导数的概念及运算
知识点一：函数的平均变化率
（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△
y=f(x
0+△x)-f(x
)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。
注意：
①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义
函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）
注意：
①增量可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x
0，y
)及其附近一点Q(x
+△x,y
+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾
斜角为当点Q(x
0+△x,y
+△y)沿曲线无限接近于点P(x
，y
)，即△x→0时，
割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(2)导数的几何意义：
函数在点x
的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。
注意：
①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。
②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；,
切线与轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：
。
4．瞬时速度：
物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。
如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t 到t+△t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限，即。
如果把函数看作是物体的位移公式），导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。规律方法指导
1．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即。
注意：
（1），式子中、的值可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零。若函数为常数函数时，。
（2）在式子中，与是相对应的“增量”，即在时，。
（3）在式子中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。
2．如何求函数在一点处的导数
（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。
①计算函数的增量：；
②求平均变化率：；
③取极限得导数：。
（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。
3．导数的几何意义
①设函数在点的导数是，则表示曲线在点（）处的切线的斜率。
②设是位移关于时间的函数，则表示物体在时刻的瞬时速度；
③设是速度关于时间的函数，则表示物体在时刻的加速度；
4．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
①求出在处的导数；
②利用直线方程的点斜式得切线方程为。
类型一：求函数的平均变化率
1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值. 思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.
举一反三：
【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。
【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，]；
（4）[1，].
【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到，，各段内的平均速度（位移s
的单位为m）。
【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
类型二：利用定义求导数
2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。
举一反三：
【变式1】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线上一点处的切线方程。
【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.
举一反三：
【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：
（1）平行于直线y=4x―5；
（2）垂直于直线2x―6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角。
知识点三：常见基本函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
知识点四：函数四则运算求导法则
设，均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）知识点五：复合函数的求导法则
或即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
规律方法指导
1．求复合函数的导数的一般步骤
①适当选定中间变量，正确分解复合关系；
②分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
③把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
类型一：利用公式及运算法则求导数
1、求下列函数的导数：
（1）；（2）（3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
（1）；（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6
2、求下列各函数的导函数
（1）；（2）y=x2sinx; （3）y=；（4）y=
举一反三：
【变式1】函数在处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】下列函数的导数
（1）；（2）
【变式3】求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）.
类型四：复合函数的求导
3、求下列函数导数.
（1）；（2）；（3）；（4）.
举一反三：
【变式1】求下列函数的导数：
（1）；（2）（3）y=ln（x＋）；（4）
类型五：求曲线的切线方程
4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
举一反三：
【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.
【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.
【变式3】已知曲线.
（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【变式4】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
5、已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
举一反三：
【变式1】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________. 【变式2】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.
导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠
导数公式默写 1．平均变化率：一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为： 2、导数的定义：设函数()y f x =在区间()a,b 上有定义，0x ∈()a,b ，若x ?无限趋近于____时，比值 00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个______A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该______为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0'()f x ． 3．导数的几何意义：)(x f 在0x x =处的导数________就是)(x f 在0x x =处的___________． 4、用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：___________________________． 5．几个常见函数的导数公式： （1）()kx b '+= （,k b 为常数）； （2）='C （C 为常数）；（3）()x '= ； （4）2()x '= ；（5）3()x '= ； （6）1()x '= ； （7）'= ． 6．基本初等函数的求导公式： （8）)('a x =___________（a 为常数）； （9）()x a '= （0>a ，且1≠a ） （10）(log )a x '= （0>a ，且1≠a ）；（11）()x e '= （12）=' )(ln x （13）=')(sin x ； （14）=')(cos x ． 7、函数的和、差、积、商的求导法则： 法则1： []='±)()(x g x f 法则2：[]=')(x Cf （C 为常数） 法则3：[]=')()(x g x f 法则4：='?? ????)()(x g x f (0)(≠x g ) 8、复合函数的导数公式
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：
要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念A了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理A 高考要求 模块框架 导数及其应用
