第三章、复变函数的积分 习题课:
1、 分别计算沿(1)直线段;(2)单位圆(
1||=z )的左半圆;
(3)单位圆的右半圆的下列积分:
?-=i
i
z z I d ||。
2、 计算积分:
z z I L
d R
e ?=,
在这里L 分别表示:(1)单位圆(按反时针方向从1到1取积分);(2)从1z 沿直线段到2z
。
3、 设函数
)(z f 当)10(||000<<>-r r z z 时是连续
的。令)(r M 表示|)(|z f 在00||r r z z >=-上的最
大值,并且假定
0)(lim =+∞
→r M r 。
试证明
0d )(lim =?+∞→r
K r z z f
在这里r K 是圆r z z =-||0。
4、 如果满足上题条件的函数
)(z f 还在00||r z z >-内解
析,那么对任何
0r r >,
0d )(=?
r
K z z f
5、 计算积分:
?=-2||4d 11
z z z 。
6、 设
)(z f 及)(z g 在单连通区域D 内解析,证明:
??-=βα
βα
β
α
z z g z f z g z f z z g z f d )()('|)()(d )(')(
在这里从α到β的积分是沿D 内连接α及β的一条简单曲线取
的。
7、 计算积分: (1)
?
=C
z
z
I d ; (2)?=C z z I d ln ,
在这里用C 表示单位圆(按反时针方向从1到1取积分)
,而被积函数分别取为按下列各值决定的解析分支:(1)11=;(2)01ln =或i π21ln =。
8、 如果积分路径不经过点
i ±,那么
,...)2,1,0( 41d 1
02±±=+=+?k k z z ππ
9、 证明: (1) 2|d )(|2
2≤+?C
z iy x ,C 为联-i 到i 的线段;
(2)
π≤+?C
y iy x |d )(|2
2
,C 为右单位圆1||=z ,
0Re ≥z ;
(3)
2|d |2≤?C z
z
,C 为联i 到i+1的线段。 10、设
)(z f 在原点的邻域内连续,那么
)0(2d )(lim 20
0f re f i r πθπ
θ
=?
→。
10、 计算积分
(1)
?=1||d z z
z z
e ; (2)?=+2||22d z z z ;
(3)
?=+1||22d z z z ; (3)?=-+1||)2)(12(d z z z z
z 。
12、证明
?==3||2d !21)!(ξξ
ξ
ξξπn z n n n e z i n z
在这里
C 是围绕原点的一条简单闭曲线。
13、设?=-++=3||2
d 173)(ξζζζζz
z f ,求)1('+i f 。
14、通过计算
,...)2,1( ,d )1(1||2=+?=n z
z z z z n 证明
n
n n
2642)
12(5312d cos 20
2????-????=?
πθθπ
。
15、如果在
1|| | |11|)(|z z f -≤ , 证明 ,...)2,1()!1()11()!1(|)(|) (=+<++≤n n e n n z f n n 。 16、如果 )(z f 在00||r z z >-解析,并且A z f z =∞ →)(lim , 那么对任何正数0r r > A z z f i r K =?d )(21 π, 在这里r K 是圆r z z =-||0,积分是按反时针方向取的。 17、如果)(z f 在简单闭曲线C 的外区域D 内及C 上每一点解 析,并且 α=∞ →)(lim z f z ,那么 ? ??∈∈+-=?) ()()(d z -) (21的内区域时当时当C z D z z f f i r K ααζζζπ。 18、设 )(z f 在单连通区域D 内解析,并且不等于零。那么 (1) 存在一个 )(z g 在D 内解析,使得)() (z f e z g =; (2) 对于整数 2≥q ,存在一个)(z h 在D 内解析,使得 )()]([z f z h q =。 19、设)(z P 是一个)1(≥n n 次多项式,并且0)(=z P 的根全部在区域所以D 内,在这里D 的边界是一条简单闭曲线C 。设)(z f 在D 上解析。 (1) 令 )( d ) ()()()(21)(D z t z t z P t P t P t f i z R C ∈--=?π ) ( d 1 )()(21)(D z t z t t P t f i z Q C ∈-=?π, 证明)(z R 是次数不超过n-1的一个多项式,并且)(z Q 在D 内 解析。 (2)、证明 D z ∈?, )()()()(z R z Q z P z f +=,一 如果在D 内解析的函数)(1z Q 及次数不超过n-1的一个多项式)(1z R 满足 )()()()(11z R z Q z P z f += 那么 )()(),()(11z R z R z Q z Q ≡≡. 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( ) A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4.关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( ) A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 .在下列复数中,使得z e i =成立的是( ) 8.已知3 1z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分 ||342z dz z =-??的值为( ) A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于( ) A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11.以下关于级数的命题不正确的是( ) A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上,条件收敛 12.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的( ) A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解:2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解:1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解:()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解: 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解:()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解:()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解:3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解: 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解:6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-? (3) i i 解:( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解:( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解:由于:()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=, 而: ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以: ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解:由于:()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=, 所以: ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解: 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13 《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页) XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。) 