【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之77平面向量的分解
一、选择题（共40小题；共200分）
1. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB+FC=
A. AD
B. 1
2AD C. BC D. 1
2
BC
2. 在下列向量组中，可以把向量a=3,2表示出来的是
A. e1=0,0,e2=1,2
B. e1=?1,2,e2=5,?2
C. e1=3,5,e2=6,10
D. e1=2,?3,e2=?2,3
3. 已知AD是△ABC的中线，AB=a，AC=b，以a，b为基底表示AD，则AD=
A. 1
2 a?b B. 1
2
a+b C. 1
2
b?a D. 1
2
b+a
4. 已知P为△ABC边BC上一点，AB=a，AC=b，若S△ABP=2S△ACP，则AP=
A. 1
2a+3
2
b B. 1
3
a+2
3
b C. 3
2
a+1
2
b D. 2
3
a+1
3
b
5. 在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若BC=2CD，且AE=λAB+3
4
AC，则λ=
A. ?1
4B. 1
4
C. ?1
3
D. 1
3
6. 在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD=1
3AB+1
2
AC，则S△BCD
S△ABD
=
A. 1
6B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
7. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A3,1，B?1,3，若点C满足OC=αOA+βOB，
其中有α，β∈R且α+β=1，则点C的轨迹方程为
A. 3x+2y?11=0
B. x?12+y?22=5
C. 2x?y=0
D. x+2y?5=0
8. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF?BC的值为
A. ?8
5B. 1
8
C. 1
4
D. 11
8
9. 已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP=λAB，AQ=1?λAC，λ∈R，若BQ?CP=?3
2
，则λ=
A. 1
2B. 1±2
2
C. 1±10
2
D. ?3±22
2
10. 如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC的三等分点．则
AD?BC的取值范围为
A. ?11
3,13
3
B. 1
3
,7
3
C. ?5
3
,55
3
D. ?5
3
,7
3
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E为CD的中点，则AD?AE的值是
A. 7
B. 5
C.
D. 6
12. 在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点O在线段CD上（与点CD不重
合），若AO=λAB+μAC，则λ
μ
的取值范围是
A. ?1
4,0 B. ?1
3
,0 C. 1,4
3
D. 0,1
4
13. 在△ABC中，AP=1
3AB，BQ=1
3
BC，记AB=a，AC=b，则PQ=
A. 1
3a+1
3
b B. 2
3
a+1
3
b C. 2
3
a+2
3
b D. 1
3
a?2
3
b
14. 已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0．若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则
m=
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
15. 设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b．若AO=λ1AB+λ2AC，则
A. λ1
λ2=b
c
B. λ1
2
λ22
=b
c
C. λ1
λ2
=c2
b2
D. λ1
2
λ22
=c
b
16. 如图，在△ABC中，AN=1
3NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+2
9
AC，则实数m的值为
A. 1
9B. 1
3
C. 1
D. 3
17. 设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则DA+EB+FC=
A. 1
2DA B. 1
3
DA C. 1
4
DA D. 0
18. 如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若OP=xOA+yOB x,y∈R，且点P
落在四边形ABMN内（含边界），则y+1
x+y+2
的取值范围是
A. 1
3,2
3
B. 1
3
,3
4
C. 1
4
,3
4
D. 1
4
,2
3
19. 在△ABC中，D为三角形所在平面内的一点，且AD=1
3AB+1
2
AC，则S△BCD
S△ACD
=
A. 1
6B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
20. 在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD=1
3AB+1
2
AC，则S△ABD
S△ABC
=
A. 2
3B. 1
3
C. 1
6
D. 1
2
21. 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+μBD，则λ+μ=
A. 4
3B. 5
3
C. 15
8
D. 2
22. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点
F．若AC=a，BD=b，则AF=
A. 1
4a+1
2
b B. 2
3
a+1
3
b C. 1
2
a+1
4
b D. 1
3
a+2
3
b
23. 在△ABC中，AB=c,AC=b，若点D满足BD=2DC，以b与c作为基底，则AD=
A. 2
3b+1
3
c B. 5
3
c?2
3
b C. 2
3
b?1
3
c D. 1
3
b+2
3
c
24. 在梯形ABCD中，AB+3CD=0，则BC等于
