初二年（下）期末复习专题——函数中的面积问题
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知识回顾：
1、一次函数(0)y kx b k =+≠
系数k : ○1当0k >时，直线的图象从左到右上升，且一定过第 象限； ○2当0k <时，直线的图象从左到右 ，且一定过第 象限； ○
3若两直线平行，则系数k 的值 ； 系数b : ○
1直线与y 轴的交点坐标为 ； ○
2当0b >时，直线与y 轴的交点在 ； ○
3当0b <时，直线与y 轴的交点在 ； 特别的，当 时，一次函数 也称为正比例函数，它的图象是 。 2、反比例函数(0)k
y k x
=
≠ 系数k : ○
1当0k >时，函数的图象在第 象限，在每个象限内， 图象从左到右 ；
○
2当0k <时，函数的图象在第 象限，在每个象限内， 图象从左到右 ； 一、一次函数中的面积问题：
1、已知一次函数y kx b =+经过(1,3),(2,2)A B 两点，○1求该一次函数的解析式； ○
2求这条直线与两坐标轴所围成的图象的面积；
y
O
x
2、已知一次函数y kx b =+经过(3,0)A ，且与两坐标轴所围成的图象的面积为3，求该一次函数的解析式。
总结：解“与一次函数有关的面积”问题时，关键是求出直线y kx b =+与x 轴的
交点坐标 ，与y 轴的交点坐标 ；
二、反比例函数中的面积问题：
3、过反比例函数6
y x
=图象上任意一点P 分别
作x y 轴、轴的垂线PA PB 、（如图所示）， 则○1矩形OAPB 的面积S = ； ○2OAP
OBP S S ??== ;
4、将上题中的“反比例函数解析式”改为“6
y x
-=
” ，其余条件不变， 则○1矩形OAPB 的面积S = ；○2OAP OBP S S ??== ; 总结：对于反比例函数(0)k
y k x
=
≠上任意一点P 分别作x y 轴、轴的垂线PA PB 、，则○1矩形OAPB 的面积S = ；○2OAP OBP S S ??==
y
O
x
y
O
x
5、过反比例函数(0)k
y k x
=
≠图象上一点A ，分别作x y 轴、轴的垂线，垂足分别为,B C ，如果ABC ?的面积为2，那么k = 6、如图，已知,A B 两点是反比例函数2
(0)y x x
=
>的图象上任意两点，过,A B 两点分别作y 轴垂线，垂足分别为,C D ，连结,,AB AO BO ,试探究梯形ABDC 的面积和ABO ?的面积之间的关系。
三、由一次函数、反比例函数构成的图形面积：
7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2
k y
x
= 的图象交于(1,4)A 、(3,)B m 两点，
○
1求一次函数、反比例函数的解析式； ○2求AOB ?的面积。
y
O
x
8、已知一次函数y kx b
=+的图象与反比例函数
m
y
x
=的图象交于(2,1)
A-、
(1,)
B n两点，
○1求一次函数、反比例函数的解析式；○2求AOB
?的面积。
初二（下）数学专题学案：反比例函数中面积问题 热身练习： 1. 如图4，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数m y x = 的图象交于A(2, 3),B(﹣3, ﹣2)，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，则S △ABC= 2. 如图3，已知A(﹣4,2), B(2,﹣4)是一次函数y ＝-x -2的图象和反比例函数8 - y x =的图象的两个交点，则△AOB 的面积是 ；若P 是x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是12，则OP 的长是 ． 3. 反比例函数6y x = 与3 y x =在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为 4. 如图，两双曲线y ＝k x 与y ＝－6 x 分别位于第一、四象限，A 是y 轴上任意一点，B 是y ＝ －6x 上一点，C 是y ＝k x 上的点，线段BC ⊥x 轴于点D ，且3BD ＝2CD ，则△ABC 的面积为__________． 例题讲解： 例1. 如图，在平面 直角坐标系中，正比 例函数y=3x 与反比例函数k y x = 的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐 标为2，AC ⊥x 轴，垂足为C ，连接BC ． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ABC 的面积； （3）若点P 是反比例函数k y x =图象上的一点，△OPC 与△ABC 面积相等，请直接写出点P 的坐标． 例2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝—4 3x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点C 、D ，四边形ABCD 是正方形，反比例函数y ＝k x 的图像在第一象限经过点A ． （1）求点A 的坐标以及k 的值：
反比例函数中的面积问题 一、导入： 《飞翔的蜘蛛》 信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。 一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。 温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。 二、知识点回顾 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下： 利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 三、专题讲解
图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB 二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ． 〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1 知识点一 反比例函数中面积的常见处理方法 1如图，A 、B 是双曲线 y ＝k x (k ＞0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC ＝6．则k 的值为( ▲ ) A.1 B.2 C.4 D.无法确定 第3题 第4题 2如图，双曲线)0(＞k x k y = 经过矩形QABC 的边BC 的中点E ， 交AB 于点D 。若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为( ) （A ）x y 1= （B ）x y 2=（C ） x y 3= （D ）x y 6 = 3如图，平行四边形ABCD 的顶点为A 、C 在双曲线y 1=﹣上，B 、D 在双曲线y 2= 上，k 1=2k 2 （k1＞0），AB∥y 轴，S ?ABCD =24，则k 2= ． 