《圆的证明与计算》专题讲解
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
知识点一：判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
例2 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延
长线上.
求证：DC是⊙O的切线
例3 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.
方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A 为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）
例1：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.
求证：CD是⊙O的切线.
知识点二：与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求
线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；
射影定理：所谓射影，就是正投影。 其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2
;=BD·DC,
(2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2
;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ④构造勾股定理模型（已知线段长度）； ⑤构造三角函数(已知有角度的情况）; ○
6找不到，找相似 （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
例讲解：
例题1：△ABP 中，∠ABP =90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于C 点，弧?
CF =?
CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D. （1）求证：CD 为⊙O 的切线；
（2）连BF 交AP 于E ，若BE =6，EF =2，求
AF
EF
的值。
例题2：直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F.
⑴求证：CD 为⊙O 的切线 ⑵若5
3
=AB BE ，求DF BF 的值
F
O
E C
D
B
A
例题3：如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。
（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG =3，DE =4，求
DB
DG
的值。
例题4（2009调考）：如图，已知△ABC 中，以边BC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，点E 为 的
中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC 。
（1）求证：AC 与⊙O 相切；
（2）若AC ＝6，BC ＝8，求EC 的长
家庭练习：
1．如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ， ，过D 作AE 的垂线，F 为垂足.
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若DF =3，⊙O 的半径为5，求tan BAC 的值.
O F
H
E
D C
B
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD=5，求sin E的值.
3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E 为切点，连结CE交AB于点F.
（1）求证：DE=DF；
∠的值.
（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求tan A
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.
（1）求证：⊙O与AC相切；
∠的值.
（2）若EF=3，BC=4，求tan A
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC
=，AE=1，求cos AEO
∠的值.
6．如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE=2，DE=4，△BDF
的面积为tan EDF
∠的值.
7、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC 的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=
CE=AM的长．
A
8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.
9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN 的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.
10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是⌒
BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.
（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；
（2）求sin∠BAD的值.
11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．
