导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
导数公式默写 1．平均变化率：一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为： 2、导数的定义：设函数()y f x =在区间()a,b 上有定义，0x ∈()a,b ，若x ?无限趋近于____时，比值 00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个______A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该______为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0'()f x ． 3．导数的几何意义：)(x f 在0x x =处的导数________就是)(x f 在0x x =处的___________． 4、用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：___________________________． 5．几个常见函数的导数公式： （1）()kx b '+= （,k b 为常数）； （2）='C （C 为常数）；（3）()x '= ； （4）2()x '= ；（5）3()x '= ； （6）1()x '= ； （7）'= ． 6．基本初等函数的求导公式： （8）)('a x =___________（a 为常数）； （9）()x a '= （0>a ，且1≠a ） （10）(log )a x '= （0>a ，且1≠a ）；（11）()x e '= （12）=' )(ln x （13）=')(sin x ； （14）=')(cos x ． 7、函数的和、差、积、商的求导法则： 法则1： []='±)()(x g x f 法则2：[]=')(x Cf （C 为常数） 法则3：[]=')()(x g x f 法则4：='?? ????)()(x g x f (0)(≠x g ) 8、复合函数的导数公式
导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
第二章导数与微分 本章教学目标与要求 理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 本章教学重点与难点 1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导； 4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算 §2.1 导数的概念 教学目的与要求 1.理解函数导数的概念及其几何意义. 2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线. 3.了解导数与导函数的区别和联系. 4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系. 教学重点与难点 1.函数导数的概念、基本初等函数的导数 2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数 一、引例 导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的． 下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．
1．瞬时速度 思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。 在中学里我们学过平均速度 t s ??，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”. 设质点运 动的路程是时间的函数 )(t s ，则质点在 0t 到 t t ?+0 这段时间内的平均速度为 t t s t t s v ?-?+= ) ()(00 可以看出它是质点在时刻0t 速度的一个近似值，t ?越小，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越接近.故当0→?t 时，平均速度v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在0t 时刻的瞬时速度，即物体在 0t 时刻的瞬时速度为 t t s t t s v v t t ?-?+==→?→?) ()(lim lim 000_ （1） 思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为： 2 2 1gt s = ， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为 00020 2000000)2 1(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =?+=?-?+=?-?+=→?→?→?。 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式. 2．切线的斜率 思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？ 引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义. （1）切线的概念
【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数定义；求导公式；切线 二. 重点、难点： 1. 定义： 初导函数的导数公式2. ）∴（1）∴（2 ∴（3 ） ）（4∴且（）（5 ∴） （6 ）∴3. 导数运算）（1 2）（3）（ 【典型例题】 利用导数的定义求函数1] 处的导数值。[的导数，例并求该函数在 ∵解：从而，因此∴ 处可导，且x=a x2] 例，求下列极限：已知f（）在[ （1）2（） ）解：（1 ）（2
3] 求下列函数的导数。[例）（1解： ∴）2（解： ）（3解： （4）解： 5）（解：6）（解： ，求）。；（满足（4] 例[已知函数1）2 解： 求曲线在点P（2例5] ，4）处的切线方程。[时，4 ）在解：P上，（，2，∴ 在点A曲线处切线的斜率为15，求切线方程。[例6] ∴）解：设切点A （：∴∴∴ ）且与曲线相切的直线方程。2，0[例7] 过点P（A（）解：P不在曲线上，设切 点：∴ ∴∴：
[例8] 交点处两条切线的夹角正切值。求曲线与 1），解：交点（1∴ ）与曲线2，－相切的切线方程。9] 求过P（2[ 例）（设切点解：A ∴： ：∴∴．：或 ：的公切线（均相切的直线）10] C求曲线：C[例曲线，12 （A、C解：切于公切线与）BC（）21 ∴ ∴为同一条直线或 两公切线：∴， 且，已知且[例11] 。，求且解：∴ ∴∴∴）（（∴3）4 ∴∴ 【模拟试题】 的增量（） 1. 在导数的定义中，自变量x 0D. 不等于0 C. 等于0 小于 A. 大于0 B. ）及邻近一点（，的图象上取一点（2. 1在曲线2），则为（）
