等价关系（4学时）
【教学目的】
了解、掌握等价关系及相应的等价类与集合划分的基本概念及例子
【教学要求】
正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；给定A上的等价关系R，会求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分；反之给定集合
A上的划分π，求对应于π的等价关系
【教学重点】
等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明；
【教学难点】
如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系
【教学方法】
讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
【教学手段】
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
【课型】新授课
教学过程
4.1一种特殊的二元关系——等价关系(Equivalence Relation).
一、等价关系(Equivalence Relation)
1、定义4.18 设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的, 则称R为A 上的等价关系.设R是一个等价关系, 若
例4.17 设A = { 1, 2, …, 8 }, 如下定义A上的关系R:
R = {
其中x≡y（mod 3）是x与y模3.
不难验证R为A上的等价关系, 因为:
?x∈A , 有: x≡x（mod 3）
?x,y∈A, 若x≡y（mod 3）, 则有: y≡x （mod 3）
?x,y,z∈A, 若x≡y（mod 3）, y≡z（mod 3）, 则有: x≡z.（mod 3）
该关系的关系图如右图所示.
不难看到, 上述关系图被分为三个互不连通的部分.每部分中的数两两都有关系.不同部分中的数则没有关系, 每一部分中的所有的顶点构成一个等价类.
4.2等价关系与划分
2、定义4.19 设R为非空集合A上的等价关系, ?x∈A, 令
[x]R = { y | y∈A∧xRy }
称[x]R为x关于R的等价类(Equivalent Class), 简称为x的等价类, 简记为[x]. 从以上定义可以知道, x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合.
例4.17中的等价类是:
[1] = [4] = [7] = { 1, 4, 7 }
[2] = [5] = [8] = { 2, 5, 8 }
[3] = [6] = { 3, 6 }
关于等价类，有如下性质：
定理4.8 设R为非空集合A上的等价关系, 则
(1) ?x∈A, [x]是A的非空子集;
(2) ?x,y∈A, 若
(3) ?x,y∈A, 若
(4) ∪{ [x] | x∈A } = A.
证(1) 由等价类的定义可知, ?x∈A, 有: [x] ? A.
由“等价关系的自反性”可知: x∈[x], 即: [x]非空.
(2) 任取z, 则有
z∈[x] →
因此有
→
从而证明了z∈[y].综合上述, 必有: [x] ? [y].
同理可证: [x] ? [y].这就得到了: [x] = [y].
(3) 假设: [x]∩[y]≠φ.
由假设可知: ?z∈[x]∩[y], 即: z∈[x]∧z∈[y].
所以,
由“R的对称性”和“
再由R的对称性可得:
这就与“已知条件:
所以, 命题成立, 即: [x]∩[y] = φ.
(4) 先证: ∪{ [x] | x∈A } ? A
证:
(4.1) 任取y,
y∈∪{ [x] | x∈A }
??x(x∈A∧y∈[x])
? y∈A
从而有: ∪{ [x] | x∈A } ?A
再证: A ?∪{ [x] | x∈A }.
(4.2) 任取y,
y∈A ? y∈[y]∧y∈A
? y∈∪{ [x] | x∈A }
从而有: A?∪{ [x] | x∈A }成立.
综合上述得: ∪{ [x] | x∈A } = A.
3、定义4.20 设R为非空集合A上的等价关系, R所有等价类所组成集合称为A关于R的
商集, 记作A/R, 即: A/R ＝{[x]R |（一切x∈A）}
例4.17中的商集为: { {1, 4, 7 }, { 2, 5, 8 }, { 3, 6 } }.
和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分.
定义7.18 设A为非空集合, 若A的子集族π(π? P(A)), 是A的子集构成的集合)满足下面的条件: (1) φ?π
(2) ?x?y(x, yπ∈∧x ≠ y ? x∩y = φ)
(3) ∪π = A
则称π是A的划分(Partition), 称π中的元素为A的划分块.
例7.17 设A = { a, b, c, d }, 给定π1, π2, π3, π4, π5和π6, 如下:
π1 = { { a, b, c }, { d } }
π2 = { { a, b }, { c }, { d } }
π3 = { { a }, { a, b, c, d } }
π4 = { { a, b }, { c } }
π5 = { φ, { a, b }, { c, d } }
π6 = { { a, { a } }, { b, c, d } }
解答：π1是A的划分; π2是A的划分
不是A的划分, π3中的子集中有公共元素a; 不是A的划分, ∪π4 ≠ A
不是A的划分, π5中含有空集; 不是A的划分, π6根本不是A的子集族
商集是A的一个划分, 并且不同的商集将对应于不同的划分.任给A的一个划分π, 定义A 上的关系R如下:
R = {
不难证明: R为A上的等价关系, 且该等价关系所确定的商集就是π, 因此, A上的等价关系与A的划分是一一对应的.
