl b F .τ=，作用在单位长度位错线上的力用d
F 表示则有b dl F F d τ==/。由此式可知，作用在单位长度位错线上的力与外加切应力τ和柏氏模b 成正比，方向处处垂直于位错线，并指向未滑移区，F d 的方向往往与τ的方向不同
（如图7）。
图7 位错的线张力 五 位错线张力
因为位错能量与位错线的长度成正比，所以它有尽可能缩短其长度而降低自由能的趋势。为了表征位错的这种性质，引入位错的线张力T 。线张力的定义为：位错线增加一个单位长度时，引起晶体能量的增加，即位错的线张力就等于：单位长度位错的应变能（数量级为Gb 2）。2
.Gb T α=，考虑到实际晶体中位错是弯曲的，在远处的应力场可能会有部分抵消，使位错线的线张力小于直位错线，通常用Gb 2/2作为位错线张力的估算值。对于直位错，1=α。位错线张力在数量上与单位长度的位错能相等，但要注意两者不同的物理意义和不同的量纲。
图7表示有一ds 长，曲率半径为r 的位错线，若有外加切应力τ存在，则单位长度位错线所受的力为b τ，它力图使位错线变弯。同时存在的线张力T ，力图使位错线伸直。线
张力在水平方向的分力为2sin 2θd T 。平衡时两力相等，故有2sin 2.θ
τd T ds b =，因为
θrd ds =，θd 较小时，2
2sin θ
θd d ≈，2
2G b T =
，所以r
Gb 2=
τ。此式表明，假如切应力产生
的作用在位错线上的力b τ，作用于不能自由运动的位错上，则位错将向外弯曲，其曲率半径r 与τ成反比。
六 位错间的交互作用力
晶体中存在位错时，在它的周围便产生一个应力场。实际晶体中往往有许多位错同时存在。任一位错在其相邻位错应力场作用下都会受到作用力，此交互作用力随位错类型、柏氏矢量大小、位错线相对位向的变化而变化。 1 两根平行螺位错的交互作用
设两条螺位错平行于Z 轴，相距为r ，柏氏矢量为b 1、b 2，如图8。因为螺位错应力场具有径向对称性，平行于Z 轴，相距为r 的两个螺位错之间只有径向作用力F r 存在。考虑b 2在b 1应力场作用下的情况，圆柱坐标系下，2b F z r θσ=，由螺位错的应力场公式可知
r Gb z πθσ21
=，所以r
b
G b r F π22
1=。直角坐标系下：螺位错b 1只有两个不为零的应力分量σxz 和σyz 。σxz =(Gb 1/2π
)[y /(x 2+y 2)]和σyz =-(Gb 1/2π)[x /(x 2+y 2)]，位错线b 2的三个分量b 2x ，b 2y ，b 2z
中只有b 2z 不为零，且b 2z =b 2。位错线线矢量ξ2的三个分量ξ2x ，ξ2y ，ξ2z 中，只有ξ2z 不为零，取单位长度，ξ2z =1。应用位错受力F 的一般公式可得：F x = b 2σyz = (Gb 1b 2 / 2π)[x / (x 2+y 2)] F y = -b 2σxz = (Gb 1b 2 / 2π)[y / (x 2+y 2)] 可见，F 是一种径向力：当位错同向时，两位错在F 的作用下表现为互相排斥。当位错反向时，ξ2z =-1，两位错在F 的作用下表现为互相吸引。
因此，两平行螺型位错间的作用力，其大小与两位错强度的乘积成正比，而与两位错间距成反比，其方向则沿径向r 垂直于所作用的位错线，当bl 与b2同向时，Fr ＞0，即两同号平行螺型位错相互排斥；而当bl 与b2反向时，Fr ＜0，即两异号平行螺型位错相互吸引。
图8 两平行螺位错的相互作用图 2 两平行刃型位错的交互作用
两个柏氏矢量平行的刃位错位置关系如图9。位错I 位于坐标原点，位错II 在点（x,y ）处，柏矢量b 1，b 2沿x 方向。由刃位错的应力场公式，可求出位错I 作用于（x,y ）处的各应力分量。位错b 1在(x ，y )处的应力分量为:σxx ，σyx ，σxy ，σyy 和σzz 。位错b 2的柏矢量分量中b 2x =b 2，其余为零；位错b 2的位错线矢量分量中ξ2z =1，其余为零。其中只有切应力分量yx σ和正应力分量xx σ对位错II 起作用，分别导致位错II 沿x 轴方向滑移和沿y 轴方向攀移。由于位错II 的滑移面与Y 轴垂直，故yx σ可使位错II 滑移，xx σ可使位错II 沿Y 方向发生攀移，因为是压应力，引起正攀移，故F x 与xx σ反号。由外力场中位错所受的力公式求得沿X 轴的分力F x ，沿Y 轴的分力F y 。2
22
2
2
2
1)()()
1(22.y x y x x b Gb yx x b F +--=
=γπσ，2
221)()3(2.y x y x y b Gb xx y b F ++=-=σ。由于刃位错只能在位错线与柏氏矢量构成的滑移面上滑
移，故F x 是决定位错行为的作用力，F x 的正负由)(2
2
