带电粒子运动轨迹的分析技巧
一．已知电场线和运动轨迹
例1：（’98上海高考题）如图1中，实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a 、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，根据此图可作出的正确判断是（ ）
A ．带电粒子所带电荷的符号
B ．带电粒子在a 、b 两点的受力方向
C ．带电粒子在a 、b 两点的速度何处较大
D ．带电粒子在a 、b 两点的电势能何处较大
【分析解答】带电粒子在电场中所受电场力必沿
电场线，根据轨迹的弯曲方向，看出a 、b 两点的电
场力方向如图2所示（类向心力）。由于电场线有两种可能，因此粒子所带电荷量可能为正，也可能为负。当粒子从a 点进入时，速度方向与受力方向夹角大于90°，电场力做负功，动能减小，电势能增加；粒子从b 点进入时，速度方向与受力方向夹角小于90°，电场力做正功，动能增加，电势能减小。正确答案为B 、C 、D 。
【思维升级】带电粒子运动轨迹一旦-给定，那么粒子在a 、b 两点的受力方向、速率大小、电势能大小将唯一确定，与粒子所带电荷量无关。
图2 a b 图1
d N c b a M 图3 二．已知等势面和运动轨迹
例2：a 、b 、c 、d 为某电场中的等势面，
一带电粒子飞入电场后只在电场力作用下
沿M 点到N 点的虚线运动。由图3可知，
四个等势面电电势φa 、φb 、φc 、φd 由高到
低的排列顺序是 带电粒
子在M 、N 两点中电势能较大的是 点。
【分析解答】过M 、N 两点分别作与等
势面垂直的法线，电场强度方向必定在法线
上，电场力亦沿法线方向，由轨迹弯曲情况
知电场力方向如图4所示。因此，φd ＞φc ＞φ
b ＞φa 。带电粒子从M 点到N 点电场力做负功，电势能增大，所以电势能较大的是N 点。
【思维升级】先过等势面上一点做法线，再结合电场力方向和所带电荷量才能确定电场强度方向。本题难度在于给定的是等势面，而非电场线。
综上，依托粒子运动轨迹弯曲情况，沿电场线画出电场力方向是解决问题的关键，把电场力看作“类向心力”是处理问题的一种技巧，这样既直观易懂，又快速准确，同学们在遇到类似问题时不妨一试。
图4
带电粒子在匀强磁场中的轨迹问题赏析 带电粒子在磁场中受到垂直于运动速度方向的洛仑兹力作用而做匀速圆周运动，由于所受力及初始条件不同，带电粒子在匀强磁场中形成不同的图形。这些图形反映了有关带电粒子在匀强磁场中运动时的不同特性，研究这些图形，可以直观的得到解题思路和方法，给人以美的享受，美的启迪。现以例题形式解析在匀强磁场中几种常见的图形。 一．一面“扇子” 例1 如图所示，在半径为R 的圆范围内有匀强磁场，一个 电子从Ｍ点沿半径方向以ｖ射入，从Ｎ点射出，速度方向偏 转了６０0则电子从Ｍ到Ｎ运动的时间是（ ） Ａ v R 2π B v 3R 2π C v 3R π D v 3R 3π 解析 选Ｄ 过Ｍ，Ｎ两点分别做Ｏ’Ｍ⊥ＯＭ，Ｏ’Ｎ⊥ＯＮ．则粒子运动轨道形成一“扇面“图形，如图所示，圆心角∠ＭＯ’Ｎ＝ ６０＝3 π 又由r=Bq mv =030tan R =3R 和T=Bq m π2，得T=v R π3 2，所以电子从M 到N 运动时间t=T πθ2 =π π2 3×v R π3 2=v R 33 π 估选D 。 二． 一颗“心脏” 例2如图所示,以ab 为分界面的两个匀强磁场,方向 均垂直于纸面向里,其磁感应强度B 1=2B 2,现有一质量为m,带电量为+q 的粒子,从
O 点沿图示方向以速度v 进入B 1中,经过时间t= 粒子重新回到O 点(重力不计) 解析 粒子重新回到O 点时其运动轨道如图所示,形 成一”心脏”图形.由图可知，粒子在B 1中运动时间 t 1=T 1=q B m 12π 粒子在B 2中的运动时间为t 2=2 1T 2=q B m 2π 所以粒子运动的总时间t= t 1+ t 2= q B m 12π+q B m 2π=q B m 22π或q B m 14π 三． 一条“螺旋线” 例3如图所示,水平放置的厚度均匀的铝箔,置于匀强磁场 中,磁场方向垂直于纸面向里,一带电粒子进入磁场后在 磁场中做匀速圆周运动,粒子每次穿过铝箔时损失的能量 都相同,如图中两圆弧半径R=20cm, R=19cm,则该粒子总共能穿过铝箔的次数是多少? 解析 由R=Bq mv 及E K =2 1mv 2 得:：E K =m R B q 2222 所以每次动能损失：?E K = E K1- E K2=m R B q 22122—m R B q 22 222 所以粒子总共能穿过 铝箔的次数：K 1E ?E =222121R R R -=2 221.02.02.0-3.10≈ 故n=10次 粒子在每次穿过铝箔后其轨迹形成如图所示的一条“螺旋线”图形 四.一座“拱桥” 例4如图所示,在x 轴上方有垂直于xy 平面的匀强
带电粒子在有界磁场中运动(超经典)
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 “临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。 一、解题方法 画图→动态分析→找临界轨迹。（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。） 二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）
分述如下： 第一类问题： 例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？
