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半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线
圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。
【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。
【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。
老师 姓名 汪小勇学生姓名李亿兴教材版本北师大 学科 名称 数学年级9 上课时间2014.04.05(08:00-10:00) 课题 名称 圆的有关证明 教学 重点 圆的切线证明 教学过程知识梳理 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 变式1 如图，AD是∠BAC平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
例2 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切. 变式2、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 方法二：若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题） 例3：如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 与圆有关的计算典型基本图型： 图形1：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有： 图2E G O F D C B A 图1 E O D C B A
2015圆的有关证明及计算 1.如图，直线AB与O O相切于点A，弦CD // AB,E,F为圆上的两点，且/ CDE= / ADF .若 O 0的半径为2j2 , CD=4.求弦EF的长. 2.如图，直线I与半径为4的O 0相切于点A, P是O 0上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB丄I，垂足为B，连接PA.设PA=x, PB=y. 求(X- y)的最大值. 3.如图，已知AB为O 0的直径，AB=2, AD和BE是圆0的两条切线，A、B为切点，过 圆上一点C作O 0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N, 求AM的长. 4.如图，O O的直径AB为10cm,弦BC为5cm, D、E分别是/ ACB的平分线与O 0, AB 的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE. (1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与O 0的位置关系，并说明理由. P
5.如图，点D在O O的直径AB的延长线上，点C在O O上，AC=CD , / ACD=120 ° (1)求证：CD是O O的切线; (2)若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积. 6.如图，O O与RtA ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE , 已知/ B=30 ° O O的半径为12,弧DE的长度为4 n 求证：DE // BC; (2) 若AF=CE，求线段BC的长度. 7.如图，在RtA ABC中，/ ACB=90 °以AC为直径作O O交AB于点D，连接CD . (1)求证：/ A=/ BCD ; (2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O O相切？并说明理由.
以圆为背景的证明、动态探究题 1. 如图，在Rt△ABC中，ZABC=90 °，点M是AC的中点，以AB为直径作O O 分别交AC, BM于点D , E. (1) 求证：MD=ME (2) _______________________________________________ 填空：①若 AB=6，当AD=2DM 时，DE= __________________________ ； ②连接0D，OE，当/A的度数为_____________ 时，四边形ODME是菱形. 2. 如图，CD是GO的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作GO的切线PA，PB，切点分别为点A，B. (1)连接AC，若GAPO=30。，试证明CACP是等腰三角形; (2)填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP= _______ cm时，四边形AOBP是正方形.
3?如图，AB是半圆0的直径，点P是半圆上不与点A, B重合的一个动点，延长BP到点C,使PC= PB, D是AC的中点，连接PD, P0. (1)求证：△CDP^△OB; (2)填空： ①若AB = 4，则四边形AOPD的最大面积为__________________ ； ②连接0D，当Z PBA的度数为_______ 时，四边形BPDO是菱形. 4. 如图，在。0中，AB是。0的直径，AC是。0的弦，过点C作。0的切线
交BA 的延长线于点P ,连接BC. (1)求证：/ PCA= ZB; (2)已知Z P=40 °,AB=12cm,点Q 在优弧AC 上，从点A 开始以n cm/s 的速度 逆时针运动到点C 停止(点Q 与点A 、C 不重合)，设运动时间为ts. 5. 如图，在 Rt △ABC 中，Z ACB=90 °以AC 为直径的。O 与AB 边交于点D,过 点D 作。O 的切线交BC 于点E 连接OE,。O 的半径为 3 。 (1)求证:OE//AB; ① 当t= ② 当t= 时，以点A 、Q 、B 、C 为顶点的四边形面积最大 时，△ABQ 与A ABC 全等。 (2)①当BC= ________ 时, ②当BC= _______ 时, 四边形ODEC 是正方形 AD=3DE.
