什么是标准差（standard deviation）呢？根据国际标准化组织（ISO）的定义：标准差σ是方差σ2的正平方根；而方差是随机变量期望的二次偏差的期望，这个就不用解释了。
什么是标准误差（standard error）呢？看了些文献，有的还是大牛的，定义都不统一，通常来说有两种定义方式：
1、样本容量为的标准误差是样本的标准差除以。ps：这里还有人用样本的标准差除以n来作为标准误差（估计是弄错了，不过标准误差是基于总体均值来估计标准差，所以也没有必要说人家错）；
2、一个统计量的标准误差还可以用估计误差的标准差来刻画即：。
下边来自编辑学报郝拉娣的《标准差与标准误》，相关性也比较大，希望对大家有帮助。
标准差作为随机误差(或真差) 的代表,是随机误差绝对值的统计均值。在国家计量技术规范中,标准差的正式名称是标准偏差,简称标准差,用符号σ表示。标准差的名称有10 余种,如总体标准差、母体标准差、均方根误差、均方根偏差、均方误差、均方差、单次测量标准差和理论
标准差等。标准差的定义式为：用样本标准差s 的值作为总体标准差σ的估计值。样本标准差的计算公式为：。
在抽样试验(或重复的等精度测量) 中, 常用到样本平均数的标准差,亦称样本平均数的标准误或简称标准误( standard error of mean) 。因为样本标准差s 不能直接反映样本平均数 x 与总体平均数μ究竟误差多少, 所以, 平均数的误差实质上是样本平均数与总体平均数之间的相对误。可推出样本平均数的标准误为，其估计值为，它反映了样本平均数的离散程度。标准误越小, 说明样本平均数与总体平均数越接近,否则,表明样本平均数比较离散。
标准差是表示个体间变异大小的指标,反映了整个样本对样本平均数的离散程度,是数据精密度的衡量指标;而标准误反映样本平均数对总体平均数的变异程度,从而反映抽样误差的大小,是量度结果精密度的指标。
计算方法 怎么计算它的大小呢？由标准差的概念可知，标准差反映离散程度的大小，那么多次抽取样本，把这些样本的均值集中起来作为一个新样本，计算它们的标准差，就可以反映它们的离散程度，离散程度大，说明这些均值偏离总体均值“5”越远，也就是抽样误差越大，这就是标准误—standard error。这里的error就是“误差”的英文，所以标准误其实应叫做“标准误差”，我们可以理解为由“标准差”计算得出的“误差”。
到这里可能有的人会说，我实际中怎么可能这么多次抽样呢，书上的公式也不是这样算的啊。没错，实际中我们一般只会抽样一次，而教科书上给出的公式就是通过一次样本的数据来计算标准误，即用样本标准差除以样本量的平方根。至于为什么公式是这样，这个公式准不准，已有统计学家的前辈们研究过了，我们只要去用就行了。如果想了解其原理，可以去更做深一步的研究。 举例 标准误在统计学中的应用十分广泛，以最简单的t检验为例，虽然t检验是应用最广泛的统计学方法之一，但很少有人思考过t值的意义。以单样本t检验为例，我们发现t值公式的分母就是标准误，代表抽样误差，而分子是两均数的差值，也就是实际差异。 所以t值就是实际差异与抽样误差的比值，如果实际差异大，t值就大，抽样误差大，t值就小。当t值大于某个临界值（可查表得出）时，我们更相信两组数据真的有差异，而不是抽样误差，结果就比较可靠，比如我们论文中常用的P＜0.05，反之亦然。 需要注意的一点是，虽然我们用t检验来举例，教科书也把标准误放在t检验的章节，但不代表标准误是均数独有的，也可以是率或其他统计量，因此说标准误是“均数的标准差”是片面的，更合理的说法是“统计量的标准差”。 so，关于“标准差”和“标准误”的区别，你get了吗？ 扫码关注我们
标准差（Standard Deviation ） ，也称均方差（mean square error ），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用S （σ）表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式： ()1 n x x S n 1 i 2 i --= ∑= 或 1 n n x x S 2 n 1i i n 1 i 2i -??? ??- =∑∑ == 即： () 1 n x x 1 n n x x S n 1 i 2 i 2 n 1i i n 1 i 2i --= -??? ??- = ∑∑∑ === 如是总体，标准差公式根号内除以n 如是样本，标准差公式根号内除以（n-1) 因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1) 公式意义 所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准
差越低,代表实验的数据越精确 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
1．数据8，10，9，11，12的方差是 （ ） A ．2 C. 10 D ．50 2．如果一组数据1x , 2x ,… n x 的方差是2，那么另一组数据13x , 23x ,… 3n x 的方差是 （ ）A. 2 B. 18 C. 12 D. 6 3．（2003?四川）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为甲=82分，乙=82分，S 甲2=245，S 乙2 =190，那么成绩较为整齐的是（ ） A ．甲班 B ．乙班 C ．两班一样整齐 D ．无法确定 4．若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．50 5.小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的( ). A.平均数; B.方差; C.众数; D.中位数. 二、填空题 1．（2006?浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿 泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S 甲2=4.8，S 乙2=3.6．