1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
第一课时
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，
（2）1(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数
表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0
n
C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,
,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵
m n m
n n
C C -=）． 直线2
n
r =
是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k
k n n n n n n k n k C C k k ----+-+=
=?，
∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k
-+决定，1112n k n k k -++>?<， 当12
n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取
得最大值；
当n 是偶数时，中间一项2n
n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C -，12n n
C
+取得最大
值．
（3）各二项式系数和：
∵1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r n
n n n n n
C C C C C =+++
++
+ 三、讲解范例：
例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令
1,1a b ==-，则0123
(11)(1)n n n
n n n n n
C C C C C -=-+-+
+-， 即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++，
∴0213n n n n C C C C ++
=++
，
即在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知02
13
12n n n n n C C C C -++
=++
=.
例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：
（1）127a a a ++
+； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a ++
+.
解：（1）当1x =时，7
7
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a +++
+
∴0127a a a a +++
+1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，
（2）令1x =， 0127a a a a +++
+1=- ①
令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=，
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3
的系数解：)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=
+++++）（ =x
x x )1()1(11+-+，
∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7
C
第二课时
例4.在(x 2+3x+2)5
的展开式中，求x 的系数
解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5
展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，
在(2+x)5
展开式中，常数项为25
=32，含x 的项为x 80x 2C 415=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+?， ∴此展开式中x 的系数为240
例5.已知n
2
)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意2
n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =?=
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10
设第r+1项为常数项，又 2
r 510r 10r r 2r
10r
10
1r x C )2()x
2()x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=?=-， .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180
例6． 设()()()()23
1111n
x x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x +++
+，
当012254n a a a a +++
+=时，求n 的值解：令1x =得：
23
0122222n
n a a a a +++
+=+++
+2(21)
25421
n -=
=-， ∴2128,7n
n ==，
点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各
项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶
数项和的关系
例7．求证：123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=?．
证（法一）倒序相加：设S =123
23n
n n n n
C C C nC +++
+ ①
又∵S =12
21
(1)(2)2n n n n n n n n
nC n C n C C C --+-+-+++ ② ∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==，
由①+②得：(
)0122n
n n n n S n C C C C =+++
+，
∴11222
n n S n n -=
??=?，即123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=?．
（法二）：左边各组合数的通项为
r
n
rC 1
1!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --?-=?==---，
∴ ()123
012
1112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----+++
+=+++
+1
2
n n -=?． 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r
n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式
y x 32-中的系数无关.
解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*), 各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a ++
+,偶数项系数和为
9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .
②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .
④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- ,
令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a …(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为2
5110
+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a , ∴偶数项的系数和为2
5110
-.
⑤x 的奇次项系数和为2
5110
9531-=++++a a a a ;
x 的偶次项系数和为2
5110
10420+=++++a a a a .
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求
n x
x 2)1
2(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意992222=-n n ,解得5=n .
①10
1
(2)x x
-的展开式中第6项的二项式系数最大,
即8064)1()2(555
10156-=-??==+x
x C T T .