即给定集合A上的一个等价关系R，由R可以唯一产生集合A的一个划分π＝A/R，
反之，对集合A的任一划分π＝{A1,A2,…,A k}，可唯一对应集合A上的一等价关系R
＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（A k×A k）。
例4.20 给出A = { 1, 2, 3 }上所有的等价关系.
解如下图, 先做出A的所有划分.
这些划分与A上的等价关系之间的一一对应是: π1对应全域关系EA, π5对应恒等关系IA, π2, π3和π4分别对应于等价关系R2, R3和R4, 其中:
R2 = { <2, 3>, <3, 2> } U IA
R3 = { <1, 3>, <3, 1> } U IA
R4 = { <1, 2>, <2, 1> } U IA
【教学目的】
了解偏序关系的基本概念及例子；给定A上的偏序关系≤，画出偏序集的哈斯图，反之给定偏序集
【教学要求】
掌握偏序关系的有关基本概念；理解和判断偏序关系的八种特殊元素。
【教学重点】
偏序关系的各种性质的判断和证明；
【教学难点】
如何正确的理解和判断偏序关系的八种特殊元素。
【教学方法】
讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
【教学手段】
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
【课型】新授课
教学过程
课题导入
下面介绍另一种重要的关系——偏序关系.
定义4.22 设R为非空集合A上的关系.如果R是自反的、反对称的和传递的, 则称R为A 上的偏序关系, 记作≤.
设为偏序关系, 如果
注意: 这里的“小于或等于”不是指数的大小, 而是在偏序关系中的顺序性.
x“小于或等于”y的含义是: 依照这个序, x排在y的前边或者x就是y.
不同偏序的定义有不同的序解释.
例如整除关系是偏序关系, 3 ≤ 6的含义是3整除6;大于或等于关系也是偏序关系, 针对这个关系写5 ≤ 4是说大于或等于关系中5排在4的前边, 也就是5比4大.
定义4.23 设R为非空集合A上的偏序关系, 定义
(1) ?x, y∈A, x < y ? x ≤ y∧x≠y;
(2) ?x, y∈A, x与y可比? x ≤ y∨y ≤ x.
其中: x < y读作x“小于”y.这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边.
有以上两个定义可知: 在具有偏序关系的集合A中任取两个元素x和y, 可能有下述几种情况发生:
x 例如: A = { 1, 2, 3 }, ≤是A上的整除关系, 则有: 1 < 2, 1 < 3, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 2和3不可比. 定义4.24 设R 为非空集合A 上的偏序关系, 如果R 是反自反的、反对称的和传递的, 则称R 为A 上的拟序关系，简称为拟序，记作< 定义4.25 设R 为非空集合A 上的偏序关系, 如果x, y ∈A, x 与y 都是可比的, 则称R 为A 上的全序关系(或线序关系). 例如: 数集上的小于等于关系是全序关系, 因为任何两个数总是可比大小的. 一般来说, 整除关系不是全序关系.如: 集合{ 1, 2, 3 }上的整除关系就不是全序关系, 因为2和3不可整除. 定义7.22 集合A 和A 上的偏序关系一起叫做偏序集, 记作 例如: 整数集合Z 和数的小于等于关系≤构成偏序集 利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可简化偏序关系的关系图, 该关系图称为哈斯图(Hasse Diagram). 为了说明哈斯图的画法, 先定义偏序集中顶点之间的覆盖关系. 定义7.23 设 例如: { 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系, 有2覆盖1, 4和6都覆盖2.但, 4不覆盖1, 因为有1<2<4, 6也不覆盖4, 因为4<6不成立. 在画偏序集 若x 对于A 中的两个不同元素x 和y, 如果y 覆盖x, 就用一条线段连接x 和y. 例4.22 画出偏序集<{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R 整除>和 例4.23 已知偏序集 {a } {a,b } ф {b } {a,b,c } {b,c } {c } {a,c } A = { a, b, c, d, e, f, g, h } R = { 下面考虑偏序集中的一些特殊元素. 定义4.28 设 (1) 若?x(x∈B→y≤x)成立, 则称y为B的最小元; (2) 若?x(x∈B→x≤y)成立, 则称y为B的最大元; (3) 若?x(x∈B∧x≤y→x=y)成立, 则称y为B的极小元; (4) 若?x(x∈B∧y≤x→x=y)成立, 则称y为B的极大元. 从以上定义可以看出: 最小元与极小元是不一样的. 最小元是B中最小的元素, 它与B中其它元素都可比; 极小元不一定与B中元素都可比, 只要没有比它小的元素, 它就是极小元. 对于有穷集B, 极小元一定存在, 而且还可能有多个. 最小元不一定存在, 若存在, 则它一定是唯一的. 若B中只有一个极小元, 则它一定是B的最小元. 类似的, 极大元与最大元也有这种区别. 例7.21 设偏序集 解极小元: a, b, c, g. : a, f, h. . , 哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元. 