第2课时相似三角形的判定2
图4－4－14
知识点由两边成比例且夹角相等判定两三角形相似
1．如图4－4－14所示，已知△ABC，则图4－4－15中与△ABC相似的是( )
图4－4－15
2．如图4－4－16，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是( )
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE
C.AB
AD
＝
AC
AE
D.
AB
AD
＝
BC
DE
4－4－16 4－4－17
3.如图4－4－17，能保证△ABC与△ACD相似的条件是( )
A.AB
BC
＝
AC
CD
B.BC
AC
＝
CD
AD
C．AC2＝AD·AB
D．CD2＝AD·DB
4．2016·贵阳期末在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪
下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )
图4－4－18
5．如图4－4－19，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 与AC 上，且AD ＝5，DB ＝7，AE ＝6，EC ＝4，△ADE 与△ACB 相似吗？请说明理由．
图4－4－19
6．在△ABC 和△A′B′C′中，∠B ＝∠B′，AB ＝6，BC ＝8，B ′C ′＝4，则当A′B′＝________时，△ABC 与△A′B′C′相似．
图4－4－20
7．如图4－4－20所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 于点Q ，若以A ，P ，Q 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AQ 的长为________．
8．2017·贵阳期末如图4－4－21，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC
＝13
，AE ＝EB.求证：△AED∽△CBD.
图4－4－21
9．如图4－4－22，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD ＝∠CBE.求证：△ABC∽△DBE.
图4－4－22
详解
1．C
2．D [解析] ∵∠1＝∠2，∴∠DAE ＝∠BAC .
A ．添加∠C ＝∠E ，可用两角法判定△ABC ∽△ADE ，故本选项不合题意；
B ．添加∠B ＝∠ADE ，可用两角法判定△AB
C ∽△ADE ，故本选项不合题意；
C ．添加AB A
D ＝AC AE
，可用两边及其夹角法判定△ABC ∽△ADE ，故本选项不合题意； D ．添加AB AD ＝
BC DE ，不能判定△ABC ∽△ADE ，故本选项符合题意． 故选D.
3．C [解析] 从图中可看出，两个三角形有一公共角，若AB ∶AC ＝AC ∶AD 成立，则可
利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定△ABC 与△ACD 相似．故选C.
4．D [解析] 三角形纸片ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，AC ＝6.
A.4AB ＝48＝12，对应边AC AB ＝68＝34≠12，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；
B.3AB ＝38，对应边AC AB ＝68＝34≠38，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；
C.2AC ＝26＝13，对应边AC AB ＝68＝34≠13，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；
D.2BC ＝24＝12，对应边BC AB ＝48＝12，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC 相似，故此选项正确．
故选D.
5．解：△ADE ∽△ACB .理由如下：
∵AD ＝5，DB ＝7，AE ＝6，EC ＝4，
∴AD AC ＝56＋4＝12，AE AB ＝67＋5＝12
， ∴AD AC ＝AE AB .
又∵∠A ＝∠A ，
∴△ADE ∽△ACB .
6．3或163
[解析] 两个三角形中已经有一组角对应相等，只需这两个角的夹边对应成比例即可说明这两个三角形相似，成比例有两种情况：AB ∶A ′B ′＝BC ∶B ′C ′，AB ∶B ′C ′＝BC ∶A ′B ′.
7．3或43 [解析] ∵AC ＝4，P 是AC 的中点，∴AP ＝12AC ＝2.∵∠A ＝∠A ，∴①若AP AC ＝AQ AB
，则△APQ ∽△ACB ，即24＝AQ 6，解得AQ ＝3；②若AQ AC ＝AP AB ，则△APQ ∽△ABC ，即26＝AQ 4
，解得AQ
＝43.综上，AQ 的长为3或43
. 8．证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°，BC ＝AB . ∵AE ＝BE ，
∴BC ＝2AE ，
∵AD AC ＝13
， ∴CD ＝2AD ，
∴AD CD ＝AE BC ＝12
. 又∵∠A ＝∠C ，
∴△AED ∽△CBD .
9．证明：在△ABD 和△CBE 中， ∵∠DAB ＝∠ECB ，∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ∽△CBE ，
∴AB CB ＝BD BE
， 即AB DB ＝BC BE .
∵∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC ，
∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ，∠ABD ＝∠CBE ， ∴∠ABC ＝∠DBE .
在△ABC 和△DBE 中，
AB DB ＝BC BE
，∠ABC ＝∠DBE ， ∴△ABC ∽△DBE .