那么 _________ 罐装的矿泉水质量比较稳定． 2．（2002?宁夏）已知一个样本1，4，2，5，3，那么这个样本的标准差是 _________ ． 3．已知一个样本1，2，3，x ，5，它的平均数是3，则这个样本的极差是 _________ ；方差是 ________ ． 4．（2007?贵阳）如图所示是甲、乙两地某十天的日平均气温统计图，则甲、乙两地这10 天的日平均气温的方差大小关系为：S 甲2 _________ S 乙2（用＞，=，＜填空）． 5. 如果一组数据 1x , 2x ,… n x 的平均数是x ，方差为2S ,那么 （1）新数据 1ax , 2ax ,… n ax 的平均数是 ，方差为 ； （2）新数据 1x b +, 2x b +,… n x b +的平均数是 ，方差为 ； （3）新数据 1ax b +, 2ax b +,… n ax b +的平均数是 ，方差为 .
标准偏差 标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。 标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按贝塞尔公式计算。 样本标准差的表示公式 数学表达式： ?S-标准偏差（%） ?n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 ?i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 z ?在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 ?如果价格保持平稳，这个指标值不高。 ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很 低。 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以(n - 1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i? X σ2 = l2? X …… σn = l n? X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即
标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中 标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中的Pooled standard deviation(合并标准差) 做数据分析，经常会碰到提到标准差σ这个概念，关于标准差σ的计算方式，目前，本人知道有4种标准差σ的计算方法，如下： 一，简易标准差σ的计算方式 上面是计算整体的标准差，如果是计算样本的标准差，这里的N, 应该为N-1. 一般情况下，都是计算样本的标准差。关于这个标准的详细运算公式和案例分析，可以参考附件，里面有比较详细的解释。 标准差的简易计算公式和案例分析.rar(28.19 KB, 下载次数: 1262) 二，XBAR－R管制图分析( X－R Control Chart)图中的Rbar/d2 算法 XBAR－R管制图分析( X－R Control Chart)：由平均数管制图与全距管制图组成。 ●品质数据可以合理分组时，可以使用X管制图分析或管制制程平均；使用Ｒ管制图分析制程变异。 ●工业界最常使用的计量值管制图。
关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考帖子下面的表格三，XBAR－ｓ管制图分析( X－ｓControl Chart)中的Sbar/C4算法 XBAR－S 管制图分析( X－S Control Chart)：由平均数管制图与标准差管制图组成。 ●与X－R管制图相同，惟s管制图检出力较R管制图大，但计算麻烦。 ●一般样本大小ｎ小于等于8可以使用R管制图，ｎ大于8则使用S管制图。 ●有电脑软件辅助时，使用S管制图当然较好。
.方差与标准差
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§2、1 方差与标准差审核人：戴蔚 【目标导航】 1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性. 2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义. 3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验. 【要点梳理】 1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感. 2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小 3．设在一组数据X1，X2，X3，X4，……X N中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3- ）2，……，（X n- ）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= . 4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。 5．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？ 7．为什么要除以数据的个数n? 8．标准差与方差的区别和联系？ 