生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔
空瓶换酒的问题
这类题经常会问到“最多（可以/可能）”喝道多少瓶酒(这里特别需要注意:“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值,因为方法可以是假设的,所以这个值应该是假设的最大值.
既:假设在最有可能的情况下,充分利用每一个空瓶（现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶）凑合换最多的酒
这样就可以有两种换法
举个例子：3个空瓶换1瓶酒, 8个空瓶（在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下）最多可以换到多少瓶酒？
第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒,喝完就留下1个瓶
根据第一种换法，画个示意图：
把8个空瓶分为: 3空瓶 3空瓶 2空瓶
换换 |
2瓶酒= 1瓶酒 + 1瓶酒 |
3瓶酒= + ↓↓↓
1瓶酒=剩下1空瓶+剩下1空瓶+ 2空瓶
↓
剩下1空瓶
思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒;
如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用.这样显然也就达不到假设的最大值。
所以这个答案就不是最多可能的数。
再看第二种方法:先拿2个空瓶换1瓶酒,喝完酒就直接把瓶子留在那里
(即:喝完后不带走酒瓶)
根据第二种换法，再画个示意图：
把8个空瓶分为:2空瓶 2空瓶 2空瓶 2空瓶
换换换换
4瓶酒=1瓶酒 + 1瓶酒 + 1瓶酒 + 1瓶酒
思路：因为每次换酒喝完后,瓶子都直接留在那里了,没有带回. 所以没有剩下空瓶。
刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件.
只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值. 所以这个答案才是最多可能的数。
既:8/(3-1)=4
通过以上的规律,我们可以总结出空瓶换酒的公式.
A代表多少个空瓶可以换一瓶XX
B代表有多少个空樽
C代表通过多少个空瓶可以换一瓶XX最多能喝到多少瓶XX
B/(A-1)=C
奥数专题讲座分数与百分数
1、迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56%，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16%，那么，原计划生产插秧机多少台？
解：已完成计划的56%，则未完成的还有原计划的44%，
如果再生产5040台后就超过计划产量的16%，即5040台是原计划的44%+16%=60%，
那么，原计划台数=5040/60%=8400台。
2、圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔公用71.5元。问圆珠笔的单价是每支多少元？解：因为圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，那么20支圆珠笔和21支铅笔的价格比就是4*20：3*21=80：63，20支圆珠笔的用了：71.5*80/（80+63）=40元，
每支圆珠笔的价格=40/20=2元。
3、
李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内。已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡数的1/4卖给商店，1/3卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%。原来东、西两院一共养鸡多少只？
分析：“再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%”，从这里我们可以知道卖出的是原来东西两院总数的一半，即卖出的与剩下的相等。
解：
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西院卖出后还剩下：1-（1/4+1/3）=1-7/12=5/12，
西院卖出的比它剩下的多了7/12-5/12=2/12=1/6，
西院养鸡数=40/（1/6）=240只，
东西两院养鸡总数=40+240=280只。
4、用一批纸装订一种练习本。如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185本，则还剩下1350张纸。这批纸一共有多少张？
分析：通过已装订120本，用掉这批纸的60%，我们就可以知道每本所用的纸占这批纸的比例；从而可以得出185本所用的纸占整批纸的比例。
解：每本练习本用纸占整批纸的比=（1-40%）/120=1/200，
以整批纸的数量为单位“1”，那么，装订185本用纸=185*(1/200)=37/40，
还剩下的纸是整批纸的1-37/40=3/40，共1350张，
所以，整批纸=1350/（3/40）=18000张。
5、有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人。那么现在男同学多少人？分析：知道男生增加人数，也知道总人数增加人数，那么就可以知道女生减少的人数；再由女生减少人数所占的比例，就可以知道原来女生的总数了。
解：女生减少人数=25-16=9人，
原来女生总人数=9/（5%）=180人，
原来男生人数=325-180=145人，现在男生人数=145+25=170人。
6、有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25%。那么，这堆糖果中有奶糖多少块？
分析：总量数量是变化的，不能作为单位“1”，但奶糖的数量没有变化，因此我们可以以奶糖的数量作为基准。
解：奶糖占45%，奶糖：水果糖=45%：（100%-45%）=9：11，即原来水果糖是奶糖的11/9；
放入16块水果糖后，奶糖：水果糖=25%：（100%-25%）=1：3，即后来水果糖是奶糖的3倍；
3-11/9=16/9，即放入的16块水果糖占奶糖的16/9，
所以，奶糖数=16/(16/9)=9块。
7、甲乙两包糖的重量比是4:1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7:5。那么两包糖重的总和是多少？
