19.2.2菱形的判定 导学案
【学习目标】
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 【学习重难点】菱形的两个判定方法． 【学习过程】 一、 温故知新：1．菱形的定义： 2.菱形的性质：边：__________________________;______________________________ 角：__________________________;______________________________ 对角线：______________________________________________________
对称性： . 二、学习新知：
探究一： 如图，四边形是菱形吗？为什么？
归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过探究，容易得到：对角线 的平行四边形是菱形 证明上述结论：
探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？ 请你画一画。
通过探究，容易得到： 的四边形是菱形 证明上述结论： 例1.
如图，ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB= 5 ，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD 是菱形.
三、练习
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ） (3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ） (4).对角线相等的四边形是菱形（ ）
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？ 求证：（1）四边形ABCD 是平行四边形
(2) 过A 作AE ⊥BC 于E 点, 过A 作AF ⊥CD 于F .用等积法说明BC =CD . (3) 求证：四边形ABCD 是菱形.
A
B C
D E F
3.已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．
4.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点． 求证：MN 与PQ 互相垂直平分。
5．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ． (1)求证：四边形AECD 是菱形；
(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
A B N P
Q
M
D C
6．如图，□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝5．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
四、中考链接 一、选择题
1. （2011?西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ）
A 、一组临边相等的四边形是菱形
B 、四边相等的四边形是菱形
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 故选B ．
2. （2011?莱芜）如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB=CD ．下列结论：
①EG ⊥FH ，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分∠EHG ，④EG=21
（BC ﹣AD ），⑤四边形EFGH
是菱形．其中正确的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 故选C ．
3.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B
为圆心，大于1
2AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ．D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图
方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形 故选：B ．
4. (2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是( ) A ．菱形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．矩形 D ．对角线相等的四边形 故选D ．
5.（2011清远）如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A.AB ＝CD
B.AD ＝BC
C.AB ＝BC
D. AC ＝B D 故选C ． 二、填空题
1. （2011?贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，
若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 18
c m 2．
2. （2011福建省三明市，14,4分）如图，?ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ，添加一个条件，能使?ABCD 成为菱形．你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）
故答案为：AB =BC 或AC ⊥BD 等．
三、解答题
1. （2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
解答：证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=1
2AB，DE=
1
2AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD（S A S ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
2. （2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E、F 分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC
∵E，F分别为AB，CD的中点，∴BE＝2
1
AB，DF＝2
1
CD，
∴四边形DEBF是平行四边形
在△ABD中，E是AB的中点，∴AE＝BE＝2
1
AB＝AD，而∠DAB＝60°
∴△AED是等边三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE
∴平行四边形DEBF是菱形．
（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB ∴四边形AGBD是平行四边形
由（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°，
∠EDB＝∠DBE＝30°故∠ADB＝90°
∴平行四边形AGBD是矩形．
3.（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解答：解：是菱形．
理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，
∴AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠CAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
4. （2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC 于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE，
∴BE=DE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3=∠1，
∴AB=BE，
∴AB=BE=DE=AD，
∴四边形ABED是菱形．
（2）解：△CDE是直角三角形．
如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，
则四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE，AD=EF=BE，
∵CE=2BE，
∴BE=EF=FC，
∴DE=EF，
又∵∠ABC=60°，AB∥DE，
∴∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF=EF=FC，
∴△CDE是直角三角形．
5. （2011?安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
6. （2011?西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形．
解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD，
∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是菱形．
（2）∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE是矩形．
故答案为：矩形．
7. （2011?临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．