【问题探究】 知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性 例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：mm）A厂：40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 ，40.2 ，39.8 ，40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 B厂：39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 ，39.9 ，40.1 ，39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？ 2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗？ 3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？ 直径/mm 直径/mm
标准差 标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1. 图1 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。 图2 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差 次数分布中的数据不仅有集中趋势，而且还有离中趋势。所谓离中趋势指的是数据具有偏离中心位置的趋势，它反映了一组数据本身的离散程度和差异性程度。标准差能综合反映一组数据的离散程度或个别差异程度。 例如，甲、乙两班学生各50人，其语文平均成绩都是80分，但甲班最高成绩98分，最低42分，而乙班最高成绩86分，最低60分。初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐；而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些。怎样用标准差这个特征量数来刻画一组数据的差异程度呢？下面介绍标准差的概念及计算。 一、标准差概念与计算 1.标准差定义与计算公式 一组数据的标准差，指的是这组数据的离差平方和除以数据个数所得商的算术平方根。若用S 代表标准差，则标准差的计算公式为： 标准差的平方，称为方差，用S2表示方差。 计算标准差时，首先要计算数据的平均数，接着要计算各数据与平均数之间的离差 平方，即（）2，最后由公式（2-5）计算标准差S。 例如，4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下： ①求平均数：（厘米） ②求离差平方和： )2=(110―120)2+(100―120)2+(120―120)2+(150―120)2 =100+400+0+900=1400（平方厘米） ③求标准差S：S= （厘米）
这样，我们大体可认为，这4名儿童身高差异程度，从平均角度来看，约相差18.71厘米。 2.标准差的计算中心方法 计算标准差的方法有三种，一是按公式逐步分析计算，如上述所示；二是以列表计算的方式；三是利用计算器或计算机进行计算。下面再举一例说明采用列表方式计算标准差S。 [例7] 已知8 位同学在某图形辨认测验中的成绩数据（见表2-2），计算这组数据的标准差。 [分析解答] 采用列表计算方式,应用公式（2-5）确定数据的标准差，详见表2-2。 表2-2 计算标准差S的示例 - () (1) = (2) () = 标准差在实际中有广泛的用途，同时对深化研究数据也具有重要的作用。如不同班级考试成绩的平均数和标准差，不同年度或不同学科测验分数的平均数和标准差，以及其他体能测试或心理测验数据的平均数和标准差，就是一些具体的应用。后续各章内容的学习，将经常用到平均数、标准差和方差这些概念。 由于标准差计算公式结构适合于代数处理，因此，许多具有统计功能的计算器，都有计算方差和标准差的相应功能。学习者只要花少量时间学习与掌握有关计算器的使用，即可以轻松自如地处理大量数据，求取平均数和标准差。 在利用公式（2-5）手工求标准差时,如表2-２所示，由于平均数有小数，这使计算离差平方的数据更加复杂,小数点的位数加倍增加，同时四舍五入的计算误差以及出错的可能性都有所增加。为克服这个弊病，我们可从公式（2-5）出发,通过代数演算，推导出另一个与公式（2-5）等价的新公式，即公式（2-6）。这一新公式对计算标准差来讲，不用通过计 算平均数以及离差平方和，用原始数据直接计算标准差，因而在许多情况下，具有更简便、准确的特点。其计算公式：
标准差σ的4种计算公式
标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中的Pooled standard deviation(合并标准差) 做数据分析，经常会碰到提到标准差σ这个概念，关于标准差σ的计算方式，目前，本人知道有4种标准差σ的计算方法，如下： 一，简易标准差σ的计算方式 上面是计算整体的标准差，如果是计算样本的标准差，这里的N, 应该为N-1. 一般情况下，都是计算样本的标准差。关于这个
关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考https://www.doczj.com/doc/b213169371.html,/thread-476-1-1.html帖子下面的表格 三，XBAR－ｓ管制图分析( X－ｓControl Chart)中的Sbar/C4算法 XBAR－S 管制图分析( X－S Control Chart)：由平均数管制图与标准差管制图组成。
●与X－R管制图相同，惟s管制图检出力较R 管制图大，但计算麻烦。 ●一般样本大小ｎ小于等于8可以使用R管制图，ｎ大于8则使用S管制图。 ●有电脑软件辅助时，使用S管制图当然较好。 关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考https://www.doczj.com/doc/b213169371.html,/thread-476-1-1.html帖子下面的表格 四，Minitab中所使用的Pooled standard