分析：从甲包取出部分放入乙包，总重量不变。这样我们就可以将总重量看作单位“1”，从拿出10克前后所占总重量的比例变化求得答案。
解：甲包原来重量是总重量的4/（4+1）=4/5，
拿出10克后，甲包种粮食总重量的7/（7+5）=7/12，
相差4/5-7/12=13/60，
所以，总重量=10/（13/60）=600/13=46又2/13克。
8、有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在，在所有余下的棋子中，白子将占32%。那么，共有棋子多少堆？
分析：拿走的全部是黑子，那么白子的数量没有变，可以作为拿出前后的基准。
解：
拿出前：因为每堆棋子数一样多且白子都占28%，所以，白子：黑子=28：72=7：18，黑子是白子的18/7；拿出后：在拿出的那一堆中，白子：黑子=7：[18-（7+18）/2]=14：11，即拿出黑子数是这对白子数的
18/7-11/14=25/14；
在总数中，白子：黑子=32：68=8：17，黑子是白子的17/8；
黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子数是白子总数的25/56；
所以，堆数=（25/14）/（25/56）=4堆。
转化思路：
将每一堆白子占28%的棋子看成是浓度28%的溶液，那么
本题相当于浓度=28/（100-50）=56%的溶液50克中，需要加入多少克浓度28%的溶液，才能使浓度变为32%。
原液：添加液=（32-28）：（56-32）=4：24=1：6，即需要添加=6*50=300克，
所以，共有棋子=（300+100）/100=4堆。
9、幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班中男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？
解：假设18名女生全部是大班，则
大班男生数：女生数=5:3=30：18，即男生应有30人，
实际男生有32人，32-30=2，相差2个人；
中班男生数：女生数=2:1=6：3，
以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，需要换2组；
所以，大班女生有18-3*2=12个。
10、某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的1/3与原二班的1/4组成新一班，将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？解：
原一班的1/3与原二班的1/4 + 原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数，
余下1-7/12=5/12，是30人，
所以总人数=30/（5/12）=72人；
72-30=42人，新一班与新二班的人数和为42人，
新一班的人数比新二班的人数多10%，新一班人数：新二班人数=11：10，
新一班42*11/（10+11）=22人，新二班42-22=20人，多22-20=2人，
即原一班的（1/3-1/4）=1/12比原二班的1/12多2人，
原一班比原二班共多12*2=24人，
所以，原一班有24+（72-24）/2=48人。
11、有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：①第一包糖的粒数是第二包糖的2/3；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；③巧克力糖在第一包糖中所占的面分比是在第二包糖中所占百分比的两倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占百分比等于多少？解：
由①第一包糖的粒数是第二包糖的2/3知道，第一包数量：第二包数量=2：3，
第一包占总数的2/（2+3）=2/5，第二包占总数的3/5；
由③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍知道，
第一包糖中巧克力糖占总数的比：
第二包糖中巧克力糖占总数的比=2*2/5：3/5=4：3，
因为当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，所以，
第一包糖中巧克力糖占总数的比=28*4/（4+3）=16，
巧克力糖在第一包糖中所占的百分比=16/（2/5）=40%，
所以，水果糖在第一包糖中所占的百分比=100%-25%-40%=35%，
水果糖在总数中所占的比=35%*2/5+50%*3/5=44%。
12、某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？
解：
1、甲、乙两校获一等奖的人数相等，且甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6，
甲乙两校获奖总人数的比=6：5；甲校占两校获奖总数的比=6/（6+5）=6/11，乙校=5/11；
2、甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%，占两校获奖总人数的比=（6/11）*50%=3/11；
3、甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%，且甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍，所以，甲校获二等奖的人数占总数的比=（4.5/5.5）*20%=9/55；
所以，甲校获一等奖的人数占两校获奖总数的比=6/11-3/11-9/55=6/55，
占该校总数的比=（6/55）*（11/6）=1/5=20%，
那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分比=20%*6/5=24%。
13、某校毕业生共有9个班，每班人数相等，已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；四、
五、六班三个班的女生总数比七、八、九三个班的男生总数多1。那么该校毕业生中男、女人数比是多少？
解：
14、某商品按原定价出售，每件利润为成本的25%。后来按原定价的90%出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍。问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？
