2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编
07立体几何
三、解答题(第二部分)
31、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB 。 （1）求证：AB ⊥平面PCB ；
（2）求二面角C —PA —B 的大小的余弦值。 （1）解：∵PC ⊥平面ABC ，AB ?平面ABC ，
∴PC ⊥AB 。
∵CD ⊥平面PAB ，AB ?平面PAB ， ∴CD ⊥AB 。 又PC ∩CD ＝C ， ∴AB ⊥平面PCB 。 （2）解法一：
取AB 的中点E ，连结CE 、DE 。
∵PC ＝AC ＝2，∴CE ⊥PA ，CE ＝.2 ∵CD ⊥平面PAB ，
由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA 。 ∴∠CED 为二面角C —PA —B 的平面角。 由（1）AB ⊥平面PCB ，∴AB ⊥BC ， 又∵AB ＝BC ，AC ＝2，求得BC ＝.2
（2）解法二：
∵AB ⊥BC ，AB ⊥平面PBC ，过点B 作直线l ∥PA ， 则l ⊥AB ，l ⊥BC ，以BC 、BA 、l 所在直线为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系（如图）。…………6分
设平面PAB 的法向量为).,,(z y x =
),0,0,2(),2,0,2(),0,2,0(C P A ,
1.20,02220
2.0,0),2,2,2(),0,2,0(-=???-==?????=+-=-?????=?=?-==∴z z
x y z y x y m BA 令解得即则 得).1,0,2(-= …………8分 设平面PAC 的法向量为),,(111z y x =，
,0
2202.0,0),0,2,2(),2,0,0(111???=-=?????=?=?-==y x z AC CP 即则 解得).0,1,1(,1.0
11
11==??
?==x y x z 得令
…………10分
.3
32
32,cos =?=
>
<∴n m …………11分
.3
3cos
ar B PA C 大小为二面角--∴ …………12分
（2）解法三：
∵CD ⊥平面PAB ，∴是平面PAB 的一个法向量。 取AC 中点F ，∵AB ＝BC ＝2，∴BF ⊥AC ， 又PC ⊥平面ABC ，有平面PAC ⊥平面ABC ，
∴BF ⊥平面PAC ，∴是平面PAC 的一个法向量。
)(2
1
BC BA BF +=
…………7分
2
||,2||,0||)1(||,0,0)1(,0)())1((0
,)1(22===--∴=?=?=-?-+=?⊥-+=CB CP CB CP 而知由得即设λλλλλλ .32
31,31+=∴=∴λ
…………9分 ,1)22(4
1
||,34294491||22=+?==?+?=
…………10分
.3
3
|
|||,cos -
=?>=
<∴BF CD 32、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，EC ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，EF ＝EC ＝1，
⑴求证：平面BEF ⊥平面DEF ； ⑵求二面角A －BF －E 的大小。
解法1：⑴ ①证明: ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，EC ⊥AC ， ∴EC ⊥平面ABCD ；连接BD 交AC 于点O ，连接FO ， ∵正方形ABCD
AC ＝BD ＝2； 在直角梯形ACEF 中，∵EF ＝EC ＝1，O 为AC 中点， ∴FO ∥EC ，且FO ＝1；易求得DF ＝BF
DE ＝BE
DF ⊥EF ，BF ⊥EF ， ∴∠BFD 是二面角B －EF －D 的平面角，
在Rt△APN中，可求得222
11
4
AN AP NP
=+=，
∴在△AMN中，由余弦定理求得cos AMN
∠=，
∴AMNπ
∠=-……………………………（12分）
解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则)0,2
,2
(
A
)0,2
,(0
B,)0,0,2
(
D,)1,0,(0
E,)1,
2
2
,
2
2
(F,
∴)0,
2
2
,
2
2
(
=，)1,2
,(0-
=，)1,0,2
(-
=…(2
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
)1,
,
(
)1,
,
(
2
2
1
1
y
x
n
y
x
m=
=，则
2
2
2
2
1
1
=
+
=
?y
x
EF
m①
1
2
1
=
+
-
=
?y②，0
2
2
2
2
2
2
=
+
=
?y
x③, 0
1
2
2
=
+
-
=
?x④.