A. ?1
3AB+2
3
AD B. ?2
3
AB+4
3
AD C. 2
3
AB?AD D. ?2
3
AB+AD
25. 已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若
OP?OA=λ AC+1
2
CB，λ∈0,+∞，则直线AP一定过△ABC的
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
26. 在边长为2的正三角形△ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD?BE=
A. ?2
B. ?8
3C. ?2
3
D. ?1
27. 如下图，已知∣OA∣=1，∣OB∣=3，OA?OB=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设
OC=mOA+nOB m,n∈R，则m
n
等于
A. 1
3B. 3
3
C. 3
D. 3
28. 如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE=λAB+μAC，则λ+μ的值为
A. 1
2B. ?1
2
C. 1
D. ?1
29. 在△ABC中，AB=2，BC=33，∠ABC=30°，AD为BC边上的高，若AD=λAB+μAC，
则λ
μ
等于
A. 2
B. 1
2C. 2
3
D. 23
30. 已知平面内一点P及△ABC，若PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是
A. 点P在线段AB上
B. 点P在线段BC上
C. 点P在线段AC上
D. 点P在△ABC外部
31. 如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，
且AM=xAB，AN=yAC，则x+2y的最小值为
A. 2
B. 1
3C. 3+22
3
D. 3
4
32. 设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若aGA+bGB+cGC=0，则
△ABC的形状是
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
33. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到
点F，使得DE=2EF，则AF?BC的值为
A. ?5
8B. 1
8
C. 1
4
D. 11
8
34. 已知单位向量a，b，a?b=0，点Q满足OQ=2 a+b，曲线C= P∣OP=a cosθ+
b sinθ,0≤θ≤2π，区域Ω= P∣0 A. 1 B. 1 C. r≤1 D. 1 35. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足AE=mAB， AF=nAC，其中m,n∈0,1，m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|MN|的最小值为 A. 2 4B. 3 3 C. 3 4 D. 5 3 36. 将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内 部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且OA=e1，OB=e2．若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λe1+μe2，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为 A. 2 B. 2 C. 1+2 D. 22 37. 在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若CD=mBA+nBC m,n∈R，则 m n = A. ?3 B. ?1 3C. 1 3 D. 3 38. 已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB的角平分线，I为PC上一点， 满足BI=BA+λAC ∣AC∣+AP ∣AP∣ λ>0，∣∣PA∣∣?∣∣PB∣∣=4，∣∣PA?PB∣∣=10，则BI?BA ∣BA∣ 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 39. 已知点G是△ABC的外心，GA，GB，GC是三个单位向量，且2GA+AB+AC=0，如图所示， △ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则G点的轨迹为 A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 40. 已知∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣=1，OA?OB=?1 2 ，若OC=xOA+yOB，且x>0，y>0，则 A. x?1 2y≥?3 2 ，x+y≤2 B. y?1 2 x≥?3 2 ，x+y≤2 C. x?1 2y≥?1 2 ，x+y≥1 D. y?1 2 x≥?1 2 ，x+y≤1 二、填空题（共40小题；共200分） 41. 若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM=1 6CB+2 3 CA，则MA?MB=． 42. 在△ABC中，点M，N满足AM=2MC，BN=NC．若MN=xAB+yAC，则x=； y=． 43. 已知P是△ABC内一点，AP=1 4AB+1 2 AC，△PBC的面积为2016，则△PAB的面积 为． 44. 矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P为矩形内部一点，且AP=1，若AP=xAB+yAD，则 3x+2y的取值范围是． 45. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线 段BC和DC上，且BE=λBC，DF=1 9λ DC，则当λ=时，AE?AF有最小值为． 46. 已知O为△ABC的外心，且BO=λBA+μBC． ①若∠C=90°，则λ+μ=； ②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为． 47. 