解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；
证明：（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
8. （2011丽江市中考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解答：解：是菱形．
理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，
∴AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠CAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
9. （2011浙江宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠4＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，
∴AE ＝21AB ，CF ＝21
CD ．∴AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF ，
∴∠3＝∠CBF ，∵∠ADB ＝∠CBD ，∴∠2＝∠FBD ，∴DE ∥BF ， （2）∵∠G ＝90°，∴四边形AGBD 是矩形，∠ADB ＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴DE ＝AE ＝BE ，∵AB ∥CD ，DE ∥BF ，∴四边形DEBF 是菱形．
10. （2011浙江衢州）如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． （1）求证：AD =EC ；
（2）当∠BAC =Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．
解答：（1）证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，且AE =BD
又∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD =CD
∴AE ∥CD ，且AE =CD
∴四边形ADCE 是平行四边形 ∴AD =CE
（2）证明：∵∠BAC =Rt ∠，AD 上斜边BC 上的中线， ∴AD =BD =CD
又∵四边形ADCE 是平行四边形 ∴四边形ADCE 是菱形
11. （2011?安顺）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF=CE=AE ． （1）说明四边形ACEF 是平行四边形；
（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF ∥CA ，
∴∠AEF=∠EAC ， ∵AF=CE=AE ，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA ． 又∵AE=EA ，
∴△AEC ≌△EAF ， ∴EF=CA ，
∴四边形ACEF 是平行四边形． （2）当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=21
AB ，
∵DE 垂直平分BC ， ∴BE=CE ， 又∵AE=CE ，
∴CE=21
AB ，
∴AC=CE ，
∴四边形ACEF 是菱形．
12. （2011?恩施）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，BC=CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q ．求证：四边形APCQ 是菱形．
解答：解：∵AC=AD ，AF 是CD 边上的中线， ∴∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°， ∵∠ACF+∠PCA=90°， ∴∠PCA=∠CAF ， ∴PC ∥AQ ， 同理：AP ∥QC ，
∴四边形APCQ 是平行四边形． ∵△PEC ≌△QFC ， ∴PC=QC ，
∴四边形APCQ 是菱形．
13. （2011邵阳）在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．
（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
解答：（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．证明：连接AC 、BD ，∵E 、F 、G 、H 分别是
AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥AC ，EF =21AC ，HG ∥AC ，HG =21AC ，GF =21BD ，∴EF =HG ，
EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． （2）添加的条件是AC =BD ．
菱形的判定学案 班级姓名小组 学习目标 1. 经过探究推理得出菱形的几种判定方法。 2.理解并掌握菱形的判定方法，会判定一个四边形是菱形。 重点：掌握并会应用菱形的判定方法. 难点：菱形判定方法的应用. 导学过程 一、复习引入，明确目标 1.菱形的定义和性质是什么？ 2.明确学习目标； 3.想一想：由菱形定义可知判定菱形的一种方法： 。 符号语言∵ ∴ 二、自主学习、探究新知 请同学们探究下列问题： 探究1. 菱形的四条边都相等.反过来，四条边都相等是四边形是菱形吗？ 已知：四边形ABCD，AB=BC=CD=DA, 求证：四边形ABCD是菱形。（用菱形的定义证明） 符号语言∵ ∴ 判定方法1：四边的四边形 ．．．是菱形． 探究2. 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形? 于是抽象出一个数学问题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 已知：ABCD，对角线AC、BD互相垂直。 求证：ABCD是菱形． 符号语言∵ ∴ 判定方法2：对角线的平行四边形 ．．．．．是菱形
三、应用新知、大胆展示 1、如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是菱形. 2、如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD是菱形. 3、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．
四、归纳整理、自我反思 菱形常用的判定方法有哪些？ 五、当堂检测、目标达成 1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是___________ 2、有一组邻边相等的四边形是菱形（） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（） 4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（） 5、先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心， AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到 了一个菱形。理由是. 6、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。 7、如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
18.2.2 菱形 第2课时菱形的判定 一、新课导入 1.导入课题 用菱形的定义，我们容易得到，一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外还有没有其他判定方法？(板书课题) 2.学习目标 （1）能从研究菱形性质的逆命题正确性中得到菱形的判定. （2）能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形. 3.学习重、难点 重点：菱形的判定的推导与归纳. 难点：菱形的判定的正确运用. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：P57例4的内容. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：自己写出菱形性质的逆命题，验证它们的正确性，并相互交流. （4）自学参考提纲： ①由定义判定一个四边形是菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②运用定义证明四边形是菱形，可先证它是平行四边形，再证它是菱形. ③运用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形时，可先证它是平行四边形，再证它是菱形. ④要证明一个平行四边形是菱形，只需先证明有一组邻边相等或对角线互相垂直. ⑤判断： a.对角线互相垂直的四边形是菱形.（×） b.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（√） 2.自学：结合自学指导进行自主学习. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生在完成判定定理的证明及完成自学提纲时遇到的偏差和困难之处. ②差异指导：对学生在菱形判定的证明步骤不当或思路不清之处进行点拨、引导.