②设第1+r 项的系数的绝对值最大,
则r r r
r r r r r x C x
x C T 2101010101012)1()1
()2(---+???-=-??=
∴??????≥??≥?--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得?????≥≥+-1
10
101
101022r r r r C C C C ,即???-≥+≥-r r r r 10)1(2211 ∴3
1138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：2
23
(3)n
x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=， 又展开式中二项式系数和为2n
， ∴22
2992n
n -=，5n =．
（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴22
3
226
335
()(3)90T C x x x ==，22232
23
33
45
()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则2
1045233
15
5
()
(3)3r r r
r r
r r T C x x C x
+-+==，
∴1155
11
55
33792233r r r r r r r r C C r C C --++?≥??≤≤?≥??，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，226424
3
3
55
()(3)405T C x x x ==．
例11．已知)(1222
21221
1
+---∈+?++++=N n C C C S n n n n n n n
n ，
求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式
∵1122
1
22221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=+++
+?+=+3n =，
∴14--n S n 341n
n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*
k N ∈）， ∴14--n S n 2381k
k =--(81)81k k =+--
011
1888181k k k k k k C C C k --=++
++-- 011
228(88)8k k k k C C C -=++
+ （*） ，
当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
三、课堂练习：
1．
)()4
5
1
1x -展开式中4
x 的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n
n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式
中，6
x 的系数为 3．若二项式2
31(3)2n
x x
-
（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％
B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间
D.在8％以上
5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n
x -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22
p q -
6．求和：
()23410123
11111111111n n
n
n n n n n a a a a a C C C C C a a a a
a
+------+-++------．
7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1
32
2n n n ->+．
8．求()10
2x +的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16n
f x x n =->
3. B
4. C
5. D
6. ()1
1n a a ---
7. (略) 8. 33115360T x +=
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 2
1．已知2
(1)n
a +展开式中的各项系数的和等于5
216
5
x ? ?的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈
答案：a =2．设()()()()()5
9
14
13
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++
求：① 0114a a a ++
+ ②1313a a a ++
+．
答案：①9
3
19683=； ②
()
9
53
32
+=
3．求值：0123456789
9999999999
22222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-． 答案：8
2=
4．设296
()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）6
3729=；
（2）所有偶次项的系数和为631
3642-=； 所有奇次项的系数和为631
2
+=六、板书设计（略）
七、教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式
系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2
+4ab 3+b 4.
对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用n
n n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n 的展开形式就可写成(a +b )n =n n n r r n r n n n n
n b a b a a b a a a
a +++-- 110
现在的问题就是要找r
n
a 的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算
2007年高考题
1．（2007年江苏卷）若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（B ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．（2007年湖北卷）如果n
x x ??? ?
?-3
223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为
A.3
B.5
C.6
D.10
【答案】：B. 【分析】：22()325132(3)
()3(2)3(2)r
n r
r r n r r n r r r n r
r n r r n n n T C x C x C x x
------+=-
=-=-， 250n r -=，52
r
n =
（2,4,r =）。min 5n =.
【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.
【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r 的关系。 【备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。
3．（2007年江西卷）已知
n
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和
之比为64，则n 等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．5
Ｃ．6
Ｄ．7
4．（2007年全国卷I ）21n
x x ??- ??
?的展开式中，常数项为15，则n =（ D ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．（2007年全国卷Ⅱ）8
21(12)x x x ?
?+- ??
?的展开式中常数项为 42- ．（用数字作答）
6．（2007年天津卷）若6
21x ax ??+ ??
?的二项展开式中2
x 的系数为52，则a = 2 （用数字作答）．
7．（2007年重庆卷）若n
x
x )1(+
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A10 B.20 C.30 D.120
8．（2007年安徽卷）若(2x 3+
x
1)a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 7 .