4如图，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 5如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴上，顶点A 落在反比例 函数m y x = （0m ≠）的图象上．一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与该反比例函数的图象交于A 、D 两点，与x 轴交于点E ．已知5AO =，20OABC S =菱形，点D 的 坐标为（4-，n ）． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接CA 、CD ，求△ ACD 的面积． x y A P B D C O 1 l 2 l 6如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线 k y x = 交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值（） A．等于2 B．等于 3 4 C．等于 24 5 D．无法确定 第7题第8题 7如图，点A在反比例函数)0 ( 4 > =x x y的图像上，点B在反比例函数)0 ( 9 < - =x x y的图像上，且∠AOB=90°，则tan∠OAB的值为▲ 8如图，两个反比例函数 1 y x =和 2 y x =-的图象分别是 1 l和 2 l．设点P在 1 l上，PC⊥x轴， 垂足为C，交 2 l于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交 2 l于点B，则三角形PAB的面积为（）（A）3 （B）4 （C） 9 2 （D）5 知识点二三角函数的综合应用 9如图，一次函数 1 y ax b =+的图象与反比例函数 2 k y x = 的图象交于,A B两点，已知OA= 1 tan, 3 AOC ∠=点B的坐标为 3 (,). 2 m - (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出使函数值 12 y y <成立的自变量x的取值范围. 二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ， 教学过程 一、复习预习 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反 比例函数值的大小比较； 2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。 、知识讲解 k1 1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝（y kx 1或xy k ）（ k 为常数， k __________________________________ 0）的 x 函数叫做反比例函数． k 2．反比例函数的性质：反比例函数y＝k （ k≠0）的图象是 ___ ___ ．当 k>0 时，两分 x 支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y随 x 的增大而；当 k<0时，两分 支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y 随 x 的增大而． 3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为 _ ；反比例函数还是___ 图 形，它有两条 ___ ，分别是直线 __ ________ ． k 4．在双曲线 y ＝k上任取一点 P 向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 x k 5．因在反比例函数的关系式y＝k（ k≠0）中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也 x 就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组 x、y 的值或图象上任意一点的坐标， 然后代入 y＝k中即可求出__ 的值，进而确定出反比例函数的关系式． x k 6、利用反比例函数中 |k| 的几何意义求解与面积有关的问题。设 P 为双曲线y k 上任意一 x 点，过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的 k 的矩形 PMON的面积为 S=|PM|×|PN|=|y| ×|x|=|xy| y k, xy k,s k 。从而得： x 结论 1：过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积 S为定值 专题四反比例函数中“K”与面积一:问题背景 反比例函数y＝k x 中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过 反比例函数y＝k x 图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如 图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|,由此基本图形带来的衍生图形也很多，他们与K都有固定的结论。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用这些基本图形，会给解题带来很多方便。 二：基本图形 S四边形PEOF =|K| S△ABO=|K| S△ABM=|K| S△ABC=2|K| S四边形ABCD=2|K| S△AOC=S四边形ACEF 2、如图A,B是函数y=的图象上关于O原点对称的任意两点,AC∥Y 轴,BC∥X轴,△ABC的面积记为S,则S=_________ 3、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向X轴、Y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1 +S 2 =________ 4、如图，点A是反比例函数y＝k x 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为 点B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值 5、如图,点A在函数y=的图象上,点B在函数y＝k x (x﹥0)的图象上,连 接AB,AB垂直x轴于点M,且AM︰MB=1︰2,则 6、如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴， C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则 S ABCD 7、双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是 _____。 