高三数学新题型汇编（一）
1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;
（Ⅱ）证明:()(0,0,)22
n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；
（Ⅲ）定理:若
123,,k
a a a a 均为正数,则有
123123(
)n n n
n
n k k
a a a a a a a a k
k
+++
++++
+≥ 成立
(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明： 当1231,,,
,,k k a a a a a +均为正数时，
1231
1231
(
)1
1
n n n
n n k k a a a a a a a a k k +++++
++++
+≥++． 解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x
x a --=+∴=+∴= (2)
分
当0x a ≤≤时，2x x a <+'()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．
当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为
()0f a = (4)
分
（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥ 故 ()(0,0,)22
n n n
a b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分
（Ⅲ）证明:要证：
1231
1231
(
)1
1
n n n
n n k k a a a a a a a a k k +++++
++++
+≥++
只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -++++++
+≥+++
+
设()g x =1123123(1)()()n n n n n n k a a a x a a a x -++++
+-++++…………………7分
则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+?-++++
令'()0g x =得12k
a a a x k
++
+= (8)
分 当0x ≤≤
12k
a a a k
++
+时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++
++
≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++
++=
故12()[0,
]k
a a a g x k
++
+在上递减，类似地可证12()(
,)
k
a a a g x k
++
++∞在递增
所以12()k
a a a x g x k
++
+=当时，的最小值为12(
)k
a a a g k
++
+ (10)
分 而11212121212()(1)[(
)]()n n n n n n
k
k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k
-++
+++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n
n n k k k n
k k a a a a a a k a a a k
-++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n n
k k n k k a a a k a a a k -++++-+++=1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k
---++++-+++
由定理知:11212()()0n n n n n k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0k a a a g k
+++≥
1211[0,)()()0k
k k a a a a g a g k
+++++∈+∞∴≥≥
故112311231(1)()()n n n n n
n k k k a a a a a a a a -++++++
+≥+++
+
即:
1231
1231
(
)1
1
n n n
n n k k a a a a a a a a k k +++++++++
+≥++.…………………………..14分
2、用类比推理的方法填表
答案：5354321b b b b b b =????
3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：
（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于
A ．n
B ．n +1
C ．n -1
D ．2n 答案：D
4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则
17
)14(=f ;记
=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____
答案：5
5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求二面角E-SC-D 的大小； （3）求点D 到面SEC 的距离。
（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分
证明：,,AD SA AB SA ⊥⊥ 且AB 、AD 是面ABCD 内的交线∴SA ⊥底面ABCD ……………………5分
（2）分别取SC 、SD 的中点G 、F ，连GE 、
GF 、FA ，
a
a
a
a
a
a
a 2a
2a
S
A
D
F G
则GF//EA,GF=EA,∴AF//EG 而由SA ⊥面ABCD 得SA ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，∴CD ⊥面SAD ，AF CD ⊥∴ 又SA=AD,F 是中点，SD AF ⊥∴
⊥∴AF 面SCD,EG ⊥面SCD,⊥∴SEC 面面SCD
所以二面角E-SC-D 的大小为90 …………10分
(3)作DH ⊥SC 于H ，
面SEC ⊥面SCD,∴DH ⊥面SEC,
∴DH 之长即为点D 到面SEC 的距离，12分 在Rt ?SCD 中，a a
a a SC
DC SD DH 3632=?=
?=
答：点D 到面SEC 的距离为a 3
6………………………14分
6、一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113
a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，
再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数。试问： （1） 从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？ （2） 从A 口输入100时，从B 口得到什么数？并说明理由。 解（1）2111515a a =?÷=
3213735
a a =?÷=
（2）先用累乖法得*1
()(21)(21)
n a n N n n =
∈-+
得10011
(21001)(21001)39999
a =
=?-?+
7、在△ABC 中，),(),0,2(),0,2(y x A C B -，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号1C 、2C 、3C 填入） 答案：213C C C
8、已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.