y x x -项决定。当x=0时，F x =0，作用力倾向于使同号位错垂直于滑移面排列起来，这样的位错组态构成了小角度晶界。当x=y 时，F x =0，此时位错II 处在不稳定平衡状态。当x >0，x >y 时，F x >0两位错互相排斥。当x >0，x 图9 两平行刃位错的交互作用 图10 两平行同号刃位错的作用力 3 混合位错间的交互作用力 在互相平行的螺位错与刃位错之间，由于两者的柏氏矢量相垂直，各自的应力场均没有使对方受力的应力分量，故彼此不发生作用。若是两平行位错中有一根或两根都是混合位错时，可将混合位错分解为刃型和螺型分量，再分别考虑它们之间作用力的关系，叠加起来就得到总的作用力。 七位错与点缺陷的交互作用 所有点缺陷如空位，间隙原子或溶质原子都能以多种方式与位错发生交互作用。由于点缺陷在晶体中引起弹性畸变，因而受到位错应力场的作用。如按照刃型位错应力场特点：对正刃型位错，滑移面上方的晶胞体积小于正常晶胞，吸引比基体原子小的置换式溶质原子或空位；滑移面下方的晶胞体积大于正常晶胞，吸引间隙原子和比基体原子大的置换式溶质原子。下面我们定量分析一下置换溶质原子与位错的作用(作为一种方法，要学会分析方法)：仍然用弹性介质模型(连续介质)，在晶体中挖一球形洞，半径r0，相当于从晶体中拿掉一个原子，然后放入一半径为r0(1+ε)的小球，图11所示。ε称为错配度。表示溶质原子与基体原子大小的差别。 图11 点缺陷与位错的交互作用示意图 在这个替换过程中，外力反抗位错应力场所做的功就是溶质原子与位错间的交互作用能。小球的填入在周围介质中引起的应变与球面垂直，只有正应力。即：位错应力场中只有：σxx， σyy，σzz做功，应力的平均值： 替换后体积变化为：V = 4πεr02 则做功： 平衡状态要求低的U值。由得到的表达式不难看出： V > 0时： (1)y > 0，U > 0。 (2)y < 0，U < 0。 V < 0时： (1)y > 0，U < 0。 (2)y < 0，U > 0。 因此，所有比基体大的置换式溶质原子(ΔV>0)被y<0区域(位错的膨胀区)吸引；反之，被y>0区域(位错的压缩区)吸引。位错与溶质原子的交互作用图12。 图12 位错与溶质原子的交互作用 例题 1 如图所示，在相距为h的滑移面上有两个相互平行的同号刃型位错A、B。试求出位错B 滑移通过位错A上面所需的切应力表达式。 答案 两平行位错间相互作用力中，f x项为使其沿滑移面上运动的力： 直角坐标与圆柱坐标间换算：，y=h； 三角函数：，， 求出f x的零点和极值点（第一象限） sin4=0 =0 f x=0 两位错间互不受力，处于力的平衡状态； sin4=0 =f x=0 两位错间互不受力，处于力的平衡状态； sin4=1 =f x→max同号位错最大斥力，异号位错最大引力，其值为 ； sin4=1 =f x→max同号位错最大斥力，异号位错最大引力，其值为 若不考虑其他阻力，有如下结论： 1)对异号位错 要作相向运动，0<<时，不需加切应力； <<时，需要加切应力：方向 要作反向运动，0<<时，需要加切应力：方向 <<时，不需加切应力； 2)对同号位错（以两负刃位错为例）， 要作相向运动，0<<时，需要加切应力： 对位错A方向，对位错B方向为； <<时，不需加切应力； 要作反向运动，0<<时，不需加切应力； <<时，需要加切应力：对位错A方向，对位错B 方向为。 2 图所示某晶体滑移面上有一柏氏矢量为b的位错环并受到一均匀切应力τ的作用，a)分析 各段位错线所受力的大小并确定其方向；b)在τ作用下，若要使它在晶体中稳定不动，其最小半径为多大？ 答案a) 令逆时针方向为位错环线的正方向，则A点为正刃型位错，B点为负刃型位错，D点为右螺旋位错，C点为左螺旋位错，位错环上其他各点均为混合位错。 各段位错线所受的力均为f=τb, 方向垂直于位错线并指向滑移面的未滑移区。 b)在外力τ和位错线的线张力T作用下，位错环最后在晶体中稳定不动，此时 ∴ 重点内容 位错的应力场，应变能，位错的受力状态。 比较螺型位错与刃型位错二者应力场畸变能的异同点；作用于位错的组态力、位错的线张力、外加切应力、 位错附近原子实际所受的力、以及位错间的交互作用力相互之间的关系与区别。位错的应力场，位错的应变能，线张力，滑移力，攀移力。 螺型位错的应力场： 刃型位错的应力场：式中 位错的应变能：式中 位错的线张力： 作用于位错的力： 滑移力 攀移力 两平行螺位错间径向作用力： 两平行刃型位错间的交互作用力： 第三节面缺陷Planar defects 晶界孪晶界相界大角度晶界小角度晶界 外表面 内表面 外表面：指固体材料与气体或液体的分界面。它与摩擦、 吸附、腐蚀、催化、光学、微电子等密切相关。 内界面：分为晶粒界面、亚晶界、孪晶界、层错、相界面等 一、外表面Surface 特点：外表面上的原子部分被其它原子包围，即相邻原子数比晶体内部少；表面成分与体内不一；表面层原子键与晶体内部不相等，能量高；表层点阵畸变等。 