超越文化培训高二数学寒假专题讲座
探讨排列组合中分组与分配问题2017.3
分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。从而能掌握该节内容。下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：
一、分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对
象，称为分
配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k
组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平
均分组、和部分平均分组三种情况。
二、分组与分配模型的分类：
①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配；
④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；
三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（k n
<）个不同的对
象，每个对象至少分配1个元素。
四、例题精选:
(一)分组与分配问题的基本模型：
例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?
（1）平均分成三堆；-----------均匀分组
问题
（2）平均分给甲、乙、丙3人；-----------均匀分组
分配问题
（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；-----------非均匀分
组问题
（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；-----------非均匀分
组定向分配
（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；--------非均匀分组
不定向分配
分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有
222
642
3
3
C C C
A
种。注意：不
同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；
（2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。
可先对6本书进行分组，共有分组方法数
222
642
3
3
C C C
A
种；然后再把三堆书分别分给
甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3人的
方法数共有
222
3
642
3
3
3
C C C
A
A
?种，即222
642
C C C种。
（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本，这是非均匀分组问题，分组方法数共有123
653
C C C种。
（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本，这是非均分组定向分配问题，先对
6本书进行分组，分成三堆，共有方法数123
653
C C C，然后再进行定向分配，由于甲、乙、丙指定了书堆的个数，因此，甲得1本，乙得2本，丙得3本的方法
数还是123
653
C C C种。
(5) 一人得1本，一人得2本，一人得3本,这是非均匀分组不定向分配问题，先把6本书分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3 本，分堆方法数共有
123
653
C C C；然后再分给三个人，一人得1本，一人得2本，一人得3本的方法数
共有1233
6533
C C C A种。
小结：
练习：
1、有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从
10人中选派4人承担这三项任务。则不同的选法种数有多少种?
2、有17个桃子，分成8堆，其中一堆1个，一堆4 个，另外6堆每堆都是2个，有多少
种不同的分堆方法?
(二)分组与分配问题的综合应用：
例2、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种?
分析：要使一个空盒，必须有一个盒子放2个小球，另外两个盒子各放1个小球；
因此，该题转化为4个不同的小球分成3组，然后将3组小球分别投入到4
个盒子中的任意3个盒子中。
解：第一步：4个小球分成3组的分组方法数共有
211
421
2
2
C C C
A
种；
第二步：再把3组分好的小球投入到4个盒子中的任意3个小盒中，分配方法数共有3
4
A种；
所以，要完成四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，需要
两步骤完成，利用乖法原理，共有方法数
211
3
421
4
2
2
C C C
A
A
种。
变式题：四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，，则愉有2个空盒的放法共有多少种?
例3、有5件不同的奖品发给4位先进工作者，每人至少1 件，有多少种不同的发法?
分析：5件不同的奖品发给4位先进工作者，至少有一位先进工作者要领2件不同的奖品；因此，可以把5件奖品分成4组，每组分别有2件、1件、1件，1件；
然后再把四组奖品分别发给4 个不同的先进工作者。
解：第一步：5件不同的奖品分成4个小组，分组方法数共有
2111
5321
3
3
C C C C
A
种；
第二步：再把4 个小组的奖品分给4 个不同的先进工作者，分配方法数有4
4
A种；
所以，要完成5件不同的奖品发给4位先进工作者，需分两步骤完成，利用乖法原
理，发放奖品的方法数共有
2111
4
5321
4
3
3
C C C C
A
A
?种。
变式题：有5件不同的奖品发给3位先进工作者，每人至少1件，有多少种不同的发放奖品的方法?
练习题：
1、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，有多少种不同的分配方案?
2、2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，
不同的分配方法共有多少种?
3、将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，
且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数有多少种?