（2）生助生：学生相互研讨疑难之处. 4.强化 （1）菱形的判定方法： ①按定义判定. ②按对角线判定. （2）证明一个四边形是菱形的步骤. 1.自学指导 （1）自学内容：P57例4以下至P58练习的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：写出菱形性质“菱形的四条边相等”的逆命题，再作图思考如何证明逆命题的正确性. （4）自学参考提纲： ①“菱形的四条边相等”的逆命题是四条边相等的四边形为菱形. ②如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证:四边形ABCD是菱形. a.若按定义证：先证它是平行四边形，再证它是菱形，要证它是平行四边形，需找两对对角相 等.因此可连接对角线.再运用三角形全等得到角相等.请按上述分析填空尝试证明； b.若按对角线来判定，则需先证它是平行四边形，再证对角线垂直，这就只需证它的一组邻边 相等，就可得它是菱形.证一组对边平行就可通过连接一组对角线，运用一组内错角相等证得 一组对边平行且相等.然后再证对角线垂直.尝试分析填空写出证明过程. c.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和65，则它是菱形吗？为什么？它的面积是多少？ 解：画出图形如图所示，根据题意，有AD=9,BD=65,AC=12,根据平行四边形的性质 知 11 6,35 22 AO AC DO BD ====,则在△AOD中，AO2+DO2=AD2,∴△AOD为直 角三角形，∴AO⊥OD也即AC⊥BD,∴平行四边形ABCD为菱形，其面积为1 126536 5. 2 ??= ③完成P58练习题第1(1)题和第3题. 2.自学：结合自学指导自主学习. 3.助学 （1）师助生：
第十八章 平行四边形 上信中学 陈道锋 18.2.2 菱 形 第2课时 菱形的判定 学习目标：1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理； 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 一、知识回顾 1.菱形的定义是什么？性质有哪些？ 2.根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？ 有一组邻边_____的______________是菱形. 数学语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD ， ∴四边形ABCD 是菱形. 一、要点探究 探究点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 想一想 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形. 证一证 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形对角线AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 配套PPT 讲授 1.情景引入 （见幻灯片3-4） 2.探究点1新知讲授 （见幻灯片5-10）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA____OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA______BC. ∴四边形ABCD是________. 要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________ 是菱形. 几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴□ABCD是菱形. 典例精析 例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F, 求证：四边形AFCE是菱形． 针对训练 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （） 教学备注 配套PPT讲授 3.探究点2新知 讲授 （见幻灯片 11-20）
一、温故知新 菱形的对边 。 菱形的四边 。 菱形的性质： 菱形的对角线 。 菱形是 对称图形，又是 对称图形。 菱形的面积= ； 二、新知学习 根据菱形的定义得到：有一组 相等的的 四边形是菱形。 探究1：平行四边形的对角线互相平分；反之，对角线互相平分的四边形是平行四边形； 思考：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？如果是，如何进行证明呢？ 已知：平行四边形ABCD 中对角线AC ⊥BD 于O 点 求证：平行四边形ABCD 是菱形。 证明： 菱形的判定定理： 的 四边形是 。 探究2：思考：菱形的四条边都相等，反之，四条边都相等的平行四边形是菱形吗？如果是，如何进行证明呢？ 已知：如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA, 求证：四边形ABCD 是菱形. 菱形的定理： 的 是 菱形 。 三、探究3：菱形判定定理的简单应用 例1已知：如右图,在□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O, AB= 5,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD 是菱形. A
2、已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． 3、已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=BD,DE∥AC,CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形. 4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D， 作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC. 求证：四边形ADCF是菱形． 5、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．