C. A. B. D. ，那么为（t一直线运动的物体，从时间时，物体的位移为到）3. 到时，物体的平均速度从时间t A. t时该物体的瞬时速度时间B. C. 当时间为时该物体的速度时位移的平均变化率到t从时间 D. 已知一物体的运动方程是（其中位移单位：m，时间单位：s4. ），那么该物体在3s时的瞬时速度是（） D. 8m/sA. 5m/s B. 6m/s C. 7m/s 函数的导数是（）5. D. 5+4xC. 5－2x A. 5+2x B. 5－4x ，若，则已知的值等于（） 6. B. D. A. C. （，则7. 若） D. A. B. C. （）的切线的倾斜角是（）抛物线上点M8. ° D. 90° C. 60° A. 30° B. 45年浙江）函数的图象与直线y=x 相切，则a=（9.（05） C. B. A. D. 1，则等于10. 若。 在点P（211. 抛物线，1）处的切线方程是。 已知曲线，则过点P（2，12. 4）的切线方程是。 ，且与曲线相切的直线的方程是垂直于直线。13. 14.（1）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：，求时，此球在垂直方向的瞬时速度。）之间的函数关系为s （2）质点P在半径为10cm，圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s，设该圆与x轴正半轴的交点A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上射影点M的速度。 和都经过点P（1，215. ），且在点已知两曲线P处有公切c的值。线，试求a，b，，（2已知曲线，及该曲线上的一点A），（1）用导数的定义求点A处16.
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -
课 题 导数的概念 课 型 新授 时 间 09/ 9 / 课程标准 1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义； 2、先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 一、自主学习 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。（即导数的几何意义） 4.自学检测： （1）见课本（文P66，理P14）练习 第1题： ； ；（说明什么？ ） 第2题：（1） ；（2） ；（3） 。 （2）见课本（文P67，理P16）习题 第2题：=)5(f ；=)5(' f ； 第4题：斜率为 ；切线方程为 。 二次备课：
导数： 1.若f(x)=c,则f‘（x）= 2. 若f(x)=x n（n∈Q?），则f‘（x）= 3. 若f(x)=sin x,则f‘（x）= 4.若f(x)=cos x,则f‘（x）= 5. 若f(x)= a x,则f‘（x）= 6. 若f(x)= e x,则f‘（x）= 7. 若f(x)= log a x,则f‘（x）= 8. 若f(x)= ln x,则f‘（x）= 9.【f(x)±g(x)】′= 10.【f(x).g(x)】′= 11.【f(x) g(x) 】′= 12.【cf(x)】′= 13. y=f(u),u=g(x)，则y=f（g（x））； y x′= sin2x= （e?x）′=
##导数：一般地，函数y=f （x ）在x=x 0处的瞬时变化率是 Δy Δx ?x→0lim = f (x 0+?x )?f(x 0)?x ?x→0lim ,称函数y=f （x ）在x=x 0处的导数，记作： f ‘（x ）或y ‘|x =x 0。即 f ‘（x 0）= Δy Δx ?x→0lim = f (x 0+?x )?f(x 0)?x ?x→0lim 。 ##函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率，也就是说曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率是f ‘（x 0）。相应地，过p 点的切线方程为： y-f （x 0）=f ‘（x 0）（x-x 0） ##导函数：如果函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）每一点都可导，就说函数f （x ）在开区间（a ，b ）可导。若函数f （x ）在开区间 （a ，b ）可导，则f （x ）在（a ，b ）每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ，b ）的导函数（简称导数）记作f ‘（x ）或y ‘或y ‘x 。 即f ‘（x ）=y ‘=Δy Δx ?x→0lim = f (x+?x )?f(x)?x ?x→0lim
【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时） 【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背 景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确 一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。 【教学重点】：在一点处导数的定义。 【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 【教学过程】： 一） 导数的思想的历史回顾 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。 二）两个来自物理学与几何学的问题的解决 问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：21()2 s t gt =，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。 问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为 00 ()()s t s t v t t -= - 若0t t →时平均速度的极限存在，则极限 000 ()()lim t t s t s t v t t →-=- 为质点在时刻0t 的瞬时速度。 问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。 下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极