高二数学选修1－1知识点 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：
例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 答案（找作业答案--->>上魔方格） 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题， 原命题与逆否命题具有相同的真假性， 否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的， 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 7、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 若p q
排列组合中的分组分配问题 一、提出分组与分配问题,澄清模糊概念 n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成ｋ组，称为分组问题．分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的;而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 二、基本的分组问题 例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? （1)每组两本. (２)一组一本,一组二本，一组三本. (3)一组四本,另外两组各一本. 分析:(1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是624222 C C C=90(种) ,这９０种分组实际上重复了６次。我们不妨把六本不同的书写上１、2、３、4、5、6六个号码，考察以下两种分法:(1，2)(3，4)（5,6）与（３，４）(１,2)（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组 的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数33 A，所以分法是 222 642 3 3 C C C A =15 （种）。(2)先分组,方法是615233 C C C,那么还要不要除以33A？我们发现,由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233 C C C=6０(种）分法。 (3)分组方法是642111 C C C=3０(种） ,那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样，不 可能重复。所以实际分法是 411 621 2 2 C C C A =1５(种)。 结论1：一般地,ｎ个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m 1，m 2 ,…,m p ， 其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是 3 2 1 112 p p m m m m n n m n m m m k k C C C C A --- ? 。 三、基本的分配的问题 (一)定向分配问题 例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
1．1.1命题 [教材研读] 预习教材P2～3，回答以下问题 1．命题是如何定义的？可将命题分为哪几类？2．命题的构成形式是怎样的？ [知识梳理] 命题及相关概念 命 题
[反思诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．() 2．“x2－3x＋2＝0”是命题．() 3．“若a>b，则a＋c>b＋c”是真命题．() 4．“一条直线有且只有一条垂线”是假命题．() [答案] 1.√ 2.× 3.√ 4.√ 题型一命题的判断 思考1：陈述句是否都是命题？ 提示：“3x2－2x>1”是陈述句，但不能判断真假，故不是命题．思考2：是否可以判断真假的语句都是命题？ 提示：命题是可以判断真假的陈述句． 判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)π3是有理数； (2)3x 2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x 2－x ＋7>0. [思路引导] 凡是命题都可以写成“若p ，则q ”的形式． [解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命 题． (2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． (4)因为x 2 －x ＋7＝? ????x －122＋274>0，所以“x 2－x ＋7>0”是真的，故是命题． 判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题． [跟踪训练]
超越文化培训高二数学寒假专题讲座 探讨排列组合中分组与分配问题2017.3 分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。从而能掌握该节内容。下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结： 一、分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对 象，称为分 配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平 均分组、和部分平均分组三种情况。 二、分组与分配模型的分类： ①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配； ④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配； 三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（k n <）个不同的对 象，每个对象至少分配1个元素。 四、例题精选: (一)分组与分配问题的基本模型： 例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法? （1）平均分成三堆；-----------均匀分组 问题 （2）平均分给甲、乙、丙3人；-----------均匀分组 分配问题 （3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；-----------非均匀分 组问题 （4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；-----------非均匀分 组定向分配 （5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；--------非均匀分组 不定向分配 分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有 222 642 3 3 C C C A 种。注意：不 同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法； （2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。 可先对6本书进行分组，共有分组方法数 222 642 3 3 C C C A 种；然后再把三堆书分别分给
排列组合问题之分组分配问题 （一）（五个方面） 一、非均匀分组（分步组合法） “非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。 例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人； ②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。 解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2 6C 种，最后由剩下的4人为一 组，有44C 种。由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种） 。 ②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种） 。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种） 。 二、均匀分组（去除重复法） “均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。 ㈠全部均匀分组（去除重复法） 例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3 4C 种。又有2组都 是3人，每22 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33 74 2 2 70C C A =（种）。 也可先选后分。不同的分法共有336 63 7 2 2 70C C C A ?=（种）。 ㈡部分均匀分组（去除重复法） 例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？ 解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4 4C 种，又有3堆都是2个 元素，每3 3A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有 2224 108643 3 3150C C C C A ?=（种）。 【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是 均匀的，都有m m A 种顺序不同的分法只能算一种分法。】 三、编号分组 ㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法） 例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？ 解：分组方法共有232 752420C C A =（种） 。