填写下列)]([x f g 的表格,其三个
数依次为
A.3,1,2B .2,1,3C. 1,2,3
D. 3,2,1 答案：D
9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下： 当a b ≥时，a b a ⊕=； 当a b <时，a b b ⊕=2。
则函数[]()f x x x x x ()()()=⊕-⊕∈-1222·，的最大值等于（C ） （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. -1 B. 1 C. 6
D. 12
10、已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-12
1，
[]1
2
0=，则[]-=3_____________；使[]x -=13成立的x 的取值范围是_____________答案：2
11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：
（I ）首先选取如下函数：
y x =+21，y x
x =
+21
，y x =-+1 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：
y x =+21与其反函数y x =
-1
2
的交点坐标为（－1，－1） y x x =
+21与其反函数y x
x
=-2的交点坐标为（0，0），（1，1） y x =-+1与其反函数y x x =-≤210，()的交点坐标为
（
15215
2
--，），（－1，0），（0，－1） （II ）观察分析上述结果得到研究结论； （III ）对得到的结论进行证明。 现在，请你完成（II ）和（III ）。
解：（II ）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y ＝x 上 2分
（III ）证明：设点（a ，b ）是f x ()的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则点（b ，a ）也是f x ()的图象与其反函数图象的交点，且有
b f a a f b ==()()，
若a ＝b 时，交点显然在直线y x =上
若a
y ＝x 上。
综上所述，如果函数f x ()是增函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y x =上；
如果函数f x ()是减函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y ＝x 上。 14分
12、设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程
)(x f 0=-x 有实数根；②
函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<' sin 2)(x x x f + =是否是集合M 中的元素，并说明理由； （II ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意 [m ，n]?D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式 )()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”， 试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根； （III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中 任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x 时且当. 解：（1）因为x x f cos 4 12 1)(+='，…………2分 所以]4 3,41[)(∈'x f 满足条件,1)(0<' 所以函数4 sin 2 )(x x x f + =是集合M 中的元素.…………4分 （2）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根βαβα≠(,）， 则0)(,0)(=-=-ββααf f ，………5分 不妨设βα<，根据题意存在 数),,(βα∈c 使得等式)()()()(c f f f f '-=-αβαβ成立，……………………7分 因为βαββαα≠==且,)(,)(f f ，所以1)(='c f ， 与已知1)(0<' 根；…………9分 （3）不妨设32x x <，因为,0)(>'x f 所以)(x f 为增函数，所以 )()(32x f x f <， 又因为01)(<-'x f ，所以函数x x f -)(为减函数，………………10分 所以3322)()(x x f x x f ->-，…………11分 所以2323)()(0x x x f x f -<-<，即|,||)()(|2323x x x f x f -<- (12) 分 所以.2||||)(||||)()(|121312132323<-+-≤---=-<-x x x x x x x x x x x f x f …………………………13分 13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数， 使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为和. 答案：9，12. 14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是 边长 为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S, D,A,Q 及P ,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来， 使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要个这样的 几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。 答案：3 15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比．．为2 1 ()1f x x =+． （Ⅰ）试解释(0)f 的实际意义； （Ⅱ）现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由． 答案：解：（I ）f （0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇ （Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后．残留的农药量为W 1=1×f （a ） = 2 11 a +；……………………………………………………………………4＇ 又如果用2a 单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f （2 a ） =2) 2 (11a +， 此后再用2 a 单位量的水清洗1次后，残留的农药量为 W 2=2)2 (11 a +·f （2a ） =[ 2 1 a ]2= 22)4(16a +．……………………………8＇ － 故当a >22时，W 1>W 2，此时，把a 单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a =22时，W 1=W 2，此时，两种清洗方式效果相同；当a <22时，W 1 16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N*)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数。下列函数： ① f(x)=sinx ； ②f(x)=π(x －1)2+3； ③;)3 1 ()(x x f =④x x f 6.0log )(=， 其中是一阶格点函数的有. 