菱形的判定 一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法. 二、教学重点:菱形判定方法的探究. 三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用. 四、教学过程: 活动1、引入新课，激发兴趣 1、复习 （1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等； 性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补； 性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相 垂直，且每一条对角线平分一组对角。 2、导入 (1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？ 根据菱形的定义可知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. (2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法 【问题牵引】 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。 问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？ 继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？ 学生用几何语言表示命题如下： 已知：在□ABCD 中，对角线AC ⊥BD ， 求证：□ABCD 是菱形。 分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO ，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO ，得ΔAOB ≌ΔAOD ，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD 是菱形。 【归纳定理】 通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1): 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 活动3、菱形第二个判定方法的应用 例3 如图，如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交 于点O ，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：□ABCD 是菱形。 思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构 成了△ABO 是一个三角形，?而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。 活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法 【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论? 学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。 O D C B A
菱形的判定导学案 【学习目标】 1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算； 2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 【学习重难点】菱形的两个判定方法． 【学习过程】 一、温故互查： 1．菱形的定义： 2.菱形的性质：边：__________________________;______________________________ 角：__________________________;______________________________对角线：______________________________________________________ 对称性： 二、设问导读： 探究一：如图，四边形是菱形吗为什么 归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形 通过探究，容易得到：对角线的平行四边形是菱形 证明上述结论： 探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形 请你画一画。 通过探究，容易得到：的四边形是菱形
证明上述结论： 例1. 如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6求证:四边形ABCD是菱形. 三、自主检测 1.判断题，对的画“√”错的画“×” (1).对角线互相垂直的四边形是菱形（） (2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（） (3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（） (4).对角线相等的四边形是菱形（） 2. （2011福建省三明市，14,4分）如图，?ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使?ABCD成为菱形．你添加的条件是（不再添加辅助线和字母 3. （2011?贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 四.巩固提高： 1.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 2.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
19.2.2 菱形的判定 【学习目标】 1．探索并掌握菱形的判定定理。 2．运用菱形的判定定理解决问题。 3．在观察、探究中，进一步培养自己的数学推理能力。 【重点】菱形的判定。 【难点】灵活运用菱形的判定定理。 【使用说明与学法指导】 1、认真阅读课本P113-P117,初步掌握菱形的判定定理,并灵活运用；再针对预习案二次阅读教材，解答预习案中的问题；疑惑随时记录在“我的疑惑”栏内，准备课上讨论质疑； 2、通过预习能够掌握菱形的判定定理，并能拓展和尝试总结规律解决一些实际问题。 预 习 案 一、预习自学 ①研究判定菱形的方法一. （1）画图：先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得两弧的交点C.连接BC 、CD ，得到的四边形ABCD. （2）画出的四边形是什么四边形？为什么？ （3）得到判定菱形的又一方法：__________________________________导 学 案 装 订 线
②研究判定菱形的方法二. （1）用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周套上一根橡皮筋，做成一个四边形. （2）转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ （3）得出判定菱形的又一方法：. （4）写出已知、求证，进行证明. 二、我的疑惑 ______________________________________________________________________ 探究案 探究点：菱形判定定理的运用。 例1已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