8、(陕西2011中考)如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行 线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于点A和点B，若点C 是x轴上任意一点，连接AC、BC，则S△ABC=____ 。 9、如图，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=的图象上，点B在y轴上，若将△OAB沿x轴正方向平移，当点B落在反比例函数的图象上时，点A 的坐标为_____。。 八年级数学 反比例函数面积基本模型： 如图1,过双曲线()0k y k x =≠上的任一点(),P x y ,作x 轴（或y 轴）的垂线,则1 22 AOP k S x y ?=?=. 如图2,过双曲线()0k y k x = ≠上的 任一点(),P x y ,作x 轴、y 轴的垂线, 则AOBP S x y k =?=矩形. 以上是反比例函数图象的一个重要性质, ,有广泛的应用. 利用以上结论我们可以解决以下一系列的问题. 【例1】如图3,在平面直角坐标系中,点A 、B 在反比例函数x k y = 图象上,AC ∥y 轴,BD ∥x 轴,设△AOC 和△BOD 的面积分别 是S 1、S 2,比较它们的大小, 可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 【例2】如图4,点A 、B 是双曲线()0k y k x = >上的点,过点 A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,过点B 作BD 垂直于x 轴, 垂足为D ,设△AOE 和四边形ECDB 的面积分别是S 1、S 2, 比较它们的大小,可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 (图反比例函数与面积问题 【例3】如图5,函数()0y mx m =≠与()0k y k x = ≠ 交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,则 ABC △的面积为 . 【例4】如图6-1,函数()0y mx m =≠ 与()0k y k x = ≠垂直y 轴（亦可向x 轴作垂线图6-2）于点C 、D , 则四边形ACBD 的面积为 . 【例5】如图7,函数()0 y mx m =≠与()0k y k x =≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BD 分别垂 直x 与y 轴于点C 、D ,连结CD ,则四边形ACBD 的面积为 . 【例6】如图8,函数()0y mx m =≠与()0k y k x = ≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BF 分别垂直x 于点C 、F , AE 、BD 分别垂直y 于点E 、D , 连结CD ,则六边形AEFBDC 的面积为 . 【例7】如图9,已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数1 2y x =的图像交于A 、B 两点,且点A 的横坐标是1,点B 的纵坐标是－1 , 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积. (图6-1) (图6-2) (图7) (图8) 反比例函数中与K 有关的面积问题 （经典题组训练 学案+林建华微课视频） 【知识梳理】 1.如图（1），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线段，垂足分别是点A 、B ，则矩形OAPB 的面积是. 2.如图（2），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点A ，则△APO 的面积是. 3.如图（3），这些矩形的面积相等吗？ 4.如图（4），这些三角形的面积相等吗？ 【熟练运用】 1.如图（5），点P 在反比例函数x y 3-= 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，则矩形PMON 的面积为. 2.如图（6），点P 在反比例函数x y 2= 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，则△DPO 的面积为. 3.如图（7），双曲线x y 2-=和x y 1=在x 轴上方的图像，作一平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，则△AOB 的面积为. 【拓展提升】 1.如图（8），过反比例函数x y 2= （x ＞0）图像上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得（ ） A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. S 1与S 2 的大小不确定 2.如图（9），A 、B 是函数x y 1= 图像上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC 垂直x 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，如果四边形ADBC 的面积分别为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 1＜S ＜2 C. S ＞2 D. S ＝2 【知识归纳】 初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、 C ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ． ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标． ②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题： （1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45o，求点Q 的坐标． 5．如图，抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求A 、B 、C 的坐标； （2）设点H 是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标； （3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动． 一．简单题 1．（2011?漳州）如图，P（x，y）是反比例函数y=的图象在第一象限分支上的一个动点， PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（） A．不变 B．增大 C．