由①③③④解得
2
2
.
2
2
;
2
2
,
2
2
2
2
1
1
-
=
=
=
-
=y
x
y
x,∴)1,
2
2
,
2
2
(
)1,
2
2
,
2
2
(-
=
-
=n
m,…（4分）
∴0
1
2
1
2
1
=
+
-
-
=
?n
m，∴n
m⊥，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）
⑵设平面ABF的法向量为)1,
,
(
3
3
y
x
=，∵)1,
2
2
,
2
2
(-
=，)0,0,2
(
=
∴0
1
2
2
2
2
3
3
=
+
-
=
?y
x
BF
p，0
2
3
=
=
?x
BA
p，解得
33
0,
x y
==
∴p=
，………（8分）∴cos,
m p
m p
m p
?
<>===
?
ㄧㄧㄧㄧ
……（10分）
由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为
3
6
arccos
-
π
33、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)如图所示，四棱锥P A B C D
-的底面为直角梯形，90
ADC DCB
∠=∠= ，1
AD=，3
BC=，2
PC CD
==，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点. （Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角；
（Ⅲ）求点B到平面PDE的距离.
解法一：（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，
则DAE FBE
???，∴1
BF AD
==，∴4
CF=，∴
1
tan
2
DC
F
CF
∠==，
P
C
P E
A
B
D C
H
F
y
又∵1
tan 2
AD ACD DC ∠=
=，∴F ACD ∠=∠， 又∵90ACD ACF ∠+∠=
，∴90F ACF ∠+∠=
，
∴90CGF ∠=
，∴AC DE ⊥
又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC DE ⊥，∴DE ⊥平面PAC ，
∵DE ?平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC …………………………………（4分） （Ⅱ）连结PG ，过点C 作CH PG ⊥于H 点， 则由（Ⅰ）知平面PDE ⊥平面PAC ， 且PG 是交线，根据面面垂直的性质， 得CH ⊥平面PDE ，从而CPH ∠即 CPG ∠为直线PC 与平面PDE 所成的角.
在Rt DCA ?中，
2CD CG AC
=2=
， 在Rt PCG ?中，tan CPG
∠CG PC
=
52
==所以有CPG ∠=，
即直线PC 与平面PDE 所成的角为arctan 5
…………………………………（8分） （Ⅲ）由于14BF CF =
，所以可知点B 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离的14，即1
4
CH . 在
Rt PCG ?
中，243CH =
==， 从而点B 到平面PDE 的距离等于
1
3
………………………………………………（12分） 解法二：如图所示，以点C 为坐标原点， 直线,,CD CB CP 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -， 则相关点的坐标为(0,0,0),(2,1,0)C A
(0,3,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(1,2,0)E .
（Ⅰ）由于(1,2,0)DE =- ，(2,1,0)CA =
， (0,0,2)CP =
，
所以(1,2,0)(2,1,0)0DE CA ?=-?=
， (1,2,0)(0,0,2)0DE CP ?=-?=
，
所以,DE CA DE CP ⊥⊥，
而CP CA C = ，所以DE ⊥平面PAC ，∵DE ?平面PDE ，
∴平面PDE ⊥平面PAC ……………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设(,,)n x y z =
是平面PDE 的一个法向量，则0n DE n PE ?=?= ，
由于(1,2,0)DE =- ，(1,2,2)PE =-
，所以有
(,,)(1,2,0)20
(,,)(1,2,2)220
n DE x y z x y n PE x y z x y z ??=?-=-+=???=?-=+-=??