《菱形的判定》教学设计 [教学准备] 多媒体课件、教具、圆规、直尺等。 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 “菱形”是继“四边形”、“平行四边形”和“矩形”之后的一个学习内容，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，又学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。这一节课不仅是前面所学知识的延伸，更为探索正方形等知识指明了方向，起着承前启后的作用。因此学好四边形的内容，尤其是特殊的四边形，对学生来说，无论是进一步学习还是实际应用都是至关重要的。 （二）学情分析 八年级学生具有一定的逻辑思维能力，加之他们的动手操作能力以及合情推理能力也趋于成熟，而且学生在此前已经学习了平行四边形和矩形的有关知识，以及菱形的性质，有了一定的知识储备，在此基础上探究菱形的判定方法。在整个探究过程中，学生可加深对菱形判定方法的理解，提高了学生合情推理能力和合作交流能力。 （三）教学目标 基于以上分析，结合课标标准，我从三个方面制定了教学目标： 知识目标：经历菱形的判定方法的形成过程，掌握菱形的三种判定方法。 能力目标：通过探究菱形的判定方法，增强学生的实验、猜想、推理意识，并依据菱形的判定进行简单的说理，培养学生的逻辑推理能力。 情感态度：在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，建立自信心，学会欣赏数学美。 （四）教学重、难点 基于本节课的主要内容是围绕着菱形的判定方法而展开的，菱形的判定方法在本节课中处于核心地位，所以我确定本节课的教学重点为:菱形判定方法的探究。为突出重点，我一是立足于学生已有的数学活动经验来设计问题，二是让学生通过探索活动，经历菱形判定方法的形成过程。由于学生还没有具备辨证分析问题的能力，所以我确定本节课的教学难点是菱形判定方法的探究及灵活运用。 二、教法与学法分析
课题菱形的判定(2) 【学习目标】 1．让学生理解并掌握菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 2．让学生学会用菱形的性质与判定相结合解决相关的计算与说理． 3．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 【学习重点】 菱形的判定定理2. 【学习难点】 用菱形的性质与判定相结合解决相关的计算与说理． 行为提示：创设问题情景导入，激发学生的求知欲望． 行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流． 知识链接： 1．菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直． 2．类比法：比较事物的相同点，类比的两个或两类对象要有相同或相似处． 解题思路：证明性质定理时，已经是平行四边形，所以只需证明一组邻边相等即可． 方法指导：对于范例1，对角线已给出垂直，所以只需证四边形是平行四边形即可．情 景导入生成问题 【旧知回顾】 1．菱形有哪些特殊性质？ 答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直． 2．我们已学过菱形的哪些判定方法？内容是什么？ 答：定义法和判定定理1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形． 自学互研生成能力 知识模块一对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【自主探究】 1．类比矩形、菱形的判定定理1，试问：菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形．这个命题是假命题．如图：那么，添加一个什么条件能使其成为真
命题呢？ ,(第1题图)),(第2题图)) 2．猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形．”动手操作：如图，按书本P116“探索”中的过程进行．当对角线垂直的时候，会得到什么图形？同学之间交流一下． 3．用尺规作图作菱形的方法：见书本P116“试一试”． 4．菱形的性质定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 如图，在?ABCD中，对角线AC，BD互相垂直．求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是?，∴OB＝OD，∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD，∵AO＝AO， ∴△AOB≌△AOD(S.A.S.)，∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【合作探究】 范例1：已知：如图，?ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F.求证：四边形AFCE是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC，∴∠1＝∠2. 又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF，∴EO＝FO. ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵EF⊥AC，∴?AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． 学习笔记： 1．菱形的三个判定：定义法；四条边都相等的四边形；对角线互相垂直的平行四边形．2．常用添加辅助线的方法：连接对角线． 3．求线段的长用的比较少的方法(出奇不意)：面积法． 行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比．
博文中学九年级数学教学案 主备人：邢安安 审核：初三数学组 时间：2011.08.29 1.3菱形的判定 教学目标：1、使学生能够掌握菱形的判定定理的证明并会灵活运用。 2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的 必要性，不断感受和情推理是人们正确认识事物的重要途径。 3、逐步学会分析和综合的思考方法，培养学生演绎推理的能力。 教学重点：菱形的判定定理的证明及应用。 教学重点：菱形判定定理的综合应用。 教学过程： 一自学质疑： 我们以前探索四边形是菱形的条件的过程是什么？ 四边形、平行四边形、菱形之间有何关系呢？如何来思考和表述菱形的判定条件？ 二互动探究 1、引入新课 具备什么的平行四边形是菱形？具备什么的四边形是菱形？请与同学交流。 2、菱形的判定方法 定理1；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边都相等的四边形是菱形。 （1）菱形判定方法，填写下表。 应具备两个条件 菱形的定义 菱形判定方法一（定义） 判定方法1 判定方法2 思考与探索: 你能用直尺和圆规画一个菱形吗？能说说你作图的理由吗？与同学进行交流。 三、例题精讲： 例1、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边CD 、BA 分别相交于点E 、F 。 求证：四边形AFCE 是菱形。 例2．如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD ，四边形ABCD 为菱形吗？为什么？ F E C B A D O
四、总结与交流 本节课，我们又证明了哪些定理？运用那些方法呢？ 五、课堂作业 课本27页13，14题
