当前位置：文档之家› 平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用

对平面内任意的两个向量b a b b a

//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=

由该定理可以得到平面内三点共线定理：

三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <

笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点

共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若

1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（） A ．100

B ．101

C ．200

D ．201

解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()

1002

a a S +=

=,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ?的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则y

x 4

1+ 的最小值是

解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线

AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>0

14141444()1()()145y x y x

x y x y x y x y x y x y

∴+=+?=+?+=+++=++　

x>0,y>040,0y x

x y ∴

>> 由基本不等式可知：4424y x y x

x y x y

+≥?=，取等号时

4y x

x y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x

∴=1x y +=12

,33

x y ∴==，符合

所以

x 4

1+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.

例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，

13AN NC =

，点P 是BC 上的一点，若2

AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 2

解：,,B P N 三点共线，又

228

4111111

AP mAB AC mAB AN mAB AN =+

=+?=+ 8111

m ∴+

= 3

11m ∴=，故选C

例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．

解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行

四边形法则可知：1

()2AO AB AC ∴=+

m AB AM ＝，AC nAN =

()2AO mAM nAN ∴=+

m n

AO AM AN ∴=+

又,,M O N 三点共线，

∴由平面内三点共线定理可得：

122

m n

+= 2m n ∴+= 例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G

是

△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上

图3

图4

图2

(1)

AG a b

λλ

∴=+-……………………………②

由①②两式可得：

?=-

∴?

AG a b

∴=+

点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），

利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本

定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。

例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN

﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且a

=，b

=，试用a

、

表示AP

解：,,

N P B三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y

使得,1

AP x AB y AN x y

=++=,

AN﹕AC=1﹕4,

444

y y x

AP xAB AC xa b xa b

∴=+=+=+……①

又,,

C P M三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得

AP AM AC

μλμλ

∴=++=∵AM﹕AB=1﹕3∴

=，，

AP a b a b

μλ

λλ

∴=+=+……………………………②

由①②两式可得：

∴?

x y y

+=∴=

1111

AP a b

∴=+

例6的变式二：如图8所示：直线l过ABCD的两条对角

线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交

于点M。又知AB＝ m AM，AD＝n AN，则m＋n=

A B

图7

图8

解：因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点，所以点O 为AC 的中点

()2AO AB AD ∴=

+ AB ＝ m AM ，AD ＝n AN 1()222

m n

AO mAM nAN AM AN ∴=+=+ 又,,M O N 三点共线，

∴由平面内三点共线的向量式定理可得：122

m n

+= 2m n ∴+=

定理的推广：

推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P. 点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +>。

推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.

点O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：

OP xOA yOB =+且1x y +<。

例7 已知点P 为ABC 所在平面内一点，且1

AP AB t AC =

+(t R ∈),若点P 落在ABC 的内部，如图11,则实数t 的取值范围是（）

A ．3(0,)4 B. 13

(,)24

C. (0,1)

D. 2(0,)3

解：点P 落在ABC 的内部 ∴A,P 两点在直线BC 的同一侧，

∴由推论2知：113t +< 2

t ∴<，所以选D

例8（06年湖南高考题文科）如图12：OM ∥AB ，点P 由射线

OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是（）

A ．)43,41( B. )32

,32(- C. )4

3,41(- D.

,51(- 解：由题目的条件知：点O 与点P 在直线AB 的同侧，所以1x y +<，所以A,D 两选项不符合。对于选项B 、C,都有1x y +<,

图12

图9

图

但当2

x =-时，

①如果点P 在直线AB 上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：53

y =

②如果点P 在直线OM 上，OM ∥AB 可知：||OP AB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+，

OB y OA x OP +=,t x t y ∴-==

22,33

t y ∴==

又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间，所以

y <<，故B 选不符合。对选项C 同理可知：当14x =-时，15

y <<，故34y =符合，所以选C

例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运

动,且OP xOA yOB =+,当1

x =-时,y 的取值范围

是 .