减小 D．无法确定 考点：反比例函数系数k的几何意义。 专题：计算题。 分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．解答：解：依题意有矩形OAPB的面积=2×|k|=3，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的 面积将不变． 故选A． 点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂 线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 2．（2011?江津区）已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 考点：反比例函数系数k的几何意义。 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角 形面积S是个定值，即S=|k|． 解答：解：根据题意可知：S△AOB=|k|=3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则k=6． 故选C． 点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想， 做此类题一定要正确理解k的几何意义． 12．如图，A，C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C 作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则S1和S2 的大小关系是（） A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．由A，C两点的位置确定 考点：反比例函数系数k的几何意义。 专题：数形结合。 分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 解答：解：结合题意可得：A、C都在双曲线y=上， 由反比例函数系数k的几何意义有S1=S2． 故选C． 点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 5．（2010?牡丹江）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（） 反比例函数 面积问题专题（一) 【围矩形】 1．如图所示,点B 是反比例函数图象上一点,过点B分别作x轴、y轴的垂线, 如果构成的矩形面积是４，那么反比例函数的解析式是（） Ａ．B．C．D． ２．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（) A．﹣１B． C. 1 D. ２ ３.如图,A、B 是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1,S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1,且S1+S２=4,则k值为（） A．１ B. ２ C. 3 Ｄ. ４ 4.如图,在反比例函数y=(x＞0)的图象上，有点P1、P2、P３、Ｐ４,它们的横坐标依次为1,２，3， 4.分别过这些点作x轴与ｙ轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S１、S2、 S3,则S１+Ｓ2＋Ｓ３＝（) A．１Ｂ ． 1.5 C. 2 D. 无法确定 5．如图，两个反比例函数y ＝和y=(其中ｋ1>0>k2)在第一象限内的图象是Ｃ1，第二、四 象限内的图象是C2，设点P在Ｃ1上,PC⊥x轴于点M，交Ｃ２于点C，PＡ⊥y轴于点Ｎ,交Ｃ2于点A,AＢ∥ＰC,CB∥AP相交于点B，则四边形ＯDBＥ的面积为（) A. |ｋ1﹣k２| B. C. ｜k１?ｋ２｜D． 【围三角形】 6．如图，A、C是函数y=的图象上的任意两点,过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作ｙ轴的垂线，垂足为D，记Rt△ＡOB的面积为S1,Ｒｔ△COD的面积为S2，则（) Ａ．S１>S2 B. S1<Ｓ2 Ｃ. S1＝S2D．S１和S2的大小关系不能确定 7．如图，过y轴上任意一点p，作x 轴的平行线，与反比例函数的图象交于A 点，若B为x轴上任意一点，连接ＡB，PB则△APB的面积为() A. 1 B．2Ｃ ．3 D．4 1题 2题 3题 4题 5题 6题 7题 中考查漏补缺----反比例函数与面积问题 对于反比例函数y= x k 及图像的特殊性，很多中考 试题都将反比例函数与面积问题结合起来进行考察。这 种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础内容，又能充分体现数形结合思想，考查题型多样，方法灵活，可以更好地将知识和能力融合在一起。 一、 利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有 关问题。 一般地，如图1，过双曲线上任一点A （x ,y ）作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，， 所得矩形AMON 的面积为：S=AM ×AN =|x |×|y |=|xy |.又∵y=x k ，∴xy =k . ∴AMON S 矩形=|k |.∴||2 1 k S AOM =?. 结论1：过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便。 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：对于直角三角形AOM 中，面积2 k s = ； 结论3：对于直角三角形ABC 中，面积2s k =； 结论4：对于直角三角形PBC 中，面积s k =； 1、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数K ） 【例题解析】 例1.（1） （2011年杭州模拟）如图2，反比例函数图像上一点A 与坐标轴围成的矩形ABOC 的面积是8 ，则该反比例函数的解析式为 . 思路分析:利用反比例函数x k y =的特点及矩形PEOF 的面积为8，求k 的值.设反比例函数为x k y =,∴xy=k.∵，矩形8||||=?=y x S P E OF 由于图象在第三象限,∴k=8.既反比例函数解析式是x y 8=. 答案: x y 8 = （2）（2011年建德模拟）如图3，矩形OABC 的两边在坐标轴上，且与反比例函 数x k y =的图像交于点E 、F ，其中点E 、F 分别是BC 、AB 的中点，若四边形OFBE 的面积2=OFBE S 四边形，则k 思路分析:连结OB ，∵E 、F ∴;OCE OBE s s ??=.OAF OBF s s ??= 而;2 OCE OAF k s s ??==由OFBE S 四边形得2,22 k k +=解得K=2. 答案: K=2 2、已知反比例函数解析式，求图形的面积。 