解：本题可以采用设数法，假设降价前每天销售100件，每件原定价100元，则
原来每天利润: 100*（1-4/5）*100=2000元，
降价后每天利润：100*（90%-4/5）*100*（1+1.5）=2500元，
每天利润增加=（2500-2000）/2000=1/4=25%。
15、赢利百分数=（卖出价-买入价）/买入价3100%。某电子产品去年按定价的80%出售，能获得20%的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价的75%出售，却能获得25%的赢利。那么今年买入价/去年买入价是多少？
解：本题同样可以用设数法来解，假设定价为100元，
那么，去年买入价=去年卖出价*5/6=100*80%*5/6=200/3元，
今年买入价=今年卖出价*4/5=100%*75*4/5=60元，
所以，今年买入价/去年买入价=60/（200/3）=9/10。
小学奥数专题讲座之行程问题斯图姆是法国数学家，在数学的许多领域都作出了开创性的工作。一次，斯图姆去参加一个国际学术会议，一位朋友向他请教了如下一个问题：
每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜，试问，每条从哈佛开出后的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船？
你能试着给出解答吗？
练习题
1．A、B两城相距450千米，甲、乙两辆汽车同时从A城开往B城，甲车每小时行52千米，乙车每小时行38千米，甲车到达B城后立即返回，两车从出发到相遇共需多少小时？
分析：根据题意画图如下
从图中可知，两车从出发到相遇所走的路程正好是两个A、B城之间的距离，所以两车从出发到相遇所用的时间相当于两车行了两个450千米所需的时间。
解答：45032÷（52+38）
=900÷90
=10（时）
答：两车从出发到相遇共需10小时。
2．哥哥以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥，结果在距学校800米处追上哥哥。求弟弟骑车的速度。
分析：根据题意画图如下
当弟弟追上哥哥时，距学校800米。这800米是哥哥两次所行路程的和，一次是12分钟内行的路程，另一次是弟弟从出发到追上哥哥所用时间内（追及时间）哥哥行的路程。
解答：弟弟追上哥哥的时间（追及时间）
（800－12350）÷50
=（800－600）÷50
=200÷50
=4（分）
弟弟的速度
800÷4=200（米）
答：弟弟骑车每分钟行200米。
3．东、西两镇相距100千米，甲、乙两车分别从两镇同时出发相向而行，4小时后相遇。已知甲比乙每小时快3千米，甲、乙两车的速度是多少？
分析：100千米是两车所行的总路程，4小时为相遇时间。根据相遇问题的数量关系式，就可求出两车的速度和。又已知两车的速度差，根据和差问题，两车速度就解决了。
解答：两车速度和
100÷4=25（千米）
甲的速度
（25+3）÷2=14（千米）
乙的速度
25－14=11（千米）
答：甲的速度为每小时14千米，乙的速度为每小时11千米。
4．一辆货车以每小时65千米的速度前进，一辆客车在它的后面1500米处，以每小时80千米的速度同向行驶，客车在超过货车前2分钟，两车相距多少米？
分析：客车超过货车的一瞬间，也就是客车追上货车，这时两车所行的路程是相等的。客车超过货车前2分钟两车相距的路程即客车与货车2分钟内的路程差。
解答：客车与货车1小时的路程差
80－65=15（千米）
客车与货车2分钟的路程差
1531000÷6032=500（米）
答：客车在超过货车前2分钟，两车相距500米。
说明：做完题后回过头来再想一想，发现已知条件客车在货车后面1500米是多余的，不管开始两车相距多远，客车在超过货车前2分钟，两车相距的路程是不变的。本题还要注意单位的互化。
5．甲乙两人骑车同时从南北两地相向而行，甲每小时行23千米，乙每小时行18千米，两人在距两地中点10千米处相遇，南北两地相距多少千米？
分析：根据题意画图如下
从图中可以看出，甲走了南北距离的一半多10千米，乙走了南北距离的一半少10千米。从出发到相遇，甲比乙多走了两个10千米。又已知甲每小时比乙多行
23－18=5（千米）
多少小时后甲就比乙多行20千米？这个时间就是甲乙相遇时间，有了相遇时间，南北两地的距离就可求出了。
解答：甲乙相遇时间
1032÷（23－18）
=20÷5
=4（时）
南北全程
（23+18）34
=4134
=164（千米）
答：南北两地相距164千米。
说明：本题表面现象是相遇，实质上有追及的特点。因此可以按照追及问题来解答。在做题过程中要抓住题目的本质，究竟考虑速度和，还是考虑速度差，要针对题目中的条件认真思考。千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”。
6．小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒就可追上小蓝。若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红6秒钟追上小蓝，小红、小蓝的速度各是多少？
分析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，由此可求出他们的速度差。若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红6秒钟追上小蓝，在这个过程中，6秒为追及时间。根据上一个条件，由速度差和追及时间可求出在这个过程中的路程差。这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，因此可求出小蓝的速度。
解答：两人的速度差
20÷5=4（米）
小蓝的速度
634÷4=6（米）
小红的速度
6+4=10（米）
答：小红每秒跑10米，小蓝每秒跑6米。
7．甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站开往乙站。客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车到达乙站后停留半小时，又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？
分析：由于客车在乙站停留时，货车仍然行驶，因此可以分段考虑。
解答：客车到达乙地的时间
360÷60=6（时）
客车返回时，货车已行的路程
403（6+0.5）=260（千米）
货车这时距乙地的路程