， 令2x =，则1,2y z ==，即(2,1,2)n =
，
再设直线PC 与平面PDE 所成的角为α，而(0,0,2)PC =-
， 所以|(2,1,2)(0,0,2)|2
sin |cos ,||(2,1,2)||(0,0,2)|3
||||n PC n PC n PC α??-=<>===?-?
， ∴2arcsin
3α=，因此直线PC 与平面PDE 所成的角为2
arcsin 3………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,1,2)n = 是平面PDE 的一个法向量，而(1,1,0)BE =-
，
所以点B 到平面PDE 的距离为|||(2,1,2)(1,1,0)|1
|(2,1,2)|3n BE d n
??-===
34、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)如图，已知四棱锥
P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，点M 、N 分别在侧棱PD 、PC 上，且PM MD = （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若1
2
P N N C = ，求平面AMN 与平面PAB 的所成锐二面角的
大小
解：（Ⅰ）因为四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA⊥底面ABCD ，
则CD⊥侧面PAD
.AM CD ⊥∴ 又.,2PD AM AD PA ⊥∴==
又.,PCD AM D CD PD 平面⊥∴= ……………5分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系,xyz A -又PA=AD=2，
则有P （0，0，2），D （0，2，0） ).0,2,2(),1,1,0(C M
(2,2,2).PC ∴=-
设1(,,),,2
N x y z PN NC =
则有
.3
2),2(210=∴-=
-x x x 同理可得.34
,32==z y
即得).34
,32,32(N …………………………8分
由448
0,.333
PC AN PC AN ?=+-=∴⊥
(2,2,2).AMN PC ∴=-
平面的法向量为 而平面PAB 的法向量可为),0,2,0(=
cos ,3PC AD PC AD PC AD
?∴<>==
=?
故所求平面AMN 与PAB 所成锐二面角的大小为.3
3arccos
35、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)在棱长AB=AD=2，AA 1=3的长方体AC 1中，点E 是平面BCC 1B 1上
动点，点F 是CD 的中点.
（Ⅰ）试确定E 的位置，使D 1E ⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）求二面角B 1—AF —B 的大小.
解：（Ⅰ）以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， A （0，0，0），F （1，2，0），B 1（2，0，3），D 1（0，2，3）， 设E （2，y ，z ），则 )3,2,2(1--=z y D )3,0,2(),0,2,1(1==AB …………4分
由??
?
??==????=-+=-+?????=?=??⊥3510)3(340)2(22,001111z y z y AB AF E D F AB E D 即平面
∴)3
5
,1,2(E 为所求 …………6分
（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，D 1=（2，－1，)3,0,0(),3
41-=-BB ……8分 又D B 11 与分别是平面BEF 与平面B 1EF 的法向量， …………9分 则二面角B 1—AF —B 的平面角等于.,11> ∵.61 61 4)3 4 (123) 34(3,cos 2 211= -++-->= 61 4arccos 36、(广东省2008届六校第二次联考)如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直 角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 证明:（1）取PD 中点Q , 连EQ , AQ , 则1 2 QE CD AB = = …1分 //////QE CD CD AB QE AB QE AB ? ? ???=? …………………………………………2分 //ABEQ BE AQ ??四边形是平行四边形 ………………3分 ////BE AQ AQ PAD BE PAD BE PAD ? ? ?????? 平面平面平面 ………………………5分 (2) PA ABCD CD ABCD ⊥? ????平面平面 //AQ PCD BE PCD BE AQ ?⊥? ?⊥?? 平面平面 . ………………………………………10分 解:（3）11 12122BDC S AD DC ??? ＝＝＝ …………………………………11分 11 33 B PD C P BDC BDC V V PA S --? ＝＝＝. 37、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）如图，在组合体中， 1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ， 点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ． （Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥； （Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）若a AA =1，当a 为何值时，D AB PC 1//平面． (Ⅰ)证明：因为2==PC PD ，2==AB CD ，所以P C D ?为等腰直角三角形，所以 C D P A C D A D A D P A A ⊥??⊥?????＝C D P A D A Q C D A Q P A D P A A D A Q P D Q P D C D P D D ?⊥??⊥?????????⊥?? ?? ??? ??平面平面＝为的中点 ＝D 1 C 1 B 1 A 1 P D C B A PC PD ⊥． ……1分 因为1111D C B A ABCD -是一个长方体，所以D D CC BC 11面⊥，而D D CC P 11平面∈，所以D D CC PD 11面?