圆的证明和计算 题型一：图形主要以圆和三角形（多为等腰三角形或直角三角形）组成； 依据所给条件判定圆的切线或已知圆的切线，求图中线段长度或角的度数； 主要考查知识有切线的判定、切线的性质、勾股定理、等腰三角形性质、直角三角形性质（斜边中线等于斜边一半、30°所对直角边等于斜边一半等）及解决圆的问题中常加辅助线（已知切线连半径、见直径想直角等）等等。 教材原型题：（基本图形为圆和等腰三角形） 1、（P45页例1）已知：如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。 求证：直线AB 是⊙O 的切线。 2、（P73页第4题）如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA=OB ，⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 长． 3、（P45页练习1）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ， 求证：AT 是⊙O 的切线。 配套练习：（1、2、3、4题针对原型题1、2； 5、6、7、8针对原型题3） 1、（2009新疆乌鲁木齐市）如图5，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O ⊙交BC 于点M ，MN AC ⊥ 于点N ． （1）求证MN 是O ⊙的切线； （2）若1202BAC AB ∠==° ，，求图中阴影部分的面积． 2、（2009年漳州）如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°， （1）求证：CD 是O ⊙的切线； （2）若O ⊙的半径为3，求BC 的长．（结果保留π） 3、(08福建厦门23题)已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直 径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是O 的切线； （2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值． O B A B
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF . (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值． 第1题图 (1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线； 第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°， 又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，
∴ CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD . (1)求证：GF 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数． 第2题图 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°， ∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1 2AE ＝23， ∵OA ＝OB ， ∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4， ∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3 3， ∴∠DBF ＝30°. 3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1 2∠ABD . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．
2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延
与圆有关的证明问题 （时间：100分钟总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给 出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（） A．等腰梯形B．正方形C．菱形 D．矩形 2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO， 则图中全等三角形有（） A．3对B．2对C．1对D．0对 （1）(2) (3) (4) 3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平 分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题 是（） A．①②?③④B．①③?②④
C．①④?②③D．②③?①④ 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，?长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，长为半径的圆与AB相切；?③以点C为圆心，长为半径的圆与AB 相交，则上述结论正确的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（） A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB
以圆为背景的证明、动态探究题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O 分别交AC，BM于点D，E. （1）求证：MD=ME （2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________； ②连接OD，OE，当∠A的度数为____________时，四边形ODME是菱形. 2.如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B． （1）连接AC，若⊙APO=30°，试证明⊙ACP是等腰三角形； （2）填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP=________cm时，四边形AOBP是正方形．
3.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO． （1）求证：△CDP≌△POB; （2）填空： ①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________; ②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形． 4.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线
交BA的延长线于点P，连接BC. （1）求证：∠PCA=∠B; （2）已知∠P=40°,AB=12cm,点Q在优弧AC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点A、C不重合），设运动时间为ts. ①当t=________时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大。 ②当t=________时，△ABQ与△ABC全等。 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE,⊙O的半径为3。 （1）求证：OE∥AB; （2）①当BC=_________时，四边形ODEC是正方形。 ②当BC=_________时，AD=3DE.
圆的计算与证明 1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积． 2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）求证：∠ACD＝∠ACF； （2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长． 3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥MN于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DP A＝45°． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分及△PBF的面积． 6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE． （1）求证：AP＝AO； （2）若弦AB＝24，求OP的长． 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC 于D、E、F、G． （1）求证：CD＝EF； （2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长． 9．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E． （1）求线段DE的长； （2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若 O ABC ?O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是 . CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂 足为F ．若6AB =，5CF CB × =，则AE =
例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若, PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ． 2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知， O P O PA PBC 30BPA ∠=?，, 则 ,圆的半径等于 11BC =1PB =PA =O 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的21PF PD =+=半径为 ； . EFD ∠=A B C O P
D C B P A O
C B A 5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点 ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则 . D O BC E =BC BE 6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是( ) A ．∠ECA = 90o B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA C ．AM 2 = AD·AE D ．AD·D E = AB·BC 7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________. 5,6,BD AC ==CD =AE =
作业16 1、锐角ABC ?的三条高AD 、BE 、CF 交于H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七个点中．能组成四点共圆的组数是（ ） A 、4组 B 、5组 C 、6组 D 、7组 2、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ，若 O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为（ ） A 、 522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出 3.如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB, P 是弧CAD 上一点(不与C 、D 重合) . (1) 求证：∠CPD ＝∠COB ； (2) 若点P 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合), ∠CPD 与∠COB 的数量关系是否发生变化?若不变, 请画图并证明；若变化, 请写出新的关系式并画图证明. 4、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆； （2）设线段BD 与（1 ）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =． 5、如图所示， I 为ABC ?的内心，求证：BIC ?的外心O 与A 、B 、C 四点共圆. B
B A 6.如图, ⊙O 的内接△ABC 的外角∠AC B 的平分线交⊙O 于E, EF ⊥BD 于F. (1) 探索EO 与AB 的位置关系, 并予以证明； (2) 当△AB C 的形状发生改变时, AC CF BF +的值是否发生改变?若不变, 请求出该值；若改变, 请求出其变化范围. 7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，D 是弧AB 上一点，C 是弧AD 的中点，AD 、BC 相交于E ，CF ⊥AB ，F 为垂足，CF 交AD 于G ，求证：CG=EG. 8、如图，已知ABC ?中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，?=∠60B ，F 在AC 上，且AF AE =． （1）证明：B ，D ，H ，E 四点共圆； （2）证明：CE 平分DEF ∠． B
关于圆的证明题 一、1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 用数量关系表示是：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： （1）直线l和⊙O相交d
例3、（1）如图所示，△ABC内接于⊙O，如果过点A的直线AE和AC所成的角∠EAC=∠B，那么EA是⊙O的切线. 3、切线的性质及其推论 例3如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB?的延长线于点D， ∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径． 例4、已知：如图所示，AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD=3cm，BE=7cm， （1）求⊙O的半径； （2）求线段DE的长. 例5、如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点， 求证：AD∥OC，.