360－260=100（千米）
客车返回与货车相遇时所用的时间
100÷（40+60）=1（时）
相遇点离乙地的距离
6031=60（千米）
答：相遇时距乙地60千米。
8．甲、乙两人同时从东、西两地分别出发，如果两人同向而行，甲28分钟追上乙；如果两人相向而行，8分钟相遇。已知乙每分钟行50米，东西两地相距多少米？
分析：根据题意画图如下
从图中可以看出甲
28－8=20（分）
内所走的路程与乙
28+8=36（分）
内所走的路程是相同的，又已知乙的速度，因此可求出甲的速度，东西两地的全程就可求。
解答：甲的速度
503（28+8）÷（28－8）
=50336÷20
=1800÷20
=90（米）
东西两地间距离
（90+60）38
=15038
=1200（米）
答：东西两地相距1200米。
9．甲乙两人从相距50千米的两地同时出发，相向而行。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一只狗，狗每小时跑12千米，这只狗同甲一道出发，；碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇，这只狗一共跑了多少千米？
分析：对于这道题，读完以后觉得很复杂：要求狗一共跑的路程，就要把狗与乙相遇跑的路程，与甲相遇跑的路程，再与乙相遇跑的路程…都求出来，然后再相加，算出结果。但是，仔细想一想，狗在甲乙两人之间要跑多少个来回，每次来回所用的时间是多少，这些量求起来很繁琐。
再认真审题，换个角度思考，不难发现，狗所跑的路程等于狗的速度乘以狗所跑时间。无论狗在甲、乙两人之间要跑多少个来回，狗跑的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间。所以要求狗跑的时间，也就是求出甲、乙两人的相遇时间。因此原问题就转化成求甲、乙两人相遇时间的问题。
解答：甲乙两人的相遇时间是50÷（4＋6）=5（时）
由于甲、乙两人相遇的时间就是狗来回跑所用的时间，所以狗一共跑的路程为
1235=60（千米）
答：这只狗一共跑了60千米。
说明：有时在解题过程中会被题目中的情节或条件所迷惑，因此这时再换个角度思考就会出现“柳暗花明又一村”的感觉。
10．甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行，两人在离A地90米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距B地70米处第二次相遇。两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了5分钟，甲、乙两人的速度是多少？
分析：根据本讲例4分析，先求出A、B间距离，再根据所给的时间就可求出两人的速度。
解答：A、B间距离
9033－70
=270－70
=200（米）
甲的速度
90÷（5÷2）
=90÷2.5
=36（米）
乙的速度
（200－70+90）÷5
=220÷5
=44（米）
答：甲的速度为每分钟36米，乙的速度为每分钟44米。
说明：两人第一次相遇时，合行的路程是A、B之间的距离。两人从出发到第二次相遇时，合行的路程是三个A、B之间的距离，即从第一次相遇到第二次相遇所行的路程应是从出发到第一次相遇的两倍。因此甲从第一次相遇到第二次相遇所行的时间也是从出发到第一次相遇时间的两倍，所以甲行90米用了5分钟的一半时间。
鸡兔同笼
一、基本问题
“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.
例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，2也就是
244÷2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
122-88=34，
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答：有兔子34只，鸡54只.
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4388只脚，比244只脚多了
8834-244=108（只）.
每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡
（8834-244）÷（4-2）= 54（只）.
说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数3总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2388=176（只），比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，
68÷2=34（只）.
说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数3总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.
例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？
解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.
现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有
蓝笔数=（19316-280）÷（19-11）
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是
83（11+19）=240.
比280少40.
40÷（19-11）=5.
就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.
3038比19316或11316要容易计算些.利用已知数的特殊性，*心算来完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数
19310+1136=256.
比280少24.
24÷（19-11）=3，
就知道设想6只“鸡”，要少3只.
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子.
例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？
解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.
