第五章 方差分析
5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：
121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命
2i X (,)(1,2,3)i N i μσ= 。 解：
一、 手工计算过程：
1.计算平方和
其检验假设为：H 0：，H 1：。
2.假设检验：
所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
3.对于各组之间的均值进行检验。
对于各组之间的均值进行检验有LSD-t 检验和q 检验。SPSS 选取LSD 检验（最小显著差t 检验），原理如下：
其检验假设为：H 0：，H 1：。
6
.615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4
.216)3.28108.15(*4*))(1()(832
429.59*14*))(1()(2221
22
1
21
22
222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r
i i i i A r
i i i r
i i
i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684
.170333
.188
.30712/4.2162/6.615)/()1/(===--=
r n S r S F e A 89
.3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
方法为：首先计算拒绝H 0，接受H 1所需样本均数差值的最小值，即LSD
（the least significant difference ，LSD ）。然后各对比组的与相
应的LSD 比较，只要对比组的大于或等于LSD ，即拒绝H 0，接受H 1；否
则，得到相反的推断结论。 LSD-t 检验通过计算各对比组的与其标准误之比值是否达到t 检验的界
值
)()
11(|
|2
1B r N t n n MS x x B
A e A -≥+--α
由此推算出最小显著差LSD ，而不必计算每一对比组的t 值
)11(
)(||2
1B B
A e A n n MS r N t x x LSD +-≥-=-α 如果两对比组的样本含量相同，即时，则
n
MS r N t x x LSD e
A 2)(||2
1B -≥-=-α 的置信区间为：B A μμ-
）（n
MS r N t x x e A 2)(||21B -±--α
则本题中
686.25
033
.18*22==n
MS e 852.5686.2*1788.2686.2*)12(2
)(975.012
===--t n
MS r N t e
α
所以的置信区间21μμ-为：
（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452） 同理可得的置信区间为：3132
,μμμμ--
（-20.252，-8.548），（-7.652，4.052）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（1.8<5.852）。而甲
和乙之间(12.6>5.852)，乙和丙之间(14.4>5.852)有显著差异(显著水平为0.05)。
二、 SPSS 软件计算结果： 1.方差齐性检验 方差齐性检验结果
寿命
从表中可以看出，Levene 统计量为1.735,P 值为0.218>0.05,说明各水平之间的方差齐。即方差相等的假设成立。
2.计算样本均值和样本方差。（可用计算器计算）
描述性统计量
寿命
3.
厂显著相关。
4.方差分析表 单因素方差分析表
寿命
从表中可以看出，F 值为17.068,P 值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
5.最小显著性差异法（LSD ）结果
Multiple Comparisons
Dependent Variable: 寿命 LSD
(I) 工厂 (J) 工厂 Mean
Difference (I-J) 标准差 Sig.
95% 置信区间
下限
上限 1 2 12.600(*)
2.686 .001 6.75 18.45 3 -1.800 2.686 .515 -7.65 4.05 2 1 -12.600(*) 2.686 .001 -18.45 -6.75 3 -14.400(*)
2.686 .000 -20.25 -8.55 3 1 1.800 2.686 .515 -4.05 7.65
2
14.400(*)
2.686
.000
8.55
20.25
* The mean difference is significant at the .05 level.
从表中可以看出12μμ-的置信区间为：
（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452）
同理可得1323,μμμμ--的置信区间为：
（-7.652，4.052），（-20.252，-8.548）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（sig=0.515）。而甲和乙之间(sig=0.001)，乙和丙之间(sig=0.000)有显著差异(显著水平为0.05)。
5.4一位老师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的15位学生，把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法。过一段时
学生成绩服从方差相等的正态分布。 解：
一、手工计算结果 1.计算平方和
其检验原假设为：H 0：μμμ==乙甲丙 2.假设检验：
所以拒绝原假设，即认为学生成绩和教学方法显著相关。 二、软件结果
1.首先检验方差是否齐，如下表：
Test of Homogeneity of Variances
成绩
2222
221
1
2
21
()(1)(*)604.933()(1)(*)852.800
()()1457.733
T ij r
r
e ij i i i
i i i i r
A i i i i S X X ns n s S X X n S n S S X X n X X ====-==-==-==-==-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑/(1)604.933/2302.467
4.256
/()852.800/1271.067
A e S r F S n r -=
===-89
.3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
从上表可以看出，P值为0.908>0.05,说明三个样本方差齐。
2.进行方差分析如下表：
ANOVA
成绩
P值为0.04> 0.1,F0.9.(2,12)=2.81<4.256,拒绝原假设，说明三种教学方法有显著差异。
3.进一步分析有下表，
Multiple Comparisons
Dependent Variable: 成绩
(I) 方法(J) 方法
Mean
Difference
(I-J) Std. Error Sig.
