[考试标准]
考点一开普勒行星运动定律
1.第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在这些椭圆的一个焦点上.
2.第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.
3.第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.其表
达式为a3
T2＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个对所有行星都相同的常量.
[思维深化]
判断下列说法是否正确.
(1)开普勒定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动.(×)
(2)行星离太阳较近时，运动速率比较快，行星离太阳比较远时运动速率比较慢.(√)
(3)离太阳越远的行星，周期越长.(√)
(4)地球绕太阳运动的k值与月球绕地球运动的k值相同.(×)
1.[对开普勒定律的理解]关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是()
A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C.离太阳越近的行星的运动周期越长
D.所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 答案 D
解析 所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，但不是同一轨道，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A 、B 错；所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，离太阳越近的行星，其运动周期越短，故C 项错，D 项对.
2.[对开普勒第三定律的理解及k 值的认识](多选)关于开普勒行星运动的公式R 3
T 2＝k ，以下理
解正确的是( ) A.k 是一个与行星无关的量
B.若地球绕太阳运动轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运动轨道的半长轴为R 月，周期为T 月，则R 3地T 2地＝R 3月T 2月
C.T 表示行星运动的自转周期
D.T 表示行星运动的公转周期 答案 AD
解析 R 3
T 2＝k 是指围绕太阳的行星或者围绕某一行星的卫星的周期与半径的关系，T 是公转
周期，k 是一个与环绕星体无关的量，只与被环绕的中心天体有关，中心天体不同，其值不同，只有围绕同一天体运动的行星或卫星，它们半长轴的三次方与公转周期的二次方之比才是同一常数，故R 3地T 2地≠R 3月T 2月
.
3.[开普勒定律的简单应用](多选)根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论有( ) A.人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上 B.卫星离地球越远，速率越小 C.卫星离地球越远，周期越大
D.同一卫星绕不同的行星运行，r 3
T 2的值都相同
答案 ABC
解析 由开普勒三定律知A 、B 、C 均正确，注意开普勒第三定律成立的条件是对同一行星的不同卫星，有r 3
T
2＝常量.
开普勒行星运动定律的理解
1.开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转.
2.中学阶段一般把行星运动看成匀速圆周运动，太阳处在圆心，开普勒第三定律a 3
T 2＝k 中的
a 可看成行星的轨道半径R .
3.表达式a 3
T 2＝k 中的常数k 只与中心天体的质量有关.如研究行星绕太阳运动时，常数k 只与
太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k 只与地球的质量有关.
考点二 万有引力定律的理解
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.
2.表达式：F ＝G m 1m 2
r 2
G 为引力常量：G ＝6.67×10－11
N·m 2/kg 2.
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离. [思维深化]
判断下列说法是否正确.
(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F ＝G m 1m 2
r 2决定，其方向总是指向地心.( √ )
(2)只有天体之间才存在万有引力.( × )
(3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G Mm
R 2计算物体间的万有
引力.( × )
(4)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大.( × )
4.[对万有引力定律的理解]地球半径为R ，一物体在地球表面受到的万有引力为F ，若高空某处受到的万有引力为F
3，则该处距地面的高度为( )
A.3
2R B.(3－1)R C.3R D.3R 答案 B
5.[万有引力定律的简单应用]地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之
间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为( ) A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1 答案 C
解析 设月球质量为m ，则地球质量为81m ，地月间距离为r ，飞行器质量为m 0，当飞行器距月球为r ′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G mm 0r ′2＝G 81mm 0(r －r ′)2，所以r －r ′r ′＝9，r ＝10r ′，r ′∶r ＝1∶10，故选项C 正确.
6.[万有引力和重力的关系]设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g ，则g
g 0为( )
A.1
B.19
C.14
D.1
16
答案 D
解析 地球表面的重力加速度和在离地心4R 处的重力加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以在地面上：G Mm
R 2＝mg 0①
离地心4R 处：G Mm
(4R )2＝mg ②
解①②两式得g g 0＝(R 4R )2＝1
16
.
7.[万有引力与平抛的结合]某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h 处平抛一物体，射程为60 m ，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为( ) A.10 m B.15 m C.90 m D.360 m 答案 A
解析 由平抛运动公式可知，射程x ＝v 0t ＝v 0
2h g ，即v 0、h 相同的条件下x ∝1
g
.又由g ＝GM
R 2，可得g 星g 地＝M 星M 地(R 地R 星)2＝91×(21)2＝361，所以x 星x 地＝g 地g 星＝16
，得x 星＝10 m ，选项A 正确.
万有引力的三点理解
1.万有引力定律适用于两质点，质量均匀的球体可以看成质量集中于球心的质点，如求地球对卫星的万有引力时，r 指卫星至地心的距离，即r ＝R ＋h ，R 为地球半径.
2.在地球表面万有引力近似等于重力，即GMm R 2＝mg ，所以地球表面重力加速度g ＝GM
R
2；而
在距地面高h 处的重力加速度g ＝GM
(R ＋h )2
.
3.万有引力定律和自由落体、平抛运动的结合点是星球表面的重力加速度g ，g ＝GM
R
2.