分组与分配问题（整理他人所得） 一、分组与分配的概念 将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。 将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。 二、分组问题 例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？ (1)每组2本（均分三堆）； (2)一组1本，一组2本，一组3本； (3)一组4本，另外两组各1本； 分析： (1) 每组2本（均分三堆）； 分组与顺序无关，是组合问题。可分三步，应是222642C C C ??种方法，但是这里 出现了重复。不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ， 第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642 C C C ??种分法中包含着（AB ，EF ，C D ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这3 3A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数
是：22264233 C C C A ??=15(种)。 (2) 一组1本，一组2本，一组3本； 分组方法是123653C C C ??，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本 数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ??=60(种) 分法。或 231641C C C ??或312632C C C ??或321631C C C ??或213643C C C ?? (3) 一组4本，另外两组各1本； 分组方法是411621C C C ??，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本 数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是4116212215C C C A ??= (种)，或11465422 15C C C A ??= (种)。 小结：分组问题属于组合问题，一般与顺序无关，常见的分组问题有： （1）完全均分的分组：每组元素个数相等，不管它们的顺序如何，都是一种情况，应该除序，即除以相等组数的阶乘；一般地，k m 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同的分法种数为：(1)m m m km k m m k k C C C A -?????? （2）全非均分的分组：各组元素个数均不等，无需考虑重复现象；一般地， 把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ???个，且123,,,k m m m m ???互不相等，123k m m m m n +++???+=，则不同分法种数为： 312112()k k m m m m n n m n m m m C C C C --+??????? （3）部分均分的分组：部分组元素个数相等，应除以部分相等组数的阶乘；一般地，把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ???个，
太奇MBA 数学助教 李瑞玲 一．分组（分堆）与分配问题 将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。 将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。一．基本的分组问题 例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本 （部分平均分组问题） 分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。现把六本不同的书标上 6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况： （1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4） （5,6）（3,4）（1,2） 由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种
情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组 的顺序，即除以3 3 P ,于是最后知分法为156 90 332 22426==P C C C . (2)先分组，分组方法是603 32516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很 关键的问题） 由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即 共有60332516=C C C 。 （3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需 要好好考虑） 现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）5 6 （1,2,3,4）6 5 2）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下 5 （1,2,3，4）6 6（1,2,3,4）5 3）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下 5 6（1,2,3,4） 6 5（1,2,3,4） 由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为
高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?”. ?，则q 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?”. ?，则p 6、四种命题的真假性： 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真真 假假假假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题（一假必假）． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题（一真必真）；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是真命题． ?必是假命题；若p是假命题，则p 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有() p x”． p x成立”，记作“x ?∈M，() 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．
排列组合中的分组分配问题学案 例题1.（1）把a,b,c 三本不同的书分成2组，一组2本，一组1本，有多少种不同的分法？ 变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,分成两组,一组1本，一组3本，有多少种不同的分法? 变式2：6本不同的书分成三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少种不同的分法? （2）把a,b,c 三本不同的书分成3组，每组1本，有多少种不同的分法？能用组合数表示出来吗？ 变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,平均分成两组, 有多少种不同的分法？ 变式2：有6本不同的书平均分成两组，每组3本，有多少种不同的分法？ 变式3：有6本不同的书平均分成三组，每组2本，有多少种不同的分法？ 小结1:(1)平均分组是无序的,各组合数相乘时产生了顺序,故应消序减重(除以平均组数的全排列); (2)不平均分组是有序的,不需要消序减重 例题2.有5本不同的书,分成三组, 有多少种不同的分法? 练习:有6本不同的书,分成三组，有多少种不同的分法? 小结2:局部平均分组应局部消序减重. 例题3.有6本不同的书分给甲、乙、丙三人 (1)若每人2本,有多少种不同的分配方法? (2)若甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种不同的分配方法? (3)若一人1本,一人2本,一人3本, 有多少种不同的分配方法? (4)若一人4本,另两人各1本,有多少种不同的分配方法?