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
相似三角形加强练习 一填空: 1.如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=_____. 2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对. 3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,则BM=______. 4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________. 5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____. 6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为 __. 7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________. 9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC =2∶3,则CD=______. 10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF= . 11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则S ΔADE ∶S ΔABE =___________. 12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________. 13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG =_________. 14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,S ΔADE =1,则S 四边形BCDE =________.
第四章图形的相似 4．探索三角形相似的条件（三） 山东省青岛市第四十二中学庄丽 一、学生知识状况分析 学生在七年级已学习过三角形的基础知识，掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了成比例线段，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念。学生在上两节课学习的基础上，进一步探索相似三角形的条件（三边成比例的两个三角形相似），已经有一定的探索经验；因此，本课时对学生来说，难度不是很大，关键是老师要用正确的方法，启发学生进行探索，做到师生互动，教师参加学生讨论并充分调动学生的学习积极性。使学生能充分的理解和掌握三角形的相似的判定方法，并能结合本节知识点，进行一些问题的解决，以巩固所学知识的运用。 二、教学任务分析 在复习上一节课所学的判定方法的基础上进一步学习三角形相似的条件，增加“三边对应成比例的两个三角形相似”判定定理，并对所学的各种三角形相似的判定方法进行梳理；使学生能掌握和综合利用相似三角形的判定条件来判定两个三角形的相似，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象和增加解决问题的能力。 教学目标： 1、知识与技能： （1）掌握三角形相似的判定方法3。 （2）会用相似三角形的判定方法3来判断、证明及计算。 2、过程与方法： 以问题的形式引入，创设一个有利于学生动手和探究的情景，师生互动，从而达到掌握相似三角形判定的方法的目的。 3、情感与价值观要求： （1）通过探索相似三角形的判定方法3,体现数学活动充满着探索性和创造性.
（2）通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力。 教学重点 掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似” 。 教学难点 判定方法的推导及运用 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入、合作探讨；第二环节：交流展示、揭示新知；第三环节：应用新知、练习提高；第四环节：梳理知识、自我升华；第五环节：课堂小结。 第一环节：情景引入、合作探讨 活动内容： 【师】我们上两节课学过什么定理? 师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似。 【师】那么判定三角形相似还有没有其它条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途。 画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA ''都等于给定的值k. （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小。 （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由. 改变k 值的大小，再试一试。 【生】按照上面的步骤进行，这里的k 由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k 值，不同的组取不同的k 值。 活动目的： 将学习空间还给学生，让学生在相互合作的过程中发现知识，掌握知识。 活动效果： 在一个开放的环境下，学生动手操作，自主探索，让学生对学习有很高的兴趣，小组之间互相竞争，气氛热烈,同时培养了学生们的合作交流精神。
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
2 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF
探索相似三角形相似的条件(提高) 【学习目标】 1.相似三角形的概念. 2.相似三角形的三个判定定理. 3.黄金分割. 4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的概念 相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理 定理：两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 要点诠释： （1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
要点四、黄金分割 1.定义： 一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： 512AC AB -=≈0.618AB (0.618是黄金分割的近似值，512 -是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =2 1A B. （2）连接AD ，在DA 上截取DE =D B. （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、相似三角形的概念 1、买西瓜为什么挑大个？ 思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？ “你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军． 回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话． 思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式． 远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等． 思驰：人们买瓜是为了吃瓤． 远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好． 思驰：两者的体积比如何求呢？
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
九年级上册数学相似三 角形练习题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
九年级上册数学相似三角形练习题 姓名：日 期： 一、选择题。 1．DE是ABC的中位线，则ADE与ABC面积的比是（） A、 1：1 B、1：2 C、1：3 D、 1：4 BC=（） 2．如图1，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 DE A、3：2 B、2：3 C、 2：1 D、不能确定 3．如图2，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4．△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（） A、 2：3 B、 3：2 C、 9：4 D、 4：9 5．若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（） A、4 B、3 C、2 D、1 6．如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（） A、1 B、2 C、3 D、4