学习内容：§19.2.2菱形的判定 学习目标：掌握菱形的判定方法 一、预 习 案 复习巩固 1、矩形的判定定理： 从角考虑： （1）___________________________的平行四 边形是矩形。 从对角线考虑： （2）____________________________的平行四 边形是矩形。 从角考虑： （3）____________________________的四边形 是矩形。 3、如图，CD ，CB 分别是∠ACE 与它的邻补角 ∠ACP 的平分线，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，B ， D 为垂足.求证：四边形ABCD 是矩形. 课前预习 （阅读课本P99-100） 1、菱形的定义判定：有一组邻边__________的平行四边形是菱形. 几何表示：∵四边形ABCD 是平行四边形， AB=CD ∴四边形ABCD 是菱形。 A C 2、菱形判定方法1： ___________________ 平行四边形是菱形． 应用判定方法1时，要注意其性质包括两个条 件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线互相 垂直． 已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ⊥BD ， 求证：四边形ABCD 是菱形 证明：在ABCD 中， OB=OD ∵AC ⊥BD ∴∠AOB____∠AOD 在△AOB 与△AOD 中, ∴四边形ABCD 是菱形 思考：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 为什么？ _____________________________________ 画一个菱形，使它的边长为6cm 。（草稿） 通过菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法： 菱形判定方法2：___________的四边形是菱形． 已知:四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD 是菱形。 证明： C ．尝试练习 1、在平行四边行ABCD 中，AB=CD ，则四边形ABCD 是__________。 2、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 垂直 于BD ，则四边形ABCD 是__________。 3、如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5，OA=4，OB=3。 求证：ABCD 是菱形。 D E
菱形学案 19.3 菱形 第一课时 1、自主学习 ● 目标导学 1、理解菱形的定义； 2、探究菱形的性质，并能运用性质解决实际问题。 ● 自学生疑 1、叫菱形 2、菱形的性质 1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 二、合作学习 ● 合作探究 1、看书了解什么叫菱形？ 。 2、通过量一量，折一折，看看菱形的边、角、对角线存在哪些性质？如何证明？ 归 纳： 用几何语言叙述： 3、探究菱形的面积计算方法：
练一练： 1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是 （） A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm 2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A.75° B.60° C.45° D.30° 3、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm,则另一条对角线的长是 （） A.4 cm B. cm C.2 cm D.2 cm ● 精讲精练 例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH. 变式：菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积. 例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB。（1）求证：;(2)若,试问：P点运动到什么位置时，的面积等于菱形ABCD面积的 ？为什么？
例3：如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，,P点在BD 上，求PE+PC的最小值。 三、用中学习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=∠BAC，则菱形的四个内角的度数为_______. 3、.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm2. 4.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（） A.168 cm2 B.336 cm2 C.672 cm2 D.84 cm2 5.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（） A.4 B.8 C.10 D.12 6.下列语句中，错误的是（） A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴 B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到 7.菱形的面积为8平方厘米，两条对角线的比为1∶,那么菱形的边长为_______. 8、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是，最大值是。
19.2.2 菱形的判定（2）导学案 一．复习导入 1. 菱形的定义是什么？ 2. 菱形的性质有哪些（从边、角、对角线、对称性方面）？ 3. 已学过的菱形的判定方法有哪些？ 还有其它的判定方法吗（从对角线角度）？ 学习目标： 1.探索并掌握菱形的判定定理2 2.运用菱形的判定方法进行相关的论证与计算 二．探索新知 用一长一短两根细木棒,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动其中一根木棒,这个四边形什么时候变成菱形? 请同学们猜想一下 三．自学自悟 自学课本116页（2 分钟） 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形 所需工具：圆规、直尺
思考：请同学们动手量一量，四边形ABCD的四条边是否相等, 我们所作的图形是菱形吗？ ABCD 已知，如图所示，在平行四边形 中，AC丄BD 求证：四边形ABCD是菱形 归纳: 四.拓展应用 已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F. 求证：四边形AFCE是菱形。
方法总结: 对于菱形的判定，若可证出四边形是平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等。 中考链接 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=8cm,点F从点D出发, V F=1cm/s，同时点E从点B出发V E=1cm/s, （1）求证：四边形AECF是平行四边形。 （2）当t等于多少时，四边形AECF是菱 形？ 五.课堂小结 本节课你有什么收获和疑问？ 六.课堂检测 1.下列命题中正确的是（） A. —组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形