，所以PD BC ⊥． ……3分 因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥．…4分 (Ⅱ)解：过P 点在平面D D CC 11作CD PE ⊥于E ，连接AE ．……5分 因为PCD ABCD 面面⊥，所以ABCD PE 面⊥，所以PAE ∠就是PA 与平面ABCD 所成的角．……6分 因为1=PE ，10=AE ，所以 1010 10 1tan === ∠AE PE PAE ． ……7分 所以 PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为 10 10 ． ……8分 (Ⅲ)解：当2=a 时，D AB PC 1//平面． ……9分 当2=a 时，四边形D D CC 11是一个正方形，所以0145=∠DC C ，而045=∠PDC ，所以0190=∠PDC ，所以PD D C ⊥1． ……10分 而PD PC ⊥，D C 1与PC 在同一个平面内，所以D C PC 1//． ……11分 而 D C AB D C 111面?，所以 D C AB PC 11//面，所以 D AB PC 1//平面． ……12分 方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长a AA =1，则有),0,0(a D ， )1,1,0(+a P ，),2,3(a B ，),2,0(a C ． (2) 分 于是(0,1,1)PD =-- ，(3,1,1)PB =- ，(0,1,1)PC =- ，所以0PD PB ?= ，0PD PC ?= ．……3分 所以PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得 PBC PD 平面⊥． ……4分 (Ⅱ)),0,3(a A ，所以(3,1,1)PA =-- ，而平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n = ．…5分 所以 1 cos, PD n <>== ……6分 所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为 11 11 ．……7分 所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为 10 10 ．……8分 (Ⅲ))0,2,3( 1 = B，所以)0,0,3( =，) ,2,0( 1 a AB- =．设平面D AB 1 的法向量为) , , ( 2 z y x n=，则有?? ? ? ? = - = ? = = ? 2 3 2 1 2 az y n AB x n DA ，令2 = z，可得平面D AB 1 的一个法向量为)2, ,0( 2 a n=．……10分 若要使得D AB PC 1 //平面，则要 2 n ⊥，即0 2 2 = - = ?a n，解得2 = a．…11分 所以当2 = a时，D AB PC 1 //平面． 38、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)如图，P—ABCD是正四棱锥， 1111 ABCD A BC D -是正方体， 其中2, AB PA == （1）求证： 11 PA B D ⊥； （2）求平面PAD与平面 11 BDD B所成的锐二面角θ的余弦值； （3）求 1 B到平面PAD的距离 解法一：以 1 1 B A为x轴， 1 1 D A为y轴，A A 1 为z轴建立空间直角坐标系…………1分 （1）设E是BD的中点， P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD PE⊥…………2分 又2, AB PA ==，∴2 = PE∴)4,1,1(P……………………………3分 ∴ 11 (2,2,0),(1,1,2) B D AP =-= ………………………………………………4分 ∴ 11 B D AP ?= 即 11 PA B D ⊥………………………………………5分 （2）设平面PAD的法向量是(,,) m x y z = ，…………………………………………6分 (0,2,0),(1,1,2) AD AP == ……………………………………………………7分 ∴0 2 ,0= + =z x y取1 = z得(2,0,1) m=- ，………………………………8分 又平面 11 BDD B的法向量是(1,1,0) n= …………………………………………9分 ∴ cos, m n m n m n ? <>== ∴cosθ=…………………10分 （3） 1 (2,0,2) B A=- …………………………………………………………………11分 七彩教育网 https://www.doczj.com/doc/b54019082.html, C B A S C B A S 解法二： （1）设AC 与BD 交点为O ，连PO ；∵P —ABCD 是正四棱锥，∴PO ⊥面ABCD ，……1分 ∴AO 为PA 在平面ABCD 上的射影， 又ABCD 为正方形，∴AO ⊥BD ，…………3分 由三垂线定理知PA ⊥BD ，而BD ∥B 1D 1；∴11PA B D ⊥…………………………5分 （2）由题意知平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角为二面角A-PD-B ；……6分 ∵AO ⊥面PBD ，过O 作OE 垂直PD 于E ，连AE ， 则由三垂线定理知∠AEO 为二面角A-PD-B 的平面角； ……………………8分 可以计算得，cos θ= …………………………………………………………10分 （3）设B 1C 1与BC 的中点分别为M 、N ；则1B 到平面PAD 的距离为M 到平面PAD 的距离； 由V M-PAD =V P-ADM 求得55 6 = d 。 39、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)在三棱锥S ABC -中， 90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ,1,AC BC SB ===(1) 求三棱锥S ABC -的体积； (2) 证明:BC SC ⊥; (3) 求异面直线SB 和AC 所成角的余弦值。 (1)解：∵90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ∴,,SA AB SA AC ⊥⊥且AB AC A = , ∴SA ⊥平面ABC ------------ ----------------2分 在Rt ACB ?