考点三 万有引力定律的应用
1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2r T
2. (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表面的
重力加速度).
2.天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2
G ，
天体密度ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3g
4πGR
.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .
①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3
GT 2；
②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3πr 3
GT 2R 3
.
3.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
规律???????
G Mm r
2
＝(r ＝R 地
＋h )??????????m v 2
r
→v ＝ GM r →v ∝1
r
mω2
r →ω＝ GM r 3
→ω∝
1r
3
m 4π2T 2
r →T ＝ 4π2r 3
GM →T ∝r 3
ma →a ＝GM r 2→a ∝1r
2
越高越慢mg ＝GMm R
2
地
(近地时)→GM ＝gR 2
地
8.[天体质量的估算]已知地球绕太阳公转周期为T ，公转半径为r ，万有引力常量为G ，则由此可求出( ) A.地球的质量 B.太阳的质量 C.地球的密度 D.太阳的密度
答案 B
9.[卫星运动参量的比较]2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射，如图1所示.在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图1
A.20颗小卫星的轨道半径均相同
B.20颗小卫星的线速度大小均相同
C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同
D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同 答案 C
10.[卫星运动参量的比较]据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速率分别为v 1和v 2.那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) A.19
18 B. 19
18
C. 1819
D.1819
答案 C
解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G Mm
(r ＋h )2＝m v 2r ＋h ，那么卫星的线速度跟
其轨道半径的平方根成反比，则有v 1v 2＝
r ＋h 2
r ＋h 1
＝ 1819
. 11.[中心天体质量的求解]过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1
20
，该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A.1
10 B.1 C.5 D.10 答案 B
解析 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3
GT 2，所以恒星质量与太阳
质量之比为M 恒M 太＝r 3行T 2地 r 3地T 2行
＝(120)3×(365
4)2≈1，故选项B 正确.
应用万有引力定律时注意的问题
1.估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.
(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝4
3
πR 3中的R 只能是中心天体的半径.
2.运动参量a 、v 、ω、T 均与卫星质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定.所有参量的比较，最终归结到半径的比较.
考点四 宇宙航行
1.三个宇宙速度 (1)第一宇宙速度
v 1＝7.9 km/s ，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度. (2)第二宇宙速度
v 2＝11.2 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度. (3)第三宇宙速度
v 3＝16.7 km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度. 2.第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 2
1
R 得v 1＝
GM
R
＝7.9×103 m/s. 方法二：由mg ＝m v 2
1R 得
v 1＝gR ＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2π
R
g
＝5 075 s ≈85 min.
3.宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动. (2)7.9 km /s (4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间. [思维深化] 判断下列说法是否正确. (1)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度.( × ) (2)第一宇宙速度的大小与地球质量有关.( √ ) (3)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s.( × ) (4)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度.( √ ) (5)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行.( √ ) 12.[对宇宙速度的理解]下列关于绕地球运行的卫星的运行速度的说法中正确的是( ) A.一定等于7.9 km/s B.一定小于7.9 km/s C.大于或等于7.9 km /s ，而小于11.2 km/s D.只需大于7.9 km/s 答案 B 解析 卫星在绕地球运行时，万有引力提供向心力，由此可得v ＝ GM r ，所以轨道半径r 越大，卫星的环绕速度越小，实际的卫星轨道半径大于地球半径R ，所以环绕速度一定小于第一宇宙速度，即v <7.9 km/s.而C 选项是发射人造地球卫星的速度范围. 13.[第一宇宙速度的求解]天文学家近日在银河系发现一颗全新的星球——“超级地球”.它的半径是地球的2.3倍，而质量却是地球的17倍，科学家们认为这颗星球可能是由岩石组成.它的发现将有助于探索地球之外是否存在生命.这颗“超级地球”的第一宇宙速度约为( ) A.3 km /s B.15 km/s C.21 km /s D.28 km/s 答案 C 解析 在地球上第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：G Mm R 2＝m v 2 R 可得地球的第一宇宙速度v ＝ GM R ＝7.9 km/s. 据此关系知，超级地球的第一宇宙速度v ′＝ GM ′ R ′ ＝G ·17M 2.3R ≈2.72×7.9 km /s ≈21.5 km/s ，故C 正确，A 、B 、D 错误. 14.[对同步卫星的认识]关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( ) A.若其质量加倍，则轨道半径也要加倍 B.它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播 C.它以第一宇宙速度运行 D.