根据前面的公式
“兔”数=（30-337）÷（5-3）
=4.5，
“鸡”数=7-4.5
=2.5，
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.
答：甲打字用了4小时30分.
例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
解：
4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年
龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是（2534-86）÷（4-3）=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
（25-14）34-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
（40-10）÷（3-1）=15（岁）.
这是2003年.
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6318）÷（8-6）
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=（1332-20）÷（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.
例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道、3道、4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-137-536=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5，
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
（144-2.5339）÷（4-1.5）=31（人）.
答：做对4道题的有31人.
习题一
1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少只？
2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？
3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？
4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元、5元、10元各有多少张？
5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？
6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米）、
一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？
7.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？
巧设单位“１”解答行程难题解答行程问题
一般都要有路程、速度、时间三种量中的任意两个量。但是，在一些竞赛题中，往往只有时间这一种量，根本不明示两个运动体的相向相遇，或者同向追及是在多少路程中发生的，因此，给解题增加了一定的难度。
如果在解答的过程中，能根据题意恰当地设某段路程为单位“１”，以此为标准，来度量两个或几个运动体在不同的时间内，所行驶的路程的长短，这样，就能使数量关系明朗化，就能驾轻就熟，将问题化难为易。
例１甲、乙、丙三人各以一定的速度，从Ａ地到Ｂ地，丙出发５分钟后乙才出发，乙用２５分钟追上丙；甲又比乙晚出发５分钟，经过４０分钟才追上丙。甲出发后，需用多少分钟才能追上乙？
三才析解设乙追上丙所走的这段路程为单位“１”，则乙每分钟能行这段路程的１／２５；丙每分钟能行这段路程的１／（２５＋５）＝１／３０；根据“丙出发５分钟后乙才出发”、“甲又比乙晚出发５分钟”，则甲比丙晚出发１０分钟。因此，当甲出发时，丙已行驶了这段路程的１／３０3１０＝１／３。甲追上丙，比丙多行了这段路程的１／３，花了４０分钟。根据追及问题的关系式，可知甲比丙每分钟多行这段路程的１／３÷４０＝１／１２０。因此，甲每分钟能行这段路程的１／３０3（５＋５）÷４０＋１／３０＝１／２４。
通过所设的乙追上丙所走的这段路程为单位“１”，已推出了甲和乙速度之间的关系，因而甲追上乙所需的时间就可知是（１／２５）3５÷（１／２４－１／２５）＝１２０（分）
例２某人沿公路骑自行车匀速前进。他发现这一公路上的公共汽车，每隔２０分钟就有一辆车超过他，每隔１２分钟就有一辆车和他迎面相遇。如果这路车的两个车站，都以间隔相同的时间发一辆车，那么，每隔多少分钟发一辆车？