学习目标： 1．理解并掌握菱形的定义及其它两个判定方法． 2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算． 学习重点：菱形的判定定理． 学习难点：判定定理的证明及运用． 学习方法：导学案引领法 学习过程： 一、问题导学 （1）1．菱形的定义：_______________________; 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠AOE 的大小为() A．75°B．65°C．55°D．50°[来源:https://www.doczj.com/doc/b19513360.html,]教学设计： 1、通过问题导学引 入本节内容。 2、通过合作探究完 成本节所学内容。 3、由知识梳理整理 本节知识点。 4、由训练反馈巩固 本节所学内容。 [来源学*科*网] 教学反思： 二、合作探究 知识模块一菱形的判定 【自主探究】 阅读教材P57 ～58 ，思考： 1．菱形的判定方法：(1)有一组邻边_______的平行四边形是菱形； (2)对角线________的平行四边形是菱形；(3)四条边_____的四边形是 菱形． 2．已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使?ABCD成为一个菱形，你添加的条件是_________． 【合作探究】 如图，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC ＝8，DB＝6. 求证：四边形ABCD是菱形． 三、知识梳理
知识模块二菱形判定的应用[来源学科网] 【自主探究】 如图，在平行四边形ABCD中，AF，CE分别是∠BAD 和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”) 知识模块三菱形的性质和判定的综合应用 【自主探究】 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.[来源:Z|xx|https://www.doczj.com/doc/b19513360.html,] (1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； （2）多项式4 3 22- +x x是____次___项式，其中最高项是 四、训练反馈 1．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是_____，顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是_________． 2．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，AD，CE.CE交AD 于点F，连接BF，则线段AC，BF，CD之间的关系式是__________. [来源:Z§xx§https://www.doczj.com/doc/b19513360.html,]
20.3《菱形的判定》学案 学习目标： 1.掌握菱形的判定定理及证明方法; 学会运用菱形的判定定理解决一些问题； 2.进一步发展合情推理能力；逐步掌握说理的基本方法. 3.经历探索菱形判定的过程，发展主动探索、研究的习惯. 重点： 菱形的判定方法．难点 ：探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算． 学习过程: 一．温故知新，引入新课 ㈠.“忆”： 1. 菱形的定义：有 的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质:菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形. 除了平行四边形的性质外,还有特有的性质: ⑴________________________________________________； ⑵________________________________________________； ⑶________________________________________________. ㈡“写”：写出以上菱形性质的逆命题: (1) （定义）； (2) ； (3) ； (4) . ㈢“猜”：㈡题中的命题可否成为菱形的判别方法？即这些逆命题成立吗？ 二.动手操作，探究新知 ㈠菱形的判定方法1(定义) 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ㈡探究菱形的判定方法2 : 对角线互相垂直的平行四边形是菱形？ 1.操作验证：认真仔细阅读课本P113—114页 试一试. 2.尝试逻辑推理证明： ⑴写出这个命题的题设： 结论： 已知: 如图在□ABCD 中， 求证： . ⑵证明: 3.概括：菱形的判定方法2 : 的平行四边形是菱形. O D C B A
4.菱形除了用平行四边形的方法求面积外，还有没有其它办法呢？（简要写出推理的过程。） 菱形的面积公式：对角线 对角线菱形??=21 S ㈢探究矩形的判定方法3:四边相等的四边形的菱形? 已知： 求证： 证明： 概括：菱形的判定方法3 : 的平行四边形是菱形. 几何证言表达：在四边形ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA ，∴四边形ABCD 是菱形. ㈣探究矩形的判定方法4: 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形? 已知： 求证： 证明： 概括：菱形的判定方法4: 的四边形是菱形. 三、理解运用，拓展提高（用5分钟时间解决 下面一组问题） 1.如图,矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F 。 求证：四边形AFCE 是菱形。 2.变式: 如图 ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形． O D C B A
全国中学青年数学教师优秀课 19.2.2 菱形 教学设计及说明 新疆生产建设兵团 农八师石河子第四中学吴影
《19.2.2菱形》教学设计及说明 授课教师：新疆生产建设兵团农八师石河子第四中学吴影 教材：《人教版义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册 第十九章《四边形》第二节《菱形》的第二课时 一、教材分析 在本章的学习中，教材已研究了平行四边形性质和判定、矩形性质和判定、菱形的定义和性质，学生已初步了解并掌握了特殊四边形的一些判定方法。本节知识,既是前面所学知识的延续和拓展，也为下一节学习梯形和其他平面图形作必要的知识储备。 本节课，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括问题的能力和审美意识的发展，进一步渗透了“转化、类比”等数学思想方法。 二、学情分析 学生在此前已经学习了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、菱形的定义和性质，掌握了菱形性质的简单应用，学生在此基础上探究菱形的判定方法。 由于八年级的学生对事物的感性认识丰富，正在向抽象思维转型，所以本节课本节课让学生在丰富的实践活动中，利用菱形的判定方法解决问题，促使学生从感性认识向理性思维发展，从形象思维向抽象思维转型。 三、教学目标及重、难点分析 【教学目标】 1、会判定一个四边形或平行四边形是菱形，会合理论证和计算。 2、经历探究菱形判定条件的过程，并会利用菱形的判定方法解决实际问题。 3、从学生已有的知识出发，让学生在动手操作、讨论交流、归纳总结的过程中，加深对菱形判定方法的理解，感受身边的数学，以及合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学习数学的热情，树立学好数学的信心。 【重点】菱形的判定方法。 【难点】引导学生探究菱形的判定方法,并利用菱形的判定方法解决实际问题。 四、教学策略分析 基于对教材和学生认知规律的考虑，在讲授新课时，我会引导学生回顾平行四边形、矩形的判定方法，然后引导学生通过数学活动猜想菱形的判定方法，再利用图形验证猜想，最后进行逻辑证明。