答案：①②④ 17、一水池有2个进水口,1个出水口,一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点, 该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙 （1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不 出水。则一定不确定的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上)。 答案：（2）（3） 18、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n . (Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ)∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2． 由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)， ∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－1 2 . ∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝1 4 a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2， a m ＋1成等差数列. (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列. 设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2． 由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－1 2 . 当q ＝1时，A ≠0，∴S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列. 逆命题为假. 19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按 的数 的基 础要降低的百分比分别为 ( B ) A ．25% , 27.5% B ．62.5% , 57.9% C ．25% , 57.9% D ．62.5%,42.1% 20、一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且 b ＜ c ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________． 答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba ，共有2 10C ＝45，另一类是abc ，a ≠c ，共有23 10C ＝240，故共有45+240＝285个 21、定义运算 c a bc a d d b -=，若复数i i x +-= 32，i i y +=14i x xi +-3，则=y 。答 案：-4 22、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法。在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+?+?=?，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立。试根据上述思想化简下列式子： 1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+?+?+ +?=。(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈。 答案：m n k C + 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n k +个球（n 个白球，k 个黑球）中取出m 个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k 个黑球等()1k +类，故有m n k C +种取法。 23、定义运算x ※y=???>≤) () (y x y y x x ，若|m －1|※m=|m －1|，则m 的取值 范围是2 1≥m 24、在公差为)0(≠d d 的等差数列{}n a 中，若n S 是{}n a 的前n 项和，则数列304020301020,,S S S S S S ---也成等差数列，且公差为d 100，类比上述结论，相应地在公比为)1(≠q q 的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前 n 项积，则有＝ 10030 40 20301020,,,q T T T T T T 且公比为也成等比数列 。 25、考察下列一组不等式： 2 2 12 122 52 533442 233525252525252525252?+?>+?+?>+?+?>+ 将上述不等式在 左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 26、对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知63*2,42*1==，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x m x =*，则=m 5 。 27、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的 最大整数”。在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 ]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =__________________ _8204 28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”： 媒体A ：“……, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万 欧元。” 媒体B ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同 时增加了不少附加条件。” 媒体C ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。” 请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体 C （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。 29、已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式 ()()21x f x f >成立。 设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）试构造一个数列{}n b ，（写出{}n b 的一个通项公式）满足：对任意的正整数n 都有n n a b <，且2lim =∞ →n n n b a ，并说明理由； （3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01 n a a c -=1（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数。 解：（1）∵()0≤x f 的解集有且只有一个元素，∴ 40042==?=-=?a a a a 或， 当0=a 时，函数()2x x f =在()+∞,0上递增，故不存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。 当4=a 时，函数()442+-=x x x f 在()2,0上递减，故存在 210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。 综上，得4=a ，()442+-=x x x f ，∴442+-=n n S n ， ∴ （2）要使2lim =∞ →n n n b a ，可构造数列k n b n -=，∵对任意的正整数n 都有n n a b <， ∴当2≥n 时，52-<-n k n 恒成立，即k n ->5恒成立，即 325>?