了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A
§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率
导数的概念与计算 一、基础知识 1、几何意义：函数)(x f y =在点x=0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) 1 )'(-=n n nx x . (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 4、导数的运算法则 （1）)(')('))'()((x g x f x g x f ±=± （2）)(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f += （3）) () (')()()(')')()(( 2 x g x g x f x g x f x g x f -=. 备注：准确理解曲线的切线，需注意的两个方面： （1）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点． （2）曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3 在其过（0,0）点的切线y ＝0的两侧． 二、典型例题 1、求曲线132 3 +-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程 2、若直线y=x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a= 3、若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1) 当曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0； (2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝f ′（x 0）（x －x 0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e )＋ln x ，则f(e )＝________ 三、随堂练习 1、（2016年全国II 卷） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.当 4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程 2、（2016年全国III 卷）已知为偶函数，当 时， ，则曲线在点处的切线方程式 _____________________________. 3、[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则 a ＝________． 4、[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________． 5、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.求b ； 6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.求a ； 7、[2012·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 8、[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x ，曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.求a ，b 的值； 导数的综合应用 ()f x 0x ≤1()x f x e x --=-()y f x =(1,2)
第二章导数与微分 本章教学目标与要求 理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 本章教学重点与难点 1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导； 4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算 §2.1 导数的概念 教学目的与要求 1.理解函数导数的概念及其几何意义. 2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线. 3.了解导数与导函数的区别和联系. 4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系. 教学重点与难点 1.函数导数的概念、基本初等函数的导数 2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数 一、引例 导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的． 下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．
1．瞬时速度 思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。 在中学里我们学过平均速度 t s ??，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”. 设质点运 动的路程是时间的函数 )(t s ，则质点在 0t 到 t t ?+0 这段时间内的平均速度为 t t s t t s v ?-?+= ) ()(00 可以看出它是质点在时刻0t 速度的一个近似值，t ?越小，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越接近.故当0→?t 时，平均速度v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在0t 时刻的瞬时速度，即物体在 0t 时刻的瞬时速度为 t t s t t s v v t t ?-?+==→?→?) ()(lim lim 000_ （1） 思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为： 2 2 1gt s = ， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为 00020 2000000)2 1(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =?+=?-?+=?-?+=→?→?→?。 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式. 2．切线的斜率 思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？ 引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义. （1）切线的概念
【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数定义；求导公式；切线 二. 重点、难点： 1. 定义： 初导函数的导数公式2. ）∴（1）∴（2 ∴（3 ） ）（4∴且（）（5 ∴） （6 ）∴3. 导数运算）（1 2）（3）（ 【典型例题】 利用导数的定义求函数1] 处的导数值。[的导数，例并求该函数在 ∵解：从而，因此∴ 处可导，且x=a x2] 例，求下列极限：已知f（）在[ （1）2（） ）解：（1 ）（2
3] 求下列函数的导数。[例）（1解： ∴）2（解： ）（3解： （4）解： 5）（解：6）（解： ，求）。；（满足（4] 例[已知函数1）2 解： 求曲线在点P（2例5] ，4）处的切线方程。[时，4 ）在解：P上，（，2，∴ 在点A曲线处切线的斜率为15，求切线方程。[例6] ∴）解：设切点A （：∴∴∴ ）且与曲线相切的直线方程。2，0[例7] 过点P（A（）解：P不在曲线上，设切 点：∴ ∴∴：
[例8] 交点处两条切线的夹角正切值。求曲线与 1），解：交点（1∴ ）与曲线2，－相切的切线方程。9] 求过P（2[ 例）（设切点解：A ∴： ：∴∴．：或 ：的公切线（均相切的直线）10] C求曲线：C[例曲线，12 （A、C解：切于公切线与）BC（）21 ∴ ∴为同一条直线或 两公切线：∴， 且，已知且[例11] 。，求且解：∴ ∴∴∴）（（∴3）4 ∴∴ 【模拟试题】 的增量（） 1. 在导数的定义中，自变量x 0D. 不等于0 C. 等于0 小于 A. 大于0 B. ）及邻近一点（，的图象上取一点（2. 1在曲线2），则为（）
C. A. B. D. ，那么为（t一直线运动的物体，从时间时，物体的位移为到）3. 到时，物体的平均速度从时间t A. t时该物体的瞬时速度时间B. C. 当时间为时该物体的速度时位移的平均变化率到t从时间 D. 已知一物体的运动方程是（其中位移单位：m，时间单位：s4. ），那么该物体在3s时的瞬时速度是（） D. 8m/sA. 5m/s B. 6m/s C. 7m/s 函数的导数是（）5. D. 5+4xC. 5－2x A. 5+2x B. 5－4x ，若，则已知的值等于（） 6. B. D. A. C. （，则7. 若） D. A. B. C. （）的切线的倾斜角是（）抛物线上点M8. ° D. 90° C. 60° A. 30° B. 45年浙江）函数的图象与直线y=x 相切，则a=（9.（05） C. B. A. D. 1，则等于10. 若。 在点P（211. 抛物线，1）处的切线方程是。 已知曲线，则过点P（2，12. 4）的切线方程是。 ，且与曲线相切的直线的方程是垂直于直线。13. 14.（1）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：，求时，此球在垂直方向的瞬时速度。）之间的函数关系为s （2）质点P在半径为10cm，圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s，设该圆与x轴正半轴的交点A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上射影点M的速度。 和都经过点P（1，215. ），且在点已知两曲线P处有公切c的值。线，试求a，b，，（2已知曲线，及该曲线上的一点A），（1）用导数的定义求点A处16.
