高斯肖元法C++上机实验报告
学生姓名： 学 号： 专业班级： 实验类型： 综合
一 实验项目名称
全选主元高斯消去法解线性方程组 二 实验原理
设有n 元线性方程组(考虑便于C++程序数组表示,方程的下标从0开始),
0000110,1100000110,11110
1,111,111
n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ---------+++=??
+++=????+++=?
写为矩阵形式为Ax=b,其中A 为线性方程组的系数矩阵,x 为列向量,是方程组的解,b 也
是列向量.
一般来讲，可以假定矩阵A 是非奇异阵。（n 阶矩阵A 的行列式不为零，即 |A|≠0，则称A 为非奇异矩阵）
00010,10111,1,0
1,1
1,1n n n n n n a a a a a a A a a a ----??????=
???
???
，
011n x x x x -??????=?????? ，01
1n b b b b -??
???
?=????
??
将系数矩阵A 和向量b 放在一起，形成增广矩阵B ：
00
010,010
111,1
1,0
1,1
1,1
1(,)n n n n n n n a a a b a a a b b A b a a a b -----?????
?==???
???
全选主元消去就在矩阵B 上进行，整个过程分为如下两个步骤： 第一步：消去过程。
对于k 从0开始到n-2结束，进行以下三步。 1. 首先，从系数矩阵A 的k 行k 列开始的子矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素。例如：
11,max 0
i j ij k i n k j n
a a ≤<≤<=≠
然后交换B的第k行与第
1
i行，第k列与第1k列，这样，这个子矩阵中具有最大绝对值的元素被交换到k行k列的位置上.
2.其次，进行归一化计算。计算方法为：
/,1,,1
/
kj kj kk
k k kk
a a a j k n
b b a
==+-??
?
=
??
3.最后进行消去计算：
,,1,,1
,1,,1 ij ij ik kj
i i ik k
a a a a j i k n
b b a b i k n
=-=+-??
?
=-=+-
??
第二步，回带过程：
111,1
1
1
/
,2,,1,0 n n n n
n
i i ij j
j i
x b a
x b a x i n
----
-
=+
=
?
?
?
=-=-
?
?
∑
三代码的实现
整个程序分为5个独立文件，Matrix.h文件中包括矩阵类Matrix的定义，Matrix.cpp文件中包括该类成员函数的实现，LinearEqu.h文件中包括线性方程组类LinearEqu的定义，LinearEqu.cpp文件中包括该类的成员函数实现文件；7-9.cpp文件包括程序的主函数，主函数中定义了一个类LinearEqu的对象，通过这个对象求解一个四元线性方程组。
//Matrix.h文件一，定义一个CMatrix类
#ifndef _MATRIX_H
#define _MATRIX_H
class CMatrix //定义CMatrix基类
{
public: //外部接口
CMatrix(int size=2); //构造函数
~CMatrix(); //析构函数
void setMatrix(const double*values); //矩阵赋初值
void printMatrix() const; //显示矩阵
int getsize() const{return size;} //得到矩阵大小
double &element(int i,int j){return elements[i*size+j];}
double element(int i,int j)const{return elements[i*size+j];}
private: //保护数据成员
int size; //定义矩阵的大小
double*elements; //矩阵存放数组首地址
};
#endif //_MATRIX_H
//LinearEqu.h 文件二，CLinearEqu类定义
#ifndef _LINEAR_EQU_H
#define _LINEAR_EQU_H
#include"Matrix.h"
class CLinearEqu:public CMatrix //公有派生类CLinearEqu定义
{
public: //外部接口
CLinearEqu (int size=2); //构造函数
~CLinearEqu(); //析构函数
void setLinearEqu(const double*a,const double*b); //方程赋值
bool solve(); //全选住院高斯消去法求解方程
void printLinearEqu()const; //显示方程
void printSolution()const; //显示方程的解
private: //私有数据
double*sums; //方程右端项
double*solution; //方程的解
};
#endif //_LINEAR_EQU_H
经过公有派生，LinearEqu类获得了除构造函数、析构函数之外的Matrix类的全部成员。由于基类的成员是公有和保护类型，因此在派生类中的成员函数中，基类继承来的成员全部可以访问，而对于建立LinearEqu类对象的外部模块来讲，基类的保护成员是无法访问的。通过保护访问类型和公有的基方式，就实现了基类Matrix的数据的有效共享和可靠保护。在程序中，方程的系数矩阵、解以及右端项全部采用动态内存分配技术，这些工作都是在基类、派生类的构造函数中完成，它们的析构函数中完成。