它运行的角速度与地球自转角速度相同 答案 D 解析 由G Mm r 2＝m v 2r 得r ＝GM v 2，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错；同步卫星的轨道平 面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错；所谓“同步”就是卫星保持与地面赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 对. 15.[第一宇宙速度的理解和求解]宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面(设月球半径为R ).据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( ) A.2Rh t B.2Rh t C.Rh t D.Rh 2t 答案 B 解析 设月球表面的重力加速度为g ′，由物体“自由落体”可得h ＝1 2g ′t 2，飞船在月球 表面附近做匀速圆周运动可得G Mm R 2＝m v 2R ，在月球表面附近mg ′＝GMm R 2，联立得v ＝2Rh t ， 故B 正确. 对第一宇宙速度及同步卫星的认识 1.由第一宇宙速度的表达式v ＝ GM R ＝gR 可以看出：第一宇宙速度由中心天体的质量和半径或由天体表面的重力加速度和天体的半径决定. 2.同步卫星的六个“一定” 练出高分 基础巩固题组 1.关于行星的运动，根据开普勒观测记录得出下列结果，正确的是( ) A.行星绕太阳做匀速圆周运动 B.在公式R 3 T 2＝k 中，R 是行星中心到太阳中心的距离 C.在公式R 3 T 2＝k 中，k 是跟行星和太阳均有关的常量 D.以上三项均错误 答案 D 解析 根据开普勒第一定律可得，行星绕太阳做椭圆运动，选项A 错误；R 3 T 2＝k 中的R 为椭 圆轨道的半长轴，选项B 错误；公式中的k 只与中心天体有关，与行星无关，C 错误，D 正确. 2.甲、乙两星球的平均密度相等，半径之比是R 甲∶R 乙＝4∶1，则同一物体在这两个星球表面受到的重力之比是( ) A.1∶1 B.4∶1 C.1∶16 D.1∶64 答案 B 解析 由G Mm R 2＝mg 得g 甲∶g 乙＝M 甲R 2乙∶M 乙R 2甲，而M ＝ρ·4 3πR 3.可以推得G 甲∶G 乙＝g 甲∶ g 乙＝R 甲∶R 乙＝4∶1. 3.火箭在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则火箭离地面的高度与地球半径之比为( ) A.(2＋1)∶1 B.(2－1)∶1 C.2∶1 D.1∶ 2 答案 B 解析 设地球的半径为R ，火箭离地面高度为h ，所以F 空＝GMm (R ＋h )2，F 地＝GMm R 2，其中F 空＝12F 地，因此h R ＝2－11 ，B 项正确. 4.“嫦娥一号”和“嫦娥二号”月球探测卫星的圆形绕月轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km.当它们在绕月轨道上运行时，两者相比，“嫦娥二号”的( ) A.周期较小 B.线速度较小 C.角速度较小 D.向心加速度较小 答案 A 5.某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R 1，乙的轨道半径为R 2，R 2>R 1.根据以上信息可知( ) A.甲的质量大于乙的质量 B.甲的周期大于乙的周期 C.甲的速率大于乙的速率 D.甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力 答案 C 6.“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常量为G ，半径为R 的球体体积公式为V ＝4 3πR 3，则可估算月球的( ) A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期 答案 A 解析 “嫦娥二号”在月球表面做匀速圆周运动，已知周期T ，有G Mm R 2＝m 4π2 T 2R ，故无法求 出月球半径R 及质量M ，但结合球体体积公式可估算出月球的密度，选项A 正确. 7.如果我们能测出月球表面的重力加速度g 、月球的半径R 和月球绕地球运转的周期T ，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了.已知引力常量为G ，用M 表示月球的质量，则下列各式正确的是( ) A.M ＝gR 2 G B.M ＝GR 2 g C.M ＝4π2R 3 GT 2 D.M ＝T 2R 3 2G 答案 A 8.当卫星绕地球运动的轨道半径为R 时，线速度为v ，周期为T .下列情形符合物理规律的是( ) A.若卫星轨道半径从R 变为2R ，则卫星运动周期从T 变为2T B.若卫星轨道半径从R 变为2R ，则卫星运行线速度从v 变为v 2 C.若卫星运行周期从T 变为8T ，则卫星轨道半径从R 变为4R D.若卫星运行线速度从v 变为v 2，则卫星运行周期从T 变为4T 答案 C 解析 由T ＝2π r 3 GM 知，卫星轨道半径变为原来的2倍时，周期变为原来的22倍，卫星轨道半径变为原来的4倍时，周期变为原来的8倍，A 错误，C 正确.由v ＝ GM r 知，卫星轨道半径变为原来的2倍时，速度变为原来的 2 2 ，卫星轨道半径变为原来的4倍时，速度变为原来的1 2 ，周期变为原来的8倍，B 、D 错误. 9.假设地球质量不变，而地球半径增大到原来的2倍，那么从地球上发射人造卫星的第一宇宙速度变为原来的( ) A.2倍 B.22 C.1 2 D.2倍 答案 B 10.a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 的轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图1所示，下列说法中正确的是( ) 图1 A.a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度 B.b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度 C.a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度 D.a 、c 存在P 点相撞的危险 答案 A 解析 由G Mm r 2＝m v 2 r ＝mω2 r ＝m 4π2T 2r ＝ma 可知，选项A 正确，B 、C 错误；因a 、c 的轨道 半径相同，周期相同，只要图示时刻不撞，以后就不可能相撞了. 11.如图2，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( ) 图2 A.v 1v 2 ＝r 2r 1 B.v 1v 2 ＝r 1r 2 C.v 1v 2＝(r 2r 1)2 D.v 1v 2＝(r 1r 2 )2 答案 A 解析 由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据G Mm r 2＝ m v 2 r ，得v ＝ GM r ，所以v 1v 2 ＝r 2 r 1 ，故A 正确，B 、C 、D 错误. 12.如图3，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) 图3 A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大 答案 A 解析 由万有引力提供向心力得G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2 r ＝ma ＝m 4π2T 2r ，变形得：a ＝GM r 2，v ＝ GM r ，ω＝ GM r 3 ，T ＝2π r 3 GM ，只有周期T 和M 成减函数关系，而a 、v 、ω和M 成增函数关系，故选A. 能力提升题组 13.据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍.已知近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G .则该行星的平均密度为 ( ) A.3πGT 2 B.π3T 2 C.3πb aGT 2 D.3πa bGT 2 答案 C 解析 万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力G M 地m R 2＝m 4π2R T 2，且ρ地＝3M 地4πR 3，由以上 两式得ρ地＝3πGT 2.而ρ星ρ地＝M 星V 地V 星M 地＝b a ，因而ρ星＝3πb aGT 2. 