在三角形ABC中，∠B=45°，AB=2，BC=3，点D、F为AB、AC的中点，点E在BC上， 且BE=2EC，则DE?BF的值为． 48. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2．若BD=2DC，AE=λAC?ABλ∈R，且 AD?AE=?4，则λ的值为． 49. 在四边形ABCD中，AB=DC=1,1，1 ∣BA∣BA+1 ∣BC∣ BC=3 ∣BD∣ BD，则四边形ABCD的面积 为． 50. 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则AD? BC=． 51. 在平行四边形ABCD中，AC?AD=AC?BD=3，则线段AC的长为． 52. 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若AC?BE=1，则AB的长 为． 53. 在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD上一 点，且满足DP=λDC，PA?PB=5，则∣PA∣=． 54. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，DC=2DF， BE=λCE，若AE?AF=1，则实数λ的值为． 55. 设P为△ABC所在平面上一点，且满足3PA+4PC=mAB m>0．若△ABP的面积为8，则 △ABC的面积为． 56. 在△ABC中，AB=2，AC=3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO=xAB+ yAC x,y∈R，则x+y的值为． 57. 已知在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点O在线段CD上（与点C，D 不重合），若AO=xAB+1?x AC，则实数x的取值范围是． 58. 已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=3DC，E为BC的中点，则AE=．（用AB， AD表示） 59. 如图，在△ABC中，点M，N满足AM=2MC，BN=NC．若MN=xAB+yAC，则实数 x=，y=． 60. 在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC=5e1，DC=3e2，则OC=． 61. 如图，在△ABC中，若BE=2EA，AD=2DC，DE=λ CA?BC，则实数λ=． 62. 若点O在△ABC内部且满足OA+2OB+2OC=0，则△ABC的面积与凹四边形ABOC的面积 之比为． 63. 如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线MN分别交直线AB，AC于不同的两点M， N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=． 64. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF=．（用AB， AD表示） 65. 设OM=ma，ON=nb，OP=αa+βb，其中m，n，α，β均为实数，且m≠0，n≠0，若 M，P，N三点共线，则α m +β n =． 66. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=1 3 CA+λCB，则λ=． 67. 在△ABC中，BD=2DC，若AD=λ1AB+λ2AC，则λ1λ2=． 68. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=3DC，E为BC的中点，若AE=xAB+yAD，则 xy=． 69. 如图，在△ABC中，已知∣BA∣=∣BC∣，延长CB到点D，使AC⊥AD，若AD=λAB+μAC， 则λ?μ的值为． 70. 等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=3DC，则 AD? AB+AC=． 71. 设向量e1，e2是平面内的一组基底，x，y是实数，若3xe1+10?y e2=4y?7e1+2xe2， 则实数x=，y=． 72. 在△ABC中，N是AC边上一点，且AN=1 2NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+2 9 AC，则 实数m的值为． 73. 已知△ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边AB，AC于P，Q两点，设AP=mAB， AQ=nAC，则4m+9n的最小值是． 74. 在锐角ΔABC中，已知∠B=π 3 ，∣∣AB?AC∣∣=2，则AB?AC的取值范围是． 75. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线 段BC和DC上，且BE=λBC，DF=1 9λ DC，则AE?AF的最小值为． 76. 已知四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3OA，点P为△BCD内（含边界）的动点，设 OP=αOC+βOD α、β∈R ，则α+β的最大值等于 77. 在△OAB中，OC=1 4OA，OD=1 2 OB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，则 OM=．（用a，b表示） 78. 已知平面向量α，β α≠β满足∣α∣=3且α与β?α的夹角为150°，则∣∣mα+1?mβ∣∣的 取值范围是． 79. 在△ABC中，AB=2a，AC=3b，设P为△ABC内部及其边界上任意一点，若AP=λa+μb， 则λμ的最大值为． 80. 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO=xAB+ yAC x,y∈R，则x+y的值为 . 三、解答题（共20小题；共260分） 81. 设a、b是已知向量，解关于向量c的方程2c+3a?4 7 b=0． 82. 判断下列命题真假． （1）一个平面中只有一对不平行的向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底． （2）平面中任意两个向量都可以作为这个平面内所有向量的一组基底． 83. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE=λBA+ μBDλ,μ∈R，求λ+μ的值． 