关于地方时与区时的计算 一．地方时计算的一般步骤：某地地方时=已知地方时±4分钟×两地经度差 1．找两地的经度差： (1)若两地同在东经或同在西经，则： 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)若两地不同是东经或西经，则： 经度数相加 a)若和小于180°时，则经度差=两经度和 b)若和大于180°时，则经度差=180°—两经度和 2．把经度差转化为地方时差，（1°=4分钟；15°=1小时） 地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系， 东加西减——所求地在已知地的东边用加号，在已知地的西边用减号。 二．东西位置关系的判断： （1）同是东经，度数越大越靠东。 即：度数大的在东。 （2）是西经，度数越大越靠西。 即：度数大的在西。 （3）一个东经一个西经， 如果和小180°，东经在东西经在西； 如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东 三．应用举例： 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。 分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B 点在A点的西方，应减地方时差。 所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方，所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。 分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°， 则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。 所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方， 所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方 8：00，求B点80°W的地方时。 分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。
一元一次方程知识点及题型 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质 三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 四、去括号法则 五、解方程的一般步骤 1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2. 去括号(按去括号法则和分配律) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号) 4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式) 5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a ). 六．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，写出答案 【基础与提高】 一．选择题 1．下列各式中，是方程的个数为（ ） （1）﹣4﹣3=﹣7；（2）3x ﹣5=2x+1；（3）2x+6；（4）x ﹣y=v ；（4）a+b ＞3；（5）a 2+a ﹣6=0． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列说确的是（ ） A ． 如果ac=bc ，那么a=b B ． 如果，那么a=b C ． 如果a=b ，那么 D ． 如果，那么x=﹣2y m ﹣2
地方时、区时和时区计算练习 一．选择题（共14小题） () ．下列有关北京时间的说法，不正确的是1 中国标准时间东八区区时地方时D.A.北京的地方时B.() 时，北京的地方时为：002．当北京时间1256 ：：：：00 16 3．右图中的两条虚线，一条是晨昏线，另一条两侧大部分地区日期不同；()? 8日，则甲地为此时地球公转速度较慢。若图中的时间为7日和时8日4时．7日8 D．日7A．日4时 B．88时C135°5ˊE），最西端位于新疆帕中国幅员辽阔，最东端位于黑龙江与乌苏里江主航道汇合处（约题。4～6米尔高原（约73°40ˊE）。据此回答() 日，中国最东端日出时，北京时间约为月214．300 ：00 ：00 ：：() 21日，中国最东端日出时，最西端帕米尔高原的地方时约为5．3月55 ：：00 ：：55 () 6．当中国最西端到达正午时，北京时间约为05 ：：：55 ：00 题。～10读下图（阴影部分表示黑夜），据此回答7() ．此时太阳直射点的地理坐标是7 B.（30°E，30°W)A.（0°，60°E） （0°，30°E)（0°，120°E)C. D.() 是．此时有两条经线两侧日期不同，这两条经线8 （0°，150°W）B.A.（0°，180°）（180°，150°E）D.（150°W，180°）C. () ．此时，北京时间为9． ：00 ：：00 ：00 10．当昏线与本初子午线重合时，北京时间可能为() 月24日2时月22日2时月21日10时月23日10时 2007年10月24日北京时间(东八区)18时05分，举世瞩目的“嫦娥一号”卫星在中国西昌卫星发射中心成功发射。据此回答11～12题： 11．“嫦娥一号”观测的目标天体是()A.太阳 B.月球C.金星D.火星 12．此时，美国纽约(西五区)的区时是() 日5时05分日13时05分日10时05分日11时05分
初一数学一元一次方程知识点专题总结 （要求家长看孩子反复阅读理解） 知识点一：一元一次方程及解的概念 1、一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 要点诠释： 一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程． （4）方程要化为最简形式 （5）最简形式系数不为0 2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果，那么；(c为一个数或一个式子)。可逆哦！ 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果，那么；不可逆哦！如果，那么有条件可逆哦！ 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：（其中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤： 解一元一次方程的一般步骤 常用步骤具体做法依据注意事项 去分母在方程两边都乘以 各分母的最小公倍等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项）， 注意添括号；