//Matrix.cpp 文件三，CMatrix类实现
#include"Matrix.h" //包含类的定义头文件
#include
using namespace std;
void CMatrix::setMatrix(const double*values) //设置矩阵
{
for(int i=0;i elements[i]=values[i]; //矩阵成员赋初值 } CMatrix::CMatrix(int size/*=2*/):size(size) //矩阵CMatrix类的构造函数 { elements=new double[size*size]; } CMatrix::~CMatrix() //矩阵Matrix类的析构函数 { delete[]elements; //释放空间 } void CMatrix::printMatrix()const //显示矩阵的元素 { cout<<"The Matrix is:"< for(int i=0;i { for(int j=0;j cout< cout< } } //LinearEqu.cpp 文件四，CLinearEqu类实现 #include"LinearEqu.h" //包含类的定义头文件 #include #include using namespace std; CLinearEqu::CLinearEqu(int size/*=2*/):CMatrix(size) //用size调用基类构造函数{ sums=new double[size]; //动态内存分配 solution=new double[size]; } CLinearEqu::~CLinearEqu() //派生类CLinearEqu的析构函数{ delete[] sums; //释放内存 delete[] solution; //会自动调用基类析构函数 } void CLinearEqu::setLinearEqu(const double*a,const double*b) //设置线性方程组{ setMatrix(a); //调用基类函数 for(int i=0;i sums[i]=b[i]; } void CLinearEqu::printLinearEqu()const //显示线性方程组 { cout<<"The Line eqution is:"< for(int i=0;i { for(int j=0;j cout< cout<<" "< } } void CLinearEqu::printSolution()const //输出方程组的解 { cout<<"The Result is:"< for(int i=0;i cout<<"x["< } inline void swap(double &v1,double &v2) //交换两个实数 { double temp=v1; v1=v2; v2=temp; } bool CLinearEqu::solve() //全选主元高斯消去法求解方程 { int *js=new int[getsize()]; //存储主元素所在列号的数组 for(int k=0;k { int is; //主元素所在行号 double max=0; //所有元素的最大值 for(int i=k;i for(int j=k;j { double t=fabs(element(i,j)); if(t>max) { max=t; js[k]=j; is=i; } } if(max==0) { delete []js; return false; } else //通过行列交换，把主元素交换到第K行第K列 { if(js[k]!=k) for(int i=0;i swap(element(i,k),element(i,js[k])); if(is!=k) { for(int j=k;j swap(element(k,j),element(is,j)); swap(sums[k],sums[is]); } } //消去过程 double major=element(k,k); for(int j=k+1;j element(k,j)/=major; sums[k]/=major; for(int i=k+1;i { for(int j=k+1;j element(i,j)-=element(i,k)*element(k,j); sums[i]-=element(i,k)*sums[k]; } } //判断剩下的一个元素是否等于零 double d=element(getsize()-1,getsize()-1); if(fabs(d)<1e-15) { delete[] js; return false; } //回带过程 solution[getsize()-1]=sums[getsize()-1]/d; for(int i=getsize()-2;i>=0;i--) { double t=0.0; for(int j=i+1;j<=getsize()-1;j++) t+=element(i,j)*solution[j]; solution[i]=sums[i]-t; } js[getsize()-1]=getsize()-1; for(int k=getsize()-1;k>=0;k--) if(js[k]!=k) swap(solution[k],solution[js[k]]); delete[]js; return true; } 在类的成员函数实现过程中，派生类的构造函数使用参数调用了基类的构造函数，为矩阵动态分配了内存空间。而派生类的析构函数同样也调用了基类的析构函数，只是整个调用过程完全由系统内部完成。