<-k k ， 又0≠n b ，∴*N k ?，∴2 3 -=n b n ，等等。 （3）解法一：由题设???? ?≥--=-=2,5 2411 ,3n n n c n ， ∵3≥n 时，()() 032528 3245241>--=---= -+n n n n c c n n ，∴3≥n 时，数列{}n c 递增， ∵03 1 4<-=a ，由505 24 1≥?>-- n n ， 可知054 又∵3,5,3321-==-=c c c ，即0,03221 2个。 综上得 数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。 解法二：由题设???? ?≥--=-=2,5 2411 ,3n n n c n ， 2≥n 时，令 422 9 27252303272529201==?<<< 30、在R 上定义运算△：x △y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任 意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是)2 3,21(- 。 31、已知x y 、之间满足()22 2104x y b b +=> （1）方程()222104x y b b +=>表示的曲线经过一点12? ??，，求b 的值 （2）动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，求x 2+2y 的最大值； （3）由()22 2104x y b b +=>能否确定一个函数关系式()y f x =，如能，求 解析式；如不能，再加什么条件就可使x y 、之间建立函数关系，并求出解析式。 解：（1 ()21 1014b b b +=>∴=（4分） （2）根据()222104x y b b +=>得22 241y x b ??=- ??? （5分） ()2 222 2 2242412444y b b x y y y b y b b b ????∴+=-+=--++-≤≤ ? ??? ??（7 分） ()2 2max 4224 4 b b b x y b ≥≥+=+当时，即时()222 max 424 44 b b b b x y ≤≤≤+=+当时，即0时() () ()22max 24424044 b b x y b b ?+≥?∴+=?+≤ （10分） （2）不能 （11分） 如再加条件xy 0<就可使x y 、之间建立函数关系 （12分） 解析式( ) ()x 00y x ?>?? =< （14 分） （不唯一，也可其它答案） 32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一 次的 () *1 N k k ∈。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的7 4 ，请从这个实事中提炼 出一个不等式组是 ???????≥++<+1747474174742k k k 。 33、已知{}N x x x P ∈≤≤=,91，记()cd ab d c b a f -=,,,，（其中P d c b a ∈,,,），例如：()=4,3,2,1f 104321-=?-?=。设P y x v u ∈,,,，且满足()()66,,,39,,,==v x y u f y x v u f 和， 则有序数组()y x v u ,,, 是 ()9,1,6,8 。 ()()()()? ?? ? ?????=+=-=-=+??? ? =+-=-+15,73,910527 v y x u v y x u v y x u v y x u 34、（12′=9′+3′）（理）设P 表示幂函数652 +-=c c x y 在()+∞,0上是增函 数的c 的集合；Q 表示不等式 121>-+-c x x 对任意R x ∈恒成立的c 的集合。（1）求Q P ?；（2）试写出一个解集为Q P ?的不等式。 （文）设P 表示幂函数8 62+-=c c x y 在()+∞,0上是增函数的c 的集合；Q 表示不等式c x x ≥-+-41对任意R x ∈恒成立的c 的集合。（1）求Q P ?； （2）试写出一个解集为Q P ?的不等式。 解：（理）（1）∵幂函数652 +-=c c x y 在()+∞,0上是增函数，∴0652>+-c c ， 即()()+∞?∞-=,32,P ， 又不等式121>-+-c x x 对任意R x ∈恒成立，∴ 112>-c ，即()()+∞?∞-=,10,Q ， ∴()()()+∞??∞-=?,32,10,Q P 。 （2）一个解集为Q P ?的不等式可以是 2020届高三数学小题狂练二十五 班级 姓名 学号 1.复数21i i -+（i 是虚数单位）的实部为 . 2.已知集合2{40}M x x =-<，{21,}N x x n n Z ==+∈，则M N ?= . 3.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶4．现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = . 4.已知命题:p x ?∈R ，2210x +>，则p ?是 . 5.已知35a b A ==，则112a b +=，则A 的值等于 . 6.O 为坐标原点，(3,1)OA =-u u u r ，(0,5)OB =u u u r ，且∥，⊥，则点C 的坐标为 . 7.在约束条件1,1,10x y x y ≤??≤??+-≥? 下，目标函数y x z 2+=的最大值是 . 8.过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 . 9.正整数列有一个有趣的现象：①1＋2＝3，②4＋5＋6＝7＋8，9＋10＋11＋12＝13＋14＋15，….按照这样的规律，则2012在第 个等式中． 10.当04x π <<时，函数x x x x x f 2sin cos sin 2cos 1)(-+=的最小值是 . 11.数列}{n a 是正项等差数列，若n na a a a b n n ++++++++= ΛΛ32132321，则数列}{n b 也为等差数列．类比上述结论写出：正项等比数列}{n c ，若n d = ，则数列{}n d 也为等比数列. 12.若直线220(0ax by a +-=>，0)b >始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则12a b +的最小值为 . 13.如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=?， E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分别沿ED ，EC 向上折起， 使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P CDE -的体积为 . 14.已知函数322()f x x ax bx b =+++（a ，b 为常数）当1x =-时有极值8，a b -= . A B C D E 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 宜城一中高三数学小题专项训练 1、一条长为2的线段，它的三视图分别是长为b a ,,3的三条线段，则ab 的最大值为 A ．1 B ．2.5 C ．6 D ．5 2、已知双曲线13 62 2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，点M 在双曲线上，且x MF ⊥1轴，则1F 到直线M F 2的距离为 A ．563 B ．665 C ．56 D ．65. 3、已知)3,1,2(-=，)2,4,1(--=，),5,7(λ=，若,,三向量共面，则实数λ等于 A ．762 B ．763 C ．764 D ．7 65 4、已知ABC ?的周长为12+，且C B A s i n 2s i n s i n = +。若A B C ?的面积为C sin 61，则角C 的大小为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π. 5、当变量y x ,满足约束条件?? ???