数 去括号一般先去小括号，再 去中括号，最后去大 括号去括号法则、分配 律 注意变号，防止漏乘； 移项把含有未知数的项 都移到方程的一边， 其他项都移到方程 的另一边(记住移项 要变号) 等式基本性质1移项要变号，不移不变 号； 合并同类项把方程化成ax＝b(a ≠0)的形式 合并同类项法则计算要仔细，不要出差 错； 系数化成1在方程两边都除以 未知数的系数a，得 到方程 的解x＝等式基本性质2计算要仔细，分子分母勿 颠倒 要点诠释： 理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解； ②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。 知识点三：列一元一次方程解应用题 1、列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程． （5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案． 2、解应用题的书写格式： 设→根据题意→解这个方程→答。 3、常见的一些等量关系 常见列方程解应用题的几种类型： 类型基本数量关系等量关系 (1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多 余量 ②总量＝倍数×倍量 抓住关键性词语
图1 时区和区时的计算专题试卷一 6月22日，当太阳同时位于北半球甲、乙两地上中天（在天空中的位置最高）时，测得甲地太阳高度角为60°，乙地太阳高度角为36°；甲、乙两地在某地图上的距离是44.4厘米（不考虑地形因素）。据此回答1-2题。 1．关于甲、乙两地的说法，正确的是 A ．甲、乙两地任何一天均不可能同时看到日出 B ．甲地正午太阳高度总是大于乙地 C ．甲、乙两地昼夜长短总是相同 D ．甲、乙两地均可能出现极昼现象 2．该地图的比例尺为 A ．1：24 000 000 B ．图上1厘米代表实际距离30千米 C ．六十万分之一 D ．1：6000 000 3．当我国某城市(30.5°N ，115°E)市中心的标志性建筑物正午阴影面积达一年中最大时，下列四幅昼夜 分布局部图（图1）与之相符的是(阴影表示夜半球) 由图为某群岛示意图，此季节该群岛北侧附近的洋流流向是自西向东，M 线为晨昏线。据此回答4-6题： 4．此时北京时间为 A ．21时 B ．9时 C ．13时 D ．23时 5．当图中夹角a 为20?时，下列叙述正确的是 A ．南极圈上出现极夜现象 B ．此时北京寒冷干燥 C ．北半球各地昼长正逐渐加大 D ．该地区正午时的物体影子朝南 6．危及到该群岛国家经济发展和生存的主要环境问题是： A ．火山、地震 B ．全球性气候变暖 C ．泥石流、滑坡 D ．海洋环境污染 北京时间2005年7月4日13点57分，由美国发起，中、俄、德、法、加等多国科学家参与的“深度撞击号”航天器，经过半年太空遨游，成功地对太阳系中“坦普尔一号”彗星实施了撞击。据此回答7—8题。 7．下列光照图中，与深度撞击号”撞击彗星的时刻最接近的是 8．撞击彗星的瞬间，美国加州大部分地区（西八区）正值日落后3小时左右，天空完全暗 下来，许多天文爱好者目睹了“太空焰火”奇观。此日该地昼长大约为 A ．10小时 B ．12小时 C ．14小时 D ． 16小时 9．在某地24时看到北极星的仰角是40o，这时格林尼治时间是当日 18时，那么，这个地点的地理坐标是 A ．90oE ，40oN B100oE ，50oＮ C ．90oW ，50oＮ D ．100oW ，40oＮ
实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解 【学习目标】 1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤； 2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题??? →分析 抽象方程???→求解检验 解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答． 要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续） 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来 考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分 析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题
初中数学之一元一次方程要点解析 本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。 一、目标与要求 1.通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步； 2.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念； 3.培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 二、重点 从实际问题中寻找相等关系； 建立列方程解决实际问题的思想方法，学会合并同类项，会解"ax+bx=c"类型的一元一次方程。 三、难点 从实际问题中寻找相等关系； 分析实际问题中的已经量和未知量，找出相等关系，列出方程，使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法。 四、知识框架
五、知识点、概念总结 1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a ≠0）。 3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件： （1）它是等式； （2）分母中不含有未知数； （3）未知数最高次项为1； （4）含未知数的项的系数不为0。 4.等式的性质： 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。 等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。 等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。