9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 21n
- 行；第61行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… ……………………………………… 图1
《杨辉三角》导学案1 课前预习学案 一、预习目标 借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。 二、预习内容 1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________； 2、( 1+x) n=________________________________________________； 练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。 想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？ 画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。 课内探究学案 一、学习目标 ①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律； ②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；二、学习重难点： 学习重点：二项式系数的性质及其应用； 学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 三、学习过程 （一）、杨辉三角的来历及规律
问题1：根据( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现 什么规律？ 问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？ 对于( a+b) n 展开式的二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= r n C ，定义域为{0，1，2，…，n} 问题3：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。 （二）二项式系数的重要性质 1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即m n C =m n n C - 分析： 2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。 提示：（1）讨论k n C 与1-k n C 的大小关系。 （2）讨论k k n )1(+-与1的大小关系。 3、各项二项式系数的和：( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n 分析：赋值法的应用。 四、典型例题（性质4） 试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 分析：奇数项的二项式系数的和为0n C +2n C +4n C +…， 偶数项的二项式系数的和为1n C +3n C +5 n C +…， 由于(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+n n C b n 中的a,b 可以取任意实数，因
§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行 两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自 变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1 k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12 n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
杨辉三角（1） 目的要求 1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。 2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3．通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。 内容分析 本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。 研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。 教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。 以下主要分小组合作研究杨辉三角的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。 教学过程 （一）回顾旧知 1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图（附后），同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。
教师介绍杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角，回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式 n b a) (+展开 式的系数列 } {R N C。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边 上的“高”，即 r n n r n c C- =。 3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的 两数之和，即 r n r n n r n C c C 1 1- - - + =。 （二）分组研究杨辉三角横行规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组） 1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为：
杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，
1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C
1．3．2“杨辉三角”与二项式定理 昌邑一中吴福顺 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2） . 2 ．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课： （首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉） 1 二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数 定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵， ∴相对于的增减情况由决定，， 当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则
（讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数） 三、讲解范例： 例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则， 即， ∴， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． （搜索赋值法，了解什么是赋值法） 说明：由性质（3）及例1知 . 例2．已知，求： （1）；（2）；（3） . 解：（1）当时，，展开式右边为 ∴， 当时，，∴， （2）令，① 令，② ①②得：，∴ . （3）由展开式知：均为负，均为正， ∴由（2）中①+②得：， ∴， ∴ 例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 解： =，