导数概念与计算 4 2 若函数f(x) ax bx c ，满足f '⑴ 2，贝y f'( 1)( 已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( ) A . (0,0) B . (1,1) C . (0,1) D . (1,0) 已知f(x) xln x ，若 f '(X 。) 2，则 X 。 ( ) 2 In 2 D . In2 A . e B . e C . 2 曲线y e r 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A . 1 B . 2 C . e 1 D .- e 设 f °(x) sin x , f'x) f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x) ,…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X ) 等于( ) A . si n x B . si nx C . cosx D . cosx 已知函数 f (x) 的 勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)( ) A . e B . 1 C . 1 D . e 曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为 _____________________ 过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _____________ ，切线的斜率为 求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (3) f (x) x ^ax 2 ln(1 x) 2 (5)y xe 1 cosx 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & 9. B . 2 C . 2 D . 0 (1) f (x) ax 1 2ln x x (2) f(x) x e 2 1 ax (4) y xcosx sin x (6) y
导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数
处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数
在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知
习题二 (A 层) 1. 利用导数定义计算 (1) 已知x x f =)(, 求)4(f '. (2) 已知x x f 1)(=, 求)1(-'f . (3) 已知3)(x x f =, 求)(x f '. (4) 已知632)(2++=x x x f , 求)(x f '. 2. 如果)(x f 在点0x 处可导, 求 (1) h x f h x f h )()2(lim 000--→. (2) h h x f x f h )3()(lim 000 +-→. 3. 求曲线x y ln =在)1,(e 处的切线方程. 4. 求抛物线2x y =上的一点, 使得该点切线平行于32+=x y . 5. 函数? ??≥<+=1,21,1)(2x x x x x f 在点1=x 处是否可导?为什么? 6. 求下列函数的导数 (1) 2 336e x x y +-=; (2) 92++=x x y ; (3) 32x x x y ?=; (4) x x y )1(3+=; (5) )52(333x x x y -=; (6) b a x y += (b a ,为常量); (7) 512-+=x e x y ; (8) x x y cos sin 1+=; (9) )cos (sin x x e y x -=; (10) 3sin cos 32π+=x x y ; (11) x x x y sin ln =; (12) x x x y cos sin +=; (13) 2ln x x y =; (14) 212x x y -=; (15) x x y sin 1cos 3+=; (16) x x y ln 1ln 1+-=. 7. 求下列函数的导数 (1) 1002)1(+=x y ; (2) x x e y x +=1 ; (3) 6)12(+=x y ; (4) )51sin(x y -=; (5) x y 2sin =; (6) 2x e y =; (7) x y cos ln =; (8) 21x y -=; (9) x x y 1sin 2=; (10) x y x cos 22sin +=; (11) )3(cos 3x y =; (12) 3ln sin x y =; (13) x x y 5sin sin 3?=; (14) 21x x y -=. 8. 求下列隐函数的导数 (1) 5432=+-x y y ; (2) 05222=+-x xy y ; (3) y x e xy +=; (4) 1=-y xe xy . 9. 求下列函数的二阶导数y '' (1) 7632-+=x x y ; (2) x x y ln 2=; (3) x x y arctan )1(2+=; (4) 9=+y e xy . 10. 求下列函数的高阶导数 (1) n x y =, 求)4(y .
第三篇导数及其应用 第1节导数的概念与计算 【选题明细表】 知识点、方法题号 导数的概念与运算1,2,9,11 导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10 导数的综合12,13,14,15 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016莆田模拟)已知f(x)=ln x,则f′(e)的值为( D ) (A)1 (B)-1 (C)e (D) 解析:因为f(x)=ln x, 所以f′(x)=, 则f′(e)=. 2.(2016榆林模拟)函数y=x2sin x的导数为( A ) (A)y′=2xsin x+x2cos x (B)y′=2xsin x-x2cos x (C)y′=x2sin x+2xcos x (D)y′=x2sin x-2xcos x 解析:y′=(x2)′sin x+x2 (sin x)′=2xsin x+x2cos x. 3.(2016山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A ) (A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2 解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0
得x=2,所以S=e2. 4.(2016北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于( A ) (A) (B)3 (C)4 (D)5 解析:直线过点(0,3),(4,5), 所以直线斜率k=,即f′(4)=. 5.(2016成都模拟)函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是( B ) (A)2 (B)2(C)(D)1 解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a, 所以f′(x)=+2x-b, 所以k=f′(b)=+2b-b=+b≥2, 当且仅当=b时取等号, 即b=时,k取得最小值2. 6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于( A ) (A)-2 (B)1 (C)-1 (D)2 解析:因为y′= =,
第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0