14.研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大 C.线速度变大 D.角速度变大 答案 A 解析 地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大.由GMm (R ＋h )2＝m 4π2 T 2(R ＋h )，得h ＝ 3GMT 2 4π2 －R ，T 变大，h 变大，A 正确. 由GMm r 2＝ma ，得a ＝GM r 2，r 增大，a 减小，B 错误. 由GMm r 2＝m v 2 r ，得v ＝ GM r ，r 增大，v 减小，C 错误. 由ω＝2π T 可知，角速度减小，D 错误. 万有引力与航天单元测试题 一、选择题 1．关于日心说被人们接受的原因是( ) A．太阳总是从东面升起，从西面落下 B．若以地球为中心来研究的运动有很多无法解决的问题 C．若以太阳为中心许多问题都可以解决，对行星的描述也变得简单 D．地球是围绕太阳运转的 2．有关开普勒关于行星运动的描述，下列说法中正确的是( ) A．所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有的行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．不同的行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的 3．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是( ) A．只适用于天体，不适用于地面物体 B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体 C．只适用于质点，不适用于实际物体D．适用于自然界中任意两个物体之间 4．已知万有引力常量G，要计算地球的质量还需要知道某些数据，现在给出下列各组数据,可以计算出地球质量的是( ) A．地球公转的周期及半径B．月球绕地球运行的周期和运行的半径 C．人造卫星绕地球运行的周期和速率D．地球半径和同步卫星离地面的高度 5．人造地球卫星由于受大气阻力，轨道半径逐渐变小，则线速度和周期变化情况是( ) A．速度减小，周期增大，动能减小B．速度减小，周期减小，动能减小 C．速度增大，周期增大，动能增大D．速度增大，周期减小，动能增大 6．一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( ) A．6倍B．4倍C．25/9倍D．12倍 7．假如一个做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍仍做圆周运动，则( ) 第六章 万有引力与航天（复习设计） ★新课标要求 1、理解万有引力定律的内容和公式。 2、掌握万有引力定律的适用条件。 3、了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性 ③宏观性 4、掌握对天体运动的分析。 ★复习重点 万有引力定律在天体运动问题中的应用 ★教学难点 宇宙速度、人造卫星的运动 ★教学方法：复习提问、讲练结合。 ★教学过程 （一）投影全章知识脉络，构建知识体系 （二）本章要点综述 1、开普勒行星运动定律 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即： 3 2a k T = 比值k 是一个与行星无关的常量。 2、万有引力定律 （1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式： 122m m F G r =，1122 6.6710/G N m kg -=?? （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用。 周期定律 开普勒行星运动定律 轨道定律 面积定律 发现 万有引力定律 表述 G 的测定 天体质量的计算 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度 应用 万有引力定律 （1）基本方法： ①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：2 22Mm v G m m r r r ω== ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：2M g G R =，R 为天体半径。 （2）天体质量，密度的估算。 测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2 224Mm G m r r T π=得被环绕天体的质量 为2324r M GT π=，密度为3 22 3M r V GT R πρ==，R 为被环绕天体的半径。 当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则2 3GT π ρ=。 （3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。 ①由2 2Mm v G m r r =得v =∴r 越大，v 越小 ②由2 2 Mm G m r r ω=得ω=∴r 越大，ω越小 ③由2224Mm G m r r T π=得T =∴r 越大，T 越大 （4）三种宇宙速度 ①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。 ②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。 ③第三宇宙速度：v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。 （三）本章专题剖析 1、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 2 22?? ? ??=π 得2 324GT r M π= 又ρπ?=3 3 4R M 得3 233R GT r πρ= 【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太 空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。试计算土星的质量和平均密度。 解析：设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M . “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆 第4章曲线运动万有引力与航天 一、选择题(本大题共15小题) 1．一个物体受到恒定的合力作用而做曲线运动，则下列说法正确的是 A．物体的速率可能不变 B．物体一定做匀变速曲线运动，且速率一定增大 C．物体可能做匀速圆周运动 D．物体受到的合力与速度的夹角一定越来越小，但总不可能为零 2．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图1所示．关于物体的运动，下列说法正确的是 图1 A．物体做曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小是50 m/s D．物体运动的初速度大小是10 m/s 3．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是 A．增大α角，增大船速v B．减小α角，增大船速v C．减小α角，保持船速v不变 D．增大α角，保持船速v不变 4．(2011·上海市闸北调研)质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图2所示，下列说法正确的是 图2 A ．质点的初速度为5 m/s B ．质点所受的合外力为3 N C ．质点初速度的方向与合外力方向垂直 D ．2 s 末质点速度大小为6 m/s 5．如图3所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为 图3 A.r 1ω1r 3 B.r 3ω1 r 1 C. r 3ω1r 2 D.r 1ω1 r 2 6．如图4所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O.现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力．