分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。 第二类问题： 例2 如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN 线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN 上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。
分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。 【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向
带电粒子在匀强磁场中的轨迹问题赏析 带电粒子在磁场中受到垂直于运动速度方向的洛仑兹力作用而做匀速圆周运动，由于所受力及初始条件不同，带电粒子在匀强磁场中形成不同的图形。这些图形反映了有关带电粒子在匀强磁场中运动时的不同特性，研究这些图形，可以直观的得到解题思路和方法，给人以美的享受，美的启迪。现以例题形式解析在匀强磁场中几种常见的图形。 一．一面“扇子” 例1 如图所示，在半径为R 的圆范围内有匀强磁场，一个 电子从Ｍ点沿半径方向以ｖ射入，从Ｎ点射出，速度方向偏 转了６０0则电子从Ｍ到Ｎ运动的时间是（ ） Ａ v R 2π B v 3R 2π C v 3R π D v 3R 3π 解析 选Ｄ 过Ｍ，Ｎ两点分别做Ｏ’Ｍ⊥ＯＭ，Ｏ’Ｎ⊥ＯＮ．则粒子运动轨道形成一“扇面“图形，如图所示，圆心角∠ＭＯ’Ｎ＝６ ０＝3 π 又由r=Bq mv =030 tan R =3R 和T=Bq m π2，得T=v R π3 2，所以电子从M 到N 运动时间t=T πθ2 =π π2 3×v R π3 2=v R 33 π 估选D 。 二． 一颗“心脏” 例2如图所示,以ab 为分界面的两个匀强磁场,方向 均垂直于纸面向里,其磁感应强度B 1=2B 2,现有一质量为m,带电量为+q 的粒子,从 O 点沿图示方向以速度v 进入B 1中,经过时间t= 粒子重新回到O 点(重力不计) 解析 粒子重新回到O 点时其运动轨道如图所示,形 成一”心脏”图形.由图可知，粒子在B 1中运动时间
t 1=T 1=q B m 12π 粒子在B 2中的运动时间为t 2=21T 2=q B m 2 π 所以粒子运动的总时间t= t 1+ t 2= q B m 12π+q B m 2π=q B m 22π或q B m 14π 三． 一条“螺旋线” 例3如图所示,水平放置的厚度均匀的铝箔,置于匀强磁 场中,磁场方向垂直于纸面向里,一带电粒子进入磁场后 在磁场中做匀速圆周运动,粒子每次穿过铝箔时损失的 能量都相同,如图中两圆弧半径R=20cm, R=19cm,则该粒 子总共能穿过铝箔的次数是多少? 解析 由R=Bq mv 及E K =2 1mv 2 得:：E K =m R B q 2222 所以每次动能损失：?E K = E K1- E K2=m R B q 22122—m R B q 22222 所以粒子总共能穿过铝箔的次数：K 1E ?E =222121R R R -=222 1.02.02.0-3.10≈ 故n=10次 粒子在每次穿过铝箔后其轨迹形成如图所示的一条“螺旋线”图形 四.一座“拱桥” 例4如图所示,在x 轴上方有垂直于xy 平面的匀强 磁场, 磁感应强度为B,在x 轴下方有沿y 轴负方向 的匀强电场,场强为E ，一质量为m ，电量为—q 的 粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后， 第三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L ，求此时 粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不记） 解析 画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥“图形。由题知粒子轨道半径R=4 L ，所以由牛顿定律知粒子运动速率为 v=m BqR =m BqL 4 对粒子进入电场后沿y 轴负方向做减速运动的最大 路程y 由动能定理知：22 1mv =qEy ，得y=mE L qB 3222 所
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。 例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相 距s=2r =，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。 例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。 解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。 由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°= 又带电粒子的轨道半径可表示为 ：故带电粒子运动周期 ： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏 1．一朵梅花 例1．如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中） 解析：如图所示，设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有 设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有： 由上面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过4圆周，所以 半径R必定等于筒的外半径r，即R=r．由以上各式解得 感受美：该粒子运动的轨迹构成了一朵“四只花辨”的鲜艳的油菜花 拓展1：该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“六条狭缝”，当电压 时，粒子经过一段运动后也能回到原出发点。 感受美：该运动轨迹构成了“六只花辨”的怒放的梅 花 拓展2：该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“n条狭缝”，当电压时，粒子经过一段运动后也能回到原出发点，并且粒子做匀速 m r qB U 6 2 2 = 2 2 2 tan 2 ? ? ? ? ?? = n m r qB U π