例2.（1） (2011年杭州模拟)如图4，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点．过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 10、P 2A 20、P 3A 30，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则( )． A ． S 1 1、如图所示，Rt△ABC在第一象限，∠BAC=90°，AB=AC=2，点A在直线y=x 上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴，AC∥y轴，若双曲线y=k/x（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是_________ 2、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y= 4/x（x＞0） 的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，则△AOC的面积为（）A、2 B、3 C、4 D、32 3、已知点A、B是反比例函数y=2x（x＞0）的图象上任两点，过A、B两 点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AB，AO，BO， 则S四边形ABCD：S△AOB等于（） 4、在平面直角坐标系中，有反比例函数y= 1x与y=- 1x的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则 AB=__________ 5、反比例函数y=- 5x的图象如图所示，P是图象上的任意点，过点P分 别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的 动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是____________ 6、如图，点A，C在反比例函数y= 3x（x＜0）的图象上，B，D在x轴 上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是____________ 7、如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…P n（x n，y n）在函数 y= 9x（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n… 都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…A n-1A n，都在x轴上，则 y1+y2+…y n=________ 8、如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB． （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式． 初中数学 编辑时间：2017.4 x y O C A B x y O A B C x y D O A B C x y F O A B C x y E O A B C 中考复习小专题 前 测 课 题 二次函数中的三角形面积问题 一．课前完成： 在平面直角坐标系中，求下列条件下三角形的面积： （1）如图1，A(-1,1),B(5,1),C(3,5),则ABC S D = ； （2）如图2，A(-1，5),B(-1，-1),C(4，1),则ABC S D = ； （3）如图3，A(-1,1),B(2,6),C(3,5),则求ABC D 的面积。 中 测 二．归纳总结（用点坐标表示下列面积）： 1.在平面直角坐标系中，若ABC D 中AB 边所在的直线与x 轴平行（或重合），则ABC S D = ； 若ABC D 中AB 边所在在直线与y 轴平行（或重合） ，则ABC S D = ； 2. 在平面直角坐标系中 ，任意ABC D 的面积计算方法： 1）如过A 作铅锤线：则ABC S D = + = ； 2）如过B 作铅锤线：则ABC S D = - = ； 3）如过C 作铅锤线：则ABC S D = - = ； 图1 图2 图3 x y A D E B O P 三．典例分析： 例1.二次函数2 246y x x =+-的图象与x 轴的交点为A (?3,0)、B (1,0)两点,与y 轴交于点C (0,?6)，顶点 为D.如图，点P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之 间的函数关系式及S 的最大值； 变式跟进：如图,抛物线2 26y x x =-+经过点B(1,4)和点E(3,0,) 两点,平面上有两点A 11(,)22 ，D 13 (,)22- 。 从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P ，使得△PAD 的面积最大?若存在，请求出△PAD 面积。 四．巩固练习： 1.抛物线2 -23y x x =-平面直角坐标系中有两点A(-1，3),B(-4，-1)，点P 为抛物线第四象限的一个动点，则如何作铅垂线更便于求ABP D 的面积最大值？( ) A ．过A 作铅垂线交BP 于点D B.过B 作铅垂线交PA 延长线于点E 中 测 反比例函数 面积问题专题(一) 【围矩形】 1．如图所示，点B 是反比例函数图象上一点，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线， 如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．反比例函数 的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ． ﹣1 B ． C ． 1 D ． 2 3．如图，A 、B 是双曲线上的点，分别过A 、B 两点作x 轴、y 轴的垂线段．S 1，S 2，S 3分别表示图中三个矩形的面积，若S 3=1，且S 1+S 2=4，则k 值为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4．如图，在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，有点P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为1， 2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2+S 3=（ ） A ． 1 B ． 1.5 C ． 2 D ． 无法确定 5．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k 1＞0＞k 2）在第一象限内的图象是C 1，第二、四象限内的图象是C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点M ，交C 2于点C ，PA ⊥y 轴于点N ，交C 2于点A ，AB ∥PC ，CB ∥AP 相交于点B ，则四边形ODBE 的面积为（ ） A ． |k 1 ﹣k 2| B ． C ． |k 1?k 2| D ． 