定义7.25 设 (1) 若?x(x∈B→x≤y)成立, 则称y为B的上界; (2) 若?x(x∈B→y≤x)成立, 则称y为B的下界; (3) 令C = { y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界或上确界; (4) 令D = { y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界或下确界; 由上面定义可知: B的最小元一定是B的下界, 同时也是B的最大下界; B的最大元一定是B的上界, 同时也是B的最小上界. 反过来不一定正确, B的下界不一定是B的最小元, 因为它可能不是B中的元素, B的上界也不一定是B的最大元. B的上界, 下界, 最小上界, 最大下界都可能不存在.如果存在, 最小上界与最大下界是唯一的. 4良序集 若 系， “≤”是良序关系?“≤”是全序关系?“≤”是偏序关系。 【教学目的】 熟练掌握函数的基本概念，函数的复合运算，逆运算的计算 【教学要求】 给定f是从集合A到B的二元关系，判断f是否为从A到B的函数f：A→B，若 是，要能用按定义证明法证明f：A→B是否为单射，满射，双射；熟练掌握函数 的复合运算，逆运算的计算 【教学重点】 函数的各种性质的判断和证明； 【教学难点】 如何正确地判断三种特殊函数 【教学方法】 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 【教学手段】 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 【课型】新授课 教学过程 函数(Function)是一种特殊的二元关系. 5.1 函数的定义与性质 定义5.1 设f为二元关系, 若?x∈domf, 都存在唯一的y∈ranf, 使xfy成立, 则称f为函数(或映射). 对于函数f, 如果有xfy, 则记作y=f(x), 并称y为f在x的值. 由于函数是集合, 可用集合相等来定义函数的相等. 定义5.2 设F和G为函数, 则, F=G ? F?G∧G?F . 由以上定义可知, 如果两个函数F和G相等, 一定满足下面两个条件: 1). domF = domG 2). ?x∈domF = domG, 都有: F(x) = G(x) 例如: 函数F(x) = (x2-1)/(x+1), G(x) = x-1是不相等的, 因为 domF = { x | x∈R ∧x ≠ -1 } , domG = R. 定义5.3 设A和B为集合, 如果f为函数, 且domf = A, ranf?B, 则称f为从A 到B的函数, 记作f:A→B. 例如 f:N→N, f(x) = 2x是从N到N的函数, g:N→N, g(x) = 2也是从N到N的函数. 定义5.4 所有从A到B的函数的集合记作BA, 读作“B上A”.符号化表示为B A= { f | f: A→B }. 例5.2 设A = { 1, 2, 3 }, B = { a, b }, 求B A. 解B A= { f0, f1,…, f7 }, 其中 f0 = { <1, a>, <2, a>, <3, a> } f1 = { <1, a>, <2, a>, <3, b> } f2 = { <1, a>, <2, b>, <3, a> }f3 = { <1, a>, <2, b>, <3, b> } f4 = { <1, b>, <2, a>, <3, a> }f5 = { <1, b>, <2, a>, <3, b> } f6 = { <1, b>, <2, b>, <3, a> }f7 = { <1, b>, <2, b>, <3, b> } 由排列组合知识不难证明: 若|A| = m, |B| = n, 且m, n > 0, 则|BA| = nm. 在例5.2中, |A| = 3, |B| = 2, 所以, |BA| = 23 = 8. 当A或B中至少有一个集合是空集时, 可以分成下面三种情况: 1). A = φ且B = φ, 则BA = φφ = { φ }. 2). A = φ且B ≠φ, 则BA = Bφ = { φ }. 3). A ≠φ且B = φ, 则BA = φA = φ. 5.1.2函数的像与完全原像. 定义5.6 设函数f: A→B, A1 ? A, B1 ? B. (1) 令f(A1) = { f(x) | x∈A1 }, 称f(A1)为A1在f下的像.特别的, 当A1=A时称f(A)为函数的像. (2) 令f-1(B1) = { x | x∈A∧f(x)∈B1 }, 称f-1(B1)为B1在f下的完全原像. 这里需区别: 函数的值和像.函数值f(x)∈B, 而 像f(A1) ? B. 假设: B1 ? B, 显然, B1在f下的完全原像 f-1(B1)是A的子集. 考虑A1 ? A, 那么, f(A1) ? B. f(A1)的完全原像就是f-1(f(A1)). 一般有: f-1(f(A1)) ≠ A1, A1 ? f-1(f(A1)). 例如: 函数f: { 1, 2, 3 }→{ 0, 1 }, 满足: f(1)=f(2)=0, f(3)=1 令A1 = { 1 }, 那么, 有: f-1(f(A1)) = f-1(f({1})) = f-1({0}) = { 1, 2 } 这时, A1 ? f-1(f(A1)). 例8.3 设f: N→N, 且 假设: A1 = { 0, 1 }, B1 = { 2 }, 那么, 有 f(A1) = f({0,1}) = { f(0), f(1) } = { 0, 2 } f-1(B1) = f-1({2}) = { 1, 4 } 下面讨论函数的性质. 