deviation(合并标准差) Minitab中所使用的Pooled standard deviation，这个标准差的计算和一般的不一样，这个是Minitab默认的，相关的计算公式可以参考《Minitab: Pooled standard deviation》https://www.doczj.com/doc/b213169371.html,/thread-288-1-1.html Minitab: Pooled standard deviation(合并标准差), Rbar, Sbar Pooled standard deviation(合并标准差) is a way to find a better estimate of the true standard deviation given several different samples taken in different circumstances where the mean may vary between samples but the true standard deviation (precision) is assumed to remain the same. It is calculated by where sp is the pooled standard deviation,
标准差(Standard Deviation) 和标准误差(Standard Error)本文摘自 Streiner DL.Maintaining standards: differences between the standard deviation and standarderror, and when to use each. Can J Psychiatry 1996; 41: 498–502. 标准差(Standard Deviation) 标准差，缩写为S.D., SD, 或者 s (就是为了把人给弄晕？)，是描述数据点在均值（mean）周围聚集程度的指标。 如果把单个数据点称为“X i,” 因此“X1” 是第一个值，“X2” 是第二个值，以此类推。均值称为“M”。初看上去Σ(X i-M)就可以作为描述数据点散布情况的指标，也就是把每个X i与M的偏差求和。换句话讲，是（单个数据点—数据点的平均）的总和。 看上去挺有逻辑性的，但是它有两个缺点。 第一个困难是：上述定义的结果永远是0。根据定义，高出均值的和永远等于低于均值的和，因此它们相互抵消。可以取差值的绝对值来解决（也就是说，忽略负值的符号），但是由于各种神秘兮兮的原因，统计学家不喜欢绝对值。另外一个剔除负号的方法是取平方，因为任何数的平方肯定是正的。所以，我们就有Σ(X i-M)2。 另外一个问题是当我们增加数据点后此等式的结果会随之增大。比如我们手头有25个值的样本，根据前面公式计算出SD是10。如果再加25个一模一样的样本，直觉上50个大样本的数据点分布情况应该不变。但是我们的公式会产生更大的SD值。好在我们可以通过除以数据点数量N来弥补这个漏洞。所以等式就变成Σ(X i-M)2/N. 根据墨菲定律，我们解决了两个问题，就会随之产生两个新问题。 第一个问题（或者我们应该称为第三个问题，这样能与前面的相衔接）是用平方表达偏差。假设我们测量自闭症儿童的IQ。也许会发现IQ均值是75, 散布程度是100 个IQ点平方。这IQ点平方又是什么东西？不过这容易处理：用结果的平方根替代，这样结果就与原来的测量单位一致。所以上面的例子中的散布程度就是10个IQ点，变得更加容易理解。 最后一个问题是目前的公式是一个有偏估计，也就是说，结果总是高于或者低于真实的值。解释稍微有点复杂，先要绕个弯。在多数情况下，我们做研究的时候，更感兴趣样本来自的总体（population）。比如，我们探查有年轻男性精神分裂症患者的家庭中的外现情绪（expressed emotion，EE)水平时，我们的兴趣点是所有满足此条件的家庭（总体），而不单单是哪些受研究的家庭。我们的工作便是从样本中估计出总体的均值（mean）和SD。因为研究使用的只是样本，所以
标准差和标准偏差 1）首先给出计算公式 标准差：σ=（1） 标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方 这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？ 2）公式由来 标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1 1n i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n n i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。 对于均值μ，我们容易通过期望获得：
但是对于方差，我们知道 2 1 2 () n i i X X σ = - ∑ 是服从卡分分布2 1 n χ - 的（这一点请查阅卡分分布的 定义）。因此有下面的公式： 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2 n s则不是2σ的无偏估计。但是我们 可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2 n s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望： 这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。 3）这两个公式的应用。 在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。 看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。 4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。 在Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA()