基类的保护数据成员的身份出现，派生类的成员函数可以自由的进行访问。 全选主元高斯消去法求解函数返回值为整型，正常完成之后，返回值为1，非正常结束后，返回值为0，根据函数的返回值，就可以判断求解过程的完成情况 //7-9.cpp 文件五，主函数 #include"LinearEqu.h" //类定义头文件 #include using namespace std; int main() //主函数 { double a[]= //方程系数矩阵 { 0.2368,0.2471,0.2568,1.2671, 0.1968,0.2071,1.2168,0.2271, 0.1581,1.1675,0.1768,0.1871, 1.1161,0.1254,0.1397,0.1490 }; double b[]={1.8471,1.7471,1.6471,1.5471}; //方程右端项 CLinearEqu equ(4); //定义一个四元方程组对象 equ.setLinearEqu(a,b); //设置方程组 equ.printLinearEqu(); //通过调用输出方程组 if(equ.solve()) //求解方程组 equ.printSolution(); //输出方程组的解 else cout<<"fail"< return 0; } 在程序的主函数部分，选择了一个四元方程组来作为一个实际例子验证算法。方程组的系数及右端项数据都使用一维数组来存储。首先定义一个 运行结果如下： 四实际应用 许多实际问题经常最后归结为求解线性方程组。例如：用最小二乘法处理测量结果时，和用网格法逼近微分方程的边值问题时，都会得到线性方程组。这些方程组中的未知量往往是几十个，甚至上百个，如果要解含n个未知量的线性方程时，就得计算出n+1个n阶行列式，而计算每一个n阶行列式就需做n!次乘法，一般来说，即使借助电子计算机，也需要数月乃至数年的时间，所以在解这些含有未知量的线性方程组时，不仅要借助于电子计算机，同时还必须寻求恰当的计算方法。而高斯全选主元消去法是一 种效率很高、较为常用的线性方程组解法。以下以电阻网络 电阻网络实例 简单电网中的电流可以利用线性方程组来描述。当电流经过 电阻（如灯泡或发电机等）时，会产生“电压降”。根据欧姆定律，U I R = 其中U 为电阻两端的“电压降”，I 为流经电阻的电流强度，R 为电阻值，单位分别为伏特、安培和欧姆。对于电路网络，任何一个闭合回路的电流服从希尔霍夫电压定律：沿某个方向环绕回路一周的所有电压降U 的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和。 【解】在回路1中，电流1I 流经三个电阻，其电压降为： 1111I 7I 4I 12I ++= 回路2中的电流2I 也流经回路1的一部分，即从A 到B 的分支，对应的电压降为24I ；同样，回路3中的电流3I 也流经回路1的一部分，即从B 到C 的分支，对应的电压降为37I 。然而，回路1中的电流在A B 段的方向与回路2中选定的方向相反，回路1中的电流在B C 段的方向与回路3中选定的方向相反，因此回路1 所有电压降的代数和为 12312I 4I 7I --。由于回路 1中电源电压为40V ，由希尔霍夫定律可得 回路1的方程为12312I 4I 7I 40--=。 回路2的电路方程为 1244I 13I 5I 10-+-=-； 回路3的电路方程为 1347I 15I 6I 30-+-=； 回路4的电路方程为 2345I 6I 14I 20--+=； 于是，回路电流所满足的线性方程组为 ---------=??+=?? +=?+=??12312413423412I 4I 7I 404I 13I 5I 107I 15I 6I 305I 6I 14I 20 故 12 47041305701560 5 6 14A --????--??= ??--??--?? 40103020b ????-??=?????? 结果如下： 五心得体会 这是一个使用类的派生层次结构来解决实际问题的例子。基类是专门处理矩阵的类，公有派生类LinearEqu是针对线性方程组而设计的，除了继承基类的基本特征之外，结合问题的实际需要，增加了很多线性方程组所特有的成员，使基类Matrix进一步具体化、特殊化，达到对问题的有效描述和处理。 程序的访问控制也是根据问题的需要设计的。基类的数据成员存储、维护着矩阵数据，这正是派生类方程组的系数矩阵，是派生类解方程成员函数必须要访问的。在派生过程中，基类的构造函数和析构函数无法继承下来，因此在派生类中要添加构造函数、析构函数来完成派生类的初始化和最后的清理工作。派生类析构函数也会首先调用执行基类的析构函数，共同完成清理任务。 实验一 列主元消去法 【实验内容】 1．掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2．并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 3、从课后题中选一题进行验证，得出正确结果，交回实验报告与计算结果。 