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在
3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 (2)导数的几何意义： 函数在点x 的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。 注意： ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角； ,切线与轴平行。 (3)曲线的切线方程 如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：
导数的基本概念及性质应用 考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值 3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。 能力：数形结合 方法：讲练结合 新授课： 一、 知识点总结： 导数的基本概念与运算公式 １、导数的概念 函数y =)(x f 的导数 )(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ y Δ的极限，即 )(x f '＝0 x Δlim →x Δ y Δ＝ x Δlim →x Δf(x) -x) Δ(+x f 说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数 函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '， 函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。 ３、导数的几何意义 设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线 斜率。 ４、求导数的方法 （１）基本求导公式 0='c )()(1Q m mx x m m ∈='- x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' x x 1 )(ln = ' a x x a ln 1 )(log = ' （２）导数的四则运算
v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( )0()(2 ≠= '' -'v v v u v u v u （３）复合函数的导数 设)(x g u =在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导， )()())(('''x u f x f x ??= 导数性质： 1、函数的单调性 ⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。 ⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。 ①确定函数)(x f 的定义区间 ②求)(x f '，令)(x f '＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。 ③把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间。 ④确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性。 说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关 2．可导函数的极值 ⑴极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有)(x f ＜)(0x f （或 )(x f ＞)(0x f ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值点。称0x 为极大（小）值点。 ⑵求可导函数极值的步骤。 ①求导数)(x f ' ②求方程)(x f '＝0的根 ③检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极小值。 说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相 当于给出了一个)(x f '＝0的方程 3．函数的最大值与最小值
课 题 导数的概念 课 型 新授 时 间 09/ 9 / 课程标准 1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义； 2、先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 一、自主学习 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。（即导数的几何意义） 4.自学检测： （1）见课本（文P66，理P14）练习 第1题： ； ；（说明什么？ ） 第2题：（1） ；（2） ；（3） 。 （2）见课本（文P67，理P16）习题 第2题：=)5(f ；=)5(' f ； 第4题：斜率为 ；切线方程为 。 二次备课：
导数： 1.若f(x)=c,则f‘（x）= 2. 若f(x)=x n（n∈Q?），则f‘（x）= 3. 若f(x)=sin x,则f‘（x）= 4.若f(x)=cos x,则f‘（x）= 5. 若f(x)= a x,则f‘（x）= 6. 若f(x)= e x,则f‘（x）= 7. 若f(x)= log a x,则f‘（x）= 8. 若f(x)= ln x,则f‘（x）= 9.【f(x)±g(x)】′= 10.【f(x).g(x)】′= 11.【f(x) g(x) 】′= 12.【cf(x)】′= 13. y=f(u),u=g(x)，则y=f（g（x））； y x′= sin2x= （e?x）′=
##导数：一般地，函数y=f （x ）在x=x 0处的瞬时变化率是 Δy Δx ?x→0lim = f (x 0+?x )?f(x 0)?x ?x→0lim ,称函数y=f （x ）在x=x 0处的导数，记作： f ‘（x ）或y ‘|x =x 0。即 f ‘（x 0）= Δy Δx ?x→0lim = f (x 0+?x )?f(x 0)?x ?x→0lim 。 ##函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率，也就是说曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率是f ‘（x 0）。相应地，过p 点的切线方程为： y-f （x 0）=f ‘（x 0）（x-x 0） ##导函数：如果函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）每一点都可导，就说函数f （x ）在开区间（a ，b ）可导。若函数f （x ）在开区间 （a ，b ）可导，则f （x ）在（a ，b ）每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ，b ）的导函数（简称导数）记作f ‘（x ）或y ‘或y ‘x 。 即f ‘（x ）=y ‘=Δy Δx ?x→0lim = f (x+?x )?f(x)?x ?x→0lim
【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时） 【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背 景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确 一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。 【教学重点】：在一点处导数的定义。 【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 【教学过程】： 一） 导数的思想的历史回顾 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。 二）两个来自物理学与几何学的问题的解决 问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：21()2 s t gt =，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。 问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为 00 ()()s t s t v t t -= - 若0t t →时平均速度的极限存在，则极限 000 ()()lim t t s t s t v t t →-=- 为质点在时刻0t 的瞬时速度。 问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。 下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数， 这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量
导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+???? ； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数
处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数
在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知