定义5.7 设f: A →B, (1) 若ranf = B, 则称f: A →B 是满射的 (Onto); (2) 若?y ∈ranf, 都存在唯一的x ∈A, 使得: f(x) = y, 则称f: A →B 是单射的(One-to-one); (3) 若f 既是满射又是单射, 则称f 是双射的(或一一映射)(One-to-one Correspondence). 由定义不难看出: 若f: A →B 是满射的, 则对于?y ∈B, 都存在x ∈A, 使得: f(x) = y; 若f: A →B 是单射的, 则对于?x1, x2∈A, x1 ≠ x2, 一定有: f(x1) ≠ f(x2); 若?x1, x2∈A, 有: f(x1) = f(x2), 则有: x1 = x2. 例5.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么 ? (1) f: R → R, f(x) = -x2+2x-1 (2) f: Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f: R →Z, f(x) = ?x ? (4) f: R → R, f(x) = 2x+1 (5) f: R+→R+, f(x) = (x2+1)/x, 其中R+为正实数集. 解 (1) f: R →R, f(x)是开口向下的抛物线, 非单调函数, 并且在x = 1点取得极大值0, 它既不是单射, 也不是满射的; (2) f: Z+→R, f(x)是单调上升, 单射, 但不是满射的, 因为ranf = { ln1, ln2, … } ? R; (3) f: R →Z, f(x)是满射的, 不是单射的, 例如: f(1.5) = f(1.2) = 1; (4) f: R →R, f(x) = 2x+1是双射的; (5) f: R+→R+, f(x) = (x2+1)/x 不是单射的, 也不是满射的. 当x →0+时, f(x)→+∞; 当x →+∞时, f(x)→+∞; 在x = 1处函数f(x)取得极小值f(1) = 2.f(2) = f(1/2) = 2.5. 例5.5 对于以下各题给定的A 、B 和f, 判断是否构成函数f:A →B.如果是, 说明f: A →B 是否为单射,满射,双射的, 并根据要求进行计算. (1) A = {1,2,3,4,5}, B = {6,7,8,9,10}, f = {<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} (2) A,B 同(1), f = { <1,7>, <2,6>, <4,5>, <1,9>, <5,10> } (3) A,B 同(1), f = { <1,8>, <3,10>, <2,6>, <4,9> } (4) A = B = R, f(x) = x3 (5) A = B = R+, f(x) = x/(x2+1) (6) A=B=R ? R, f( 为奇数若为偶数若x x x x x f ?? ?+=12/)( 解 (1) 能.f: A →B 既不是单射, 也不是满射. (2) 不能.<1,7>∈f 和<1,9>, 与函数定义矛盾. (3) 不能.因为domf = {1,2,3,4} ≠ A. (4) 能.f: A →B 是双射的. (5) 能.F: A →B 既不是单射, 也不是满射的.因为该函数在x=1取得极大值f(1)=1/2.函数不是单调的, 且ranf ≠ R+. (6) 能.F: A →B 是双射的. f(L) = { <2x+1, -1> | x ∈R } = R ? {-1} (7) 能.F: A →B 既不单射, 也不满射.因为f(<1,1>) = f(<2,2>) = 0, 且2?ranf. f(N ? {0}) = {n2-02 | n ∈N} = {n2 | n ∈N}, f-1({0}) = { 下面定义一些常用的函数. 定义8.7 (1) 设f:A →B, 若?y ∈B, ?x ∈A, 都有: f(x) = y, 则称f:A →B 是常函数; (2) ?x ∈A, 都有: IA(x) = x, 称恒等关系IA 为A 上的恒等函数; (3) 设 ?x1, x2∈A, 若x1 ?x1, x2∈A, 若x1 (4) 设A 为集合, 对于任意的A ’ ? A, A ’的特征函数(Characteristic Function)XA’: A →{0,1}定义为(读: Kai) (5) 设R 是A 上的等价关系, 令g: A →A/R, g(a) = [a], ?a ∈A, 称g 是从A 到商集A/R 的自然映射. 实数集R 上的函数f: R →R, f(x) = x+1, 它是严格单调递增的. 单调函数可以定义于一般的偏序集上. 例如, 给定偏序集 ???-∈∈=''01 )(A A a A a a χ 应用高等数学等价替换公式 1、无穷小量： 设0）x （g lim ）x （f lim 0 x x x x ==→→ *1）若0） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小 *2）若∞=→） x （g ） x （f lim x x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小 *3）若c ） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小 *4）若1） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小 *5）若0） x （g ） x （f lim k x x 0 =→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换： 若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ） 