圆周运动的半径 感受美：粒子的运动轨迹构成了一朵“n 只花辨”盛开的鲜花。 拓展3：若圆筒上只在a 处有平行于轴线的狭缝，并且粒子与圆筒外壁发生了n 次无能量损失和电量损失的碰撞后恰能回到原出发点，则加速电压 并且粒子运动的半径 感受美：该运动轨迹也构成了一朵“n 只花辨” 盛 开的鲜花（右图为五次碰撞的情形）。 2．一座“拱桥” 例2．如图所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E ，一质量为m ，电量为—q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L ，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不计） 解析：画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥”图形。 由题知粒子轨道半径 所以由牛顿定律知粒子运动速率为 对粒子进入电场后沿y 轴负方向做减速运动的最大路程y 由 动能定理知： 所以粒子运动的总路程为 3、一个电风扇 例3、据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区 面内半径为 外半径为R 2=1.0m ，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知 n r R π tan ?=2221tan 2??? ??+?=n m r qB U π1 tan +?=n r R π133 R m =
带电粒子在磁场中的图形赏析 带电粒子在磁场中受到垂直于运动速度方向的洛仑兹力作用而做匀速圆周运动，由于所受力及初始条件不同，带电粒子在匀强磁场中形成不同的图形。这些图形反映了有关带电粒子在匀强磁场中运动时的不同特性，研究这些图形，可以直观的得到解题思路和方法，给人以美的享受，美的启迪。现以例题形式解析在匀强磁场中几种常见的图形。 一．“扇面“图形 例1 如图所示，在半径为R 的圆范围内有匀强磁场，一个电子从Ｍ 点沿半径方向以ｖ射入，从Ｎ点射出，速度方向偏转了６０0 则电子从Ｍ到Ｎ运动的时间是（ ） Ａ v R 2π B v 3R 2π C v 3R π D v 3R 3π 解析 选Ｄ 过Ｍ，Ｎ两点分别做Ｏ’Ｍ⊥ＯＭ，Ｏ’Ｎ⊥ＯＮ．则粒子运动轨道形成一“扇面“图形，如图所示，圆心角∠ＭＯ’Ｎ＝６０＝ 3 π 又由r= Bq mv = 30 tan R =3R 和T= Bq m π2，得T= v R π3 2，所以电子从M 到N 运动时间t= T πθ2 =π π 2 3× v R π3 2=v R 33 π 估选D 。 二 “心脏”图形 例2如图所示,以ab 为分界面的两个匀强磁场,方向均垂直于纸面向里,其磁感应强度B 1=2B 2,现有一质量为m,带电量为+q 的粒子,从O 点沿图示方向以速度v 进入B 1中,经过时间t= 粒子重新回到O 点(重力不计) 解析 粒子重新回到O 点时其运动轨道如图所示,形成一”心脏”图形.由图可知，粒子在B 1中运动时间t 1=T 1= q B m 12π 粒子在B 2 中的运动时间为t 2= 2 1T 2= q B m 2π 所以粒子运动的总时间t= t 1+ t 2=q B m 12π+ q B m 2π= q B m 22π或 q B m 14π
1、某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是() A．粒子必定带正电荷 B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度 C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度 D．粒子在M点的动能小于它在N点的动能 2、实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出 a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如右图中的虚线所示(a、b只受电场力作用)，则() A．a一定带正电，b一定带负电 B．电场力对a做正功，对b做负功 C．a的速度将减小，b的速度将增大 D．a的加速度将减小，b的加速度将增大 3、如右图所示，实线表示匀强电场中的电场线，一带电粒子(不 计重力)经过电场区域后的轨迹如图中虚线所示，a、b是轨迹上的 两点，关于粒子的运动情况，下列说法中可能的是() A．该粒子带正电荷，运动方向为由a至b B．该粒子带负电荷，运动方向为由a至b C．该粒子带正电荷，运动方向为由b至a D．该粒子带负电荷，运动方向为由b至a 4、如右图所示，AB是某个点电荷的一根电场线，在电场线上O 点由静止释放一个负电荷，它仅在电场力作用下沿电场线向B点 运动，下列判断正确的是() A．电场线由B点指向A点， 该电荷做加速运动，加速度越来越小 B．