7．如图4，D 是△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E 。已知AD ：DB=2：3．则S △ADE ：S BCED ＝（ ） A 、2：3 B 、4：9 C 、4：5 D 、4：21 8． 如图5，已知：AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高线，DE 是RtCADC 斜边AC 上的高 线，如果DC ：AD=1：2，a S CDE =?，那么ABC S ? 等于（ ） A 、 4a B 、9a C 、16a D 、25a 二、填空题： 1．两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为 。 2．顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形 ，它们的面积比 为 。 3．如图6，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知5 3 =CO AO ，BO ＝6，则DO=_____________。 4．某校绘制的校园平面图的面积为，比例尺为1：200，则该校占地面积 m 2 。 5．如图7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6．如图8，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=_________。 图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 图3 图2 图 图
2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
课题：探索三角形相似的条件（八下第四章第六节第一课时教学设计） 刘伟茂 一、教材分析 本节课是北师大版初中数学八年级下册第四章第六节“探索三角形相似的条件”第1课时的内容。它是在学生学习了两个三角形全等的判定与性质，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。而全等形是相似形的特殊情况，从这个意义上讲，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性，所以这一章所研究的问题，实际上是在全等三角形知识基础上的拓宽和发展。在直观认识形状相同的图形基础上，探索和理解相似三角形的判定条件；为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备，后面，我们还将学习平面几何的其它知识，其中三角函数的定义、圆的有关性质的证明，都是以相似三角形为基础的。在物理中，学习力学、光学等知识，也需要运用相似三角形的有关知识。因此，这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。 二、学生状况分析 （1）八年级学生，身心发展较快，求知欲旺盛，乐于学习，而且经过七年级一年的学习，学生已经养成了良好的数学学习习惯，有了一定自主探索，合作交流的学习意识。表达能力，概括能力有所提高。 （2）在学习本节内容之前，学生已经掌握了全等三角形的性质与判定方法，以及相似三角形的定义，并初步体会了类比方法在数学学习中的作用；本节研究与学习方法与其类似。 （3）本节课的教学内容是循序渐进、逐步深化的。特别是判定两个三角形相似的条件的运用，会给学生带来一定的困难。 三、教、学法分析 1、教法分析 根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用以引导发现法为主，并以实验法、演示法相结合，设计“探索——观察——实验”的教学方法，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。因此本节课教师以探索任务引导学生通过动手操作，合作交流自主探究和发现结论。 2、学法分析 《数学新课程标准纲要》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。为了充分体现《数学新课程标准纲要》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流
相似三角形常见模型一【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）
（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=， 求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相 交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A
九年级上册数学相似三角形练习题 姓名：日期： 一、选择题。 1． DE是?ABC的中位线，则?ADE与?ABC面积的比是（） A、 1：1 B、1：2 C、1：3 D、 1：4 2．如图1，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 DE BC=（） A、3：2 B、2：3 C、 2：1 D、不能确定 3．如图2，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4．△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（） A、 2：3 B、 3：2 C、 9：4 D、 4：9 5．若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（） A、4 B、3 C、2 D、1 6．如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（） A、1 B、2 C、3 D、4 7．如图4，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E。已知AD：DB=2：3．则S△ADE：S BCED ＝（） A、2：3 B、4：9 C、4：5 D、4：21 8．如图5，已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，DE是RtCADC斜边AC上的高线，如果DC：AD=1：2，a S CDE = ? ，那么 ABC S ? 等于（） A、4a B、9a C、16a D、25a 二、填空题： 1．两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为。 2．顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形，它们的面积比为。 图3 图2 图1 图5 图4
3．如图6，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知 5 3 =CO AO ，BO ＝6，则DO=_____________。 4．某校绘制的校园平面图的面积为2.5m 2 ，比例尺为1：200，则该校占地面积 m 2 。 5．如图7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6．如图8，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=_________。 7．如图4，已知△ABC 的周长为30cm ，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的周长等于 cm 。 8．如图10.△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ：DB=3：4，E 是BC 上一点。如果DB=DC ，∠1=∠2，那么S △ADC ：S △DEB = 。 三、解答题： 1、如图，⊿AOC ∽⊿BOD 。 （1）证明：AC ∥BD ； （2）已知,3,5,4===OB OC OA 求OD 的长。 2．如图,∠ADC=∠ACB=900 ,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD 的长 图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 O D B A
2.5探索三角形相似的条件 教学目标 （一）教学知识点 1．掌握三角形相似的判定方法1． 2．会用相似三角形的判定方法1来证明及计算． （二）能力训练要求 1．通过亲身体会得出相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力； 2．利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明，训练学生的灵活运用能力． （三）情感与价值观要求 1．经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，进一步领悟类比的思想方法．教学重点 相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算． 教学难点 判定方法的运用 教学方法 探索——总结——运用法 教具准备 投影片三张 第一张（记作§2．5 A） 第二张（记作§2．5 B） 第三张（记作§2．5 C） 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 ［师］上节课我们学习了相似三角形的定义，即三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是相似三角形的一种判定方法，即定义法．那么，除此之外，还有没有其他方法呢？本节课开始我们将进行这方面的探索． Ⅱ．新课