则=→）x （g ） x （f lim x x ） x （g ）x （f lim 11x x 0→ 6、常用等价形式： 当f （x ）→0时 *1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ） *4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ） *7）1-cosf （x ）~ 2 ） x （f 2 *8）（1+f （x ））α -1~ αf （x ） 二、函数的连续： 1、间断点： *1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0） *2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数： 1、定义：）x （f '= x △） x （f -）x △x （f lim 000 x △+→ 2、导数的常见形式： *1） 0 0x x 0x -x ） x （f -）x （f lim ）x （f 0 →=' *2） h ） x （f -）h x （f lim ）x （f 000 h +='→ 集合与关系《应用离散数学》 第3章 21世纪高等教育计算机规划教材 目录 3.1 集合及其运算 3.2 二元关系及其运算3.3 二元关系的性质与闭包3.4 等价关系与划分 3.5 偏序关系与拓扑排序3.6 函 数 3.7 集合的等势与基数3.8 多元关系及其应用 集合是现代数学中最重要的基本概念之一，数学概念的建立由于使用了集合而变得完善并且统一起来。集合论已成为现代各个数学分支的基础，同时还渗透到各个科学技术领域，成为不可缺少的数学工具和表达语言。对于计算机科学工作者来说，集合论也是必备的基础知识，它在开关理论、形式语言、编译原理等领域中有着广泛的应用。 本章首先介绍集合及其运算，然后介绍二元关系及其关系矩阵和关系图，二元关系的运算、二元关系的性质、二元关系的闭包，等价关系与划分、函数，最后介绍多元关系及其在数据库中的应用等。 3.1 集合及其运算 3.1.1 基本概念 集合是数学中最基本的概念之一，如同几何中的点、线、面等概念一样，是不能用其他概念精确定义的原始概念。集合是什么呢？直观地说，把一些东西汇集到一起组成一个整体就叫做集合，而这些东西就是这个集合的元素或叫成员。 例3.1 （1）一个班级里的全体学生构成一个集合。 （2）平面上的所有点构成一个集合。 （3）方程 的实数解构成一个集合。 （4）自然数的全体（包含0）构成一个集合，用N表示。 （5）整数的全体构成一个集合，用Z表示。 （6）有理数的全体构成一个集合，用Q表示。 （7）实数的全体构成一个集合，用R表示。 （8）复数的全体构成一个集合，用C表示。 （9）正整数集合Z+，正有理数集合Q+，正实数集合R+。（10）非零整数集合Z*，非零有理数集合Q*，非零实数集合R*。（11）所有n 阶(n≥2)实矩阵构成一个集合，用M n(R)表示，即 “离散数学”中的等价关系 “离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。 1离散数学课程中的等价关系 1.1离散数学课程中等价关系的概念 定义1 设R为非空集合A上的二元关系。如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。 定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }， 则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。 定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。 根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。 1.2离散数学课程中各种具体的等价关系 数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。命题公式的等值关系是建立在由所有命题公式构成的集合上的一种等价关系，这种等价关系将所有命题公式按其是否等值划分成若干个等价类，属于同一个等价类中的命题公式彼此等值，因而，只要清楚了等价类中某一个公式的性质，则与该公式同类的公式的性质也就完全清楚了。因此，命题公式的等值关系(等价关系)是获取命题公式性质的基石。 集合论中，集合A和B的等势是指从A到B存在一个双射函数即集合A中 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 集合论练习题 一、选择题 1．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）． A ．{2}∈ B B ．{2, {2}, 3, 4}B C ．{2}B D ．{2, {2}}B 2．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（ ）． A ． B A ，且BA B ．B A ，但BA C ．B A ，但BA D ．B A ，且BA 3．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( )． A ．{{1}, {a }} B ．{?,{1}, {a }} C ．{?,{1}, {a }, {1, a }} D ．{{1}, {a }, {1, a }} 4.已知AB ={1,2,3}, AC ={2,3,4},若2 B,则（ ） A ． 1?C B ．2? C C ．3?C D ．4?C 5. 下列选项中错误的是( ) A ． ??? B ． ?