小结3对于分配问题:分步处理,先分组,然后再分配. 例题4（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答） 变式1:甲、乙、丙等5人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用排列数与组合数作答即可） 变式2：甲、乙、丙等6人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用排列数和组合数作答即可） 真题回放： 1.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种 2.(2010年高考全国2卷理数6）将标号为1，2，3， 4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有__________ （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种 3.（2010年高考江西卷理科14）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种(用数字作答). 思考题： 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。 （1）恰有1个盒子不放球，共有多少种放法？ （2）恰有1个盒子内放2个球，共有多少种放法？ （3）恰有2个盒子不放球，共有多少种放法？
分组分配问题 营山二中数学组龚玉伦 分组分配问题是组合中的典型问题，弄清分组分配问题的基本类型，并采取相应的处理方法是解决分组问题的关键。 在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。在分组时要区分是平均分组还是非平均分组或部分平均分组，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。 “分组”是指把若干个不同的元素分成几组，组与组之间除了元素数目外不加以区分；“分配”是指将元素配给到相应的对象，对象与对象之间是有区别的。 一、只分组不分配 例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法 (1)分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； (2)平均分成三份； (3)分成三份，一份四本，另两份各一本。 解：（1）属“非平均分组”,各组间数目不同，直接依次选取元素，方法数为123 65360 C C C= (2)属“平均分组”,各组间数目完全相同，组与组之间实际是无区别的，分步产生每一 组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数，方法数为 222 642 3 3 15 C C C A = （3）属“部分平均分组”，对其中的“均匀”部分应消去平均分组时步骤上造成的重复计 数，方法数为 411 621 2 2 15 C C C A = 二、既分组又分配 1、配给对象或配给数目确定 当配给对象与相应的配给数目确定时，简单的方法是“依次选取”例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法 （1）分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本； （2）分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本； （3）平均分给甲、乙、丙三个人； 解：（1）属“非平均定向分配”，等同于“非平均分组”，方法数为123 65360 C C C= （2）属“部分非平均定向分配”，均匀部分要分配： 411 2 621 2 2 2 30 C C C A A =，也可理解为甲、 乙、丙依次选择: 411 62130 C C C= （3）属“平均分配”，分组后再分配： 222 3 642 3 3 3 90 C C C A A =，也可理解为甲、乙、丙依次
排列组合问题之分组分配问题 （一）（五个方面） 一、非均匀分组（分步组合法） “非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。 例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人； ②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。 解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2 6C 种，最后由剩下的4人为一 组，有44C 种。由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。 ②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有23 75210C C =（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有523 753210C C C =（种）。 二、均匀分组（去除重复法） “均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。 ㈠全部均匀分组（去除重复法） 例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3 4C 种。又有2组都 是3人，每22 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33 74 2 2 70C C A =（种）。 也可先选后分。不同的分法共有336 63 7 2 2 70C C C A ?=（种）。 ㈡部分均匀分组（去除重复法） 例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？ 解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4 4C 种，又有3堆都是2个 元素，每3 3A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有 2224 108643 3 3150C C C C A ?=（种）。 【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是 均匀的，都有m m A 种顺序不同的分法只能算一种分法。】 三、编号分组 ㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法） 例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？ 解：分组方法共有232 752420C C A =（种）。
排列组合问题之分组分配问题 （一）（五个方面） 一、非均匀分组(分步组合法） “非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。 例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法? ①分成3组,分别为1人、2人、4人; ②选出5个人分成2组,一组2人,另一组3人。 解:①先选出1人,有17C 种,再由剩下的6人选出2人,有2 6C 种,最后由剩下的4人为一组, 有44C 种。由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =(种）。 ②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种,再由剩下的5人中选出3人,有35C 种，分组方法共有23 75210C C =(种)。也可先选后分。先选出5人，再分为两组,由分步计 数原理得分组方法共有523 753210C C C =(种）。 二、均匀分组（去除重复法) “均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。 ㈠全部均匀分组(去除重复法） 例２、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人,有多少种不同的分法? 解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种;再选3人为另一组，有3 4C 种。又有2组都 是3人，每22 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33 74 2 2 70C C A =（种）。 也可先选后分。不同的分法共有336 63 7 2 2 70C C C A ?=(种)。 ㈡部分均匀分组(去除重复法) 例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？ 解:分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4 4C 种,又有3堆都是2个元 素,每3 3A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有 2224 108643 3 3150C C C C A ?=（种）。 【小结:不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是 均匀的，都有m m A 种顺序不同的分法只能算一种分法。】 三、编号分组 ㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法) 例４、7人参加义务劳动,选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有232 752420C C A =(种)。
命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”
特称命题：含有特称量词的命题 “存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”
11．常用逻辑用语 （1）命题及其关系 ①理解命题的概念。 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。 判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题。 ②了解“若p ，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 原命题：q p 则若, 逆命题：p q 则若, 否命题：q p ??则若, 逆否命题：p q ??则若, （1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系； ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。 的必要条件。 是的充分条件，是，并且说”为真命题，则，则“若p q q p q p p ?q 互为充要条件。 与就记作又有既有q p q p p q q p ,,,??? （2）简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。 且：用连接词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作q p ∧ 是假命题。 中有一个是假命题，和当是真命题； 都是真命题时，和当q p q p q p q p ∧∧ 或：用连接词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作q p ∨ 是假命题。都是假命题时，和当是真命题； 中有一个是真命题时，和当q p q p q p q p ∨∨ 非：对一个命题p 全盘否定，就得一个新命题，记作p ? 必是真命题。是假命题，则必是假命题；若是真命题，则若p p p p ??