解：当1

x =-时，

①如果点P 在直线AB 上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：3

y =

②如果点P 在直线OM 上，OM ∥AB 可知：OP AB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+，

OB y OA x OP +=,t x t y ∴-==

11,22t y ∴==，又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间，所以13

y <<，所以实数y

的取值范围是：13

(,)22

练习：

3.OAB ?，点P 在边AB 上，3AB AP =，设,OA a OB b ==，则OP = （） 12.33A a b + 21.33

B a b + 图

P B

b a

.C 12

33a b - .

D 21

a b -

1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为（） A ．3x +2y -11=0 B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=0

2、已知P 是ABC ?的边BC 上的任一点，且满足R y x y x ∈+=.,，则y

x 4

1+ 的最小值是

3、在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，E 是BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F 。已知,AB a AD

,则OF （）

A ．

1136

a b B ．

()4

a b C ．

()6

a b

D ．116

a b

4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）

在平行四边形ABCD

中，

E 、

F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB

→、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( ) A ．25a －45b B ．25a ＋45b C ．－25a ＋45b

D ．－25a －45

5、

（2008年广东卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点

．若AC =a ，BD =b ，则AF =（）

A ．1142+a b

B ．2133+a b

C ．11

+a b

D ．1233

+a b 6、

在平行四边形ABCD 中，

,34

AE AB AF AD =

=,C E 与BF

相交于点G ,记AB =a ，AD =b ，则AG ＝( )

A ．217

7+a b B ．2377+a b C ．31

+a b D ．42

+a b

7、在△ABO 中，已知11

,,42

OC OA OD OB ==，且AD 与BC 相交于点M ，设,,OA a OB b ==则_________OM =（结果用a b 与表示）

8、如图所示：A,B,C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+

则有：（）

<+<+>+<--<+<

A x y

B x y A x y A x y

.01.1.1.10

变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO 的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若=+

OC xOA yOB

则有：（）

<+<+>+<--<+<

A x y

B x y A x y A x y

.01.1.1.10

向量证三点共线 (1)

利用共线向量巧解三点共线例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+ （1-λ）PB．证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证=λ+-λ?-=λ（-）? =λ?∥．这样证明思路有了。证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1．此例题逆命题亦成立，即已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．或叙述为：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1．性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μ PB ，且λ+μ=1，则A ， B ， C 三点共线．三点共线性质在解题中的应用：例1 如图，在ABC ?中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为．解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ．点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21=，由性质1，

平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

共线向量

+9．5共线向量与共面向量一、知识点 1、空间向量的定义 2、空间向量的加减与数乘运算 3、平行六面体的定义和性质 4、共线向量的定义或平行向量的概念、向量与平面平行（共面）意义及它们的表示法 5、共线向量定理及推论、空间直线的向量参数方程和线段中点的向量公式 6、共面向量及推论、空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件） 7、空间向量基本定理及其推论 8、空间向量夹角和模的概念和表示方法 9、两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律 10、两个向量的数量积的主要用途，用它解决立体几何中的一些简单问题。二、课时安排5课时第一课时：空间向量及其加减与数乘运算教学目标： 1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法； 2、会用图形说明空间向量的加法、减法和数乘向量及它们的运算律； 3、了解平行六面体的定义和性质； 4、能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何问题教学过程：复习回顾在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB．数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向

量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0. 关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．探索研究 1、空间向量的概念 ⑴定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：①“空间的一个平移就是一个向量”，即“将图形上的所有点沿相同方向移动相同的长度”。 ②向量不能比较大小。 ⑵向量的表示： ①几何表示：用有向线段表示 ②字母表示：用黑体小写英文字母表示

(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数，使b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选A 。点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则y x 4 1 的最小值是解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线 AP xAB yAC u u u r u u u r u u u r Q 1x y 且x>0,y>0 14141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y 　 Q x>0,y>040,0y x x y 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y ，取等号时