方差和标准差 教材分析本节课选自浙教版八年级数学上册第四章第四节，主要内容是方差和标准差。是在学习了如何抽样与抽样调查中所涉及到的概念，和用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，用统计量来反映数据的特征和变化，在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。 学情分析本节课的授课对象是八年级学生，他们正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，注意力水平不高，在教学中需要采用启发式教学。在知识上，我们已经接触过统计方面的知识，有助于本节课的学习。 教学目标 知识与技能： 1、了解方差，标准差的公式的产生过程。 2、掌握方差和标准差的计算方法及其运用。 3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差，用方差公式来分析数据离散程度。情感态度价值观： 1、通过合作交流，以面对面的互动形式，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。 2、以具体的例子出发，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。 教学重难点 重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。 难点：方差和标准差的计算及运用。方差是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数。 教学方法 采用情景探究、小组合作，实施启发式教学。 教学手段 以“教师为主导，学生为主体，探索为主线，思维为核心”的教学思路，采用矛盾冲突教学方法，加以多媒体的使用，充实了教学内容，通过师生合作，生生合作以及学生自身的独立思考，探索获得方差的公式和标准差的合理出现。 教学过程 一、创设情景引出课题 师：同学们，谁看过射击实况转播？ 相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
标准差和标准误：两个容易混淆的概念 标准误其实就是标准差的一种，不过二者的含义有所区别： 标准差计算的是一组数据偏离其均值的波动幅度，不管这组数是总体数据还是样本数据。你看standard deviation，说的就是“偏离”，只是在翻译为中文时，失去了其英文涵义。 而标准误(/ σ)，衡量的是我们在用样本统计量去推断相应的总体参数（常见如均值、方差等）的时候，一种估计的精度。样本统计量本身就是随机变量，每一次抽样，都可以根据抽出的样本情况计算出一个不同的样本统计量值。理论上来讲，从既定的总体中按照既定的样本规模n，穷尽所有可能抽出的样本（不妨假设为NN），根据这些样本可以计算出NN个样本统计量值，把这些统计量值分组绘成直方图（X轴为分组的统计量数值，Y轴为落在某一分组区间内的频率），则这个直方图就反应了样本统计量的分布情况（即抽样分布）。既然是分布，当然就有均值和方差。如果所有可能的样本统计量值的平均值就是总体均值，这就是无偏估计。如果所有可能的样本统计量值的方差在所有用于估计总体参数的统计量里最小，这就是有效估计。因此，抽样分布的标准差（也就是标准误）越小，则用样本统计量去估计总体参数时，精度就越高。所以，你明白为什么叫标准误（standard error）了。一般意义上讲，standard error反映的是用样本统计量去估计总体参数的时候，可能发生的平均“差错”。 不妨这么理解吧，如果总体平均值是160，抽样误差是5，就是说用抽得的样本平均数去推断总体平均数时，平均差错可能在5左右；如果抽样误差是3，精度当然就比5要高啦。不同的总体、不同的样本规模，这个精度当然是不同的。如果总体的变异本身很小（也就是总体标准差小），样本规模越大，这种情况下精度当然就高啦。另外，根据大数定律，当样本规模大到一定程度的时候，不管总体是什么分布，样本平均数都会近似服从正态分布，这就为计算抽样误差（标准误）提供了理论依据。
直接转的：看看对你有帮助没有。 Sfcu=[(∑ fcu?i2-n?mfcu2)/(n-1)]1/2 公式表述显示不明，用语言表述下，即公式中的2和1/2都应为上角表，分别表示平方和根号（开平方）。 语言表述如下：fcu.i的平方求和再减去n 乘以fcu平均值的平方，用他们的差再除以（n-1）这样得出的除数开方；也可以是fcu.i-fcu平均值差的平方求和得出的数再除以（n-1）这样得出的除数开方。当Sfcu<0.06fcu,k时，取Sfcu=0.06fcu,k 具体参数表述如下： fcu,k一混凝土立方体抗压强度标准值 fcu为设计强度标准值 mfcu为平均值 n为试块组数 Sfcu为n组试块的强度值标准差 fcu.i : 第i组试块的立方体抗压强度值