课题菱形的判定(1) 【学习目标】 1．让学生理解并掌握菱形的定义判定法及判定定理1. 2．让学生学会用这两个判定方法进行有关的论证和计算． 【学习重点】 菱形的定义判定法及判定定理1. 【学习难点】 用这两个判定方法进行有关的论证和计算． 行为提示：创设问题情景导入，激发学生的求知欲望． 行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流． 知识链接： 1．定义既可以作为性质也可以作为判定使用． 2．平行四边形的判定方法：定义法；两组对边相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；对角线互相平分的四边形． 解题思路：在范例2中欲证明∠CEB＝∠CBE，只需证明∠CEB＝∠ABD，∠CBE＝∠ABD即可；在第(2)中，可先证明四边形CEDB是平行四边形，再由BC＝BD即可判定结 果．情景导入生成问题 【旧知回顾】 1．菱形的定义是什么？ 答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．菱形有哪些特殊性质？ 答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直． 3．运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？ 答：两个：一是平行四边形；二是一组邻边相等． 自学互研生成能力 知识模块一有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【自主探究】 1．我们知道，可以类比平行四边形、矩形的判定方法，用他们的定义也可以判定一个四边形是相应的四边形．
2．定义证法：__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__． 几何语言：∵?ABCD，BA＝BC， ∴?ABCD是菱形(或四边形ABCD是菱形)． 【合作探究】 范例1：如图所示，四边形ABCD是矩形，AE∥BD，DE∥AC，则四边形AODE是(C) A．平行四边形但不是菱形B．矩形 C．菱形D．无法确定 分析：由矩形的对角线相等且互相平分得到OA＝OD，再由两组对边分别平行可得四边形OAED是平行四边形．所以?OAED是菱形． 范例2：(2016·沈阳中考)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连结DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形． 证明：(1)∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD. ∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE， ∴∠CEB＝∠CBE； (2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD. ∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD. ∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形． ∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形． 学习笔记： 1．菱形的两个判定方法：定义法；四条边都相等的四边形． 2．有三条边相等的四边形不是菱形． 3．菱形的尺规作图方法． 行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比．
1922菱形的判定导学案 【学习目标】 1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算； 2?在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力. 【学习重难点】菱形的两个判定方法. 【学习过程】 一、温故知新：1.菱形的定义：______________ 2.菱形的性质：边： _______________________ 角：____________________________ ；_______ 对角线：__________________________________ 对称性：__________________________________ 二、学习新知： 探究一：如图，四边形是菱形吗？为什么？ 三、练习 1.判断题，对的画“y 错的画“X” (1).对角线互相垂直的四边形是菱形( ) (2). 一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( (3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( ) (4).对角线相等的四边形是菱形( ) 2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分求 证：(1)四边形ABCD是平行四边形 ⑵ 过A作AE丄BC于E点，过A作AF丄CD于F.用等积 法说明BC=CD. ⑶求证：四边形ABCD是菱形. 归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字， 四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形?转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 通过探究，容易得到： 证明上述结论： 3.已知：如图匚ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、 F. 求证：四边形AFCE是菱形. 探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画 弧，得到两弧的交点C,连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。 通过探究，容易得到： 证明上述结论： 例1. 如图，I UABCD的两条对角线AC、BD相交于点0, 求证：四边 形ABCD是菱形. 5.如图，四边形ABCD 中，AB// CD , AC 平分/ BAD , CE// AD 交AB 于E. (1)求证：四边形AECD是菱形； ⑵若点E是AB的中点，试判断^ ABC的形状，并说明理由. ABCD是菱形吗? 的平行四边形是菱形 对角线 4.如图，在四边形ABCD中，AB = CD, M , N, P, Q分别是AD , 求 证：MN与PQ互相垂直平分。 的四边形是菱形