平面向量中三点共线定理探究

平面向量中“三点共线向量定理”探究三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在. () 0.a b b a b a b λλ≠=r r r r r r r r 向量共线定理：对平面内的任意两个向量、， // 的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理： ()121212+= OA OB OP OP OA OB R λλλλλλ=+∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 三点共线定理：已知平面内一组基底，及任一向量 ,， , 则A ，B ，P 三点共线，当且仅当 1. ()() ()1122121,,1,=1,,+= A B P AP AB OP OA OB OA OP OA O OP OA O B B λλλλλλλλλλλλλ=?-=-?=-+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 证明：如图，三点共线，当且仅当有唯一一个实数，，且使令则 1. ()()()()()() 1212112212=1,1;2+= OA OP OP OA OB OP OA OB OA AP AB OB OP OA OB λλλλλλλλλλλλλλ?-===-+?-=-?=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u ur 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图，且1征：向量，的系数点P 的位置是随着令，当点P 在线段AB 内()() ()() ()() 12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110 =1=10 1. λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-∈=∈-∈-∞=∈+∞<-<<>∈+∞=∈-∞-===-===此时此时，0，当点P 在线段AB 的延长线上时，，点P 在线段AB 反向延长线上时，，当点P 与点A ，，当点P 与点B 重合时，时此时此时此时，，，重合时, 111AP PB OP OA OB λλλλ ?==+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 推论：在OAB 中，P 为直线AB 上的一点，且则 O 1()

证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C CC B S AC C B S ??= 又易证1 1 AC C CC B ?? .则112 2 2AC C CC B S AC b S CB a ????== ???. 同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222 1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c ??=??=. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。 2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ，易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=， ∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆，此时，0+180AND ∠∠=AMD 因为2AM AE AB AH AD =?=?（B 、D 、H 、E 四点共圆），即 AM AD AH AM = ；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ?? ，故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。 3、利用面积法如果S S EMN FMN =??，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与 EF 的中点三点共线。 A B C C 1 B 1A 1

平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广南昌外国语学校梁懿涛邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校电话：电子信箱：一．问题的来源平面向量三点共线定理:对于共面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=．二．问题的提出问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论问题2.x 、y 有什么特定的意义吗问题3.上述问题可以推广到空间吗三．问题的解决推论1. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则（1）点C 在直线AB 外侧（不含点O 一侧）的充要条件是1x y +>．（2）点C 在直线AB 内侧（含点O 一侧）的充要条件是1x y +<．证明：（1）必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>u u u r u u u u r ，(1)OC x OA y OB x y '''''=++=u u u u r u u u r u u u r ，OC x OA y OB λλ''∴=+u u u r u u u r u u u r ，,x x y y λλ''==， ()1x y x y λ''∴+=+>．充分性：1x y +>Q ，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=． ()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ，C 'Q 在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧．同理可证（2）．进一步分析，得：推论1'. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则（1）连接AB 得直线1l ，过点O 作平行于1l 的直线2l ，则1l 、2l 将平面OAB 分成三个区域，如图1-2点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：1x y +>；（Ⅱ）区：01x y <+<；（Ⅲ）区：0x y +<．特别地，当点C 落在1l 上时，1x y +=；当点C 落在2l 上时，0x y +=．（2）直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：00x y >??>?；（Ⅱ）区：00x y ?；（Ⅲ）区：00x y ??>，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线上．证明：OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r Q 且1x y +=，OC xOC yOC xOA yOB ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，xCA yBC =u u u r u u u r ， ||||||||AC y BC x ∴=。当0,0x y >>时，CA u u u r 与BC uuu r 同向，如图2-1所示，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC <，如图2-2所示，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC >，如图2-3所示，则点C 在线段AB 的延长线上．