【实验方法与步骤】 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =-L （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+L 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+L ； （4） 消元，对,,i k n =L ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++L ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =-L ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ [实验程序] #include 高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，X = ????????????n x x x M 21， B = ????? ???????n b b b M 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵 算法设计与分析基础 实验报告 应用数学学院 二零一六年六月 实验高斯消去法算法 一、实验性质设计 二、实验学时14学时 三、实验目的 1、掌握高斯消去法的方法和原理。 2、掌握java语言实现该算法的一般流程。 四、实验内容 1、数组的输入。 2、高斯消去法的算法流程。 4、运行结果的输出。 五、实验报告 Ⅰ、算法原理 通过一系列的初等变换，交换方程组中两个方程的位置，把一个方程替换为它的非零倍，把一个方程替换为它和另一个方程倍数之间的和 或者差。 Ⅱ、Java算法代码： import java.util.Scanner; publicclass Gaosi { publicstaticvoid main(String[] args) { Gao ga = new Gao(); ga.set(); ga.yunSuan(); } } class Gao { double A[][], B[], X[], ss, sum; int n, k, j, t; void set() { System.out.println("请输入方程组中方程的个数："); Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); A = newdouble[n][n]; B = newdouble[n]; X = newdouble[n]; System.out.println("请输入各方程的系数："); Scanner sd = new Scanner(System.in); for (int i = 0; i 高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解 西京学院数学软件实验任务书 《数值分析》实验报告 实验一 一、实验目的与要求 1．掌握高斯列主元消去法解线性方程组的基本思路； 2．了解一些计算机的算法，会以某种汇编语言实现算法结果（本实验主要用matlab编程） 二、实验内容 1．编写用高斯列主元消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） 123 123 123 221 1 221 x x x x x x x x x +-= ? ? ++= ? ?++= ? （2） 123 123 123 21 1 21 x x x x x x x x x -+= ? ? ++= ? ?+-= ? 2．列主元消元法及其matlab程序function [Ra,Rb,n,X]=GaussXQLineMain(A,b) %高斯列主元消元法，其中B为增广矩阵 B=[A b]; %读入b的长度 n=length(b); %读出矩阵a,b秩 Ra=rank(A); Rb=rank(B); if (Rb-Ra)>0 disp('因为Ra不等于Rb，所以此方程组无解.') return end if Ra==Rb if Ra==n disp('因为Ra=Rb=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 %找出列中最大的元素并指出他的位置 [Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:); B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('因为Ra=Rb 实验一 列主元消去法 【实验内容】1. 掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2. 并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 【实验方法与步骤】列主元消去法编写程序 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+ ； （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ 习题3第一题程序如下 #include 《Gauss列主元消去法》实验报告 实验名称：Gauss列主元消去法程序设计？？？成绩：_________ 专业班级：数学与应用数学1202班？姓名：王晓阳？??学号： 实？验？日？期：？2014?年11月10日 实验报告日期：？2014年？11月10日 一.实验目的 1. 学习Gauss消去法的基本思路和迭代步骤. 2. 学会运用matlab编写高斯消去法和列主元消去法程序，求解线性方程组. 3. 当绝对值较小时，采用高斯列主元消去法? 4. 培养编程与上机调试能力. 二、实验内容 用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax二b 化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解 1. 求解一般线性方程组的高斯消去法? (1) 消元过程： 设a kk k-0 ,第i个方程减去第k个方程的m ik Tk k倍，("k 1^1, n)，得到 A k1x=b k1. 