解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。 5.合并同类项 （1）依据：乘法分配律 （2）把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项 （3）合并时次数不变，只是系数相加减。 6.移项 （1）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 （2）依据：等式的性质 （3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。 7.一元一次方程解法的一般步骤： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 一般解法： （1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； （2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（记住如括号外有减号的话一定要变号） （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号 （4）合并同类项：把方程化成ax=b（a≠0）的形式； （5）系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a. 8.同解方程
专题训练——地方时区时的计算 一、有关地方时的计算 1．已知A 、B 两地经度和A 地的地方时，求B 地的地方时： B 地地方时=A 地地方时±分钟经度差41 0? 如果B 地在A 地的东面用“+”；如果B 地在A 地的西面用“－”。 例1：当东经115°的地方时为9时30分时，东经125°的地方时为多少？ 解析：因为东经125°位于东经115°的东面，所以： 东经125°地方时=9时30分+4)1 115125(00 0?-分钟=9时30分+40分=10时10分， 也就是说，当东经115°为9时30分的时候，东经125°的地方时为10时10分。 例2：A 地为东经120°当时的时间为10：20，B 地为东经90°，求B 地的地方时。 解析：因为B 在A 的西面，所以： B 地地方时=10：20-41901200 0?-分钟 =10：20-120分钟 =8：20 2．已知两地的地方时和其中一地的经度，求另一地经度 所求经度=已知经度±014?分钟 地方时差 例1．当伦敦为正午时，区时为20：00的城市是…………………………………（ ） A 、悉尼（150°E ） B 、上海（120°E ） C 、洛杉矶（120°W ） D 、阿克拉（0°经线附近） 解析：伦敦正午时为12：00，经度为0°；而区时为20：00的地方应该在伦敦的东部，则： 所求经度=已知经度±014?分钟地方时差=0°+014 1220?-=120°E 二、时区和区时的计算
1．已知A、B两地的时区和A地的区时，求B地的区时： B地区时=A地区时±时区差 如果B地在A地的东面用“+”；如果B地在A地的西面用“－”。 计算结果小于24时，那么日期不变，时间取计算结果； 计算结果大于24时，那么日期增加1日，时间取计算结果减24； 计算结果是负数，那么日期减1日，时间取计算结果加24； 从东向西每过一个时区减1小时；过日界线(180经线°)，日期加1天； 从西向东每过一个时区加1小时；过日界线(180经线°)，日期减1天。 2行程时间的计算： 由出发时间求到达时间，须加上行程时间； 由到达时间求出发时间，须减去行程时间。 例1．圣诞节(12月25日)前夜当地时间19：00时，英格兰足球超级联赛的一场比赛将在伦敦开赛。香港李先生要去伦敦观看这场比赛。自香港至伦敦，飞机飞行时间约为17小时。试回答下列问题。 (1) 开赛的时候，我国北京时间应为。 解析：A地伦敦（中时区）时间12月24日19：00，B地北京（东八区），时区差=8，B位于A 的东面，所以向东计算时： B地区时=A地区时+时区差=19：00+8：00=27：00 则：日期为12月24日+1日(12月25日)，时间为27：00-24：00=3：00 即：开赛时对应的北京时间为12月25日凌晨3：00 (2)在下列香港——伦敦的航班起飞时间中，李先生选择较为合适。 A．23日15：00时B．23日18：00时C．24日7：00时D．24日10：00时 解析：这是由达到时间求出发时间，用以上计算结果再减去行程时间得： 出发时间=A地区时+时差-行程时间=19：00+8：00-17：00=10：00 即李先生本应在12月24日上午10：00出发，但不可能一下飞机就能观看比赛，还需要
一元一次方程的概念及解法 一、知识梳理： 知识点1、一元一次方程的概念： （1）、方程：含有未知数的等式叫方程，能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程叫解方程。 （2）、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式0ax b +=（其中x 是未知数，a b 、是已知数，并且0a ≠） 知识点2、等式及其基本性质 （1）定义：用等号“=”表示相等关系的式子叫等式。 （2）等式的基本性质： ①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。 ②等式两边都乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 三、解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； （2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住：移项要变号）； （4）合并同类项：把方程化为()0ax b a =≠的形式； （5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。 解一元一次方程时，可以根据方程的形式灵活地安排解题步骤，不必机械地生搬硬套。 二、典例精讲： 考点一、概念的考查 例1、（2011、鄂州训练题）下列各式是方程的是 ，其中是一元一次方程的是 。 （1）327x -=；（2）4812+=；（3）3x -；（4）230m n -=；（5）23210x x --=； （6）23x +≠；（7）251 x =+ 变式训练： 1、判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？哪些是方程？哪些是一元一次方程？ （1）253-+=；（2）317x -=；（3）0m =；（4）3x >；（5）8x y +=； （6）22510x x ++=；（7）2a b + 2、方程()110m m x ++=是关于x 的一元一次方程，则m = 考点二、方程的解 例2、（2011、宜昌模拟）若关于x 的方程332x a x -= +的解是4x =，求2a a - 的值。 变式训练： 1、已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，求m 的值。 考点三、等式的性质 例3、下列等式变形正确的是（ ） A 、如果,ay ax =那么y x = B 、如果y x =，那么y x -=-55 C 、如果,0=+b ax 那么a b x = D 、如果,2635-=-x x 那么1-=x ★变式赏析：由110.20.3x -=变形为1010123x -=的依据是（ ）