三才析解由于两个车站都是以间隔相同的时间发车，所以在这两个车站间的这段公路上，不论是什么时刻，同向行驶的所有车辆，两车间的距离都是相等的。如果把这两车间的间距设为单位“１”。题中“每隔２０分钟就有一辆车超过他”，即自行车和汽车同向前进，汽车比自行车多行一个“间距”，需２０分钟，也就是每分钟汽车比自行车多行“间距”的１／２０（速度差）；“每隔１２分钟就有一辆车和他迎面相遇”，同样可知，自行车和汽车在一分钟内，能共行“间距”的１／１２（速度和）。
已知自行车和汽车在１分钟内的速度的“和”与“差”，由和差问题的关系式，可知汽车每分钟能行“间距”的（１／２０＋１／１２）÷２＝１／１５。
因此，这路车发车的间隔时间为１÷〔（１／２０＋１／１５）÷２〕＝１５（分）
例３甲骑自行车到城里去办事，走后，乙发现他忘了一物，立即骑摩托车去追，乙追了１５分钟还没追上，连忙问路旁的人，路旁的人回答说：“甲在２０分钟前经过这里。”乙看看手表，这时离甲出发时间一小时。乙需再行几分钟就能追上甲？
三才析解
“乙追了１５分钟还没追上”，如果把乙追甲这１５分钟所行的这段路程看作单位“１”，那么乙每分钟可行这段路程的１／１５。由题中条件可知，甲已出发一小时，并在２０分钟前经过这里，说明甲走这段路程花了６０－２０＝４０（分）钟，可知，甲每分钟能行这段路程的１／４０，并且还可以推知，当乙
询问路旁人时，乙还距甲的路程是这段路程（单位“１”）的１／４０3２０＝１／２，根据追及问题的关系式，可以求得乙还需多少分钟才能追上甲，因此，本题的综合算式是：
１／（６０－２０）3２０÷〔１／１５－１／（６０－２０）〕＝１２（分）
这类题，单位“１”的确定，关键是确定一个与诸多因素相关联的可比量。这类题同样可以有多种解法，不过从确立单位“１”这个角度来解答，一方面与小学生知识联系紧密，轻车熟路，另一方面也可以培养学生在根据条件确立单位“１”的过程中，提高学生的分析判断能力。
问：有50名同学在操场上活动，其中有18名女生。活动项目是长跑和跳绳，如果有31名同学跳绳，有14名男生长跑，那么女生跳绳的有多少人？
解：男生人数：50-18=32人
跳绳男生人数：32-14=18人
跳绳女生人数：31-18=13人
答：跳绳的女生有13人。
问：要从10个篮球，10个足球和10个排球中拿出3个球，一共有多少种拿法？
解：
第一类：三个球都一样时的方法：3种；
第二类：三个球中有两个一样时的方法：6种；
第三类：三个球都不一样时的方法：1种；
一共的方法：3+6+1=10种；
答：一共有10种拿法。
问： 40名同学做道数学题时有25人做对第一题，有28人做对第二题，有31人做对第3题，至少有多少人做对了三道题？
40-[{40-25}+{40-28}+{40-31}]=4
不知道这样做对不对
答：对；
学生分两类：一类是做对3道题的；一类是至少错一道题的；
至少错一道题的最多人数：（40-25）+（40-28）+（40-31）=36；
对3道题的最少人数：40-36=4；
小张加工一批零件，第一天加工了这批零件的30%，第二天比第一天少加工了20个，这时候正好加工了这批零件的一半，问这批零件共几个？
分析与解答：
因为30%＝3/10，一半即为1/2＝5/10，因此可将这批零件平均分成10份。根据题意，可知第一天加工了其中的3份，两天共加工了其中的5份，第二天正好加工了其中的：5－3＝2份，比第一天少加工了：3－2＝1份，这1份正好是少加工的20个，因此这批零件个数为：20310＝200（个）。
某水果店原有苹果若干千克，后来又运来一批苹果，运来的苹果正好是原有苹果的5/8，第一天卖出了运来苹果的1/5，这时候共剩下的苹果比水果店原有的苹果多250千克，问水果店原有苹果多少千克？
分析与解答：
因为后来运来的苹果正好是原有苹果的5/8，因此可将水果店原有的苹果平均分成8份，那么后来又运来的苹果相当于其中的5份，第一天卖出了5份中的1份，还剩下4份，正好是原有苹果的一半（4÷8＝1/2），即比原有的苹果多一半，正好多250千克，因此可得原有苹果为：25032＝500（千克）。
某校五年级有三个班，（1）班人数占全年级人数的10/33，（3）班比（2）班人数多1/11，如果从（3）班调走4人，（3）班和（2）班人数就相等，问五年级三个班共有多少人？
分析与解答：
因为（3）班比（2）班人数多1/11，因此可将（2）班人数看作11份，（3）班人数则为：11＋1＝12份，又因为如果从（3）班调走4人，（3）班和（2）班人数就相等，即为（3）班比（2）班多4人，正好多1份，因此可得每份人数是4人，（2）班和（3）班的人数共为：11＋12＝23份，而（1）班人数占全年级人数的10/33，即全年级人数是33份，（2）班和（3）班人数正好是：33－10＝23份，因此，某校五年级三个班的人数则为：4333＝132（人）。
一列队伍长100米，正在行进。传令兵从队伍末端到排头传令，又返回队伍末端，期间没有停留。这段时间里队伍前进了100米。已知队伍和传令兵的移动速度保持不变，问传令兵共跑了多少米？
10年前爸爸的年龄是儿子年龄的7倍，15年后爸爸的年龄是儿子年龄的2倍．今年爸爸和儿子各多少岁? 解：
(1)儿子10年前年龄
(10+15)÷(7—1X2)＝5(岁)
(2)今年儿子年龄
5+10＝15(岁)
(3)今年爸爸年龄
5X7十10＝45(岁)
答：今年爸爸45岁，今年儿子15岁.