在线规范网https://www.doczj.com/doc/b213169371.html, 协助网站：给排水On Line 5.4 混凝土强度换算及推定 5.4.1 混凝土强度换算值可采用以下三类测强曲线计算： 1 统一测强曲线：由全国有代表性的材料、成型养护工艺配制的混凝土试件，通过试验所建立的曲线。其允许的强度平均相对误差(δ)应为±15.0％，相对标准差(er)不应大于18.0％。 2 地区测强曲线：由本地区常用的材料、成型养护工艺配制的混凝土试件，通过试验所建立的曲线。其允许的强度平均相对误差(δ)应为±14.0％，相对标准差(er）不应大于17.0％。 3 专用测强曲线：由与结构或构件混凝土相同的材料、成型养护工艺配制的混凝土试件，通过试验所建立的曲线。其允许的强度平均相对误差(δ)应为±12.0％，相对标准差(er)不应大于14.0％。 4 平均相对误差(δ)和相对标准差(er)的计算应符合本规程附录F的规定。 5 各检测单位应按专用测强曲线、地区测强曲线、统一测强曲线的次序选用测强曲线。 5.4.2 地区和专用测强曲线应与制定该类测强曲线条件相同的混凝土相适应，不得超出该类测强曲线的适用范围。应经常抽取一定数量的同条件试件进行校核，当发现有显著差异时，应及时查找原因，并不得继续使用。 5.4.3 符合下列条件的混凝土应采用本规程附录G进行测区混凝土强度换算： 1 混凝土采用的材料、拌和用水符合国家现行的有关标准； 2 不掺引气型外加剂； 3 采用普通成型工艺； 4 采用符合现行的《铁路混凝土与砌体工程施工质量验收标准》(TB10424)规定的模板； 5 自然养护或蒸汽养护出池后经自然养护7d以上，且混凝土表层为干燥状态； 6 龄期为14～1000d； 7 抗压强度为10～60MPa。 5.4.4 当有下列情况之一时，测区混凝土强度值不得按本规程附录G换算，但可制定专用测强曲线或通过试验进行修正，专用测强曲线的制定方法宜符合本规程附录F的有关规定：
方差和标准差——知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、方差和标准差 1.方差 在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好． （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差 一般地，一组数据的方差的算术平方根 称为这组数据的标准差. 要点诠释： （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别 联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况. 区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】 类型一、方差和标准差 1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.2 方差与标准差（教案） 学习目标： 1、了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4. 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。 学习重、难点 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法， 难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。 学习过程 一、情景创设： 乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm ）： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? （1） 请你算一算它们的平均数和极差。 （2） 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 今天我们一起来探索这个问题。 探索活动 通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动 算一算 把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。 想一想 你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？ 二、新知讲授： 讲授新知： （一）方差 定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 2221)()(x x x x --，，…，， ， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 ])()()[(1222212x x x x x x n x n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance ），记作2s 。 意义：用来衡量一批数据的波动大小 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定 归纳：（1）研究离散程度可用2S （2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小 （3）方差主要应用在平均数相等或接近时
计算全距、平均差、方差和标准差 一、全距 R（range） 全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin 一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差 方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。 标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。 标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分组数据方差与标准差的计算公式 方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性： 总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可