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0= z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=?dz z z C n ,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ,则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 《复变函数论》期末考试试题-A 卷答案 一、 选择题(每小题4分,共20分) ⒈ 21|z | 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念:z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3)arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄; X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y :: O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示:Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz;注:中间一定是“ +”号。 5)指数表示:Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法:若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法: 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ; 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x;。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也; 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2)幅角:在Z=O时,矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z (多值函数);主值arg Z 是位于(-理,二]注:两个复数不能比较大小 2.复数的表示 2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 (三)复变函数 1?复变函 数: w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1)指数函数:e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导,处处解析;且 注:e z 是以2二i 为周期的周期函数。(注意与实函数不同) 3)对数函数: LnZ=In z+i (argz + 2kιι) (k=0,±1,±2八)(多值函数); 主值:In Z = Inz+iargz 。(单值函数) ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析,且 Inz Z 注:负复数也有对数存在。 (与实函数不同) 3)乘幕与幕函数:a — e bLna (a = 0) ; Z b = e bLnZ (Zn 0) 注:在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析,且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析,且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注:有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立;(与实函数不同) Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数,ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析,且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O (四)解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1)点可导: f r fZ0;fZ 0 2)区域可导:f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4)三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,50 75100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 dz C 2 2.设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim ( ) A. 0; B. 1; C. -1+i ; D. 1+i 。 3.满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是( )。 A .有界单连通区域; B. 无界单连通区域; C .有界复连通闭域; D.无界复连通闭域。 4.下列函数中,不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ; B .- =z z f )( ; C .n z z f =)( ; D .)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5 A. ∑∞ =+08)56(n n n i ; C. ∑∞ =02n n i ;三.计算题(每小题71.设z 1+= 2.判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导,在何处解析。 3.计算积分? - C dz z z 4 )2 (sin π 4.计算积分 4=。 5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(,使得i f -=)2(。 6.将函数) 2)(1(1 )(--=z z z f ,在圆环域21< 7.利用留数计算积分?C 四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。(7分) 参考答案 一、填空题(本大题共8小题,每小题3 1.109 , 2. 4 ,3. 0 ,4. 1,5. -3或 二、单项选择题(本大题共7小题,每小题31. B ,2. B ,3.C,4. B,5. B . 三、计算题(本大题共7小题,15-19 1.解:由i z 31+=得:) sin (cos 2π π i z +=, (1分) 6 24 (cos 23166ππ k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=,)1813sin 1813(cos 262ππi z += , )25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分) 2. 解 ) 2()2y xy i x -+,则 (),(22y x y x u -= y u x x u ,12=??-=?? 只在2 1 = y ,x v ??-(6分) 故只在2 1 =y 处可导,处处不解析。(7分) 3z 在2=z 内解析,(2分) 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 321+- (D )i 2 1 23+- 3.复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ) )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i -- 4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无 界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( ) 【最新整理,下载后即可编辑】 【最新整理,下载后即可编辑】 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的 罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题(二) 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.