中， 2AB =, Rt SAB ?中， 2SA = ∵11122ABC S AC BC ?=?=? =, ∴1123323 S ABC ABC V S SA -?= ?==.--------------4分 (2)证法1：由（ 1）知SA=2, 在Rt SAC ?中，SC =分 F E D C B A S (-3,1,0)x ∵222 358BC SC SB +=+==,∴BC SC ⊥-------------------8分 证法2：由（1）知SA ⊥平面ABC ，∵BC ?面ABC ， ∴BC SA ⊥,∵BC AC ⊥,AC AS A = ,∴BC ⊥面SAC 又∵SC ?面SAC ，∴BC SC ⊥ (3) 解法1：分别取AB 、SA 、 BC 的中点D 、E 、F ， 连结ED 、DF 、EF 、AF ，则//, //DE BS DF AC , ∴EDF ∠（或其邻补角）就是异面直线SB 和AC 所成的角----------10分 ∵111 ,222 DE SB DF AC = === 在Rt ACF ?中，1 22 FC BC = = ∴AF = ==, 在Rt EAF ?中，2 EF = == 在△DEF 中，由余弦定理得2 2 2 111 244cos 1222 DE DF EF EDF DE DF +- +-∠== ? = ∴异面直线SB 和AC 所成的角的余弦值为 4 -------------------------14分 解法2：以点A 为坐标原点，AC 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图 则可得点 A(0,0,0),C(0,1,0),B (,0) ∴1,2),(0,1,0)BS AC =-= 设异面直线SB 和AC 所成的角为θ 则cos |4||||BS AC BS AC θ?===? ∴异面直线SB 和AC 。 40、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC =60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC =60°。 （Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1； （Ⅱ）求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP //平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由。 解：连接BD 交AC 于O ，则BD ⊥AC ， 连接A 1O 在△AA 1O 中，AA 1=2，AO=1， ∠A 1AO=60° ∴A 1O 2=AA 12+AO 2 －2AA 1·Aocos60°=3 ∴AO 2+A 1O 2=A 1 2 ∴A 1O ⊥AO ，由于平面AA 1C 1C ⊥ 平面ABCD ， 所以A 1O ⊥底面ABCD ∴以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，－1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （－3，0，0），A 1（0，0，3） ……………………2分 （Ⅰ）由于)0,0,32(-=BD )3,1 ,0(1=AA 则00301)32(01=?+?+-?=? ∴BD ⊥AA 1……………………4分 （Ⅱ）由于OB ⊥平面AA 1C 1C ∴平面AA 1C 1C 的法向量)0,0,1(1=n 设2n ⊥平面AA 1D 则),,(221 2z y x n n AA n =???? ?⊥⊥设 得到)1,3,1(030 32-=???? ?=+-=+n y x z y 取……………………6分 5 5 ,cos 212121=>= <∴n n 所以二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是 5 5 ……………………8分 （Ⅲ）假设在直线CC 1上存在点P ，使BP//平面DA 1C 1 设),,(,1z y x P CC CP λ= 则)3,1,0(),1,(λ=-z y x 得)3,1,3()3,1,0(κλλλ+-=+P ……………………9分 设113C DA n 平面⊥ 则?????⊥⊥1 3113DA n C A n 设),,(3333z y x n = 得到)1,0,1(0 330 23333-=???? ?=+=n z x y 不妨取……………………10分 又因为//平面DA 1C 1 则3n ·10330-==--=λλ得即 即点P 在C 1C 的延长线上且使C 1C=CP ……………………12分 法二：在A 1作A 1O ⊥AC 于点O ，由于平面AA 1C 1C ⊥平面 ABCD ，由面面垂直的性质定理知，A 1O ⊥平面ABCD ， 又底面为菱形，所以AC ⊥BD BD AA O AA AA O AA BD AC O A O A BD AC BD ⊥???? ?⊥??? ??? =⊥⊥1111110平面平面由于 ……………………4分 （Ⅱ）在△AA 1O 中，A 1A=2，∠A 1AO=60° ∴AO=AA 1·cos60°=1 所以O 是AC 的中点，由于底面ABCD 为菱形，所以 O 也是BD 中点 由（Ⅰ）可知DO ⊥平面AA 1C 过O 作OE ⊥AA 1于E 点，连接OE ，则AA 1⊥DE 则∠DEO 为二面角D —AA 1—C 的平面角 ……………………6分 在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1，DO= 32 2=-AO AB 在Rt △AEO 中，OE=OA ·sin ∠EAO= 2 3 DE=2 153432 2=+= +OD OE ∴cos ∠DEO= 5 5= DE OE ∴二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是5 5 ……………………8分 （Ⅲ）存在这样的点P 连接B 1C ，因为A 1B 1//AB //DC ∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形。 ∴A 1D//B 1C 在C 1C 的延长线上取点P ，使C 1C=CP ，连接BP ……………………10分 因B 1B //CC 1，……………………12分 ∴BB 1//CP ∴四边形BB 1CP 为平行四边形 则BP//B 1C ∴BP//A 1D ∴BP//平面DA 1C 1 41、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长AB ＝2， 侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ， （1）求证：A 1C ⊥平面BDE ； （2）求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值。 （3）设F 是CC 1上的动点(不包括端点C)，求证：△DBF 是锐角三角形。 （1）证明：由正四棱柱性质知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，A 1A ⊥平面ABCD ， 所以B 1C 、AC 分别是A 1C 在平面CC 1B 1B 、平面ABCD 上的射影 ∵ B 1C ⊥BE, AC ⊥BD, ∴A 1C ⊥BE , A 1C ⊥BD ， （2分） ∴ A 1C ⊥平面BDE (4分)。 （直接指出根据三垂线定理得“A 1C ⊥BE , A 1C ⊥BD ”而推出结论的不扣分) （2）解：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立坐标系，则1(2,0,4)A ，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，∴1 (2,2,4)AC =-- ，1(0,2,4)A B =- (6分) ∴1 111 1 1cos ,AC A B AC A B AC A B ?<>==? (7分) 设A 1C 平面BDE ＝K ， 由(1)可知，∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成角，(8分) ∴111sin cos ,A BK A C A B ∠=<>= 分) (3)证明：设点F 的坐标为（0, 2, z ）(0 则||||BF DF == 又 |DB|=，故△DBF 是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角∠DFB 为锐角则可。 (11分) 由余弦定理得cos ∠ DFB=222222 22>022(4)DF BF DB z DF BF z +-==?+ ∴∠DFB 为锐角, (13分) E 1 B 1 A 1 C A 即不论点F 为CC 1上C 点除外的任意一点, △DFB 总是锐角三角形.(14分) 说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分） 42、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)如图，在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知 11,3 BC BCC π =∠= （Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面； （Ⅱ）试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置, 使 得 1E A E B ⊥； (Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角11A EB A --的平面角的正切值. 证（Ⅰ）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中， 1111,2,3 BC CC BB BCC π = ==∠= 由余弦定理有 1BC = 故有 222 111BC BC CC C B BC += ∴⊥ 而 BC AB B = 且,AB BC ?平面ABC ∴1C B ABC ⊥平面 （Ⅱ）由11,,,,EA EB AB EB AB AE A AB AE ABE ⊥⊥=? 平面 从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ?平面 故1BE B E ⊥ 不妨设 CE x =，则12C E x =-，则2 2 1BE x x =+- E C 1 B 1 A 1 C B A 111 又112 3 B C C π∠= 则2211B E x x =++ 在1Rt BEB 中有 2 2 114x x x x +++-+= 从而1x =±（舍负） 故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥ 法二：以B 为原点1 ,,BC BC BA 为,,x y z 轴，设CE x =，则11 (0,0,0),(1),(0),2)2 B E x B A - - 由1EA EB ⊥得 10EA EB ?= 即 11(1,2)(,0)2222 11(1)(2)022x x x x x x x x ---=?--=??? 化简整理得 2 320x x -+= 1x = 或 x = 当2x =时E 与1C 重合不满足题意 当1x =时E 为1CC 的中点 故E 为1CC 的中点使1EA EB ⊥ （Ⅲ）取1EB 的中点D ，1A E 的中点 F ，1BB 的中点N ，1AB 的中点M 连DF 则11//DF A B ，连DN 则//DN BE ，连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ，且MNDF 为矩形，//MD AE 又1111,A B EB BE EB ⊥⊥ 故 MDF ∠为所求二面角的平面角 在Rt DFM 中，111(22DF A B BCE ==? 为正三角形） 111222 MF BE CE = == 1 tan MDF ∴∠== 法二：由已知1111,EA EB B A EB ⊥⊥ ， 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角 因为11 B A BA == 1 ( 2 EA =- 故 1111 cos tan 2EA B A EA B A θθ?== ?=? 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 并设22EA DA AB CB ====，则 （Ⅰ）31,1,2DM ??=- ?? ? ，(2,2,0)EB =- ， 所以0DM EB ?= ，从而得 DM EB ⊥； （Ⅱ）设1(,,)n x y z = 是平面BD M 的 法向量，则由1n DM ⊥ ，1n DB ⊥ 及 31,1,2DM ??