经过n-1次消元，可把方程组A1^b1化为上三角方程组A n x=b n. ⑵回代过程: 以解如下线性方程组为例测试结果 2. 列主元消去法 由高斯消去法可知，在消元过程中可能出现a kk k =0的情况，这是消去法将无法进行, 即使主元素a kk k-0但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.这时就需要选取主元素，假定线性方程组的系数矩阵A是菲奇异的. (1)消元过程： 对于k =1,2,川,n -1，进行如下步骤: 1) 按列选主元，记 2) 交换增广阵A的p,k两行的元素 A(k,j)=A(p,j) ( j=k,…,n +1) 3) 交换常数项b的p,k两行的元素。 b(k)=b(p) 4) 计算消元 (2) 回代过程 (3) 以解如下线性方程组为例测试结果 三、实验环境 MATLAB R2014a 四、实验步骤 实验三 高斯列主元消去法 一、实验目的： 1、掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤。 2、 培养编程与上机调试能力。 二、高斯列主元消去法的基本思路与计算步骤： 设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是僵局真的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 列主元高斯消去法计算步骤： 将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n B A b a ?+== 表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果 ,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）。 （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?，,,1j k n =+ 。 （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 . ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。 （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ???∑ 三：程序流程图 四：程序清单： function X=uptrbk(A,b) % A是一个n阶矩阵。 % b是一个n维向量。 % X是线性方程组AX=b的解。 [N N]=size(A); X=zeros(1,N+1); Aug=[A b]; for p=1:N-1 [Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));%返回向量的最大值存入y，最大值的序号存入j。 C=Aug(p,:); Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:); Aug(j+p-1,:)=C; if Aug(p,p)==0 'A是奇异阵，方程无惟一解' break end for k=p+1:N m=Aug(k,p)/Aug(p,p); Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); end end % 这里用到程序函数backsub来进行回代。 X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1)); function X=backsub(A,b) % A是一个n阶上三角非奇异阵。 % b是一个n维向量。 % X是线性方程组AX=b的解。 n=length(b);%取b向量的个数。 X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 X(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n))/A(k,k); End 五、测试数据与结果： 测试数据：（第8章习题三第2题）求解线性方程组： 解：建立一个主程序gs.m clc clear A=[1,2,3;5,4,10;3,-0.1,1]; b=[1;0;2]; 实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） 123 123 123 0.101 2.304 3.555 1.183 1.347 3.712 4.623 2.137 2.835 1.072 5.643 3.035 x x x x x x x x x ++= ? ? -++= ? ?-++= ? （2） 123 123 123 528 28321 361 x x x x x x x x x ++= ? ? +-= ? ?--= ? MATLAB计算源程序 1. 用高斯消元法解线性方程组b AX=的MATLAB程序 输入的量：系数矩阵A和常系数向量b； 输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n 和有关方程组解X及其解的信息. function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB 实验报告 学院：电子信息工程 实验课程：计算方法 学生姓名： 学号： 专业班级：通信工程 实验三线性方程组解法 1 目的与要求 （1）进一步理解和掌握求线性方程组数值解的有关方法和理论。（2）完成利用列主元高斯消去法、雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法求线性方程组数值解的程序设计。