(n 为自然数) 学院领导 审批并签名 B 卷 广州大学20011-2012学年第二学期考试卷(答 案) 课 程: 复 变 函 数 考 试 形 式: 闭卷 考查 学院:_ _ _ _ 系:_ _ _ _ _ 专业:_ _ _ _ 班级:_ _ _ _ _ 学号:_ _ 姓名:_ _ _ _ _ 题 次 一 二 三 四 五 六 总分 评 卷 人 分 数 24 30 16 10 10 10 100 评 分 一.填空题(每小题3分,共24分) 1.设1255,34,z i z i =-=+ 则)Re( 2 1z z =__-1/5___。 2. 复数 13i - 的主幅角为 3/π-。 3. 复数1i +的指数形式为i e 42π 。 4. ln(3)i +=6 2ln π i +。 5. 曲线|3||3|10z z -++=的直角坐标方程为116 252 2=+y x 。 6. 0=z 是3 sin z z 的 2 级极点。 7. dz z z z ?=-1 ||2= 0 。 8. 复数项级数 1 2n n n n z ∞ =∑的收敛半径R = 2 。 二.解答下列各题(每小题6分,共30分) 1.求方程 3 10z +=的全部解。 p.32. )31(2 1 , 1),31(2 1 i i --+ 2.设iy x z +=,判定函数i y x z f 2332)(+=在何处可导?何处解析? 答案: p.66. 在抛物线2x y =上可导,但在复平面上处处不解析。 3.计算积分2 ()C x iy dz +? , 其中C 为连接原点O 到i +1的线段。 p.99 i 6 561+- 4.计算积分3 3() C z dz z i -??? 其中C 为正向圆周:||2z =。 答案: p.89 π6- 5.计算积分 cos i z z dz ? 。 答案: p.83 11--e 三.解答下列各题(每小题8分,共16分) 1.判断级数2(1)1 []ln 3n n n i n ∞ =-+∑的收敛性与绝对收敛性。 答案: p.109 收敛、非绝对收敛 2.将函数1 ()(1)(2) f z z z = --在圆环域1||2z <<内展成洛朗级数。 答案: p.132 ------- --8 4211112 1 z z z z z n n 四.(10分)求 dz z z z )3 211( 4 ||-++? =的值。 答案: p.86 i π6 习题六 1. 求映射1w z = 下,下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠,为实数) 解:2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解: 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么? (1)Im()0, (1i)z w z >=+; 解: (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 i (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 0) Im()Im(z z -) 1 1.设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π = -=i z z ,则=z 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ,则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中 }3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内 ?复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题(A ) 一.填空题(每小题3分,共计15分) 1. 2 3 1i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ);2. )1(i Ln +-的主值是 ( i 4 32ln 21π + ) ;3. 211)(z z f +=,=)0() 5(f ( 0 ); 4.0=z 是 4sin z z z -的(一级)极点;5. z z f 1 )(=,=∞]),([Re z f s (-1); 二.选择题(每小题3分,共计15分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( B ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C ) y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(. 2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=?C z z f . (A ) 23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2 )2(3 -z . 3.如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛,则级数在( C ) (A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散. 4.下列结论正确的是( B ) (A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析, 则 0)(=? C dz z f (C )如果 0)(=? C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析; (D )函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是( D ). (A) 的可去奇点;为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分) (1)设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a (2).计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周:2=z ; (3)计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z (4)函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级. 四、(本题14分)将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<- 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注:两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 )模:z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? ?<=-??; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。 5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法: 1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++; ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2)若12 1122,i i z z e z z e θ θ==, 则 () 1 21212i z z z z e θθ+=; ()1211 22 i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 第一套 第一套 一、选择题(每小题3分,共21分) 1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。 A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?( ) 。 A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的( )。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。 A. 22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. k s 1 . 二、填空题(每小题3分,共18分) 1. 23 (1)i += [1] ; ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------复变函数试题及答案
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