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明. 1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是： .O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=. 那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明. 结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下：设 O A xOB yOC =+ 且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线则存在两个不全为零的实数m 、n 1 O A m O B n O C =+ 且1m n += 则 OA mOB nOC λ=+ m n OA OB OC λ λ ?=+ m x λ ∴= 、n y λ = 1 m n x y λ λ ++= = （1）1λ> 则 1x y +< 则 11 1 OA OA OA λ = < ∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]）（2）0λ<,则1 01x y λ +=<<，此时OA 与1OA 反向 A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]）图[2] B C A 1 O A O A 1 B C A 图[1]

（3）1o λ<<，则1x y +> 此时 111 OA OA OA λ => ∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）图[3] 2、如图[4]过O 作直线平行AB ，延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：0001x y x y ??<+??>??<+?? ????-<+

用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题1

用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题教案注：为了简单起见，平面几何简称为平几；师指教师，生指学生。

《用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题》教案说明向量是数与形的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平面几何问题时能起到奇特的作用。在用向量解决平面几何问题时，首先就是要将几何关系转化为向量表示（即选择适当的基底），然后再借助向量运算来解决。因此，本节课实际就是让学生学会：在三点共线条件下，知道将几何关系转化为向量问题来解决。本节课的教学目标是按三维目标来确定的。它包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。知识与技能目标有4点，它们是相互联系层层递进的关系。目标1是基础，目标2是内容，目标3是获得技能，目标4才是这节课的根本意图。我国新一轮课程改革提出：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极的学习态度，使获得知识与形成技能的过程成为学会学习和形成价值观的过程。这就要求我们的教学过程应更多的考虑学生，要让他们在课堂上参与适应的探索并能在这一过程中感受成功的喜悦。本内容是学生学习了向量的一些基本概念、向量的加法与减法、向量共线的充要条件、平面向量基本定理和三点共线的向量结论后进行的一节探究式的习题课。平面向量基本定理这一节的例5学生知道了这样一个结论：A 、B 、C 三点共线的充要条件是：有唯一的实数对λ、μ，使OC OA OB λμ=+u u r u u r u u r ，其中λ+μ=1。并且通过上节课的学习，学生还知道了在三点共线条件下写向量表达式的一种方法：如右图, 图1 图2 分母m+n 代表线段AB 的份数，即右边两向量终点表示的线段，m 代表线段CB 的份数，即左边向量OC u u r 和右边向量OB u u r 两向量终点表示的线段，n 代表线段CA 的份数，即左边向量OC u u r 和右边向量OA u u r 两向量终点表示的线段。系数m 、n 与它对应的线段恰好是交叉关系；当分点在线段的外部时，添加一个负号，其位置由系数和为1确定。在三点共线的条件下学生能较为熟练的写出向量表达式作为基础来进行这节课的教学。 A O m n OC OA OB m n m n = + ++u u r u u r u u r m+n n m

向量证明三线共点与三点共线问题.doc

用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．证明A、 B、 C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AB AC ．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．例 1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A、B、C 共线，则存在实数、，且1， A B C O 图1 使得OC OA OB ；反之，也成立．的终点 A 、 B 、 C 共线，则证明：如图 1 ，若OA 、OB 、 OC AB BC BC m AB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, , ,且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和 BA OA OB OC 例 2．证明：三角形的三条中线交于一点．证明：如图 2，D、E、F 分别是ABC三边上的中

C D E G A F B 图２点．设 CA a, CB b, AD BE G．设 AG AD, BG BE ．则 AG AB BG (b a) BE (b a) ( BC 1 CA) b a ( 1 a b) 1 ( 2 1 b) 2 1 b 1）a (1 )b ，又 AG AD (AC CD) ( a a 2 2 2 1 1 2 2 3 所以解得 1 2 1 2 3 则 CG CA AG a 2 AD a 2 ( a 1 b) 1 a 1 b 1 1 3 2 3 2 3 3 CF a b，所以 CG CF ，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点． 2 2 3