=- ?? ? ，(0,2,2)DB =- 得11 30 2220n DM x y z n DB y z ??=+-=??? ??=-=? 可以取1(1,2,2)n = ． 显然，2(1,0,0)n = 为平面ABD 的法向量． 设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值 121212||1 cos |cos ,|3 ||||n n n n n n θ?=<>==? ． 44、(广东省四校联合体第一次联考)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点. （1）求证：AB 1//面BDC 1； （2）求二面角C 1—BD —C 的余弦值； （3）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得 CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论. （1）连接B 1C ，交BC 1于点O ，则O 为B 1C 的中点， ∵D 为AC 中点 ∴OD ∥B 1A 又B 1A ?平面BDC 1，OD ?平面BDC 1 ∴B 1A ∥平面BDC 1 （2）∵AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，AA 1∥CC 1 ∴CC 1⊥面ABC 则BC ⊥平面AC 1，CC 1⊥AC 如图建系 则C 1(3,0,0) B(0,0,2) D(0,1,0) C(0,0,0) F E D C B A G F D E C B A ∴)2,0,3(C )0,1,3(C 11-=-= 设平面C 1DB 的法向量为)z ,y ,x (= 则)3,6,2(-= 又平面BDC 的法向量为)0,0,3(CC 1= ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值：cos 7 2| n ||C C |,C 111= = ?? （Ⅲ）设P(h,2,0) 则)0,2,h (CP = 若CP ⊥面BDC 1 则// 即（h,2,0）=λ(2,-6,3) 此时λ不存在 ∴在侧棱AA 1上不存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1 45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD = 2 π ，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) . (1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ； (2) 若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大 值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值. 解:（1）（法一）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面 E B ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z 。…………………………………………… 1分 则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0， 0）…………2分 BD = （－2，2，2），EG = （2，2，0）…………………………………………………3分 BD EG ?= （－2，2，2） （2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥ ……………………………4分 （法二）作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，……………1分 F E D C B A y D A 由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ?平面EBCF ，故EG ⊥DH 。 又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ， BH ?DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，………………… 3分 而BD ?平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。………………… 4分 （或者直接利用三垂线定理得出结果） （2）∵AD ∥面BFC ， 所以 ()f x =V A-BFC ＝13 BFC s AE ＝13 1 2 4 (4-x) x 2288 (2)333 x =--+≤………………………………………………………………………7分 即2x =时()f x 有最大值为8 3 。…………………………………………………………8分 （3）（法一）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z = ，∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2）， F （0，3，0）,∴(2,3,0),BF =- BD = （－2，2， 2）, ………………………………9分 则 1100 n BD n BF ?=??=?? ， 即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=?? -=? ，2220230 x y z x y -++=??-+=? 取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n = 面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n = ……………………………12分 则cos<12,n n >=1212|||| n n n n = …………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C ……………14分 （法二）作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM 。 由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角。