≥≤+≥m x y x x y 43时，y x z 3-=的最大值为8，则实数的值m 为 A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1. 6．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到 (2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得 1212()()()==,n n f x f x f x x x x 则n 的取值范围是 A ．{}3,4 B ．{}2,3,4 C ． {}3,4,5 D ．{}2,3 7、“c b a 1113++”称为a ，b ， c 三个正实数的“调和平均数”，若正数y x ,满足“xy y x ,,”的调和平均数为3，则y x 2+的最小值是 A ．3 B ．5 C ．7 D ．8. 8、已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 所在的平面互相垂直，点Q P ,分别是线段DE BC ,上的动点（包括端点），2=PQ 。设线段PQ 中点轨迹为ω，则ω的长度为 高三数学专项训练：函数值的大小比较 一、选择题 1，则c b a ,,的大小关系是（ ）. A. b c a >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >> 2 ．设2 lg ,(lg ),a e b e c === ( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 3．设a b c ，，分别是方程的实数根 , 则有（ ） A.a b c << B.c b a << C.b a c << D.c a b << 4．若13 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ ） A ．a > B 、c a b >> C 、b a c >> D 、b c a >> 9．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（ ） A B C D 10．若0m n <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22m n > B C ．22log log m n > D 2020届高三数学小题狂练十 姓名 得分 1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z 24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 . 3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 . 4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += . 6．函数5x y x a += -在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ?中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=?，则||AC =u u u r . 8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 . 9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x π π∈） ，若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 . 11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么 ]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= . 高三数学小题训练（10） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分；共50分. 1．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π =x 处取 得最小值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? -???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ） （A ）23 （B ）3 2 （C ）2 （D ）3 3．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6y x π =- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3 y x π =- 4．设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+= <<，下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 5．已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则 m n 等于 （ ） （A ） 1 3 （B ）3 （C ）33 （D 3 6．与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7．如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ） （A ）1213,PP PP （B ）1214,PP PP （C ）1215,PP PP （D ） 1216,PP PP 8．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 9．已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ） （Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）2 10．若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12．已知βα,??? ??∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___. 高三数学专题练习1 集合的概念与运算 小题基础练① 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝() A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?R A＝() A．{x|－1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 答案：B 解析：因为A ＝{x |0 2020届高三数学小题狂练三十二 班级 姓名 学号 1.设全集U =R ，集合{|0}M x x =>，{|1}N x x =≤，则M N =U ________. 2.函数y =__________. 3.已知命题:p x ?∈R ，2210x +>，则p ?是______________. 4.计算：2 (12)1i i +=-________. 5.已知函数2sin ()x f x x =，则'()f x =____________. 6.等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -=________. 7.函数3sin(2)([0,])6 y x x π π=+∈的单调减区间是___________. 8.椭圆22 143x y +=的右焦点到直线y =的距离是________. 9.在ABC ?中，边a ，b ，c 所对角分别为A ，B ，C ，且 sin cos cos A B C a b c ==，则A ∠=________. 10.已知O 为坐标原点，(3,1)OA =-u u u r ，(0,5)OB =u u u r ，且//AC OB u u u r u u u r ，BC AB ⊥u u u r u u u r ，则点C 的坐标为_________. 11.