［师］在三角形中有六个元素，即三个角和三条边，要进行相似的判断，就是要看在这两个三角形中角或边需满足什么条件，两个三角形就相似，而在判断两个三角形全等时，也是讨论边、角关系的．下面我们先回忆一下全等三角形的判定方法，然后进行类比，好吗？ ［生］好 全等三角形的判定方法有：ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，直角三角形除此之外再加HL ． ［师］那么，相似三角形应该如何判断呢？ 1．做一做． 投影片（§2．5 A ） ［师］请大家按照要求动手画图，然后进行交流． ［生］在（1）中，只有一对角相等，其他角和边没有确定，因此所画的三角形不相似． 根据（2）中的要求画出的三角形中，∠C 与∠C ′相等，对应边有 C B B C C A AC B A AB '''''',,，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似． 改变∠α、∠β的大小，这个结论还不变． ［师］大家的结论都是如此吗？ ［生］是． ［师］从这两个小题中，大家能得出什么？ ［生］（1）题告诉我们，只满足一对角相等不能判定两个三角形相似． 从（2）中我们可知，如果两个三角形中有两对角对应相等，那么这两个三角形相似． ［师］其他同学同意吗？ ［生］同意． ［师］经过大家的探索，我们得出了判定方法1： 两角对应相等的两个三角形相似． ［师］下面我们进行运用． 2．例题．
相似三角形的判定(基础） 一、选择题 1. 下列判断中正确的是( ) A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 不全等的三角形一定不是相似三角形 C. 不相似的三角形一定不全等 D. 相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC的三边长分别为、、2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC 与△A′B′C′相似, 那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A. B. C. D. 3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）． ①②③④ A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④ 4. 在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ) A. 只有① B. 只有② C. ①和②分别都是 D. ①和②都不是 5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（） A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ) A. B. 8 C. 10 D. 16 二、填空题 7. 如图所示，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件___使△ADE∽△ACB.
8. 如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________. 9. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)， 当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 10. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________. 11. 如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF 相似的三角形为____. 12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对. 三．解答题
1 4.2相似三角形 教学目标： 1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似. 2．能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似. 3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质. 重点和难点： 1．本节教学的重点是相似三角形的概念 2．在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点. 知识要点： 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 3、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数） 重要方法： 1、全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2、相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角. 3、书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上. 教学过程 一．创设情境，导入新课 1．课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片.以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？ 2．经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形.那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形 二．合作学习，探索新知 1．合作学习 如图1,在方格纸内先任意画一个△ABC,然后画出△ABC 经某一相似变换（如放大或缩小若干倍）后得到像△A ′B ′C ′（点A ′、B ′、C ′分别对应点A 、B 、C ）. A B C A ′ B ′C ′
2 问题讨论1：△A ′B ′C ′与△ABC 对应角之间有什么关系？ 问题讨论2：△A ′B ′C ′与△ABC 对应边之间有什么关系？ 学生相互比较得到结论：对应角相等，对应边成比例. 2．由合作学习定义相似三角形的概念 （1）相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形 （2）表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于” 如△A ′B ′C ′与△ABC 相似，记做“△A ′B ′C ′∽△ABC ” . 注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上 （3）定义的几何语言表述： ∵∠A ′＝∠A ，∠B ′＝∠B,∠C ′＝∠C ，A ′B ′AB ＝A ′C ′AC ＝C ′B ′CB ∴△A ′B ′C ′∽△ABC 3．结合定义探求性质 （1）性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （由学生根据定义得出，理解定义的双重性，既可以用来判定两个三角形相似，同时，其本身又是三角形相似的一个性质） （2）相似比（相似系数）：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数） 注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序. 如图，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为12 （k ）,△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为2（1k ） 4．问题探究： 问题一：两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 问题二：两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 问题三：两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ 问题四：两个等边三角形一定相似吗？为什么？ 问题五：两个全等三角形一定相似吗？为什么？变形：相似比为1的两个三角形全等吗？ 问题六：如果两个全等三角形中的一个与第三个三角形相似，那么这两个全等三角形的另一个也与第三个三角形相似吗？为什么？