本次实验只需完成列主元高斯消去法的程序设计。 （3）比较三种算法的不同特点。 2 实验内容 通过编制程序，分别用列主元高斯消去法、雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法计算如下方程组的解。 设初始值为要求满足前后两次迭代结果的差向量的 1 范数小于 3 实验原理 1）列主元高斯消去法 列主元高斯消去法就是在顺序高斯消去法的基础上，每步消元之前都要进行选主元操作，即在第k 步消元前，在第k 列的元素 中选取绝对值最大的元素，设为 ，然后交换第 k 行和第 p 行，继续进行消去过程，直到获得上三角方程组，然后通过回代得到方程的根。 4 程序设计 （1）流程图 列主元高斯消去程序流程图 （2）程序代码 #include for(i=0;i<3;i++) //输入增广矩阵// { for(j=0;j<4;j++) { scanf("%f",&a[i][j]); } } printf("\n"); printf("Output the input matrix"); printf("\n"); for(i=0;i<3;i++) //输出输入的矩阵// { for(j=0;j<4;j++) { printf("%8.4f",a[i][j]); } printf("\n"); } printf("\n"); for(k=0;k<=2;k++) //在不同列中选主元// { m=k; #include "Stdio.h" #include "Conio.h" /*L是矩阵的行减1,从程序上看是最外层循环的次数 N 对应矩阵的行数，M对应矩阵的列数 可以通过改变L、N、M来控制矩的阶数 */ #define L 3 #define N 4 #define M 5 void gauss(double a[N][M],double x[N]) {int i,j,l,n,m,k=0; double temp[N]; /*第一个do-while是将增广矩阵消成上三角形式*/ do{n=0; for(l=k;l 《数值分析》实验报告 一、实验目的与要求 1．掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； 2．培养编程与上机调试能力。 二、实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 21x?8x?32x?2.137x?3.712x?4.623?1.347x???312312??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312 2．编写用列主元高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 2x?8x?3x?212.137?4.6231.347?x?3.712x?x??321321??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312三．MATLAB计算源程序 AX?b MATLAB1. 程序用高斯消元法解线性方程组的b；输入的量：系数矩阵和常系数向量A RA,RB, n方程组中未知量的个数的秩输出的量：系数矩阵和增广矩阵BA.及其解的信息和有关方程组解X gaus(A,b) function [RA,RB,n,X]=B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('RA~=RB.') ，所以此方程组无解请注意：因为return end if RA==RB if RA==n disp('RA=RB=n.') ，所以此方程组有唯一解请注意：因为X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); 贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级： 数本（一）班 实验日期： 年 月 日 学 号： 090704020098（81） 姓名： 吴胜 指导教师： 杨一都 实验成绩： 一、实验名称 实验五:线性方程组的数值解法 二、实验目的及要求 1. 让学生掌握用列主元gauss 消去法、超松弛迭代法求解线性方程组. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 1. 编制逐次超松弛迭代(SOR 迭代)函数(子程序),并用于求解方程组 ????? ??=-++=+-+=++-=+++-1 4141 4144321 432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 取初始向量T x )1,1,1,1()0(=,迭代控制条件为 5 )1()(10 2 1||||--?≤ -k k x x 请绘制出迭代次数与松弛因子关系的函数曲线,给出最佳松弛因子.SOR 迭代 的收敛速度是否一定比Gauss-Seidel 迭代快? 2. 编制列主元 Gauss 消去法函数(子程序),并用于解 ??? ??=++-=-+-=+-6 15318153312321 321321x x x x x x x x x 要求输出方程组的解和消元后的增广矩阵. 注：题2必须写实验报告 五、算法描述及实验步骤 Gauss 消去法： 功能 解方程组b Ax = . 输入 n ,n n ij a A ?=)(,T n b b b b ),,,(21 =. 输出 方程组的解T n x x x x ),,,(21 =或失败信息. 