（3）全称量词与存在量词 ①理解全称量词与存在量词的意义。 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用?表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用?表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 )(,:) (,:00x p M x p x p M x p ?∈??∈?它的否定全称命题 全称命题的否定是特称命题。 )(,:) (,:00x p M x p x p M x p ?∈??∈?它的否定特称命题 特称命题的否定是全称命题。
高二数学选修1－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?”. ?，则q 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为 ∧． p q 当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是真命题． ?必是假命题；若p是假命题，则p 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有() p x”． p x成立”，记作“x ?∈M，() 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M中的一个x，使() p x”． p x成立”，记作“x?∈M，()
6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)
排列组合问题之分组分配问题 （一）（五个方面） 一、非均匀分组（分步组合法） “非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。 例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人； ②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。解：①先选出1人，有17C种，再由剩下的6人选出2人，有2 6 C种，最后由剩下的4人为一组，有44C种。由分 步计数原理得分组方法共有124 764105 C C C=（种）。 ②可选分同步。先从7人中选出2人，有2 7 C种，再由剩下的5人中选出3人，有3 5 C种，分组方法共 有23 75210 C C=（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有 523 753210 C C C=（种）。 二、均匀分组（去除重复法） “均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。 ㈠全部均匀分组（去除重复法） 例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。先选3人为一组，有37C种；再选3人
为另一组，有3 4 C种。又有2组都是3人，每22A种分 法只能算一种，所以不同的分法共有3374 2 270 C C A =（种）。 也可先选后分。不同的分法共有33 663 72 270 C C C A ?=（种）。㈡部分均匀分组（去除重复法） 例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？ 解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C、28C、 2 6 C、44C种，又有3堆都是2个元素，每33A种分法只能 算一种，所以不同的分组方法共有2224 1086 4 3 33150 C C C C A ?=（种）。 【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素 是均匀的，都有m m A种顺序不同的分法只能算一种分法。】 三、编号分组 ㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法） 例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？ 解：分组方法共有232 752420 C C A=（种）。 ㈡部分均匀编号分组（分组法） 例5、5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，有多少种不同的分法？ 解：分两类。①一类为一人3本；剩两人各1本。将5本书分成3本、1本、1本三组，再分给3人，有
实用标准 ●高考明方向 1.理解命题的概念． 2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 . ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查 形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题 的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命 题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维 . 一、知识梳理《名师一号》 P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系
实用标准 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关． 注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定 原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（≠）不大于（≤）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个 否定词语一个也没有某两个小于（ <）是 不小于（≥）不是至多有 n 个或 至少有 n+1 个且 所有的任意的某些某个 知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 （ 1）充分条件： p q 则 p 是 q 的充分条件 即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （ 2）必要条件： p q 则 q 是 p 的必要条件 p q q p 即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的 条件，即无它不可。 ( 补充 ) （ 3）充要条件 p q且q p 即 p q 则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、“ q 当且仅当 p ”等 ( 补充 ) 2、充要关系的类型 （ 1）充分但不必要条件 定义：若 p q ，但 q p ，
1.1命题及其关系（第一课时） ——人教A版数学选修2-1 数学组：陈建达 一、知识与技能 1、理解命题的概念，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假. 2、能把命题改写成“若p，则q”的形式. 3、能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题. 二、过程与方法 1、通过学生感兴趣的话题引入数理逻辑，介绍数理逻辑的一些简单知识和作用，从中引起学生的学习兴趣.通过问题的方式让学生理解命题的概念和判断其真假. 2、通过复习旧知识引入新的知识，通过例题教学和学生的演练、比较.使学生掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题. 三、情感、态度与价值观 1、通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，了解数理逻辑、理解命题的概念. 2、通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识，演练、比较，提高学习质量. 四、教学重点 1、命题的概念、构成. 2、命题的四种形式. 五、教学难点 1、改写命题的形式 2、掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题 六、教学辅助手段 1、多媒体辅助教学工具.