表面能：晶体表面单位面积自由能的增加，可理解为晶体表面产生单位面积新表面所作的功 γ = dW/ds 表面能与表面原子排列致密度相关，原子密排的表面具有最小的表面能； 表面能与表面曲率相关，曲率大则表面能大； 表面能对晶体生长、新相形成有重要作用。 二、晶界和亚晶界 grain boundary and sub-grain boundary 晶界Grain boundary：在多晶粒物质中，属于同一固相但位向不同的晶粒之间的界面称为晶界。是只有几个原子间距宽度，从一个晶粒向另外一个晶粒过渡的，且具有一定程度原子错配的区域。 晶粒平均直径：0.015-0.25mm 亚晶粒Sub-grain：一个晶粒中若干个位向稍有差异的晶粒；平均直径：0.001mm 亚晶界Sub-grain boundary：相邻亚晶粒之间的界面 晶界分类(根据相邻晶粒位相差) 小角度晶界： （Low-angle grain boundary） 相邻晶粒的位相差小于10o 亚晶界一般为2o左右。 大角度晶界：（High-angle grain boundary）相邻晶粒的位相差大于10o大角度晶界小角度晶界 2.4位错的弹性性质 位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。 一、位错的连续介质模型 早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。1.位错的连续介质模型基本思想 将位错分为位错心和位错心以外两部分。在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。用线性弹性理论处理。即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。对此，我们仅作一般性的了解。2.应力与应变的表示方法(1)应力分量 如图1所示。物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。它们是： 图1物体中一受力单元的应力分析 σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz 其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。如σxy 表示作用在与yoz 坐标面平行的小平面上，而指向y 方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。同样的分析可以知道:σxx ，σyy ，σzz 3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx ，σyy ，σzz ，σxy ，σxz 和σyz ，而σxy =σyx ，σxz =σzx ，σyz =σzy 。同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr ，σθθ，σzz ，σrθ，σrz ，σθz 。（2）应变分量 2.4 位错的弹性性质 位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。 一、位错的连续介质模型 早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。 1.位错的连续介质模型基本思想 将位错分为位错心和位错心以外两部分。在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。用线性弹性理论处理。即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。对此，我们仅作一般性的了解。 2.应力与应变的表示方法 (1)应力分量 如图1所示。物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。它们是： 图1 物体中一受力单元的应力分析 σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz 其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。如σxy表示作用在与yoz坐标面平行的小平面上，而指向y方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。同样的分析可以知道:σxx，σyy，σzz3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx，σyy，σzz，σxy，σxz和σyz，而σxy =σyx，σxz =σzx，σyz =σzy。