数值分析大作业 －－――（高斯列主元消去法求解线性方程组） 课程名称：数值分析 授课老师：宋国乡 指导导师：丁振国 学生：王伟伟 学号：0425121523 日期：2004/11/20 高斯列主元消去法解线性方程组 一：问题的提出 我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。 1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。 2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。 为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。目前计算机上常用的按列选主元的方法。因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。 二、算法的基本思想 大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程 实验一实验报告 一、实验名称：线性方程组高斯消去法。 二、实验目的：进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路，提高matlab 编程能力。 三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。 四、实验原理： 消元过程： 设0)0(11≠a ，令乘数)0(11 )0(11/a a m i i -=，做（消去第i 个方程组的i x ）操作1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ） 则第i 个方程变为1)1(2)1(2...i n in i b x a x a =++ 这样消去第2，3，。。。，n 个方程的变元i x 后。原线性方程组变 为： ???? ?????=++=++=++)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . . ... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a 这样就完成了第1步消元。 回代过程： 在最后的一方程中解出n x ，得：)1()1(/--=n nn n n n a b x 再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解： 其通项为3,...1-n 2,-n k /)()1(1)1()1(=-=-+=--∑k kk n k j j k kj k k k a x a b x 五、实验内容： A=[1 1 1;0 4 -1;2 -2 1];%?μêy???ó b=[6 5 1]'%3￡êy?? num=length(b) for k=1:num-1 for i=k+1:num if A(k,k)~=0 l=A(i,k)/A(k,k); A(i,:)=A(i,:)-A(k,:).*l; b(i)=b(i)-b(k)*l; end end end A b %??′ú?óx x(num)=b(num)/A(num,num); for i=num-1:-1:1 sum=0; for j=i+1:num sum=sum+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end x 六、实验结果： 数学实验作业 一、矩阵LU分解： function [L,U,p]=lutx(A) [n,n]=size(A); p=(1:n)'; for k=1:n-1 [r,m]=max(abs(A(k:n,k))); m=m+k-1; if (A(m,k)~=0) if (m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); p([k m])=p([m k]); end i=k+1:n; A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); j=k+1:n; A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); end end L=tril(A,-1)+eye(n,n) U=triu(A) p end 高斯消元法求解方程： n=3; a=[1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9 ]; b=[17 18 19]; l=eye(n); y=1; for i=1:(n-1) for j=1:(n-i) if a(j+(i-1)*n+y)~=0 l(j+(i-1)*n+y)=a(j+(i-1)*n+y)/a(j+(i-1)*n+y-j) for k=1:(n-i+1) a(j+(i-1)*n+y+(k-1)*n)=a(j+(i-1)*n+y+(k-1)*n)-a(j+(i-1)*n+y+(k-1)*n-j)*l(j+(i-1)*n+y) end b(j+y-1)=b(j+y-1)-b(y)*l(j+(i-1)*n+y); end end y=y+1; end sum=0; for j=1:n sum=sum+x(j)+a(k,j); end sum=0; for j=1:n x(j)=0; end for k=n:-1:1 for j=1:n sum=sum+x(j)*a(k,j) end x(k)=(b(k)-sum)/a(k,k) sum=0; end 列主元高斯消元法代码： n=3; a=[1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9 ]; b=[17 18 19]; l=eye(n); p=eye(n); ma=0 for i=1:(n-1) for j=i:n if a(j,i)>ma; ma=a(j,i) end end for k=i:n if a(k,i)==ma m=k; end end for j=1:n a1=a(m,j); a(m,j)=a(i,j); 高斯消元法简介 一，教学目标 知识与技能：了解高斯消元法 过程与方法：直接演示说明，学习做简单练习 情感，态度和价值观：进一步体会解方程组的根本思想消元，通过高斯消元的学习增强学习数学的能力 二，重点与难点：高斯消元法 三，课型：新授课 四，教学过程： 1.