则F 图4 A ．一定是拉力 B ．一定是推力 C ．一定等于0 D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0 《万有引力与航天》测试题 一、选择题（每小题4分，全对得4分，部分对的得2分，有错的得0分，共48分。） 1.第一次通过实验比较准确的测出引力常量的科学家是（ ） A ． 牛顿 B ． 伽利略 C ．胡克 D ． 卡文迪许 2.如图1所示a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ） A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度； B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度； C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ； D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径变小，其线速度将变大 3.宇宙飞船为了要与“和平号“轨道空间站对接，应该：（ ） A.在离地球较低的轨道上加速 B.在离地球较高的轨道上加速 C.在与空间站同一高度轨道上加速 D.不论什么轨道，只要加速就行 4、 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火， 使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（ ） A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速度大于它在轨道2 上经过Q 点时的速度。 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 b a c 地球 图1 上经过P 点时的加速度 5、 宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是 （ ） A.宇航员仍受重力的作用 B.宇航员受力平衡 C.宇航员受的重力正好充当向心力 D.宇航员不受任何作用力 6.某星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球表面从某一高度以10 m/s 的初 速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为（g 地=10 m/s 2 ）（ ） A ．1s B ． 91s C ．18 1 s D ． 36 1 s 7.假如地球自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是（ ） A 放在赤道地面上的万有引力不变 B 放在两极地面上的物体的重力不变 C 放在赤道地面上物体的重力减小 D 放在两极地面上的物体的重力增加 8、设想把质量为m 的物体放在地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ） A.零 B.无穷大 C.2 GMm R D.无法确定 9.对于质量m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式12 2m m F G r ，下列说法正确的是 （ ） 和m 2所受引力总是大小相等的 B 当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力无穷大 C.当有第三个物体m 3放入之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大 D.所受的引力性质可能相同，也可能不同 10地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上物 体“飘” 起来，则地球的转速应为原来转速的（ ） 万有引力与航天专题 复习 Revised on November 25, 2020 万有引力与航天 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。 例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） 年 年 年 年 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正 比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 3 2a k T =2Mm F G r =1122 6.6710/G N m kg -=??12 2m m F G r =2R Mm G mg = 第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2 成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?= 专题： 万有引力与航天 1．内容： 2．公式：F ＝ ，其中G ＝ N·m 2 /kg 2 ，叫引力常量． 3．适用条件： 宇宙 速度 数值(km/s) 意 义 第一宇宙速度 卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9 km/s ≤ v <11.2 km/s ，物体绕 运行(环绕速度) gR R GM v == 1 第二宇宙速度 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s ≤v <16.7 km/s ， 物体绕 运行(脱离速度) gR R GM v v 22212== = 第三宇 宙速度 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s，物体将脱离 在宇宙空间运行(逃逸速度) 1．轨道平面一定：轨道平面与 共面．2．周期一定：与 周期相同，即T ＝24 h. 3．角速度一定：与 的角速度相同． 4．高度一定：由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 2 4π 2－R . ≈×107 m 5．速率一定：v ＝ GM R ＋h 6. 向心加速度大小一定()h R T v a n +?? ? ??==2 2πω 万有引力定律应用的基本方法： (1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供． “万能”连等式：G Mm r 2＝ma n =m v 2r ＝mω2r ＝m (2πT )2r ＝m (2πf )2 r （2）不考虑中心天体的自转。 黄金代换式： mg R GMm =2 （表面）， () /2mg h R GMm =+（h 高处） 考向一：天体的质量M 、密度ρ的估算 （1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由G Mm r 2＝m (2πT )2 r ，可得 天体质量为：M ＝4π2r 3 GT 2. 该中心天体密度为：ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3πr 3 GT 2R 3 （R 为中心天体的半径）． 当卫星沿中心天体表面运行时，r ＝R ，则ρ＝ 3π GT 2 . （2）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 《万有引力与航天》单元测试 一、选择题 1.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系就是v 2＝2v 1、已知某星球的半径为r ,它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的1 6 ,不计其她星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为( ) A 、gr B 、 16 gr C 、 1 3 gr D 、13gr 解析:由题意v 1＝g ′r ＝ 1 6 gr ,v 2＝2v 1＝ 1 3 gr ,所以C 项正确. 答案:C 2.太阳能电池就是将太阳能通过特殊的半导体材料转化为电能,在能量的利用中,它有许多优点,但也存在着一些问题,如受到季节、昼夜及阴晴等气象条件的限制.