电场线由B点指向A点，该电荷做加速运动，其加速度大小 变化由题设条件不能确定 C．电场线由A点指向B点，电荷做匀加速运动 D．电场线由B点指向A点，电荷做加速运动，加速度越来越大 5、如右图所示，实线是匀强电场的电场线，虚线是某一带电粒子 通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上两点，若带电粒子 在运动中只受电场力作用，则由此图可作出正确判断的是() A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子带正电荷 C．带电粒子所受电场力的方向向左 D．带电粒子做匀变速运动 6、一带电粒子沿着右图中曲线JK穿过一匀强电场，a、 b、c、d为该电场的电势面，其中φa＜φb＜φc＜φd，若不计粒子受的重力，可以确定() A．该粒子带正电 B．该粒子带负电 C．从J到K粒子的电势能增加 D．粒子从J到K运动过程中的动能与电势能之和不变 7、如下图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速
带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线 陈升科 高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖ ｅｂ 表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样? 一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程 设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ． 有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ ０ 射入电磁场 中．初速度矢量为ｖ ０＝ｖ ０ｘ ｉ＋ｖ ０ｙ ｊ＋ｖ ０ｚ ｋ，带电粒子射入电磁场后，在 某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖ ｘｉ＋ｖ ｙ ｊ＋ｖ ｚ ｋ． 带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦兹力）矢量为 ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑｉｊｋ ｖ ｘｖ ｙ ｖ ｚ 00Ｂ ＝ｑｖ ｙＢｉ－ｑｖ ｘ Ｂｊ． 带电粒子在电磁场中的动力学方程为Ｆ＋ｆ＝ｍ． 动力学方程的三个分量式分别为 ｍ ｘ＝ｑＢｖ ｙ ，① ｍ ｙ＝ｑＥ－ｑＢｖ ｘ ，② ｍ ｚ ＝0． ③ 令ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程①得ｖ ｙ＝（1／ω） ｘ ．④ ④式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量 ｙ＝（1／ω） ｘ ． 将上式代入②式，并令ｕ ｘ＝ｖ ｘ －（Ｅ／Ｂ）＝ｖ ｘ －ｖ ｅｂ ，
得 ｘ＋ω２ｕ ｘ ＝0． 此微分方程的通解是 ｕ ｘ ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）， 它可改写为ｖ ｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖ ｅｂ ． ⑤ ⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量 ｘ ＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑥ 将⑥式代入④式得速度的ｙ方向的分量 ｖ ｙ ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑦ ⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量 ｙ ＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ），⑧ ③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量 ｖ ｚ＝Ｃ ３ ．⑨ ⑤、⑦、⑨式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个分量 ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖ ｅｂｔ＋Ｃ １ ， ⑩ ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ ２ ， ⑾ ｚ＝Ｃ ３ｔ＋Ｃ ４ ． ⑿ 以上三式中Ａ、φ、Ｃ １、Ｃ ２ 、Ｃ ３ 和Ｃ ４ 均为积分常数，可用带电粒子射入电磁 场时的初始条件确定． 由①、②两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为 ０ｘ＝（ｑＢｖ ０ｙ ）／ｍ＝ωｖ ０ｙ ， ０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ ０ｘ ）／ｍ＝ωｖ ｅｂ －ωｖ ０ｘ ． 将以上两式分别代入⑥、⑧两式得 Ａｓｉｎφ＝ｖ ０ｙ ， Ａｃｏｓφ＝ｖ ｅｂ－ｖ ０ｘ ， 解得积分常数 Ａ＝．