在前面的几节课，已经用加减消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程组，其基本的思想就是从已知的方程导出未知数较少的方程组，直到最后得到一个一元一次方程，这种做法可适用于一般的n 元线性方程组（线性方程组），但是由于未知数的增加，我们希望我们的消元是有规律的，以避免混乱，下面介绍高斯消元法 2.例1：解方程组 1234123412341234251027612632517315292763 x x x x x x x x x x x x x x x x ---=?? -++-=?? ---=??--++=-? 解：把第一个方程的2倍，-3倍，5倍分别加到第2，3，4个方程上，可以消去2，3，4个 方程的未知数1x 12342342342342510 522226 2 1 7213 x x x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +-=??--+=-? 为了使以后少出现分数运算，交换第二，三个方程的位置 12342342342342510 2 1 522226 7213 x x x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +-=??--+=-? 把第2个方程的-5倍，7倍分别加到第3，4个方程，可以消去第3，4个方程未知数2x 123423434342510 2 1 31221 6126 x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? --=??-=-? 整理一下方程，第3个方程的左右两边乘以13 - ，第4个方程左右两边乘以1 6 123423434342510 2 1 47 21 x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +=-??-=-? 数值方法实验报告 课程名称：LU分解法与高斯消元法 学院：数学与财经学院 专业：信息与计算科学（金融软件）年级：2011级 姓名：郑荐 学号：201102334023 指导教师：李梦 实验一 【实验名称】 实现LU算法，并利用该算法求解线性方程组 【实验目的】 了解如何用LU三角分解法解线性方程组，利用LU三角分解法解线性方程组 【实验原理】 设无行交换变换的高斯消去法可求解一般线性方程组AX=B，则矩阵A可分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U乘积： A=LU 而且L的对角线元素为1，U的对角线元素非零。得到L和U后，可通过如下步骤得到X： 1.利用向前替换法对方程组L Y=B求解Y。 2.利用回带法对方程组UX=Y求解X。 【实验步骤】 1.输入矩阵A 2.LU分解A，得到L矩阵与U矩阵的值[L U]=LU_1(A) 3.输入矩阵B，利用向前回带法求出Y值Y=upsub(L,B) 4.利用回带发求出X值[X]=backsub(U,Y) 【实验程序】 1.LU分解 代码： function [L U]=LU_1(A) n=length(A(1,:)); L=eye(n); U=zeros(n); for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end for k=2:n for j=k:n U(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j); end for i=k+1:n L(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k); end end 结果： 《数值分析》实验报告 实验编号：实验二 课题名称：列主元Gauss消去法 一、算法介绍 1、输入矩阵的阶数n，方程组的增广矩阵A； 2、对k=0,1,…,n-2，循环：选取列中绝对值最大的元素，将主元所在的行的元素保存在 数组temp[n+1]中。若主元为零，则系数矩阵奇异，计算停止；否则，顺序进行。如果绝对值最大的元素就在矩阵的对角线上，则进行普通高斯消元法的第一大步，否则将方程组系数换行之后再进行普通高斯消元法的第一大步； 3、然后利用回代法求解线性方程组。 二、程序代码 #include数值分析列主元消去法的实验报告
高斯消元法(完整)
高斯消去法算法实验报告
高斯列主元消元法解线性方程组
消元法实验报告4
列主元消去法
Gauss列主元消去法程序设计
实验三高斯列主元消去法
高斯消元法 主元消去法
计算方法实验三线性方程组解法列主元高斯消去法
高斯消元法讲解
完整版高斯消元法MATLAB实现
Gauss列主元消去法
高斯列主元消去法
“线性方程组高斯消去法”实验报告(内含matlab程序)
LU分解高斯消元列主元高斯消元matlab代码
高斯消元法简介
UL分解与高斯消元法实验报告
数值分析实验二(列主元Gauss消去法)
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