我给你一个能够向孩子讲明白的方法吧
假设父亲的年龄为儿子年龄的7倍不变，则儿子15年后增加25岁，父亲也要增加7*25才能保证7倍不变
差了6*25=150岁，150岁又是儿子15年后年龄的7-2=5倍，所以15年后为30岁，今年儿子年龄为15 而父亲15年后为60岁，则今年父亲年龄为45岁
1、7辆把130分看成是一条线段，每40分点一个点，加上起点
去的车：0、40、80、120、
回来的：30、70、110
为什么起点要加一个车呢，因为回来的车还是110，还没到130，所以起点要有一辆车，这样才能保证每40分都有一辆来的和去的。
2、40+8＝48 48/2＝24 外层共24，所以每边为7人（两层之间的公差是8）
3、这题可以推理，符合题意的应该是18*18＝324页，所以这部小说应该是324页
4、41325
5、140/5＝28秒 140/3＝140/3秒 140/3-28＝56/3秒 56/3*3＝56米 140-56＝84米 84/3＝28秒 28*2＝56米 140-56＝84米 84/（2+5）＝12秒 12*5＝60米
方法二：解：设第二次相遇距A点X。
140/5+140/3+X/5=140/3+(140-X)/2 Ｘ＝60
刚才第5题。我这个最好懂。第二次相遇时，甲走的时间和乙走的时间相等。根据这个列方程。
6、500分钟乙：丙的时间比是40：50 所以速度比是乙：丙＝5：4，同理可得甲：丙的速度比是13：10 所以甲：乙的速度比是26：25 20/（26/25-1）＝500分钟
7、A＝5 B＝1 30张不少收的话就要多收2元，而多10张共才2元，所以很有可能是15张2元，30张4元，不少收就要6元。恰好符合题意。
A，B两地相距1800米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了8分到达B地，乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米？
设甲的速度为A，乙的速度为B
A*1800/(A+B)=18B
B*1800/(A+B)=8A
1800/B-1800/A=18-8
A=90, B=60
第一讲
牛吃草问题
例1 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？
分析：首先，我们要清楚这样两个量是固定不变的：草地上原有的草量；草的生长速度，而这两个不变量题目中都没有直接告诉我们，因此，求出这两个不变量便是解题的关键。一般说来，解答这类应用题可以分成以下几步：
第一步：通过比较两种情况求出牧草的生长速度。
第一种情况：10头牛吃20天，共吃了10320＝200（头/天）的草量。
第二种情况：15头牛吃10天，共吃了15310＝150（头/天）的草量。
思考：为什么同一片草地，两种情况吃的总草量会不相等呢？
这是因为吃的时间不一样。
事实上，第一种情况的：
200头/天的草量＝草地上原有的草量＋20天里新长出来的草量；
同样，第二种情况的：
150头/天的草量＝草地上原有的草量＋10天里新长出来的草量；
通过比较，我们就会发现，两种情况的总草量与“草地上原有的草量”无关，与吃的时间有关系。因此，通过比较，我们就能求出“草的生长速度”这一十分关键的量：（200－150）÷（20－10）＝5（头/天）
第二步：求出草地上原有的草量。
既然牛吃的草可以分成两部分，那么只要用“一共吃的草量”减去“新长出来的草量”就能求出“草地上原有的草量”。
200－5320＝100（头/天）或者150－5310＝100（头/天）
第三步：求可以供25头牛吃多少天？（思考：结果会比10天大还是小？）
显然，牛越多，吃的天数越少。
在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25－5＝20（头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。
100÷（25－5）＝5（天）
例2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？
分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。
因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样，请您自己试一试：（在下面评论里进行分析解答）
第一步：
第二步：
第三步：
设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则
(10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2
x=2,y=14
第一步：（538-1033）÷（8-3）=2（人小时）
第二步：538-238=24（人小时）
第三步：24÷2+2=14（人）
答：如果要求2小时淘完，要安排14人。
牛吃草问题［综合练习］
（１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
（２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？
（３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
（４）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
（５）一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数。
1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃多少天？
分析：
如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。现在够10头牛吃20天，够15头牛吃10天，10320和15310两个积不相等，这是因为10头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。
①、求每天的长草量
( 10320－15310 )÷( 20－10 )＝ 5 ( 单位量)
说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。
②、求牧场原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5＝5 ( 头 )牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：( 10－5 )320＝100 ( 单位量)
或：10头牛吃20天，一共吃草量是10320＝200 ( 单位量)
一共吃的草量－ 20天共生长的草量＝原有草量
200 － 100 ＝ 100(单位量)
③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，(吃的－长的＝消耗原草量 ) 即：25 － 5＝ 20 ( 单位量)