84. 如图所示，在△OAB中，AB上有一点P（点P不与点A，B重合），设OA=a，OB=b， OP=xa+yb x≠0,y≠0，求证x+y=1，并且AP=y x PB． 85. 设a，b是给定的不共线向量，试求满足条件2x?y=5a x+2y=5b 的向量x，y，并作图用a，b表示x， y． 86. 将图中的向量a分解为关于向量e1与e2的线性组合． 87. 如图，在△ABO中，OC=1 4OA，OD=1 2 OB，AD与BC相交于点M，设OA=a，OB=b．试 用a和b表示向量OM． 88. 如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N， 记AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值． 89. 如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，N是对角线AC上的点，且AN=3NC，设 AB=a，AD=b，试用a，b分别表示AM，MN． 90. 在△ABC中，AN=1 3NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+2 11 AC，求实数m的值． 91. 在△ABC内有一点O，满足OA+OB+OC=0，E为BC边的中点，AD=1 4 AB，设AB=a，AC=b，以a，b为基底，试求下列向量表达式： （1）OE； （2）DE． 92. 如图，四边形OADB为平行四边形，C为对角线AB，OD的交点，向量OA=a，OB=b．又 BM=1 3BC，CN=1 3 CD，试用a，b表示OM，ON，MN． 93. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点． （1）求GA+GB+GO； （2）若PQ过△ABO的重心G，且OA=a，OB=b，OP=ma，OQ=nb，求证：1 m +1 n =3． 94. 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN=1 2 NC，BN与CM相交于点E，设AB=a，AC=b，试用基底a，b表示向量AE． 95. 如图所示，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线． （1）设PG=λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示； （2）设OP=xOA，OQ=yOB，证明：1 x +1 y 是定值． 96. 如图，若点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且BL BC =l，CM CA =m， AN AB =n．当AL+BM+CN=0时，求证：l=m=n； 97. （1）若e1，e2是不共线的向量，且AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1?e2，求k为 何值时，A，B，C三点共线? （2）已知四点A1,?2，B2,1，C3,2和D?2,3，试以AB，AC为基底表示AD+BD+ CD． 98. 已知O,A,B三点不共线，且OP=mOA+nOB,m,n∈R． （1）若m+n=1，求证：A,P,B三点共线； （2）若A,P,B三点共线，求证：m+n=1． 99. 如图，已知菱形ABCD中，点P为线段CD上一点，且CP=λCD0≤λ≤1． （1）若λ=1 3 ，AP=xBC+yBD，求x，y的值； （2）若BD=BC，且BP?CD≥PC?PD，求实数λ的取值范围． 100. 设△ABC是边长为4的正三角形，点P1，P2，P3，四等分线段BC（如图所示）． （1）P为边BC上一动点，求PA?PC的取值范围； （2）Q为线段AP1上一点，若AQ=mAB+1 12 AC，求实数m的值． 答案第一部分 1. A 【解析】设AB=a，AC=b，则EB=?1 2b+a，FC=?1 2 a+b． 从而EB+FC= ?1 2b+a+ ?1 2 a+b=1 2 a+b=AD． 2. B 【解析】提示：只要e1,e2非零不共线即可． 3. B 【解析】如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而BD=DC，即AD? AB=AC?AD，从而AD=1 2 AB+AC=1 2 a+b． 4. B 5. A 6. B 7. D 【解析】点C满足OC=αOA+βOB，其中有α+β=1，则A、B、C三点共线．所以C的轨迹为x+2y?5=0． 8. B 【解析】 BC=AC?AB，AF=AD+DF=1 2AB+3 2 DE=1 2 AB+3 4 AC， 所以 BC?AF= AC?AB 1 AB+ 3 AC =1 2 ?1?1? 1 2 ? 1 2 + 3 4 ? 3 4 ?1?1? 1 2 =1 4 + 3 4 ? 1 2 ? 3 8 =1 . 9. A 【解析】因为BQ=AQ?AB=1?λAC?AB，CP=AP?AC=λAB?AC，又BQ?CP=?3 2 ，且∣∣AB∣∣=∣∣AC∣∣=2， AB,AC=60°，AB?AC=∣∣AB∣∣∣∣AC∣∣cos60°=2，所以1?λAC?AB? λAB?AC=?3 2，即λ∣∣AB∣∣ 2 +λ2?λ?1AB?AC+1?λ∣∣AC∣∣2=3 2 ，所以4λ+2λ2?λ?1+ 41?λ=3 2，解得λ=1 2 ． 10. D 【解析】因为 AD =AB +BD =AB +13BC =AB +13 AC ?AB =23AB +13 AC ， 所以 AD ?BC = 23AB +13AC ? AC ?AB =?23∣∣AB ∣∣2 +13∣∣AC ∣∣2 +1 3AB ?AC =?23×4+13×9+13 ×2×3cos θ=2cos θ+13 ． 因为 ?1 <2cos θ+13 <7 3 ，所以 AD ?BC ∈ ?53,73 ． 11. B 12. A 【解析】 AO =AC +CO =AC +yBC =AC +y AC ?AB =?yAB + 1+y AC , 因为 BC =3CD ，O 在线段 CD 上， 所以 y ∈ 0,1 3 ，λ=?y ，μ=1+y ， 所以 λ μ=?y 1+y =?1+1 1+y ∈ ?1 4,0 ． 13. A 【解析】 由 PQ =PB +BQ =2AB +1BC =2AB +1 AC ?AB =13AB +13AC =13a +1 3 b . 