杨辉三角在二项是中的应用 一、课题：二项式系数的性质（1） 二、教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； 3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力。 三、教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。 四、教学过程： （一）复习： 1．二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数． （二）新课讲解： 1．二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，如下表所示： 1()a b +……………………1 1 2()a b +…………………1 2 1 3()a b +………………1 3 3 1 4()a b +……………1 4 6 4 1 5()a b +…………1 5 10 10 5 1 6()a b +………1 6 15 20 15 6 1 ……………………………… 上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？） 这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表叫杨辉三角。利用这一性质，可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时， 其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ +++，令1x =， 则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++． 3．例题分析： 例1 在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中， 令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-+ +-， 即02130()()n n n n C C C C =++ -++， ∴0213n n n n C C C C ++=++，
《杨辉三角与两数和的乘方》教学设计 教学目标： 知识与技能： 1、探究并掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的联系，会利 用这种关系写出两数和的乘方的展开式。 2、探究杨辉三角的数字规律，并能运用这些规律写出杨辉三角， 解决简单的纵横路线图问题。 过程与方法： 1、引导学生观察，讨论，合作学习，让学生充分感受到知识的产 生和发展过程，让学生学会自主探究新事物。 2、通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的猜想 a-的展开式让学生体会转化的数学归纳能力。通过计算()5b 思想方法。 3、通过求()62+a中4a项的系数，让学生学会数学中的赋值 法。 情感态度与价值观： 1、介绍杨辉三角的数学历史，增强学生民族自豪感。 2、采用小组讨论的方式探究杨辉三角的规律，培养学生合作意识， 同时激发学数学的兴趣和热情，增强自信心，引发自主学习的 内在动力。 3、通过象棋问题引入杨辉三角最后又运用杨辉三角解决象棋问题 让学生感受到数学源于生活又服务于生活，数学与现实生活密
切相关而不是割裂的，体会数学在生活中的应用价值，从而提高学习数学的积极性。 教学重点： 1、探究杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系。 2、探究杨辉三角的数字排列规律。 教学难点： 1、利用杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系计算 ()5b a-的展开式。 1+ 2、例2中将78看作()77 教材分析： （1）杨辉三角与两数和的乘方是浙教版七年级下册第三章的阅读材料，课程总目标对本节课的要求是通过教师在平时教学中渗透或通过学生课后阅读解杨辉三角的简史，掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数关系及杨辉三角数字排列规律。 （2）本节课是以整式的乘除为基础，对整式的乘法进行拓展，为高中学习二项式的展开式奠定基础。通过本节课的探究既能构建完整的知识框架，又能培养学生的数学素养。 （3）近几年的中考试题中频频出现杨辉三角，对此本节内容既是对整式乘除的巩固与拓展也是对学生知识的补充。 学情分析： 七年级学生自主学习能力比较薄弱，还无法用数学语言归纳概括比较复杂的数字规律。但是只要教师给予适当的引导、点拨他们还是
《杨辉三角》教案 教学目标 1、知识目标： （1）了解杨辉及杨辉三角。 （2）初步认识杨辉三角中行列数字的特点与规律。 2、能力目标： （1）培养学生查阅资料，运用图表和数学语言的能力； （2）培养学生观察能力，提出问题，分析问题的能力，归纳能力与增强创新意识。 3、情感目标： （1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神； （2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度； （3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。 教学重难点： 引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律，得出结论，从而培养学生自主学习的能力。 教学方法： 以学生自己探索研究为主，教师重在点拨指导。 教学手段： 多媒体辅助教学，导学提纲
课堂研究 一、引入 １、（有一位数学家说过：哪里有数，哪里就有美）用下列一些等式的优美规律来激发学生探究杨辉三角的兴趣 112=121 1+2+1=22 1112=12321 1+2+3+2+1=32 11112=1234321 1+2+3+4+3+2+1=42 ２、介绍杨辉（激发爱国热情） 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。二、学生自己观察归纳得出杨辉三角的一些特征
1.3.2杨辉三角周兰英 【教学目标】 知识与技能： 1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质； 2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律； 3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律. 方法与过程： 1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法； 2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感; 3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备. 情感、态度与价值观： 1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神． 2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神. 【教学重点、难点】 重点：杨辉三角的性质的发现 难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律 【教学方法与教学手段】 引导探索——合作交流——发现 计算机辅助教学 【教学过程】 复习回顾 简要回顾二项式定理，通项以及二项式系数相关概念. 一．本节知识点 1.杨辉三角：(a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2………………………………………………1 2 1 (a+b)3……………………………………………1 3 3 1 (a+b)4…………………………………………1 4 6 4 1 (a+b)5………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1 第行 1 (1) 第行 1 (1) 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？（至少两点） 2.二项式系数的性质（用式子表示） （1）（对称性） （2）当为偶数时，最大；当为奇数时，最大（增减性与最大值） （3）（各二项式系数的和） 二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表
2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
《杨辉三角》教案1 【教学目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 一、复习引入 1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________； 2、( 1+x) n=________________________________________________； 二、杨辉三角的来历及规律 练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式： (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2 (121) (a+b)3 (1331) (a+b)4 (14641) (a+b)5 (15101051) (a+b)6 (1615201561) …………………………… 爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