⒀ A的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖ ｅｂ 做匀速直线运动的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数φ为初相，它有三种情况 若ｖ ０ｘ＜ｖ ｅｂ ，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]， 若ｖ ０ｘ＝ｖ ｅｂ ，ｖ ０ｙ ＞0，φ＝（π／2）， ｖ ０ｙ ＜0，φ＝－（π／2）， 若ｖ ０ｘ＞ｖ ｅｂ ，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）．⒁ 将带电粒子初速度分量ｖ ０ｚ 代入⑨式得积分常数 Ｃ ３＝ｖ ０ｚ ． 将带电粒子射入电磁场时的初始坐标ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0． 代入⑩⑾⑿三式得积分常数 C １＝ｖ ０ｙ ／ω， C ２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖ ｅｂ －ｖ ０ｘ ），
确定带电粒子运动轨迹的方法。 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。 例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相 距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。 例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON＝120°时，求：带
电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。 解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为 R=r/tan30°=，带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期： ，带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为 多大？
专题：带电粒子在电场中的运动轨迹问题 【规律总结】 ①粒子受到的电场力方向一定沿______________ 的切线方向。 ②判断电性根据_________________________ ; ③判断a、E、F根据________________________ ； ④判断v、E K的大小根据______________________ : ⑤判断Ep的大小根据_______________________ : ⑥判断电势的高低根据____________________________ . 【典型例题】 1.某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N,以下说法正确的是（） A.粒子必定带正电 B.粒子在M点的电势能小于它在N点的电势能 C.粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度 D.粒子在M点的动能小于它在N点的动能 2.如图所示，图中实线是一簇未标明方向的山点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒 子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动中只受电场力 作用，根据此图能做出正确判断的是（） A.带电粒子所带电荷的符号 B.带电粒子在a、b两点的受力方向 C.带电粒子在a、b两点的速度何处较大 D.带电粒子在a、b两点的电势能何处较大 3.实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如图中的虚线所示 b只受电场力作用），则（ （a、 A.a—定带正电，b—定带负电 B.电场力对a做正功，对b做负功 C.a的速度将减小，b的速度将增大 D.a的加速度将减小，b的加速度将增大 4.图中虚线为匀强电场中与场强方向垂直的等间距平行直线，两粒子M、N质量相等, 所带电荷量的绝对值也相等.现将M、N从虚线上的O点以相同速率射出，两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实线所示.点a、b、c为实线与虚线的交点，已知O点电
带电粒子运动轨迹的分析技巧 山东枣庄三中 孙明(277101) 一．已知电场线和运动轨迹 例1：（’98上海高考题）如图1中，实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a 、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，根据此图可作出的正确判断是（ ） A ．带电粒子所带电荷的符号 B ．带电粒子在a 、b 两点的受力方向 C ．带电粒子在a 、b 两点的速度何处较大 D ．带电粒子在a 、b 两点的电势能何处较大 【分析解答】带电粒子在电场中所受电场力必沿电场线，根据轨迹的弯曲方向，看出a 、b 两点的电场力方向如图2所示（类向心力）。由于电场线有两 种可能，因此粒子所带电荷量可能为正，也可能为负。当粒子从a 点进入时，速度方向与受力方向夹角大于90°，电场力做负功，动能减小，电势能增加；粒子从b 点进入时，速度方向与受力方向夹角小于90°，电场力做正功，动能增加，电势能减小。正确答案为B 、C 、D 。 【思维升级】带电粒子运动轨迹一旦-给定，那么粒子在a 、b 两点的受力方向、速率大小、电势能大小将唯一确定，与粒子所带电荷量无关。 图2 a b 图1