14. B 【解析】由 MA +MB +MC =0 知，点 M 为 △ABC 的重心，设 D 为边 BC 的中点，则 AM =23 AD =23 ×12 AB +AC =13 AB +AC ，所以有 AB +AC =3AM ，故 m =3． 15. A 16. A 【解析】因为 AN =13NC ，AP =mAB +29AC ， 所以 AP =mAB +89 AN ． 设 BP =λPN λ>0 ，得 AP =11+λAB +λ1+λ AN ， 所以 m =11+λ 且 89=λ1+λ，解得 λ=8，m =1 9． 17. D 18. C 【解析】若 P 在线段 AB 上，设 BP =λPA ， 则有 OP =OB +BP =OB +λPA =OB +λ OA ?OP ， 所以 OP =OB +λOA 1+λ ， 由于 OP =xOA +yOB x ,y ∈R ， 则 x = λ1+λ ，y = 11+λ ， 故有 x +y =1， 若 P 在线段 MN 上，设 MP =λPN ， 则有 OP =OM +λON 1+λ ， 故 x =1，y =0 时，最小值为 1 3，当 x =0，y =1 时，最大值为 2 3， 故范围为 13,2 3 ， 由于在 △OMN 中，A ，B 分别是 OM ，ON 的中点， 则 OP =xOA +yOB =12xOM +12yON x ,y ∈R ， 则 1 2x =λ 1+λ，1 2y =1 1+λ， 故有 x +y =2，当 x =2，y =0 时有最小值 1 4，当 x =0，y =2 时，有最大值 3 4， 故范围为 14,3 4 ， 若 P 在阴影部分内（含边界），则 y +1 x +y +2∈ 14,34 ． 19. C 【解析】由已知，在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 AD =1 3AB +1 2AC ； 点 D 在平行于 AB 的中位线上，从而有 S △ABD =1 2S △ABC ，S △ACD =1 3S △ABC ， 所以 S △BCD = 1?1 2?1 3 S △ABC =1 6S △ABC ． 所以则 S △BCD S △ACD =12 ． 20. D 21. B 【解析】AC =AB +AD ，AM =AB +BM =AB +12 AD ，BD =AD ?AB ； 所以 AC =λAM +μBD =λ AB +12 AD +μ AD ?AB = λ?μ AB + λ 2 +μ AD ; 所以由平面向量基本定理得 λ?μ=1, λ2 +μ=1, 解得 λ=43，μ=1 3 ， 所以 λ+μ=5 3． 22. B 23. A 【解析】因为 BD =2DC ，所以 AD ?AB =2 AC ?AD ， 所以 AD ?c =2 b ?AD ，所以 AD =13 c +2 3 b ． 24. D 25. A 【解析】如图，取 BC 的中点 P 并连接 AD ， 则 AB +12 BC =AD ，OP ?OA =AP ， 因为 OP ?OA =λ AC +12CB ，λ∈ 0,+∞ ， 所以 AP =λAD ，即 A ，P ，D 三点共线， 又因为 AD 为 BC 边上的中线， 所以直线 AP 一定过 △ABC 的重心． 26. D 27. C 28. A 【解析】由题意正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，可知 AE =AC +CE =AC ?12AB ，则 λ+μ=12． 29. A 【解析】如图， 由题意得，BD = 3； 所以 BD =1 3BC ； 所以 AD =AB +BD =AB +13BC =AB +13 AC ?AB =2AB +1AC ; 又 AD =λAB +μAC ； 所以λ=2 3，μ=1 3 ； 所以λ μ =2． 30. C 【解析】由PA+PB+PC=AB得PA+PC=AB?PB=AP，即PC=AP?PA=2AP，所以点P 在线段AC上． 31. C 【解析】如图，延长AG交BC于点D，则AG=2 3AD=2 3 ×1 2 AB+AC=1 3 AB+1 3 AC= 1 3x AM+1 3y AN． 又因为M，G，N共线，所以1 3x +1 3y =1，且x>0，y>0，所以x+2y=x+2y1 3x +1 3y =1 3 + 2 3+2y 3x +x 3y ≥1+22y 3x ?x 3y =1+22 3 ，当且仅当2y 3x =x 3y ，即x=y=2+1 3 时取等号． 32. B 【解析】因为G是△ABC的重心，所以GA=?2 3×1 2 AB+AC，GB=?1 3 BA+BC， GC=?1 3 CA+CB， 又aGA+bGB+cGC=0， 所以a?b AB+a?c AC+b?c BC=0，所以a?b=a?c=b?c，所以a=b=c．所以△ABC的形状是等边三角形． 33. B 【解析】方法一：如图， 设AB=a，AC=b，则∣a∣=∣b∣=1，a?b=1 2，AF=AD+DF=1 2 a+3 2 DE=1 2 a+3 4 AC=1 2 a+3 4 b， BC=AC?AB=b?a，所以 AF ?BC = 1a +3 b b ?a =12a ?b ?12a 2+34b 2?3 4b ?a =34b 2?12a 2?14b ?a =3?1?1=1. 方法二：建立如图所示的直角坐标系， 则 A 0, 3 2 ，B ?12,0 ，C 12,0 ，D ?14, 34 ． 设 F x 0,y 0 ，则 DE = 14 ,? 34 ，EF = x 0,y 0 ． 因为 DE =2EF ， 所以 F 1 8,? 3 8 ． 所以 AF = 18 ,?5 38 ，BC = 1,0 ， 所以 AF ?BC =18． 34. D 35. C 【解析】MN =AN ?AM =12 AB +AC ?12 AE +AF =12 nAB +mAC 所以 |MN |=1 2 m 2+n 2+mn =1 2 m +n 2?mn =1 2 1?mn 因为 m +n =1≥2 mn ，所以 mn ≤1 4，所以 |MN |≥ 3 4 ． 36. C 【解析】提示：作图如下． 结合图知，OC =OD +DC = 2 e 1 +e 2 ，此时 λ+μ 取到最大值 1+ 2． 37. A 【解析】如图，作 AE ∥DC ，交 BC 于 E ，则 ADCE 为平行四边形， EA=CD = mBA+nBC， 又EA=EB+BA = BA?1 3 BC， 所以，m=1, n=?1 3 .故 m n =?3． 38. B 【解析】因为BI=BA+AI=BA+λAC ∣AC∣+AP ∣AP∣ λ>0，所以I在∠PAB的角平分线上，又 I在∠APB的角平分线上，所以I为△PAB的内心．因为∣∣PA?PB∣∣=10，所以∣AB∣=10．