初中数学-《一元一次方程》全章复习知识讲解 【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3．会根据实际问题列方程解应用题． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点诠释： （1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方
程的标准形式． （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 要点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母的指数不变．3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 要点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 b x a (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
专题一：一元一次方程概念的理解: 1．若是关于x的一元一次方程，则方程的解是 。 2.是关于x的一元一次方程，则代数式的值为 。 3.已知关于y的方程和方程的解相同，求n的值。 4.已知关于x的方程与的解互为倒数，则m的值是 。 5.关于x的方程的解是的解的5倍，则m= ，这两个方程的解分别是 。 6.若方程与的解互为相反数，则k= 。 7.若，则= 。 8.已知方程，则代数式的值是 。 9.当m取什么数时，关于x的方程的解是正整数? 10.若k为整数，则使得方程的解也是整数的k值有（ ） A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 专题二：利用一元一次方程的巧解： 11：计算的值。 12：计算的值。
13.（1）表示无限不循环小数，你能运用方程的方法将化成分数吗？（2）表示无限不循环小数，你能运用方程的方法将化成分数吗？ 专题三、方程的解的讨论： 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b的形式，继续求解时，一般要对字母系数a、b进行讨论。 （1）当时，方程有唯一解； （2）当时，方程无解； （3）当时，方程有无数个解。 14：已知关于x的方程无解，试求a的值。 15.如果a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是1，求a，b的值。 16.解方程
17.对于任何a值，关于x，y的方程有一个与a无关的解，这个解是（ ） A.1 B. C. D. 18.若关于x的方程有无穷多个解，则等于（ ） A.0 B.1 C.81 D.256 19.问：当a、b满足什么条件时，方程；(1)有唯一解； （2）有无数解； （3）无解 20.若关于x的方程无解，则k= 。 专题四：绝对值方程： 21:解方程：（1） （2） （3） 22.解方程：（1） （2）
区时计算专题例题讲 解
区时专题例题讲解 区时在地方时（使用不方便）的基础上，人为制定了理论区时，实行分区（24个时区）计时（相邻两时区相差1小时）的办法。区时是以各时区的中央经线的地方时为计时标准，这样使用起来就有了一个统一的标准。 ①特别的计时方法不少国家根据本国的具体情况，在理论区时的基础上，采用了一些变通的办法计时，如我国采用北京时间即是一例。 ②时区的划分注意要点： A由于地球不停地自西向东自转，不同经度的地方，便产生了不同的时刻。这种因经度不同而造成的不同时刻，叫地方时。 B.经度相差1°，地方时相差4分钟。东边地点的时刻总是早于西边。 C.为了统一时间，国际上采用每隔经度15°，划分一个时区的方法，全球共分为24个时区。 D.每个时区都以本区中央经线上的地方时，作为全区共同使用的时间，即区时。 E.北京时间就是北京所在东八区的中央经线120°E上的地方时。 ◆区时的计算 ●方法 (1)公式法： 所求区时=已知区时±时区差 正负号选取原则：东加西减。（所求区时的时区位于已知区时时区的东侧，取“+”；若位于西侧，则取“—”）。 (2)数轴法：
画一个简单的示意图是进行区时计算的好方法。计算时遵循东加西减、一区一时的计算法则，注意日期的变化。 ●区时的性质： ①严格按照各时区中央经线（地方时）与太阳光照的关系来确定某时区的时刻，同一时区不会因经度的变化而改变区时。 ②严格按照“东早西晚，东加西减，区区计较，整时换算”进行区时计算。 ③由于区时是对时区（跨经度15°）而言的，有平面二维空间（区域），具有相对统一性、一致性和稳定性（同区同时），使用方便，克服了时间在钟点上的混乱。实际上，每个国家或地区，为了采用统一的时间，一般都不严格沿经线划分时区，而是按自己的行政边界和自然边界来确定时区。 ●区时的计算方法： ①用已知经度推算时区：
一元一次方程 知识点梳理 1．一元一次方程的有关概念 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 2．等式的基本性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。 用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m （2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 用字母表示：若a=b,则am=bm, n a =n b (n 不为0) 3．解一元一次方程的基本步骤： 例1、解方程（1）y-5 22-=