(完整版)平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r () D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底，则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为 21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标． 4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有： OM =________________，M 点的坐标为_____________． 5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//?≠ρ ρρρb b a ；坐标形式： _____________)0(//?≠ρ ρρρb b a ．

(完整版)向量共线的坐标表示

《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标 (1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式； (2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力； (3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 教学重点和难点 (1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：定比分点的理解和应用。教学过程一、新知导入（一）、复习回顾 1、向量共线充要条件: 2.平面向量的坐标运算：（1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则 a + b =(x 1+x 2,y 1+y 2). a - b =(x 1-x 2,y 1-y 2). λa =(λx 1,λy 1). （2）. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）、问题引入已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝????12，1，b ＝??? ?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？ ),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则. ,)(//λλ=?≠使存在唯一实数

二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21 21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2 211x y x y = ？（不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?. 01221y x y x b a λ 三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用） 1．向量共线问题：例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．变式练习1： 2．证明三点共线问题：例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.

向量三点共线结论的推广及应用

向量中“三点共线”结论的推广及应用一、引例：（1）在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →=______AB →+______AC → （2）已知AP →＝43AB →，则OP →=______OA →+______OB → 结论：已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB → (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 变式.已知A ，P ，B 是共线的三点，O 为面内任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，若OP tOP '=u u u u v u u u v ，则tm tn +的值为_________ 二、三点共线例题分析例1．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数p 的值．例2．如图，在△ABC 中，AN →＝13 NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211 AC →，求实数m 的值．变式1．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n 的值．变式2．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，

设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．变式3．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12 OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →. 例3．已知O 是△ABC 内部一点，)(2PC PB AB +=，求△PBC 与△ABC 的面积之比．变式1．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足()1OA OB OC O λλ++-=u u u v u u u v u u u v u v ，若OAB ?的面积与OAC ?的面积比值为13 ，则λ的值为变式2．已知P 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△AOB 与△AOC 的面积之比．

向量法证明三点共线的又一方法及应用 -

向量法证明三点共线的又一方法及应用平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线. 证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质； 3. 特别地，12λμ==时，1()2 OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明 BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. D A B C M N

平面向量补充讲义----三点共线定理(修改版)

平面向量补充讲义----三点共线定理班级：__________姓名：___________ 三点共线定理：若平面内，向量12,OP OP 不共线，向量12OP OP OP λμ=+，则12,,P P P 三点共线的等价条件是1λμ+=．（如图，共线时λ满足：221P P P P λ=）说明1：若12,,P P P 三点共线，设221P P P P λ=，则11OP OP PP =+，则例1．如图，在△ABC 中，13 AN NC =，点P 是BN 上的一点，若211 AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211 练习例2．，点在边上，，设，则（）例3．如图，点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，求：的值推论：如图，若平面内，向量12,OP OP 不共线，点P 为直线12P P 的平行线上任意一点，且向量 12OP OP OP λμ=+，则λμ+为定值．（这条平行线称为等和线）例4 ．已知点G 为ABC ?重心，P 为GBC ?内动点（不包括边界），且AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是__________________；2λμ+的取值范围是_______________________. OAB ?P AB 3AB AP =,OA a OB b ==OP =12.33A a b +21.33 B a b +. C 1233a b -. D 2133a b -G OAB P Q OA OB P G Q x =y =y x 11+2 12P 1

向量证明三线共点与三点共线问题

用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．例1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立．证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-， OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得 OB OA OC μλ+=．若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线. 例2．证明：三角形的三条中线交于一点．证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ?三边上的中 A O B C 图1

点．设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===?==,,,．设．则 =-+-=++-=+-=+=)2 1( )2 1()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(2 1μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2 1)2 1()(+-=+-=+== ?????? ? ==??????? -=-=-323 2121121μλμλμλ解得所以则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(323 2+ = + -+=+ =+= b a CF 2 121+ = ，所以CF CG 3 2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B C E D F 图２ G

文档之家