为了能尽量地解决这些问题,可设想把太阳能电池送到太空中并通过一定的方式让地面上的固定接收站接收电能,太阳能电池应该置于( ) A.地球的同步卫星轨道 B.地球大气层上的任一处 C.地球与月亮的引力平衡点 D.地球与太阳的引力平衡点 解析:太阳能电池必须与地面固定接收站相对静止,即与地球的自转同步. 答案:A 3.据媒体报道,“嫦娥”一号卫星绕月工作轨道为圆轨道,轨道距月球表面的高度为200 km,运行周期为127 min 、若要求出月球的质量,除上述信息外,只需要再知道( ) A.引力常量与“嫦娥”一号的质量 B.引力常量与月球对“嫦娥”一号的吸引力 C.引力常量与地球表面的重力加速度 D.引力常量与月球表面的重力加速度 解析:对“嫦娥”一号有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h ),月球的质量为M ＝4π2GT 2(R ＋h )3,在月球表面g ＝G M R 2,故选项D 正确. 答案:D 4.地球同步卫星轨道半径约为地球半径的6、6倍,设月球密度与地球相同,则绕月心在月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为( ) A.1 h B.1、4 h C.6、6 h D.24 h 解析:因月球密度与地球的相同,根据ρ＝m 4πR 3/3,可知m 地m 月＝R 3 地R 3月 ,又 Gm 地m 卫 (6、6R 地)2＝m 卫4π2T 2卫×6、6R 地,Gm 月m 探R 2 月＝m 探4π2 T 2探R 月,已知T 卫＝24 h,联立解得T 探≈1、4 h 、 答案:B 5、 万有引力与航天 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。 例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） A.3年 B.9年 C.27年 D.81年 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法： 在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g 方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度） 例4.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表 面，小球落地时的速度大小为V . 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。 例5. 2017年1月23日，我国首颗1米分辨率C 频段多极化合成孔径雷达(SAS)卫星“高分三号”正式投入使用，某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t 扫过的弧长为L ，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是（ ） A. 卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为 B. 卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为 3 2a k T =2Mm F G r =1122 6.6710/G N m kg -=??1 22m m F G r =2R Mm G mg =2''''''R m M G mg =mg R Mm G =2334R M πρ?=2R Mm G mg = 2021届高三物理一轮复习力学万有引力与航天万有引力的计算专题练习 一、填空题 1．两行星的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只要万有引力作用，那么这两个行星的向心加速度之比是多少？ 2．已知地球质量为M ，从半径为R ，万有引力恒量为G 。一颗质量为m 的人造卫星，在地面发射架上受到地球的万有引力为_______；当此卫星被发射至距地面5R 的高处绕地球运行，它受到地球的万有引力是在发射架上时的_____倍。 3．已知地球半径为R ，质量为M ，自转周期为T .一个质量为m 的物体放在赤道处的海平面上，则物体受到的万有引力F ＝______，重力G ＝______. 4．两个质量都是1 kg 的物体(可看成质点)＝相距1 m 时，两物体间的万有引力F ＝________ N ，一个物体的重力F ′＝________ N ，万有引力F 与重力F ′的比值为________.(已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，重力加速度g ＝10 m/s 2). 5．两颗人造地球卫星，它们的质量之比m 1:m 2=1:3，它们的轨道半径之比r 1:r 2=1:2，那么它们所受的向心力之比F 1:F 2= ______ ；它们的角速度之比ω1:ω2= ______ ＝ 6．某物体在地球表面上受到地球对它的引力大小为960N ，为使此物体受到的引力减至60N ，物体距地面的高度应为_____R＝＝R 为地球的半径） 7．氢原子由一个质子和一个电子组成，质子的质量为电子的1836倍，电子质量为319.110kg -?.则质子和电子相距1010m -的万有引力为_______N. 8．根据万有引力公式F =122m m G r ，若只是两物体间的距离变为原来的2倍，它们间的引力将变为原来的____倍；若只是每个物理的质量均变为原来的2倍，引力将变为_____倍。 9．月球中心与地球中心之间的距离约为地球半径的60倍，两者质量之比:1:81M M =地月．由地球飞往月球的火箭飞到离月球的距离=___________ R 地时，火箭中的人感到不受“重力”作用． 10．已知地球半径为R ，将一物体从地面移到离地面高h 处，物体所受万有引力大小减小为原来的四分之一，则h =________（用R 表示）。 11．人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小．在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (选填“减小”或“增大”)，其做圆周运动的速度将 (选填“减小”或“增大”)． 12．两个物体的质量分别是m 1、 m 2,当它们相距为r 时,它们间的引力是F ,则1.当m 1增大为2m 1,m 2增大为3m 2,其他条件不变,则引力为__________F; 2.当r 增大为2r ,其他条件不变,则引力为__________F; 3.当m 1、m 2、r 最新高考物理万有引力与航天真题汇编(含答案) 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ． （1）求静止轨道卫星的角速度ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1； （3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由． 【答案】（1）2π=T ω；（2）2 3124GMT h R π （3）h 1= h 2 【解析】 【分析】 （1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度； （2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】 （1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=T ω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：2 1 212π=()()()Mm G m R h R h T ++ 解得：2 312 =4π GMT h R （3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，2 2 222=()()()Mm G m R h R h T π++ 解得：2 322 4GMT h R π 因此h 1= h 2． 故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π （3）h 1= h 2 【点睛】 对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量． 