例6、已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：⊙O和CD相切. 例7如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长． 例9如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE 是⊙O的切线．
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周
角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需
1、如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD， 作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9 （1）求证：△COD∽△CBE；（2）求半圆O的半径r的长 2.如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E. （1）求证：DE是圆O的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长. 3.如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
4.如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =， O 是PAD ?的外接圆. （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若28,tan ,AC BAC =∠= 求O 的半径. 5.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点E ，连接BE ． （1）求证：BE 与⊙O 相切； （2）设OE 交⊙O 于点F ，若DF =1，BC =23，求阴影部分的面积． 6.（2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=． （Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长； （Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O 的切线．
7.如图，已知BC是O ⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD，AC CD. (1)求证：ACD BAD △∽△； (2)求证：AD是O ⊙的切线. 8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE 平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G． （1）求证：BC是⊙F的切线； （2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D. （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若PA＝4 5 PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长. 第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB， 第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径，
(2)解：∵PA ＝4 5PO ，⊙O 的半径为10， ∴在Rt △AOP 中，OA ＝PO 2－（45 PO ）2＝10， 解得PO ＝ 503 ， ∴cos ∠AOP ＝AO OP ＝OD AO ， ∴OD ＝6， ∴PD ＝PO －OD ＝32 3 . 2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE . （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若cos C ＝3 5 ，AC ＝24，求直径AE 的长. 第2题图 (1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ， ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，
∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， 第2题解图 ∵DA ＝DC ， ∴CF ＝1 2 AC ＝12， 在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝3 5 ， ∴DC ＝20， ∴AD ＝20， 在Rt △CDF 中，由勾股定理得1622==CF CD DF －， ∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ， ∴△ADE ∽△DFC ， ∴AE DC ＝AD DF ， 即 AE 20＝16 20 ，解得AE ＝25， 即⊙O 的直径AE 为25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF ⊥BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求⊙O 的半径．
圆有关的证明题 1．如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°． （1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由． 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？ 3．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ； ②若tan ∠ABE ＝ 21，（ⅰ）求BC AB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长． 4．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．
5．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰ DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值． 6．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于 点D ，若tan B ＝2 1，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积． 7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积． 8．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积． 9．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线， PA ＝10，PB ＝5，求： （1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）； （2）cos ∠BAP 的值．
四点共圆两个判定定理的证明 1，当∠A=∠C=90·时，可以在答题中仅增加两行说明A、B、C、D四点共圆 连BD，设BD的中点为O′ ∵∠A = ∠C =90· ∴AO′ = BO′ = DO′ = CO′ ∴A、B、C、D在以O′为圆心，B O′为半径的圆上。 2，当那两个角不是直角时 一、附：已知∠A + ∠C = 180·，则A、B、C、D 四点共圆 证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C ＞∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＞ 180·与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C ＜∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＜ 180·与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上
上述证明可压缩为6行： 证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ≠ 180·与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上∴A、B、C、D四点共圆 二、附：已知∠A = ∠C ，则A、B、C、D 四点共圆 证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C ＞∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＜∠C 与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C ＜∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＞∠C 与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上 上述证明可压缩为6行： 证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ≠∠C 与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上 ∴A、B、C、D四点共圆