95% Confidence Interval
Upper Bound Lower Bound
Tukey HSD 1 2 -15.400(*) 5.332 .034 -29.62 -1.18
3 -5.800 5.332 .539 -20.02 8.42
2 1 15.400(*) 5.332 .034 1.18 29.62
3 9.600 5.332 .211 -4.62 23.82
3 1 5.800 5.332 .539 -8.42 20.02
2 -9.600 5.332 .211 -23.82 4.62 Scheffe 1 2 -15.400(*) 5.332 .042 -30.26 -.54
3 -5.800 5.332 .569 -20.66 9.06
2 1 15.400(*) 5.332 .042 .54 30.26
3 9.600 5.332 .238 -5.26 24.46
3 1 5.800 5.332 .569 -9.06 20.66
2 -9.600 5.332 .238 -24.46 5.26 LSD 1 2 -15.400(*) 5.332 .014 -27.02 -3.78
3 -5.800 5.332 .298 -17.42 5.82
2 1 15.400(*) 5.332 .014 3.78 27.02
3 9.600 5.332 .097 -2.02 21.22
3 1 5.800 5.332 .298 -5.82 17.42
2 -9.600 5.332 .097 -21.22 2.02 * The mean difference is significant at the .05 level.
从上表可以看出，甲方法和乙方法在显著水平0.05下有显著差异（P值＝
0.034<0.05）,而甲方法和丙方法，乙方法和丙方法之间没有显著差异
5.8为了考察蒸馏水的PH值与硫酸铜溶液的浓度（单位：%）对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，作了12次不同的试验，得试验结果（白蛋白与球蛋白之比）
响？这里假定数据来自方差相等的正态总体。（假定不存在相互作用）
解：
一、手工计算结果：
为了方便和提高计算精度，记
01ph=5.40ph=5.60ph=5.70ph=5.8002=0.04=0.08=0.1011
11
2
11
2
2
2A 12
1::T T 7.769
1T 5.289
1T s
i i ij
j r j j ij
i r s
ij
i j r s
ij i j T r i i s B j j H H s X X r X X T rs X X W X T S W rs
T S s rs S r μμμμμμμ??=??=====?=?==============-==-==∑∑∑∑∑∑∑∑浓度浓度浓度原假设为：
则有：
2A 01A A 02B B 2.222
0.258S /(1)F (1,(1)(1))
/(1)(1)S /(1)
F (1,(1)(1))
/(1)(1)
e T B e e T rs S S S S H r F r r s S r s H s F s r s S r s -==--=-=------=
----- 当成立时，
当成立时，本题中：r=4,s=3
0.990.99F(酸度)＝41＞9.78,F(含量)＝25.84＞10.9,所以拒绝原假设。此结果说明在显著水平1％下，ph 值和浓度对蛋白比有显著影响 二、SPSS 输出结果
组间效应检验
Dependent Variable: 白蛋白和球蛋白之比
a R Squared = .967 (Adjusted R Squared = .939)
从表中可以看出，因素PH值的检验统计量F的观测值为40.948，检验的概率p值为0.000，小于0.01，拒绝零假设，可以认为PH值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。因素浓度值的检验统计量F的观测值为25.800，检验的概率p值为0.001，小于0.01，拒绝零假设，可以认为浓度值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。
第10章 单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本 的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT 异常人和正常人进行载脂蛋白 (mg ／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 组别（B ） 载脂蛋白测定 糖尿病(1) 85.7 105.2 109.5 96.0 115.2 95.3 110.0 100.0 125.6 111.0 106.5 96.0 124.5 105.1 76.4 95.3 110.0 95.2 99.0 120.0 144.0 117.0 110.0 109.0 103.0 123.0 127.0 121.0 159.0 115.0 IGT 异常(2) 正常人(3) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS 数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS ／Win(v8)系统，单击Solutions －Analysis －Analyst ，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name —Sasuser-0neway4—0K ，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A ，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A —Dependent 。自变量(1ndependent)： B(3种人的组别)，单击B —Independent 。 图10.1 0ne —way ANOV A ：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests 按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F —检验)选项 中可进行如下设置。 Analysis of variance ，方差分析。 Welch ’s variance-weighted ANOV A ，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance ，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett ’s test ，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test ，布朗—福塞斯检验。 Levene ’s test ，列文检验。本例以上都选。