2．宇航员在某星球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h .已知该星球的半径为R ，且物体只受该星球的引力作用.求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度. 【答案】(1)2 02v h (2) 2v R h 【解析】 本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算． (1) 设该星球表面的重力加速度为g ′，物体做竖直上抛运动，则2 02v g h =' 解得，该星球表面的重力加速度20 2v g h '= (2) 卫星贴近星球表面运行，则2 v mg m R '= 解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度2R v g R v h = =' 3．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R ，引力 万有引力与航天知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 332T=2. GM GM GM r M v a G r r r ωπ=== ， ， ，万有引力定律复习提纲 一. 万有引力定律： ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们 之间的距离r 的二次方成反比。即： 其中G =6. 67×10 －11 N ·m 2/kg 2 ②适用条件 1.可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。2.质量分布均匀两球体间，r 为两球体球心间距离。 ③运用万有引力与重力的关系：重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力： 1.地球对其表面物体的万有引力产生两个效果： （1）物体随地球自转的向心力： F 向 =m ·R ·（2π/T 0）2，很小。 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。 （2）重力约等于万有引力：在赤道处：mg F F +=向，所以R m R GMm F F mg 22 自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m R GMm 22 自 ω>>，所以2R GM g =。 说明：如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。 在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即2 )('h R GM g += 。 强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。 2.绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。 即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向 =mg ∴g =a 向=G ·M /R 2 三. 天体运动： 1. 开普勒行星运动规律： （1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 （2）对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。 （3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。其表达式为：k T R =2 3 ，其 中R 是椭圆轨道的半长轴，T 是行星绕太阳公转的周期，其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。。 2. 基本问题是研究星体（包括人造星体）在万有引力作用下做匀速圆周运动。 基本方法：将天体运动理想化为匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供。即： G ·M ·m /r 2=m ·v 2/r =m ·ω2·r =m ·（2π/T ）2·r 3. 绕行中心星体的运动的快慢与绕行半径的关系： r 越大，v 越小，ω越小，a 越小，T 越大。 4. 中心天体质量M 和密度ρ的估算： 测量卫星绕天体匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由G ·M ·m /r 2=m ·r ·（2π/T ）2得M =4 π2?r 3/G ?T 2再测量天体的半径，得到ρ=M /V =M /（34π?R 3）=4π2?r 3/（G ?T 2?3 4π?R 3）=3π?r 3/（G ?T 2?R 3） 若卫星绕天体表面圆周运动，则：ρ=3π/（G ?T 2） 5．计算重力加速度 122 m m F G r =2 R Mm G mg =Mm G mg = 高考物理万有引力与航天练习题及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L （这时月球表面可以看作是平坦的），已知月球半径为R ，万有引力常量为G ，求： （1）月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月； （2）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？ （3）当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少? 【答案】（1）22 02 2hV R M GL =（2 3 ）T = 【解析】 【详解】 （1）由平抛运动的规律可得： 2 12 h gt = 0L v t = 2022hv g L = 由 2 GMm mg R = 2202 2hv R M GL = （2） 1v = ==（3）万有引力提供向心力，则 () ()2 2 2GMm m R H T R H π??=+ ??? + 解得： T = 2．宇航员在某星球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h .已知该星球的半径为R ，且物体只受该星球的引力作用.求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度. 【答案】(1) 2 0 2 v h (2) 02 v R h 【解析】 本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算． (1) 设该星球表面的重力加速度为g′，物体做竖直上抛运动，则2 2 v g h =' 解得，该星球表面的重力加速度 2 2 v g h '= (2) 卫星贴近星球表面运行，则 2 v mg m R '= 解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度 02 R v g R v h == ' 3．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为．不考虑其它星体对飞船的影响，求： （1）月球的平均密度是多少？ （2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？ 【答案】（1） 2 2 192n Gt π ；（2）123 7 mt t m n （，，） ==? 【解析】 试题分析：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期： 38 t T n =，由万有引力提供向心力有： 2 2 2 Mm G m R R T π ?? = ? ?? 又：3 4 3 M R ρπ =，联立得： 2 22 3 3192n GT Gt ππ ρ==． 高考物理力学知识点之万有引力与航天知识点总复习附答案(6) 一、选择题 1．2017年6月19日，“中星9A ”卫星在西昌顺利发射升空。卫星变轨如图所示，卫星先沿椭圆轨道Ⅰ飞行，后在远地点Q 改变速度成功变轨进入地球同步轨道Ⅱ，P 点为椭圆轨道近地点。下列说法正确的是（ ） A ．卫星在椭圆轨道Ⅰ运行时，在P 点的速度等于在Q 点的速度 B ．