BI?BA ∣∣BA∣∣ 表示BI在BA方向上的投影，过I作IK垂直BA于K，则由圆的切线性质和已知可得∣AK∣+∣BK∣=∣ AB∣=10，∣AK∣?∣BK∣=4，所以∣BK∣=3，故BI?BA ∣BA∣ 的值为3 . 39. B 【解析】设BC的中点为D，则AB+AC=2AD，又因为2GA+AB+AC=0，所以有 GA+AD=GD=0，所以点D与点G重合，又因为GA，GB，GC是三个单位向量且∣GA∣=∣GB∣=∣ GC∣=1，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以∣OG∣=1 2 ∣BC∣=1，又因为△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以BC为直径，O为圆心的圆在第一象限的部分，所以点G的轨迹是一段圆弧． 40. C 第二部分 41. ?2 【解析】提示：MA?MB= CA?CM? CB?CM． 42. 1 2，?1 6 【解析】MN=MC+CN=1 3AC+1 2 CB=1 3 AC+1 2 AB?AC=1 2 AB?1 6 AC． 又因为MN=xAB+yAC， 所以x=1 2，y=?1 6 ． 43. 4032 【解析】令AD=1 4AB，AE=1 2 AC． 因为四边形ADPE为平行四边形，所以S△PAD=S△PAE． 因为AP=1 4AB+1 2 AC=1 4 AP+PB+1 2 AP+PC， 所以1 4AP=1 4 PB+1 2 PC， 所以2CP=PA+PB． 延长CP交AB于F，则CP=PF，且F为AB中点． 所以S△PBC S△PAB =1 2 ， 所以S△PAB＝2016×2=4032． 44. 1, 【解析】设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ=θ，则AP=AQ+QP，且∣∣AQ∣∣=cosθ，∣∣QP∣∣=sinθ． 又AQ与AB共线，QP与AD共线，故AQ=cosθ 3AB，QP=sinθ 2 AD， 从而AP=cosθ 3AB+sinθ 2 AD，故x=cosθ 3 ，y=sinθ 2 ， 因此3x+2y=cosθ+sinθ=2sin θ+π 4 ， 又θ∈0,π 2 ，故3x+2y的取值范围是1,2． 45. 2 3，58 9 【解析】由题意，易得AD=BC=CD=2．所以 AE?AF= AB+BE? AD+DF = AB+λBC AD+1 9λ DC =AD?AB+λBC?AD+1 9λAB?DC+1 9 BC?DC =4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+1 9λ×4×2+1 9 ×2×2×cos120° =34 9+2λ+8 9λ ≥34 9 +2×2λ?8 9λ =58 9 . ， （当且仅当λ=2 3 时等号成立）． 46. ①1 2，②2 3 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=? 第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图： 2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 平面向量高考经典试题 海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)30n n n n ?-=-+=?= 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______； 答案：3 2 ； 解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10） 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为 实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得 高一数学专项练习题 高一数学专项练习题 高一数学专项练习一. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数唯一的零点在区间内，那么下面命题错误的( ) A 函数在或内有零点 B 函数在内无零点 C 函数在内有零点 D 函数在内不一定有零点 2.若，，则与的关系是 ( ) A B C D 3. 函数零点的个数为 ( ) A B C D 4. 已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=0 ( ) A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对 5. 某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林( ) A 亩 B 亩 C 亩 D 亩 二. 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。 6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是 7.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 8. 设函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在[a,b]上有实根. 9. 若点(2,1)既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__________________，=__________________ 三. 解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.(本小题13分) 某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少? 11.(本小题14分) 设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有且仅有一根介于和之间。 12.(本小题14分) 函数在区间上有最大值，求实数的值 B组题(共100分) 四. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A (-2,6) B [-2,6] C {-2,6｝ D (-,-2)(6,+) 数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用 平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿ 平面向量高考经典试题 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______； 答案：3 2 ； 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2 =4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 （2017贵州遵义高一期末）5．如图是一个算法流程图，则输出的n的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=0 执行循环体，n=1 满足条件21≤16，执行循环体，n=2 满足条件22≤16，执行循环体，n=3 满足条件23≤16，执行循环体，n=4 满足条件24≤16，执行循环体，n=5 不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5． 故选：C． 10．（2017安徽马鞍山高一期末）如图所示，程序框图的输出结果为（） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】EF：程序框图． 【专题】27 ：图表型；5K ：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=121时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1 满足条件S＜100，S=4，k=2 满足条件S＜100，S=13，k=3 满足条件S＜100，S=40，k=4 满足条件S＜100，S=121，k=5 不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图和算法，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查． （2017湖北荆州高二月考）5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（） A．105 B．16 C．15 D．1 【考点】E7：循环结构． 【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果． 【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构， 它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1） ∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15． 故选C． （2017黑龙江大庆中学高二期中）9．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（） 高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量） 平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ）→a ＝→b （D ）→a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ）1±（D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→ ?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+ 历年平面向量高考试 题汇集 高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D 【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质； 一、多选题 1．若a →，b →，c → 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→ =，则a b →→ = B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→ = C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→ D ．若a b a b → → → → +=-，则a b →→ ⊥ 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c = C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? 3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=， 2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ） A ．//P B CQ B ．21 33 BP BA BC = + C ．0PA PC ?< D ．2S = 4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++= 6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两 解的是（ ） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===? C ．14,16,45a b A ===? D ．7,5,80a b A ===? 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C 一、多选题 1．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b B a =，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33??-- ??? D ．(7，9) 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = 平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式平面向量历年高考题汇编难度高
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