《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业 参考答案 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第五章 方差分析 课后习题参考答案 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：() 3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =??? ? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.70112 112 11=???? ??-???? ??=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7 .137=-=A T e S S S 当 H 成立时， ()() ()r n r F r n S r S F e A ----= ,1~/1/ 本题中r=3 查表得 ()()35 .327,2,195.01==---F r n r F α且F=>，在95%的置信度下，拒绝原假 设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程
组建效应检验 Dependent Variable: 存活日数a 70.429235.215 6.903 .004 137.73727 5.101 208.167 29 方差来源菌型误差总和 平方和自由度 均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289) a. 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 工厂 寿命（小时） 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙 39 40 43 50 50 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3) i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
单因素方差分析 单因素方差分析也称作一维方差分析。它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。One-Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应该使用非参数分析过程。如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Repeated Measure过程。 [例子] 调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表5-1所示。 表5-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数 数据保存在“DATA5-1.SAV”文件中，变量格式如图5-1。 图5-1 分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。
1）准备分析数据 在数据编辑窗口中输入数据。建立因变量“幼虫”和因素水平变量“品种”，然后输入对应的数值，如图5-1所示。或者打开已存在的数据文件“DATA5-1.SAV”。 2）启动分析过程 点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“Compare Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Way ANOVA”项，系统 打开单因素方差分析设置窗口如图5-2。 图5-2 单因素方差分析窗口 3）设置分析变量 因变量:选择一个或多个因子变量进入“Dependent List”框中。本例选择“幼虫”。 因素变量:选择一个因素变量进入“Factor”框中。本例选择“品种”。 4）设置多项式比较
单击“Contrasts”按钮，将打开如图5-3所示的对话框。该对话框用于设置均值的多项式比较。 图5-3 “Contrasts”对话框 定义多项式的步骤为： 均值的多项式比较是包括两个或更多个均值的比较。例如图5-3中显示的是要求计算“1.1×mean1-1×mean2”的值，检验的假设H0：第一组均值的1.1倍与第二组的均值相等。单因素方差分析的“0ne-Way ANOVA”过程允许进行高达5次的均值多项式比较。多项式的系数需要由读者自己根据研究的需要输入。具体的操作步骤如下： ① 选中“Polynomial”复选项，该操作激活其右面的“Degree”参数框。 ② 单击Degree参数框右面的向下箭头展开阶次菜单，可以选择“Linear”线性、“Quadratic”二次、“Cubic”三次、“4th”四次、“5th”五次多项式。 ③ 为多项式指定各组均值的系数。方法是在“Coefficients”框中输入一个系数，单击Add按钮，“Coefficients”框中的系数进入下面的方框中。依次输入各组均值的系数，在方形显示框中形成—列数值。因素变量分为几组，输入几个系数，多出的无意义。如果多项式中只包括第一组与第四组的均值的系数，必须把第二个、第三个系数输入为0值。如果只包括第一组与第二组的均值，则只需要输入前两个系数，第三、四个系数可以不输入。 可以同时建立多个多项式。一个多项式的一组系数输入结束，激话“Next”按钮，单击该按钮后“Coefficients”框中清空，准备接受下一组系数数据。