卫星在椭圆轨道Ⅰ的Q 点加速度大于在同步轨道Ⅱ的Q 点的加速度 C ．卫星在椭圆轨道Ⅰ的Q 点速度小于在同步轨道Ⅱ的Q 点的速度 D ．卫星耗尽燃料后，在微小阻力的作用下，机械能减小，轨道半径变小，动能变小 2．在地球同步轨道上等间距布置三颗地球同步通讯卫星，就可以让地球赤道上任意两位置间实现无线电通讯，现在地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6．6倍。假设将来地球的自转周期变小，但仍要仅用三颗地球同步卫星实现上述目的，则地球自转的最小周期约为 A ．5小时 B ．4小时 C ．6小时 D ．3小时 3．如图为中国月球探测工程的形象标志，象征着探测月球的终极梦想。假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，地球的总质量仍大于月球的总质量，月球仍按原轨道运行，则以下说法中正确的是（ ） A ．月地之间的万有引力将变大 B ．月球绕地球运动的周期将变小 C ．月球绕地球运动的向心加速度将变大 D ．月球表面的重力加速度将变小 4．2015年7月25日，我国发射的新一代北斗导航卫星，全部使用国产微处理器芯片（CPU ），圆了航天人的“中国芯”之梦，该卫星在圆形轨道运行速度v 满足（ ） A ．v ＜7.9 km/s B ．7.9 km/s ＜v ＜11.2 km/s C ．11.2 km/s ＜v ＜16.7 km/s D ．v ＞16.7 km/s 5．设想把质量为m 的物体放置地球的中心，地球质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ） A ．零 B ．无穷大 C ．2Mm G R D ．无法确定 6．太空——110轨道康复者”可以对卫星在太空中补充能源，使卫星的寿命延长10年或更 万有引力与航天测试题1 （时间 60分钟 满分 100分） 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．下列说法符合史实的是 （ ） A ．牛顿发现了行星的运动规律 B ．开普勒发现了万有引力定律 C ．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量 D ．牛顿发现了海王星和冥王星 2．下列说法正确的是 （ ） A ．第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度 B ．第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度 C ．如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点 D ．地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的 3．关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是 （ ） A ． 轨道半径越大，速度越小，周期越长 B ． 轨道半径越大，速度越大，周期越短 C ． 轨道半径越大，速度越大，周期越长 D ． 轨道半径越小，速度越小，周期越长 4．两颗质量之比4:1 :21=m m 的人造地球卫星，只在万有引力的作用之下，环绕地球运转。如 果它们的轨道半径之比1:2:21=r r ，那么它们的动能之比21:k k E E 为 （ ） A ． 8：1 B ． 1：8 C ． 2：1 D ． 1：2 5．科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背 面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定 （ ） A ．这颗行星的公转周期与地球相等 B ．这颗行星的半径等于地球的半径 C ．这颗行星的密度等于地球的密度 D ．这颗行星上同样存在着生命 6．关于开普勒行星运动的公式23 T R ＝k ，以下理解正确的是 （ ） A ．k 是一个与行星无关的常量 B ．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运转轨道的长半轴 为R 月，周期为T 月，则2323月月地地 T R T R = C ．T 表示行星运动的自转周期 D ．T 表示行星运动的公转周期 7．若已知行星绕太阳公转的半径为r ，公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出 （ ） A ．某行星的质量 B ．太阳的质量 C ．某行星的密度 D ．太阳的密度 8．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M 地（引力常量G 为已知） （ ） A ．月球绕地球运动的周期T 及月球到地球中心的距离R 1 学科老师个性化教案 教师学生姓名上课日期10-28 学科物理年级高三教材版本人教版 学案主题万有引力 课时数量 （全程或具体时间） 第（5）课时授课时段19-21 教学目标 教学内容 万有引力和航天 个性化学习问 题解决 结合孩子的进度设计 教学重点、 难点 高考重难点 教学过程 万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密（欧多克斯、亚里士多德） 内容；地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳，月亮以及其他行星都绕地球运动。 2、“日心说”的内容及代表人物：哥白尼（布鲁诺被烧死、伽利略） 内容；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律： v v 远 近 开普勒第三定律：K—与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系： 33 3 222 ===...... a a a T T T 水 火 地 地水 火 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 K T R =2 3 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝ ' 2r Mm F ∝ 2r Mm G F = 2、表达式：2 2 1r m m G F = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。 4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。 5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质心间的距离。 6、推导：2224mM G m R R T π= ? 322 4R GM T π = 四、万有引力定律的两个重要推论 1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。 2、在匀质球体内部距离球心r 处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。 五、黄金代换 若已知星球表面的重力加速度g 和星球半径R ，忽略自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物 体的重力，有2Mm G mg R =所以2gR M G = 其中2 GM gR =是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为黄金替换。 导出：对于同一中心天体附近空间内有22 11 22GM g R g R ==，即：2 12221 g R g R = 环绕星体做圆周运动的向心加速度就是该点的重力加速度。 六；双星系统 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。 设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： M 1： 22 12111112 1 M M v G M M r L r ω== M 2： 22 1222222 22 M M v G M M r L r ω== M 1 M 2 ω1 ω2 L r 1 r 2万有引力与航天试题附答案
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