④、25头牛去吃，可吃天数
牧场原有草量÷ 25头牛每天实际消耗原有草量＝可吃天数
100 ÷ 20 ＝5 ( 天)
解：( 10320－15310 )÷( 20－10 )
＝50÷10
＝5 (单位量) ------- 每天长草量
( 10－5 )320
＝5320
＝100 ( 单位量) ------- 原有草量
100÷ ( 25－5 )
＝100÷20
＝5 (天)
答：可供给25头牛吃 5 天。
2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？
分析：
1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛就相当于4320＝80 ( 只)羊吃草量。
每天长草量：
( 80320 －100312 )÷ ( 20－12 )
＝400÷8
＝50 (单位量)
原有草量：
( 80－50 )320
＝30320
＝600 (单位量)
20头牛和100只羊同时吃的天数：
600÷( 80＋100－50 )
＝600÷130
＝4(天) 注：四又十三分之八
答：20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃4 8/13天。
3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。它的面积分别是 3. 3公顷、2. 8公顷和4公顷。22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。问，多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草？
分析：
①、第一片牧场22头牛54天吃完3. 3公顷所有的草，那么，每公顷草量是(包括生长的)：
22354÷3. 3＝ 360 ( 单位量)
②、第二片牧场：17头牛84天吃完2. 8公顷所有的草，那么，每公顷草量是：
17384÷2. 8＝ 510 ( 单位量)
③、每公顷每天的长草量是：
( 510－360 )÷( 84－54 )＝5 (单位量)
④、每公顷原有草量是：
360－5354＝90 ( 单位量)
⑤、第三片4公顷24天共有草量是：
9034＋532434＝ 840 ( 单位量)
⑥、可供多少头牛吃24天：
840÷24＝35 (头)
解： ( 17384÷2.8－22354÷3.3 )÷( 84－54 )
＝150÷30
＝5 (单位量) ------ 每公顷每天长草量
22354÷3. 3－5354
＝360－270
＝90 (单位量) -------- 每公顷原有草量
9034＋534324
＝360＋480
＝840 ( 单位量) -------4公顷24天共有草量
840÷24＝35 ( 头)
答：35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。
4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟；用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。问，用9台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？
分析：
用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。
每分钟泉水涌出量：
( 3340－6316 )÷( 40－16 )
＝2 4÷24
＝1 (单位量)
井里原有水量：
( 3－1 )340
＝2340
＝80 (单位量)
9台几分钟可以抽干：
80÷( 9－1 )
＝80÷8
＝10 (分钟)
答：用9台这样的水泵，10分钟可以抽干这井里的水。
5、火车站的售票窗口8点开始售票，但8点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多，开始售票后，如果开3个窗口售票，30分钟后，不再有人排队；如果开5个窗口售票，15分钟后，不再有人排队。求第一个来排队的人是几点钟到的？
分析：
到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是8点以前已等候的人( 相似于牛吃草问题中的原有草量)，另一部分是开始售票时，逐步来的人( 相似于每天长草量)，开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。因此，按“牛吃草问题”来解答。
每分钟来排队的人：
( 3330－5315 )÷( 30－15 )
＝15÷15
＝1 (人)
售票前已到的人数：
3330－1330
＝90－30
＝60 (人)
售票前已到的人共用的时间：
60÷1＝60 (分钟)
60分钟是1小时，即第一个来排队的人是售票前1小时到达的，8－1＝7
答：第一个来排队的人是7点钟到达的。
第一讲行程问题
例1. 小明上学时坐车，回家时步行在路上一共用了90分。如果他往返都坐车，全部形程需30分。如果他往返都步行，需多少分？
分析：
根据“往返都坐车，全部行程需30分”可以算出单程作车需要的时间。再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分”可以算出单程步行需要的时间。进而可算出往返都步行所需的时间。
解：（90－30÷2）32
=7532
=150（分）
答：如果他往返都步行，需150分。
例2. 甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原定的时速加快多少？
分析：
要求汽车比原来的时速加快多少，先要求出按原定时间到达，需要的时速。而要求按原定时间到达需要的时速，又要求出行剩下一半的路程，还剩下但是时间。
解：分步解答
30分=0.5小时
（1）前一半路程已行了多少小时？
8÷2=4（时）
（2）还剩下多少小时？
8－4－0.5=3.5（时）
（3）后半程每小时应行多少千米？
280÷2÷3.5=40（千米）
（4）原来每小时行多少千米？
280÷8=35（千米）
（5）每小时比原来多行多少千米？
40－35=5（千米）
列综合算式解答
280÷2÷（8－8÷2－0.5）－280÷8
=140÷3.5－280÷8
=40－35
=5（千米）
答：应比原定的时速加快5千米。
例３. 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？
分析：
如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果来。因此，一定要从整体考虑。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人跑的时间。用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。