∈? C ． {}??? D ．{}?∈? 6. 下列命题中不正确的是（ ） A ． x {x }-{{x }} B ．{}{}{{}}x x x ?- C ．{}A x x =?,则xA 且x A ? D ． A B A B -=??= 7. A , B 是集合，P (A ),P (B )为其幂集，且A B ?=?，则()()P A P B ?=( ) A ． ? B ． {}? C ． {{}}? D ．{,{}}?? 8. 空集?的幂集()P ?的基数是( ) A ． 0 B ．1 C ．3 D ．4 9．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={a , b ∈A , 且a +b = 8}，则R 具有的性质为（ ）． A ．自反的 B ．对称的 C ．对称和传递的 D ．反自反和传递的 这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。 §3.4 等价关系与划分 习题3.4 1. 对于给定的集合A 和其上的二元关系R ，判断R 是否为等价关系。 （1）A 为实数集，A y x ∈?，，2=-?y x xRy 。 （2）}321{，，=A ，A y x ∈?，，3≠+?y x xRy 。 （3）+=Z A ，即正整数集，A y x ∈?，，是奇数xy xRy ?。 （4）)(X P A =，集合X 的基数2||≥X ，A y x ∈?，，x y y x xRy ?∨??。 （5）)(X P A =，集合X 和C 满足X C ?，A y x ∈?，，C y x xRy ?⊕?。 解 略 2. 设}{d c b a A ，，，=，对于A 上的等价关系 A I c d d c a b b a R }{><><><><=，，，，，，， 画出R 的关系图，并求出A 中各元素关于R 的等价类。 解 R 的关系图如下： A 中各元素关于R 的等价类分别为： },{][][b a b a ==，},{][][d c d c == 3. 考虑单词的集合}{sit wind wash sky last sheet W ，，，，，=。1R 和2R 分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。求由1R 和2R 确定的商集1/R W 和2/R W 。 解 略 4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。 解 模6同余关系)}6(mod |{b a b a b a R ≡∧∈><=Z ，， 所有的模6同余类为： 510}|5{][，，，， =∈+=i z i z i Z 即 },20,15,10,5,0,5,10,15,20,{]0[ ----= },21,16,11,6,1,4,9,14,19,{]1[ ----= 离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若 大连民族学院 计算机科学与工程学院实验报告实验题目：集合的运算 课程名称：离散数学 实验类型：□演示性□验证性□操作性□设计性□综合性专业：网络工程班级：网络111班 学生姓名：张山学号：2011083123 实验日期：2013年12月22日实验地点：I区实验机房 实验学时：8小时实验成绩： 指导教师签字：年月日老师评语： 1 实验题目：集合的运算 实验原理： 1、实验内容与要求： 实验内容：本实验求两个集合间的运算，给定两个集合A、B，求集合A与集合B之间的交集、并集、差集、对称差集和笛卡尔乘积。 实验要求：对于给定的集合A、B。用C++/C语言设计一个程序（本实验采用 C++），该程序能够完成两个集合间的各种运算，可根据需要选择输出某种运算结果，也可一次输出所有运算结果。 2、实验算法： 实验算法分为如下几步： （1）、设计整体框架 该程序采取操作、打印分离（求解和输出分开）的思想。即先设计函数求解各部分运算并将相应结果传入数组（所求集合）中，然后根据需要打印运算结果。 （2）、建立一个集合类（Gather） 类体包括的数组a、b、c、d、e、f、g分别存储集合A、B以及所求各种运算的集合。接口（实现操作的函数）包括构造函数，菜单显示函数，求解操作函数，打印各种运算结果等函数。 （3）、设计类体中的接口 构造函数：对对象进行初始化，建立集合A与集合B。 菜单显示函数：设计提示选项，给使用者操作提示。 操作函数：该函数是程序的主题部分，完成对集合的所有运算的求解过程，并将结果弹入（存入）对应数组（集合）中，用于打印。 具体操作如下： 2 1*求交集：根据集合中交集的定义，将数组a、b中元素挨个比较，把共同元素选出来，并存入数组c（交集集合）中，即求得集合A、B的交集。 2*求并集：根据集合中并集的定义，先将数组a中元素依次存入数组g（并集集合）中，存储集合A中某元素前，先将其与已存入g中的元素依次比较，若相同则存入下一个元素，否则直接存入g中，直到所有A中元素存储完毕。接着 讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴ 离散数学是一门研究离散量结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的重要分支。离散的含义是指不同的连接元素，主要根据离散量研究结构和它们之间的关系，其对象通常是有限的或可数的元素。离散数学已广泛应用于各个学科，尤其是计算机科学和技术。同时，离散数学也是计算机专业许多专业课程必不可少的高级课程，例如编程语言，数据结构，操作系统，编译技术，人工智能，数据库，算法设计和分析以及计算机理论基础。