二项式系数的性质及应用 【学习目标】 1. 掌握二项式系数的性质 2. 培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力 【课前练习】 1. 已知c bx ax x f ++=2)( （1）若2)1(=f ，则=++c b a （2）若1-=+-c b a ，则=-)1(f 2. =+n b a )( ，其中二项式系数分别是 =+n x )1( 【活动方案】 活动一：理解二项式系数的性质 1. 请同学们阅读书37页到38页的材料——杨辉三角 2. 请大家写出当n 依次取0，1，2，3，… 时，将()n a b +展开式的二项式系数填入下表．
将上表改成三角形几何排列 3. 观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间的关系，从中你能发现二项式系数有什 么特点？ 4. 从函数的角度看，r n C 可看成以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{} n r N r r ≤∈,， 分别画出r C r f 6 )(=)61,0( =r 以及r C r f 7)(=)71,0( =r 的图像． 5．结合课前练习思考所有二项式系数的和是多少？ 总结： 1. 对称性 2. 增减性与最大值 3. 二项式系数的和
活动二：掌握二项式系数性质的应用——赋值法 例1证明：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 小结： 例2已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）0a ； （2）127a a a +++； （3）76543210a a a a a a a a -+-+-+- 变式训练：（1）求2 53126420()(）a a a a a a a ---+++ （2）求72172a a a +++ （3）求7 722 1222a a a +++
杨辉三角与二项式系数的性质 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去. 3．呈现合作交流
杨辉三角 知识要点 数列与数表问题常用的思考方法有： 1、观察：观察是解决数列数表问题的根本前提，许多数列数表问题首先是找规律问题，这需要观察出突破口。 2、对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系，必要时要用代数式表示出来。 3、周期性：许多数列数表问题是周期问题，特别是某些求某数在第几行第几列的问题。 4、递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系。 5、整体与动态分析。 6、利用特殊位置：比如中间项，拐角，最大数或最小数等。 7、结合奇偶分析或整除分析等。 典题解析 基础过关 1、计算。 （1）、1＋2＋3＋4＋…＋19＋20＝ （2）、1＋3＋5＋7＋…＋27＋29＝ （3）、1＋4＋7＋10＋…＋37＋40＝ （4）、2＋6＋10＋14＋…＋46＋50＝ 2、我们知道，45在62和72之间，而2013在（）2和（）2之间。（请你填入两个连续的自然数） 3、请依照每一个数列的规律，填出括号内的数。 （1）、1,2,3,4,5，（），7,8，…… （2）、1,3,5,7，（），9,11，…… （3）、2,4,6,8,10，（），12，14，…… （4）、1,4,7,10,13，（），……
（5）、1,4,9,16,25，（），…… （6）、2,5,10,17,26，（），…… （7）、2,4,8,16,32，（），…… （8）、1，1,2,3,5,8，（），…… （9）、1,3,6,10,15,21，（），…… （10）、2,6,12,20,30,42，（），…… 例题1、下面是按规律排列的杨辉三角： （1）杨辉三角第8行第2个数是； （2）杨辉三角第一行所有数之和为1，第2行所有数之和为2，第3行为4，第4行为8……那么，第10行的所有数之和是，第12行的所有数之和是； （3）我们知道，110＝1,111＝11,112＝121,113＝1331，观察杨辉三角， 快速写出114＝； （4）观察图（2）的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右边的数。如：1＋2＋3＝6，照此规律，第8行的第3个数是； （5）从杨辉三角的第一行数作为一个顶点，在图中任意框出一个平行四边形，如图（3），之后对比旁边从A到B的最短路线问题（图4），你会发现最短路线的总数恰好是图（3）的最下面一个数。照此规律，你能否快速说出图（5）中从C点到D点的最短路线有多少条？
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习 一、选择题 1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )． A ．2n ＋1 B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋ 1－2 2 ．在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )． A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 3．(2 )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 4 ．已知1n x ???展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )． A ．第19项 B ．第17项 C ．第17项或第19项 D ．第18项或第19项 5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )． A ．1 B ．－1 C ．36 D ．26 二、填空题 6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3 ＋…＋a 11的值为__________． 7．(2012安徽安庆模拟，理14)设 (1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________． 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶ 3. 三、解答题 9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于5 2165 x ? ?的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 杨辉三角与 二项式系数的性质教案 教学目标：掌握二项式系数的四个性质。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 一，复习1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式： 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） 课本32页探 究： ，。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性： ，
。 （2）增减性与最大值: , . . （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++， 令 ，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++ +++ 三，课堂小练 （1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。 注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。 （4）=++++77372717C C C C 。 三、讲解范例： 例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：
二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 11 01C C 02 C 12 C 2 2C 0 3 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C
下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释） 【提示】设这一数为 r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n . 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝ 当n=5及n=6时，分别作出其图象 图1 图2 据图可分析出函数r n C r f =)(，图象的对称轴是2 n r = 3、二项式系数的性质 据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． [典型问题] .已知5 15C =a ，9 15C =b ，那么10 16C =__________；