d N c b a M 图3 二．已知等势面和运动轨迹 例2：a 、b 、c 、d 为某电场中的等势面，一带电粒子飞入电场后只在电场力作用下沿M 点到N 点的虚线运动。由图3可知，四个等势面电电势φa 、φb 、φc 、φd 由高到低的排列顺序是 带电粒子在M 、N 两点中电势能较大的是 点。 【分析解答】过M 、N 两点分别作与等势面垂直的法线，电场强度方向必定在法线上，电场力亦沿法线方向，由轨迹弯曲情况知电场力方向如图4所示。因此，φd ＞φc ＞φb ＞φa 。带电粒子从M 点到N 点电场力做负功，电势能增大，所以电势能较大的是N 点。 【思维升级】先过等势面上一点做法线，再结合电场力方向和所带电荷量才能确定电场强度方向。本题难度在于给定的是等势面，而非电场线。 综上，依托粒子运动轨迹弯曲情况，沿电场线画出电场力方向是解决问题的关键，把电场力看作“类向心力”是处理问题的一种技巧，这样既直观易懂，又快速准确，同学们在遇到类似问题时不妨一试。 a 图4
带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些题不但涉及洛伦兹力，而且往往与几何关系相联系，使问题难度加大，但无论这类题多么复杂，其关键一点在于画轨迹，只要确定了轨迹，问题便迎刃而解，下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 1。对称法 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。b5E2RGbCAP 【例题】<这题和前一题重复）如图1所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强 度为B，一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。p1EanqFDPw
★解读：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图2所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：DXDiTa9E3d ① 带电粒子磁场中作圆周运动，由
解得② ①②联立解得 2。动态圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。RTCrpUDGiT 【例题】如图所示，S为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为，质量为m，电量为q的电子 ★解读：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图4所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点，最低点为动态圆与MN相割，且SB为直径时 B为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由 得jLBHrnAILg SB为直径，则由几何关系得 A为切点，所以OA＝L 所以粒子能击中的范围为。 电场力的性质复习设计（原创） 一、电场线的特点 电场线 电场线，人为添，描绘电场真方便， 场强大小看疏密，场强方向沿切线。 二、典型电场电场线的特点 典型电场电场线 光芒四射正点电，万箭齐中负点电， 等量同号蝶双飞，等量异号灯一盏。 三、教书育人 做人：希望同学们做个阳光的人，照到哪里哪里亮；不要做个像月亮的人，初一十五不一样。 学习：尽全力，不要等到失败之时万箭穿心泪水流。 四、与电场线相关的知识点 1、在电场中画出一些线：切线方向为该点电场强度的方向，疏密程度代表该点电场的强弱。 2、沿着电场线方向电势逐点降低，但是电势逐点降低的方向却不一定是电场线方向。 3、电场线与等势面处处垂直，沿着等势面移动电荷电场力不做功，但是在两点间移动电荷电场力不做功不能说明电荷沿着等势面移动，只能说明初末位置在同一等势面上。 4、电场线密集的地方等势面也密集，等势面密集的地方，电场线也密集。 5、带电粒子在电场中运动轨迹夹在速度与电场力之间，向受力一侧弯曲（可以判断粒子带电的正负或者已知电荷的正负判断电场线的方向），速度与合力夹角大于90°，则该力做负功，速度减小。（判断速度变化从而判断电势能的变化） 五、常见命题方法 1、含库仑定律平衡、动态平衡类力学问题 例题1、两个大小相同的小球带有同种电荷，质量分别为m 1和m 2，带电量分别为q 1、q 2 ， 用绝缘细线悬挂后，因静电力排斥而使两悬线张开，分别与铅垂线方向成夹角为α和β， 且两球同处于一水平线，如图所示，若α=β，则下列说法正确的是（B ） A ．q 1一定等于q 2 B.m 1一定等于m 2 C.必须同时满足q 1= q 2，m 1= m 2 例题2、如图所示，竖直绝缘墙壁上有个固定的质点A ，在A 的正上方的P 点用丝线悬挂 另一质点B ，A 、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角.由于漏电， 使A 、B 两质点的带电荷量逐渐减少，在电荷漏完之前悬线对悬点P 的拉力大小（C ） A.逐渐减小 B.逐渐增大 C.保持不变 D.先变大后变小 2、电场强度及电场强度的叠加 例题：如图所示，M 、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心， ∠MOP ＝60°.电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M 、N 两点，这时O 点电场 强度的大小为E 1；若将N 点处的点电荷移到P 点，则O 点的电场强度大小变为E 2.E 1与 E 2之比为( )．A ．1∶2 B ．2∶1 C ．2∶ 3 D ．