方差分析练习 1、 一家管理咨询公司为不同的客户进行人力资源管理讲座。每次讲座的内容基本上是 一样的，但讲座的听课者有时是高级管理者，有时是中级管理者，有时是低级管理者。该咨询公司认为，不同层次的管理者对两座的满意度是不同的。对听完讲座后随机抽取的不同层次管理者的满意度评分如下（评分标准是从1～10，10代表非常满意）。取显著性水平05.0=α，检验管理者的水平不同是否会导致评分的显著性 差异。 2、 某家电制造公司准备购进一批5#电池，现有A 、B 、C 三个电池生产企业愿意供货， 为比较它们生产的电池质量，从每个企业各随机抽取5只电池，经试验得其寿命（单位：h ）数据如下。试分析三个企业生产的电池的平均寿命之间有无显著差异（α=005.）。如果有差异，试用多重比较检验哪些企业之间有差异？ 3、 一家产品制造公司管理者想比较A 、B 、C 三种不同的培训方式对产品组装时间的多 少是否有显著影响，将20名新员工随机分配给每种培训方式。在培训结束后，参加培训的员工组装一件产品所花的时间（单位：min ）如下。取显著性水平05.0=α，确定不同培训方式对产品组装的时间是否有显著影响。 4、一家汽车制造商准备购进一批轮胎。考虑的因素主要有轮胎供应商和耐磨程度。为了对磨损程度进行测试，分别在低速（40km/h ）、中速（80km/h ）、高速（120km/h ）下进行测试。下表是对5家供应商抽取的轮胎随机样本在轮胎使用1000km 后磨损程度。取显著性水平01.0=α，检验：
（1） 用单因素方差分析分析不同车速对磨损程度是否有显著影响。 （2） 用单因素方差分析分析不同供应商生产的轮胎之间磨损程度是否有显著差异； （3） 用双因素方差分析分析这两个因素是否显著，与前面的分析是否有矛盾，为什么会产生这这种矛盾？ 5．一家超市连锁店的老板进行一项研究，确定超市所在的位置和竞争者的数量对销售额是否有显著影响。获得的月销售额数据（单位：万元）见下表。取显著性水平01.0=α，检验： （1） 竞争者的数量对销售额是否有显著影响。 （2） 超市的位置对销售额是否有显著影响。 （3）竞争者的数量和超市的位置对销售额是否有交互影响。 6．为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获得的销售量数据见下表。检验广告方案、广告媒体或其交互作用对销售量的影响是否显著。（α=005.）
第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. < 第十章习题 10.1 H0:三个总体均值之间没有显著差异。 H1: 三个总体均值之间有显著差异。 答：方差分析可以看到，由于P=0.1078>0.01,所以接受原假设H0。说明了三个总体均值之间没有显著差异。 10.2 H0:五个个总体均值之间相等。 H1: 五个总体均值之间不相等。 答：方差分析可以看到，由于P=1.02E-05<0.01,所以拒接原假设H0。说明了五个总体均值之间不相等。 10.3 H0:四台机器的装填量相等。 H1: 四台机器的装填量不相等 答：方差分析可以看到，由于P=0.00068<0.01,所以拒接原假设H0。说明了四台机器装填 10.4 H0:不同层次管理者的满意度没有差异。 H1: 不同层次管理者的满意度有差异. 答：方差分析可以看到，由于P=0.000849<0.05,所以拒接原假设H0。说明了不同层次管理者的满意度有差异。 10.5 H0：3个企业生产的电池平均寿命之间没有显著差异。 H1: 3个企业生产的电池平均寿命之间有显著差异 单因素方差分析 平方和df 均方 F 显著性组间615.600 2 307.800 17.068 .000 组内216.400 12 18.033 总数832.000 14 答：方差分析可以看到，由于P=0.00031<0.01,所以拒接原假设H0。说明了不同3个企业生产的电池平均寿命之间有显著差异。 通过SPSS分析（1,2,3代表A,B,C公司），通过显著性对比可知道A和B以及B和C 公司有差异。 10.6 H0：不同培训方式对产品组装的时间没有显著影响。 H1: 不同培训方式对产品组装的时间没有显著影响。 答：方差分析可以看到，由于P=0.00196<0.05,所以拒接原假设H0。说明了不同培训方式对产品组装的时间没有显著影响。 10.8 第十章 方差分析 一、单项选择题： 1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。 A.总离差平方和 B.组间离差平方和 C.抽样误差 D.组内离差平方和 2.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.因素B 的离差平方和 3.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.总方差 4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。 A.k ，n B.k ，n-k C.k-1，n-k D.n-k ，k-1 5.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。 A.费雪 B.皮尔逊 C.泰勒 D.凯特勒 6.组间离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 7.组内离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 9.单因素方差分析的零假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 10.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ） （>，则统计推论是（ ）。 第五章 方差分析 课后习题参考答案 5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =???? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.7011 2 11211=???? ??-???? ??=∑∑∑ ∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7.137=-=A T e S S S 当 0H 成立时， ()()()r n r F r n S r S F e A --- -= ,1~/1/ 本题中r=3 经过计算，得方差分析表如下： 查表得 ()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原 假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3)i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 3.