七、教学过程 1、创设情境 情境：我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. （3）对顶角相等. （4）等式两边加同一个数，结果仍是等式.像这样判断一件事情的语句，叫做命题. 说谎者悖论：一个人在大厅演讲，他说：“我说这句话时正在说慌.”然后这个人问听众他上面说的这句话是真话还是假话？ 罗素悖论：一位理发师说：他不给替自己理过发的人理发.那么请问，理发师能不能给自己理发？ 2、探究新知 一、命题的定义： 可以判断真假的陈述句. 理解：（1）判断为真的语句叫做真命题. （2）判断为假的语句叫做假命题. 练习1：下列语句是命题吗?你能判断它们的真假吗? （1）12>5; （2）0.5是整数; （3）若x2=1,则x=1; （4）x+3>0. （5）x2-9x+1≥0 （6）x2+2x+1≥0 二、命题的构成——条件和结论 所有的命题都由条件和结论两部分构成． 理解： （1）在数学中，命题常写成“若p，则q” 这种形式. （2）命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
高二数学命题难点的解题方法 一、定位整体 新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为:“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还 是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思想.在本模块中，同学们将在义务教育的基础上，学习常用逻辑用语，体会 逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数 学内容，更好地进行交流.”因此，学习逻辑用语，不仅要了解数理逻辑的有关知识，还要体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以 后的论证和表述更加准确、清晰和简洁. 二、明确重点 “常用逻辑用语”分成三大节，分别为：命题及其关系，简单的 逻辑联结词，全称量词与存在量词. “命题及其关系”分两小节：一、“四种命题”，此节重点在于 四种命题形式及其关系，互为逆否命题的等价性;二、“充分条件和必要条件”，此节重点在于充分条件、必要条件、充要条件的准确 理解以及正确判断. “简单的逻辑联结词”重点在于“且”、“或”、“非”这三个 逻辑联结词的理解和应用. “全称量词与存在量词”重点在于理解全称量词与存在量词的意义，以及正确做出含有一个量词的命题的否定. 三、突破难点 1.“四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题 的真假 例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它 们的真假.
(1)全等三角形的面积相等; (2)m>时，方程mx2-x+1=0无实根; (3)若sinα≠，则α≠30°． 解析(1)条件为两个三角形全等，结论为它们的面积相等.因此，原命题即为“若两个三角形全等，则它们的面积相等”，逆命题为 “若两个三角形面积相等，则它们全等”，否命题为“若两个三角 形不全等，则它们的面积不相等”，逆否命题为“若两个三角形面 积不相等，则它们不全等”.根据平面几何知识，易得原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. (2)原命题即为“若m>，则方程mx2-x+1=0无实根”，逆命题为“若方程mx2-x+1=0无实根，则m>”，否命题为“若m≤，则方程mx2-x+1=0有实根”，逆否命题为“若方程mx2-x+1=0有实根，则m≤”.根据判别式Δ=1-4m的正负可知，原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题. (3)原命题即为“若sinα≠，则α≠30°”，逆命题为“若 α≠30°，则sinα≠”，否命题为“若sinα=，则α=30°”，逆否命题为“若α=30°，则sinα=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难，但考虑到原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等 价，因此可以先考虑逆否命题和否命题;由三角函数的知识，可知原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. 突破对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以 先判断其逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性. 2.“充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断 例2在下列命题中，判断p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要 条件”中选出一种) (1)p:|p|≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有实根.