例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值 已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值. 例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73 | 12|=-x 一元一次方程应用题（找出等量关系） 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 1、数字问题 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c （其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9， 0≤b ≤9， 0≤c ≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c 。 例1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。 例2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。 分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 2、日历中的规律：横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。 例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________ 例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。 A 3 B 4 C 5 D 6 例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难） 1．温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州厂运往南昌的机器为x台， （1）用含x的代数式来表示总运费(单位：元) （2）若总运费为8400元,则杭州厂运往南昌的机器应为多少台? （3）试问有无可能使总运费是7800元？若有可能请写出相应的调动方案；若无可能，请说明理由. 【答案】（1）解：总费用为:400（6－x）+800（4+x）+300x +500（4－x）=200x+7600（2）解：由题意得200x+7600=8400,解得x=4, 答:杭州运往南昌的机器应为4台 （3）解：由题意得200x+7600=7800, 解得x=1. 符合实际意义， 答：有可能，杭州厂运往南昌的机器为1台. 【解析】【分析】（1）根据总费用=四条线路的运费之和（每一条线路的费用=台数×运费），列式后化简即可。 （2）根据（1）中的表达式等于8400，列方程并求解。 （3）根据（1）中的表达式等于7800，列方程并求解，若方程的解符合实际意义，则有可能，否则就不可能。 2．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由． 【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=2∠COM=150°， ∴∠COM=75°， ∴∠CON=15°， ∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°， 解得：t=15°÷3°=5秒； ②是，理由如下： ∵∠CON=15°，∠AON=15°， ∴ON平分∠AOC （2）解：15秒时OC平分∠MON，理由如下： ∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠COM=45°， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t， ∵∠AOC﹣∠AON=45°， 可得：6t﹣3t=15°， 解得：t=5秒 （3）解：OC平分∠MOB ∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，
专题四——地方时区时的计算 一、有关地方时的计算 1．已知A 、B 两地经度和A 地的地方时，求B 地的地方时： B 地地方时=A 地地方时±分钟经度差41 0? 如果B 地在A 地的东面用“+”；如果B 地在A 地的西面用“－”。 例1：当东经115°的地方时为9时30分时，东经125°的地方时为多少？ 例2：A 地为东经120°当时的时间为10：20，B 地为东经90°，求B 地的地方时。 2．已知两地的地方时和其中一地的经度，求另一地经度 所求经度=已知经度±014?分钟 地方时差 例3．当伦敦为正午时，区时为20：00的城市是…………………………………（ ） A 、悉尼（150°E ） B 、上海（120°E ） C 、洛杉矶（120°W ） D 、阿克拉（0°经线附近） 二、时区和区时的计算 1．已知A 、B 两地的时区和A 地的区时，求B 地的区时： B 地区时=A 地区时±时区差 如果B 地在A 地的东面用“+”；如果B 地在A 地的西面用“－”。 计算结果小于24时，那么日期不变，时间取计算结果； 计算结果大于24时，那么日期增加1日，时间取计算结果减24； 计算结果是负数，那么日期减1日，时间取计算结果加24； 2行程时间的计算： 由出发时间求到达时间，须加上行程时间； 由到达时间求出发时间，须减去行程时间。 注意：太阳直射点在零度经线是，全球为同一天。 例4．圣诞节(12月25日)前夜当地时间19：00时，英格兰足球超级联赛的一场比赛将在伦敦开赛。香港李先生要去伦敦观看这场比赛。自香港至伦敦，飞机飞行时间约为17小时。试回答下列问题。 (1) 开赛的时候，我国北京时间应为 。 (2)在下列香港——伦敦的航班起飞时间中，李先生选择 较为合适。 A ．23日15：00时 B ．23日18：00时 C ．24日7：00时 D ．24日10：00时 例5．当纽约(西五区)处于4月30 日 12时时，北京应为………………………( ) A ．4月30日1时 B ．5月1日1时 C ．4月29日1时 D ．5月1日9时 例6．国家足球队于2001年4月22日18点55分在我国西安和马尔代夫队进行“2002年世界杯亚洲区小组预选赛”揭幕战，正在美国的中国球迷准时收看比赛的时间应该是纽约时间…………………………………………( ) A ．4月23日7点45分 B ．4月22日6点15分 C ．4月22日5点55分 D ．4月22日20点45分 例7．圣诞节（12月25）日当地时间上午9：00，小强远在纽约留学的姑姑乘飞机回沈阳探亲。自纽约至沈阳，飞机飞行时间约17小时。小强应在什么时间到机场迎接姑姑最合适 A 、25日15：00 B 、25日13：00 C 、26日19：00 D 、26日15：00 例8．若AB 弧表示2009年3月1日的范围，其余为另一日期。设 B 点为零时，则100°E 的区时 为 A ．2 月 28 日 13 时 40 分 B ．2 月 29 日 13 时 40 分 C ．3 月 2 日 14 时 00 分 D ．2 月 28 日 14 时 00 分