对于各组之间的均值进行检验。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α 第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1. Ｃ 2. Ｂ 3. Ａ 4. Ｂ 5. Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6. Ａ 7. Ｄ 8. Ｄ 9. Ａ 10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ· ··k μ> Ｃ. < 第10章方差分析与试验设计 三、选择题 1.Ｃ 2.Ｂ 3.Ａ 4.Ｂ 5.Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断（）。 Ａ.各总体是否存在方差 Ｂ.各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ.分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ.分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是（）。 Ａ.组间平方和除以组内平方和Ｂ.组间均方除以组内均方 Ｃ.组间平方除以总平方和Ｄ.组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.随机误差Ｂ.非随机误差Ｃ.系统误差Ｄ.非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.组内误差Ｂ.组间误差Ｃ.组内平方Ｄ.组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.Ａ 7.Ｄ8.Ｄ9.Ａ10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定（）。 Ａ.每个总体都服从正态分布Ｂ.各总体的方差相等 Ｃ.观测值是独立的Ｄ.各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是0:=···= ，备择假设是（） 12 k Ａ.1:12···kＢ.1:12···k Ｃ. 1:···kＤ.1:1,2,···,k不全相等 12 9.单因素方差分析是指只涉及（）。 Ａ.一个分类型自变量Ｂ.一个数值型自变量 Ｃ.两个分类型自变量Ｄ.两个数值型因变量 10.双因素方差分析涉及（）。 Ａ.两个分类型自变量Ｂ.两个数值型自变量 Ｃ.两个分类型因变量Ｄ.两个数值型因变量 11.Ｂ12.Ｃ 第10章方差分析 适用：多个均值是否相等的检验(分类数据与数值型数据) 10.1 方差分析引论 例消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当纠纷发生后，消费者通常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了一些企业作为样本。其中零售业7家、旅游业6家、航空公司5家、家电制造业5家。每个行业所抽取的这些企业，假定他们在服务对象、服务内容、企业规模等方面基本相同。然后统计最近一年中消费者对这23家企业的投诉次数，结果如下表： 消费者协会想了解这几个行业之间的服务质量是否有显著性差异。 10.1.1 分析 服务质量 显著性差异 ↓ ↓ 投诉次数 均值不相等 转化为数学表达： 01234:H μμμμ=== 没有显著性差异 1:H 上面的等式不全相等 有显著性差异 一般假设检验的解决方法： 121314232434 ,,,,,μμμμμμμμμμμμ====== 更好的方法：方差分析 没有显著性差异?不同的行业服务质量一样，行业对服务质量没有显著影响 有显著性差异 不同的行业服务质量不一样，行业对服务质量有显著影响 从行业对服务质量影响的角度来分析平均服务质量的差异问题 术语: 因素：一个独立的随机变量，是方差分析研究的对象————企业所属行业类型 水平：因素的内容————各个行业: 零售业、旅游业、航空公司、家电制造 10.1.3 方差分析的原理： 1 观察值之间差异的原因 A 由于选取样本的随机性引起的差异 B 由于因素中的不同水平形成的差异——系统性差异(行业不同,服务质量不同) 2 水平内部与水平之间差异的类型 A 水平内部的差异只包含随机性差异 (同行业企业服务质量的差异) B 水平之间的差异既包含随机性差异又包含系统性差异 统计学教案习题05方 差分析 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。 （3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想 方差分析（analysis of variance ，ANOVA ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x x n k i i i -∑= ， 组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ????-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。 第五章 方差分析 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3)i N i μσ= 。 解： 一、 手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H 0：，H 1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 3.对于各组之间的均值进行检验。 对于各组之间的均值进行检验有LSD-t 检验和q 检验。SPSS 选取LSD 检验（最小显著差t 检验），原理如下： 其检验假设为：H 0：，H 1：。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α 方法为：首先计算拒绝H 0，接受H 1所需样本均数差值的最小值，即LSD （the least significant difference ，LSD ）。