同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr，σθθ，σzz，σrθ，σrz，σθz。（2）应变分量 与6个独立应力分量对应也有6个独立应变分量。直角坐标系中：εxx，εyy，εzz，ε，εxz和εyz。柱面坐标系中：εrr，εθθ，εzz，εrθ，εrz和εθz。 xy 二位错的应力场 《位错与位错强化机制》杨德庄编著哈尔滨工业大学出版社1991年8月第一版 1-2 位错的几何性质与运动特性 一、刃型位错 2．运动特性 滑移面：由位错线与柏氏矢量构成的平面叫做滑移面。 刃型位错运动时，有固定的滑移面，只能平面滑移，不能能交叉滑移（交滑移）。 刃型位错有较大的滑移可动性。这是由于刃型位错使点阵畸变有面对称性所致。 二、螺型位错 1. 几何性质 螺型位错的滑移面可以改变，有不唯一性。螺型位错能够在通过位错线的任意平面上滑移，表现出易于交滑移的特性。 同刃型位错相比，螺型位错的易动性较小。、 位于螺型位错中心区的原子都排列在一个螺旋线上，而不是一个原子列，使点阵畸变具有轴对称性。 2．混合位错 曲线混合位错的结构具有不均一性。 混合位错的运动特性取决于两种位错分量的共同作用结果。一般而言，混合位错的可动性介于刃型位错和螺型位错之间。随着刃型位错分量增加，使混合位错的可动性提高。 混合位错的滑移面应由刃型位错分量所决定，具有固定滑移面。 四、位错环 一条位错的两端不能终止于晶体内部，只能终止于晶界、相界或晶体的自由表面，所以位于晶体内部的位错必然趋向于以位错环的形式存在。一般位错环有以下两种主要形式： 1. 混合型位错环 在外力作用下，由混合型位错环扩展使晶体变形的效果与一对刃型位错运动所造成的效果相同。 2. 棱柱型位错环 填充型的棱柱位错环 空位型棱柱位错环 棱柱位错环只能以柏氏矢量为轴的棱柱面上滑移，而不易在其所在的平面上向四周扩展。因为后者涉及到原子的扩散，因而在一般条件下（如温度较低时）很难实现。 1-3 位错的弹性性质 位错是晶体中的一种内应力源。——这种内应力分布就构成了位错的应力场。——位错的弹 第五章位错的弹性性质 绪论： ⑴固体弹性理论主要是研究各向同性的连续固体在弹性变形(质点和对位移很小)时应力和应变分布。 ⑵①如果某部分物体受的作用力是沿物体表面(界面)的外法线方向，它所产生的应力就是拉应力。 ②如果作用力和物体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它所产生的应力就是压应力。 ③拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力 5.1⑴直角坐标表示： ⑵极坐标表示： ⑶平衡状态， 有切应力互等定律。否则六面体将发生转动。 ⑷应变分量： ⑸应力与应变： 5.1位错的应力场 1.位错周围的弹性应力场弹性体假设模型： ⑴晶体是完全弹性体；⑵ 晶体是各向同性的；⑶ 晶体中没有空隙，由连续介质组成。 2.螺位错的应力场 ⑴圆柱体的应力场与位错线在z 轴，对圆柱体上各点产生两种切应力 从这个圆柱体中取一个半径为r 的薄壁圆筒展开，便能看出在离开中 θθτ=τz z 心r 处的切应变为 由于圆柱只在z 轴方向有位移，在xy 方向都没有位移，所以其他分量都为0： 螺位错应力场的特点： 采用直角坐标： ①只有切应力分量（σθz 、σz θ），而无正应力。 ②螺位错产生的切应力大小只与r 的大小有关，即只与离位错线的距 离成反比，而与θ、z 无关。其应力 场关于位错线是对称的。 3刃位错的应力场 直角坐标表示： 刃位错应力场的特点： ①同时存在着正应力与切应力; ②刃型位错的应力场，对称于多余半原子面; ③滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。 ④正刃型位错的滑移面上侧，在x 方向的正应力为压应力; 滑移面下侧，在x 方向上的正应力为拉应力 ⑤半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。 5.2位错的弹性能 ⑴单位体积正应变能：2E 21V u ε= 单位体积切应变能：2G 2 1 V u γ?= ⑵单位长度螺位错的弹性应变能为：02s r R ln 4Gb L u U π== ⑶单位长度刃位错的弹性应变能为： （取υ＝1/3） r 2b ?π?= γr Gb G πγττθθ2z z = ?== ∴ s U 2 3 s U 11U e =υ-=第二章 位错的弹性性质(面缺陷)
位错的弹性性质(考试重要)
2.4 位错的弹性性质
位错理论
第五章位错的弹性性质
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