通过对离散数学的研究，我们不仅可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程创造条件，还可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，打下坚实的基础。参与未来的创新研发工作。 随着信息时代的到来，以微积分为代表的连续数学在工业革命时代的主导地位发生了变化，离散数学的重要性逐渐为人们所认识。离散数学教授的思想和方法广泛地反映在计算机科学和技术及相关专业的各个领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，所有这些都与离散数学密切相关。因为数字电子计算机是离散结构，所以它只能处理离散或离散的定量关系。因此，计算机科学本身以及与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域都面临着如何为离散结构建立相应的数学模型的问题。以及如何离散化通过连续数量关系建立的数学模型，以便可以通过计算机对其进行处理。 离散数学是一门综合性学科，由传统逻辑，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系论，图论和树，抽象代数（包括代数系统，组）组成。，环，域等），布尔代数和计算模型（语言和自动机）。离散数学已应用于现代科学和技术的许多领域。 离散数学也可以说是计算机科学的基本核心学科。离散数学中有一个著名的典型例子-四色定理，也称为四色猜想，它是现代世界上三个主要的数学问题之一。它是由英国制图员弗朗西斯·古斯里（Francis guthrie）于1852年提出的。当他为地图着色时，他发现了一种现象：“每张地图只能用四种颜色着色，而具有共同边界的国家可以使用不同的颜色。”那么可以通过数学证明吗？100多年后的1976年，肯尼思·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用了计算机辅助计算，这花了1200个小时和100亿次判断，终于证明了四色定理，这在世界上引起了轰动。这是离散数学与计算机科学合作的结果。 离散数学可以看作是数学与计算机科学之间的桥梁，因为离散数学不仅可以与诸如集合论和图论之类的数学知识区分开，而且与计算机科学中的数据库理论和数据结构有关，这可以导致人们进入计算机科学的思维领域，促进计算机科学的发展。 一、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) 证明：因为 x∈(A∪B)－C?x∈(A∪B)－C ?x∈(A∪B)∧x?C ?(x∈A∨x∈B)∧x?C ?(x∈A∧x?C)∨(x∈B∧x?C) ?x∈(A－C)∨x∈(B－C) ?x∈(A－C)∪(B－C) 所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。 二、设R={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图。 解：r(R)={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2=R5={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} t(R)={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>， <5，5>} 三、证明等价关系 设R是集合A上的一个具有传递和自反性质的关系，T是A上的关系，使得 离散数学等价关系 等价关系是设是非空集合A上的二元关du系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。给定非空集合A,若有集合S={S ,S ,…,S }，其中S A，S（i=1,2,…,m）且S S = (i j)同时有S =A，称S是A的划分。研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。 分成一块的有： 划分1：{{1,2,3,4}}，对应的等价关系就是全域关系E，也就是A×A。分成两块的有： 划分2：{{1,2},{3,4}}， 划分3：{{1,3},{2,4}}， 划分4：{{1,4},{2,3}}，分成三块的有： 划分5：{{1},{2,3,4}}， 划分6：{{2},{1,3,4}}， 划分7：{{3},{1,2,4}}， 划分8：{{4},{1,2,3}}，分成四块的有： 划分9：{{1},{2},{3},{4}}，对应的等价关系就是恒等关系I。 由划分求等价关系： 定义：若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A 上的等价关系。所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。A 中的两个元素x,y有关系R，如果(x,y)∈R。我们常简记为 xRy。 自反：任意x属于A，则x与自己具有关系R，即xRx； 对称：任意x,y属于A，如果x与y具有关系R，即xRy，则y与x也具有关系R，即yRx； 传递：任意x,y,z属于A，如果xRy且yRz，则xRz。 x,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。 根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。∵x～sinx～tanx(x →0) ∴原式=limx→0+xx=1而得解。 第四章二元关系 例1 设A={0,1}，B={a,b}，求A?B ，B?A，A?A 。 