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o ，60o ，则塔高为______米. 12.方程ln 620x x -+=的解为0x ，则满足0x x ≤的最大整数x 的值等于________. 13.已知n a n =，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状： 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a ………………………………… 记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A =__________. 14.取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多 面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为36 5a .以上结论正确的是_________.（要求填上所有正确结论的序号） 一、填空题: 1．已知集合{|3,},{1,2,3,4}A x x x R B =>∈=，则()R A B = e . 2．已知复数1(1) a z i =+ -，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知角α的终边经过点(2,1)P --，则cos()3 π α+ 的值为 . 4．已知数据a ，4，2，5，3的平均数为b ，其中a ，b 是方程2430x x -+=的两个根，则这组数据的标准差是 . 5．已知函数()f x 是以5为周期的奇函数，且(3)2f -=，则(2)f -= . 6．以下程序运行后结果是__________. 1i ← 8While i < 2 233 i i S i i i ←+←?+←+ End While Pr int S 7．如图，一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形ABC ，则该四面体的外接球 的表面积为 . 8．已知||1,(1,3)==-a b ，||3+=a b ，则a 与b 的夹角为 . 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）则数列{}n a 的通项公式为 . 10．命题：“存在实数x ，满足不等式2(1)10m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 . 11．已知直线20ax by --=(,)a b R ∈与曲线3 y x =过点(1,1)的切线垂直，则 b a = . 12．如果椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离等于 它到右焦点的距离的两倍，那么椭圆的离心率的取值范围为 . 13、（已知函数2()2sin 23sin cos 13f x x x x =--+的定义域为0, 2π?? ???? ，求函数()y f x =的值域和零点． C B A （第7题） 2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数 （ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的 集合为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于 （ ） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且 项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5- 上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 数列 一、选择、填空题 1、（2018上海高考）记等差数列 {} n a 的前n 项和为S n ，若87014a a a =+=?，，则S 7= 2、（2017上海高考）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数， 若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 149161234lg() lg() b b b b b b b b = 3、（2016上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ， {}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 4、（宝山区 2018 高三上期末）若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点 n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()L ，、，、、，满足：n a a a 12<< 天天练25空间几何体 小题狂练○25 一、选择题 1．以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B. 2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是() 答案：A 解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2 2. 3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() 答案：A 解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A. 4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为() 答案：C 解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F 是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C. 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为() 高三数学填空、选择专项训练（一） 班级_____________姓名________________成绩_____________ 1、已知集合{}{}Z n n x x B x x x A ∈+==<--=),13(2,012112， 则=B A ___________． 2、已知函数]3,1[,42∈-=x ax x y 是单调递增函数，则实数a 的取值 范围是_________________ 3、已知函数1)(-=x a x f 的反函数的图象经过点（4，2）则)2(1-f 的值为__________． 4、在复数集上，方程0222=++x x 的根是___________________． 5、已知5 3)4cos(=+x π , 则x 2sin 的值为 。 6、命题“若B A x ∈，则A x ∈或B x ∈”的逆否命题是 _______________________________________________________ 7、在ABC ?中，已知sinA:sinB:sinC=3:5:7，则ABC ?中最大角的值是_________ 8、已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 9、方程P 412+n =140P 3n 的解为 10、在n b a )(+的二项展开式中，第二项与倒数第二项系数之和为14， 则自然数n= ． 11、设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a 。 12、已知sin α=，则44sin cos αα-的值为 13、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当1≤x 时12+=x y ， 2020届高三数学小题狂练二十八 班级 姓名 学号 1．设0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为 . 2．