…………………………9分 由△HMF ∽△EBF ，知 HM HF ＝BE BF ，而HF=1，BE=2 ，BF ，∴HM 2 又DH ＝2， ∴在Rt △HMD 中，tan ∠ DMH=- DH HM 因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH ………………………………13分 而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角， H _E M F D B A G 故二面角D-BF-C 的余弦值为－ 14 ………………………………14分 46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图，在Rt AOB △中， π 6 OAB ∠=，斜边4AB =． Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在斜边AB 上。 （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所 成角的大小； （III ）（理）求CD 与平面AOB 所成角的最大值。 （文）当D 为AB 的中点时，求CD 与平面AOB 所成的角。 解：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又 二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O = ， CO ∴⊥平面AOB ，又CO ?平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．……4分 （II ）解法一：作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． 在Rt COE △中，2CO BO ==，1 12 OE BO = =，CE ∴= 又1 2DE AO = =∴在Rt CDE △中，tan 3CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan 3 ．……8分 解法二：建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D ， 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1（2019北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°； 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g. A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2． 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为 A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512 2016年高考数学文试题分类汇编 立体几何 一、选择题 1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 （A ）12+π33 （B ）1+π33 （C ）1+π36 （D ）1+π6 2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ） 【答案】B 4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互 相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 5、（2016年全国I 卷高考）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A B C （D ）13 【答案】A 6、（2016年全国II卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） （A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 【答案】C 7、（2016年全国III卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A）18+（B）54+（C）90 （D）81 【答案】B 8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面αβ ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C （一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27- （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 2018年数学高考题分类汇编之立体几何 1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 2．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4．【2018年新课标I卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 5．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 6．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 7．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. A B. B C. C D. D 8．【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 9．【2018年天津卷文】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为 __________． 10．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________． 历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题） 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥历年高考数学试题分类汇编
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