【围三角形】 6．如图，A 、C 是函数y=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则（ ） A ． S 1＞S 2 B ． S 1＜S 2 C ． S 1=S 2 D ． S 1和S 2的大小关系不能确定 7．如图，过y 轴上任意一点p ，作x 轴的平行线，与反比例函数 的图象交于A 点，若B 为x 轴上任意一点，连接AB ，PB 则△APB 的面积为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 1题 2题 3题 4题 5题 6题 7题 反比例函数面积问题专题 【围矩形】 1．如图所示，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线， 如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（） A. B. C.. D. 2．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（） A.-1 B. C.1 D.2 3．如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段． S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 4．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4， 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线， 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=（） A.1 B.1.5 C.2 D.无法确定 5．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1， 第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C， PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A.|k1﹣k2|B. C.|k1?k2|D. 【围三角形】 6．如图，A、C是函数y=的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B， 过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则（） A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.关系不能确定 7．如图，过y轴上任意一点p，作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于A点， 若B为x轴上任意一点，连接AB，PB则△APB的面积为（）A.1B.2C.3D.4 8．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上， △ABP的面积为1，则k的值为（）A.1B.2C.-1D.-2 9．反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线 分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（） A. B.2C.3D.1 10．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线， 二次函数与三角形的面积问题 【教学目标】 1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。 2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问 题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。 3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。【教学重点和难点】 1.运用 2铅垂高 水平宽? = s； 2.运用y； 3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。 【教学过程】 类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行 例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求: （1）抛物线解析式； （2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C； （3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。 解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。 一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适 方法求出图形的面积。 变式训练1.如图所示，已知抛物线()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <，与y 轴负半轴相交于点 C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 （1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。 类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀） 关于2 铅垂高 水平宽?= ?S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的 三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1 =?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？ 例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ； 铅垂高，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方? x A B O C y P B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 图-2 x C O y A B D 1 12020二次函数中的面积问题
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