设P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，则点P 处切线倾斜角α的取值范围是 . 3．若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最小值是 . 4．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①0c =时，()y f x =是奇函数；②0b =， 0c >时， 方程()0f x =只有一个实根；③()y f x =的图象关于(0,)c 对称；④方程()0f x =至少两个实根．其中真命题序号是 . 5．若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x = ，则a b += . 6．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，其八个顶点均在同一个球面上，则球面 面积为__________. 7．有以下四个命题：①223sin sin y x x =+的最小值是32 ；②已知()f x =，则(4)(3)f f >；③log (2) (0x a y a a =+>，1)a ≠在R 上是增函数；④函数2sin(2)6 y x π=-的图象的一个对称点是)0,12 ( π．其中所有真命题的序号是 . 8．已知数列{}n a 满足11a =，1231111 (1)231 n n a a a a a n n -=++++>-L ，若2018n a =，则n = . 9．已知三个不等式：①0ab >；②b d a c -<- ；③bc ad >．以其中两个作为条件，余下一个作为结论组成命题，则真命题的个数为 . 10．若曲线4y x x =+在P 点处的切线与直线30x y +=平行，则P 点的坐标是 . 11．若实数x ，y 满足不等式组?? ???≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么函数3z x y =+的最大值是 . 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4 -成为中心对称图形，且满足3()()2 f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(2018)f f f +++K 的值为 . 数学小题训练（14） 班级 姓名 1．已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若, A+C=2B,则sinC= . 2．函数()(sin )(cos )f x x a x a =++（0＜a ）的最大值为 . 3．已知22()53196196f x x x x x =-++| -53+ |,则(1)(2)(50)......f f f +++= . 4．设()x f 定义在正整数集上，且(1)()()()1,x y x y f f f f xy +==++，则()x f = . 5．边长为1的正五边形的对角线长= . 6．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6π ωω和g(x)=2cos(2x+)+1?的图象的对称轴完全相同。若 x [0,]2π ∈，则f(x)的取值范围是 . 7.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f = . 8．直线x+2y-3=0与ax+4y+b=0关于点（1，0）对称，则b= . 9．在区间（－1，1）上任意取两点a 、b,方程2x ＋ax ＋b=0的两根均为实数的概率为p,则p 的值为 . 10．设0＜x ＜2 π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 条件. 11．定义平面向量之间的一种运算“ ”如下： 对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-，下面说法正确的是 . (A)若a 与b 共线，则0a b = (B)a b b a = (C)对任意的R λ∈，有() ()a b a b λλ= (D)2222()()||||a b a b a b +?= 12.设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈,则A ?B 成立的充要条件是 . 2020届高三数学小题狂练二十 姓名 得分 1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = . 2．双曲线2 213 x y -=的两条渐近线的夹角大小为 . 3．设a 为常数，若函数1 ()2 ax f x x += +在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 . 5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 . 6．若1 (1)(1)2n n a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 7．已知函数12 ||4 )(-+= x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足 条件的整数数对),(b a 共有 个. 8．设P ，Q 为ABC ?内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14 +AC u u u r ， 则ABP ?的面积与ABQ ?的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >， 则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +， 31 2121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 . 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时， ()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________. D C Q B A P 小题专题练(三) 数 列 1．无穷等比数列{a n }中，“a 1>a 2”是“数列{a n }为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4 的值为( ) A.12 B.1716 C ．2 D ．17 3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 4．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N * )，数列?? ?? ??1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( ) A.1 10 B.15 C.111 D.211 5. 如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1 x (x >0) 的图象上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N * )，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．208 B ．212 C ．216 D ．220 6．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n .若a 1＝d ＝1，则S n ＋8 a n 的最小值为( ) A ．10 B.92 C.72 D.1 2 ＋2 2 7．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N * 都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.2020届高三数学小题狂练二十五含答案
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