解：A?B={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>} B?A={ 等价类： 在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。 定义： 在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。A的关于R的等价类记作。当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。 在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。 分类： 在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。那么R的等价类构成S的划分。反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。 因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不 交集不相交的性质。得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。 在软件工程中等价类划分及标准如下： 划分等价类 等价类是指某个输入域的子集合。在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。 1）有效等价类 是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。 2）无效等价类 指对程序的规格说明是不合理的或无意义的输入数据所构成的集合。对于具体的问题，无效等价类至少应有一个，也可能多个。 设计测试用例时，要同时考虑这两种等价类。因为软件不仅要能接收合理的数据，也要能经受意外的考验，这样的测试才能确保软件具有更高的可靠性。 3.划分等价类的标准 无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题 （1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ） （2）{ }φ是空集． （ 错 ） （3）{}{ }a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{ }{}{}A A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ） （5）如果 B A a ??，则A a ?或B a ?． （ 错 ） 解 B A a ??则B A B A a ?=?∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ?且B a ? （6）如果A ∪.,B A B B ?=则 （ 对 ） （7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则 },,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ 错 ） （8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A 2到A 的关系． （ 对 ） 解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><>∈ 高等数学等价替换公式 当x→0时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1 （a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) （e^x）-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x loga(1+x)~x/lna （1+x)^a-1~ax(a≠0) 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换, 在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）XXX工 程项目部 质量月活动总结 根据公司《关于开展2011年质量月活动的通知》，积极响应以“建设质量强国共创美好生活”为主题的质量月活动，公用工程项目部组织开展了一系列“抓质量，促和谐”活动，在项目部领导的高度重视、精心组织、严格要求下，质量管理水平取得了显著的提高，现将活动有关情况总结如下： 项目部领导十分重视本次质量月活动，9月2日，在公用工程项目部现场会议室召集项目部管理人员和施工队伍主要负责人召开了质量月活动动员大会，制定了本次质量月活动的目标、计划以及任务部署，并提出了四点要求：一是进一步提高员工的质量意识，时刻牢记施工人员和管理人员的质量责任；二是深化我们的质量安全文化， 确立良好的工作方法，减少质量问题，尤其是低级错误、重复质量问题，防止重大质量事故的发生；三是通过“质量月”活动的有效开展，促进项目部“大干70天”生产目标的完成；四是借“质量月”活动开展的契机，有效地把活动主题贯穿于我们的施工生产之中，技术不断创新、管理不断完善、工程质量不断提高。 1、活动主题：恪守质量诚信，践行社会责任。 2、活动目标：大力实施质量兴企战略，全力打造“中化二建集团”品牌，为社会奉献“质量一流，用户满意”的优质产品。 离散数学集合运算（第一次作业） C语言写法： #include printf(“\n”); } if(i >=n) { if(G[0]) cout <高等数学等价替换公式泰勒公式资料讲解
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