然后各对比组的与相 应的LSD 比较，只要对比组的大于或等于LSD ，即拒绝H 0，接受H 1；否 则，得到相反的推断结论。 LSD-t 检验通过计算各对比组的与其标准误之比值是否达到t 检验的界 值 )() 11(| |2 1B r N t n n MS x x B A e A -≥+--α 由此推算出最小显著差LSD ，而不必计算每一对比组的t 值 )11( )(||2 1B B A e A n n MS r N t x x LSD +-≥-=-α 如果两对比组的样本含量相同，即时，则 n MS r N t x x LSD e A 2)(||2 1B -≥-=-α 的置信区间为：B A μμ- ）（n MS r N t x x e A 2)(||21B -±--α 则本题中 686.25 033 .18*22==n MS e 852.5686.2*1788.2686.2*)12(2 )(975.012 ===--t n MS r N t e α 第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。 （3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想 方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组 间 ）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间= 21 )(x x n k i i i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ? ???-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。 （3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。其大小可用全体数据的方差表示， 也称总均方(MS 总 )。按方差的计算方法，MS 总= 总总ν/SS ，其中SS 总=211 )(∑∑==-k i n j ij i x x , k 为处理组数，i n 为第i 组例数，总ν=N -1为总的自由度， N 表示总例数。 （二）方差分析的应用条件 （1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。 （2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。 第五章方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。 （3）方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1．基本思想 方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映 第10章单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。 图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。 Analysis of variance，方差分析。 Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett’s test，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test，布朗—福塞斯检验。 Levene’s test，列文检验。本例以上都选。 方差分析练习 1、 一家管理咨询公司为不同的客户进行人力资源管理讲座。每次讲座的内容基本上是 一样的，但讲座的听课者有时是高级管理者，有时是中级管理者，有时是低级管理者。该咨询公司认为，不同层次的管理者对两座的满意度是不同的。对听完讲座后随机抽取的不同层次管理者的满意度评分如下（评分标准是从1～10，10代表非常满意）。取显著性水平05.0=α，检验管理者的水平不同是否会导致评分的显著性差异。 2、 3、 4、 5、 6、 7、 ( 8、 某家电制造公司准备购进一批5#电池，现有A 、B 、C 三个电池生产企业愿意供货， 为比较它们生产的电池质量，从每个企业各随机抽取5只电池，经试验得其寿命（单位：h ）数据如下。试分析三个企业生产的电池的平均寿命之间有无显著差异（α=005.）。如果有差异，试用多重比较检验哪些企业之间有差异 . 9、 一家产品制造公司管理者想比较A 、B 、C 三种不同的培训方式对产品组装时间的多 少是否有显著影响，将20名新员工随机分配给每种培训方式。在培训结束后，参加培训的员工组装一件产品所花的时间（单位：min ）如下。取显著性水平05.0=α，确定不同培训方式对产品组装的时间是否有显著影响。 } 4、一家汽车制造商准备购进一批轮胎。考虑的因素主要有轮胎供应商和耐磨程度。为了对磨损程度进行测试，分别在低速（40km/h ）、中速（80km/h ）、高速（120km/h ）下进行测试。下表是对5家供应商抽取的轮胎随机样本在轮胎使用1000km 后磨损程度。取显著性水平01.0=α，检验： （1） 用单因素方差分析分析不同车速对磨损程度是否有显著影响。 （2） 用单因素方差分析分析不同供应商生产的轮胎之间磨损程度是否有显著差异； （3） 用双因素方差分析分析这两个因素是否显著，与前面的分析是否有矛盾，为什么 5．一家超市连锁店的老板进行一项研究，确定超市所在的位置和竞争者的数量对销售额是 否有显著影响。获得的月销售额数据（单位：万元）见下表。取显著性水平01.0=α，检验： （1） 竞争者的数量对销售额是否有显著影响。 （2） 超市的位置对销售额是否有显著影响。 / 6．为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获得的销售量数据见下表。检验广告方案、广告媒体或其交互统计学(贾俊平版)第十章答案解析
统计学第十章(方差分析)
《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案详解
第10章__方差分析与试验设计
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