4∶ 3 解析 因为两个点电荷的电荷量相等，符号相反，设一个点电荷产生的电场强度为E ，则在M 、N 两点时电场强度方向是相同的，故有E 1＝2E ，将N 点的点电荷移到P 点后，通过假设其中一个点电荷为正电荷， 作电场强度的矢量图，可知两个电场强度的方向夹角为120°，故由平行四边形定则可得，其合电场强度的 大小E 2＝E ，所以E 1E 2＝2E E ＝21 ，所以正确答案为B. 3、电场线与带电粒子运动轨迹问题 例题1、三个点电荷电场的电场线分布如图所示，图中a 、b 两点处的电场强 度大小分别为E a 、E b ，电势分别为φa 、φb ，则( C )． A ．E a >E b ，φa >φb B ．E a 高三专题：带电粒子在电场中的运动轨迹问题 【规律总结】 ①两个切线方向 电场线的切线方向：____________________________ 轨迹的切线方向：______________________________ ②判断电性应根据：________________________________ ③判断a、E、F根据：______________________________ ④判断v、E K的大小根据：___________________________ ⑤判断E p的大小根据：______________________________ ⑥判断电势的高低根据：______________________________ 【典型题目】 1、某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是() A．粒子必定带正电荷 B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度 C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度 D．粒子在M点的动能小于它在N点的动能 2、实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如右图中的虚线所示(a、b只受电场力作用)，则() A．a一定带正电，b一定带负电 B．电场力对a做正功，对b做负功 C．a的速度将减小，b的速度将增大 D．a的加速度将减小，b的加速度将增大 3、如右图所示，实线表示匀强电场中的电场线，一带电粒子(不 计重力)经过电场区域后的轨迹如图中虚线所示，a、b是轨迹上 的两点，关于粒子的运动情况，下列说法中可能正确的是() A．该粒子带正电荷，运动方向为由a至b B．该粒子带负电荷，运动方向为由a至b C．该粒子带正电荷，运动方向为由b至a D．该粒子带负电荷，运动方向为由b至a 1、某静电场中的电场线如图所示，带电粒子 在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图 中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确 的是() A．粒子必定带正电荷 B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度D．粒子在M点的动能小于它在N点的动能 2、实线为三条未知方向的电场线， 从电场中的M点以相同的速度飞出 a、b两个带电粒子，a、b的运动轨 迹如右图中的虚线所示(a、b只受电 场力作用)，则() A．a一定带正电，b一定带负电 B．电场力对a做正功，对b做负功 C．a的速度将减小，b的速度将增大 D．a的加速度将减小，b的加速度将增大3、如右图所示，实线表示匀强电场中的 电场线，一带电粒子(不计重力)经过电场 区域后的轨迹如图中虚线所示，a、b是 轨迹上的两点，关于粒子的运动情况，下 列说法中可能的是() A．该粒子带正电荷，运动方向为由a至b B．该粒子带负电荷，运动方向为由a至b C．该粒子带正电荷，运动方向为由b至a D．该粒子带负电荷，运动方向为由b至a 4、如右图所示，AB是某个点电荷的一根 电场线，在电场线上O点由静止释放一个 负电荷，它仅在电场力作用下沿电场线向 B点运动，下列判断正确的是() A．电场线由B点指向A点，该电荷做加速运动，加速度越来越小 B．电场线由B点指向A点，该电荷做加速运动，其加速度大小变化由题设条件不能确定 C．电场线由A点指向B点，电荷做匀加速运动 D．电场线由B点指向A点，电荷做加速运动，加速度越来越大 5、如右图所示，实线是匀强电场 的电场线，虚线是某一带电粒子通 过该电场区域时的运动轨迹，a、b 是轨迹上两点，若带电粒子在运动中只受电场力作用，则由此图可作出正确判断的是() A．带电粒子带负电荷B．带电粒子带正电荷 C．带电粒子所受电场力的方向向左 D．带电粒子做匀变速运动 6、一带电粒子沿着右图中曲线JK穿过一匀强电场，a、b、 c、d为该电场的电势面，其中φa＜φb＜φc＜φd，若不计粒子受的重力，可以确定() A．该粒子带正电 B．该粒子带负电 C．从J到K粒子的电势能增加 D．粒子从J到K运动过程中动能与电势能之和不变7、如下图所示，实线为方向未知的 三条电场线，虚线分别为等势线1、2、 3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子 从等势线2上的O点以相同的初速度 飞出．仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如下图所示，则() A．a一定带正电，b一定带负电 B．a加速度减小，b加速度增大 C．MN电势差|U MN|等于NQ两点电势差|U NQ| D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小电场线与带电粒子的运动轨迹
高三专题：带电粒子在电场中的运动轨迹问题
带电粒子在电场中的运动轨迹问题
相关主题
文本预览