以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。 方差和标准差的优点： 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。 优点： ?反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性（区分变异源，组间/组内） 五、差异系数（coefficient of variation） 差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。 何种情况下运用差异系数： ?两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？ ?即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？ 差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况
标准差与标准误的区别 在日常的统计分析中，标准差和标准误是一对十分重要的统计量，两者有区别也有联系。但是很多人却没有弄清其中的差异，经常性地进行一些错误的使用。对于标准差与标准误的区别，很多书上这样表达：标准差表示数据的离散程度，标准误表示抽样误差的大小。这样的解释可能对于许多人来说等于没有解释。 其实这两者的区别可以采用数据分布表达方式描述如下：如果样本服从均值为μ，标准差为δ的正态分布，即X～N(μ, δ2),那么样本均值服从均值为0，标准差为δ2/n的正态分布，即～ N(μ,δ2/n)。这里δ为标准差，δ/n1/2为标准误。明白了吧，用统计学的方法解释起来就是这么简单。 可是，实际使用中总体参数往往未知，多数情况下用样本统计量来表示。那么，关于这两者的区别可以这样表述：标准差是样本数据方差的平方根，它衡量的是样本数据的离散程度；标准误是样本均值的标准差，衡量的是样本均值的离散程度。而在实际的抽样中，习惯用样本均值来推断总体均值，那么样本均值的离散程度（标准误）越大，抽样误差就越大。所以用 标准误来衡量抽样误差的大小。 在此举一个例子。比如，某学校共有500名学生，现在要通过抽取样本量为30的一个样本，来推断学生的数学成绩。这时可以依据抽取的样本信息，计算出样本的均值与标准差。如果我们抽取的不是一个样本，而是10个样本，每个样本30人，那么每个样本都可以计算出均值，这样就会有10个均值。也就是形成了一个10个数字的数列，然后计算这10个数字的标准差，此时的标准差就是标准误。但是，在实际抽样中我们不可能抽取10个样本。所以，标准误就由样本标准差除以样本量来表示。当然，这样的结论也不是随心所欲，而是经过了统计学家的严密证明的。 在实际的应用中，标准差主要有两点作用，一是用来对样本进行标准化处理，即样本观察值减去样本均值，然后除以标准差，这样就变成了标准正态分布；而是通过标准差来确定异常值，常用的方法就是样本均值加减n倍的标准差。标准误的作用主要是用来做区间估计，常用的估计区间是均值加减n倍的标准误。
《方差和标准差》教案 教学目标 1、知识目标：了解方差、标准差的概念 2、能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度． 能用样本的方差来估计总体的方差. 3、情感目标：通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力． 教学重点 理解记忆方差和标准差公式，能灵活地运用方差和标准差公式解题. 教学难点 灵活地运用方差和标准差公式解决实际问题. 教学设计 一、创设情景，提出问题 甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表： 1. 2.请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图； 3.现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？(各小组讨论) 二、合作交流，感知问题 请根据统计图，思考问题： ①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8)＝0；乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10－8)＋(6－8)＋(10－8)＋(6－8)＋(8－8)＝0) ②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7－8)×2＋(8－8)×2＋(8－8)×2＋(8－8)×2＋(9－8)×2＝2；乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10－8)×2＋(6－8)×2＋(10－8)×2＋(6－8)×2＋(8－8)×2＝16) 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？——与射击次数有关！ ③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？
方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为： 对于分组数据，方差的计算公式为： 方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为： 未分组数据： 分组数据： [编辑]
样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1 称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为： 未分组数据： 分组数据： 未分组数据： 分组数据： 例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下： 根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？ 解：根据已知数据，计算
因此，该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。