一元一次方程练习（含经典解析）兰波儿广超一．解答题（共30小题） 1．解方程：2x+1=7 2． 3．（1）解方程：4﹣x=3（2﹣x）； （2）解方程：． 4．解方程：． 5．解方程 （1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；（2）x﹣=2﹣． 6．（1）解方程：3（x﹣1）=2x+3；（2）解方程：=x﹣． 7．﹣（1﹣2x）=（3x+1） 8．解方程： （1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+1；（2）．9．解方程：．
10．解方程： （1）4x﹣3（4﹣x）=2； （2）（x﹣1）=2﹣（x+2）． 11．计算： （1）计算： （2）解方程： 12．解方程：13．解方程： （1） （2） 14．解方程：（1）5（2x+1）﹣2（2x﹣3）=6（2）+2 （3）[3（x﹣）+]=5x﹣1 15．（A类）解方程：5x﹣2=7x+8； （B类）解方程：（x﹣1）﹣（x+5）=﹣；（C类）解方程：．
（2） （3） （4） 17．解方程： （1）解方程：4x﹣3（5﹣x）=1318．（1）计算：﹣42×+|﹣2|3×（﹣）3（2）计算：﹣12﹣|﹣|÷×[﹣2﹣（﹣3）2]（3）解方程：4x﹣3（5﹣x ）=2； （4）解方程：． 19．（1）计算：（1﹣2﹣4）×； （2）计算： ÷ ；
（3）解方程：3x+3=2x+7； （4）解方程：．20．解方程（1）﹣（x﹣5）=1； （2）． 21．解方程：（x+3）﹣2（x﹣1）=9﹣3x．22．8x﹣3=9+5x．5x+2（3x﹣7）=9﹣4（2+x）． ． ． 23．解下列方程： （1）﹣=﹣（x﹣1）； （2）=﹣2． 24．解方程： （1）﹣+3x=10；
一元一次方程的解法（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳审稿：赵炜 【学习目标】 1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据； 2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】 要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称具体做法注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍 数(1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大 括号(1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项把含有未知数的项都移到方程的一 边，其他项都移到方程的另一边(记住 移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类 项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变 系数化成 1在方程两边都除以未知数的系数a，得 到方程的解 b x a ． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论： (1)当0 c<时，无解；（2）当0 c=时，原方程化为：0 ax b +=；（3）当0 c>时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当a≠0时， b x a =；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0 时，方程无解． 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．解下列方程 (1) 3 4 5 m m -=- (2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x 【答案与解析】 解：(1)移项，得 3 4 5 m m -+=-．合并，得 2 4 5 m=-．系数化为1，得m＝-10． (2)移项，得-5x+7x-2x-8x＝1-3-6．合并，得-8x＝-8．系数化为1，得x＝1．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
一元一次方程的解法（基础)知识讲解 撰稿:孙景艳 审稿:赵炜 【学习目标】 1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤,理解每步变形的依据； 2. 掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想； 3. 进一步熟练在列方程时确定等量关系. 【要点梳理】 知识点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2)分子是一个整体的,去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1)不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号） (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax ＝b (a ≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： (1）解方程时,表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． （2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行。 （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 知识点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，分类讨论： （1)当0c <时,无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=;（3）当0c >时，原方程可化为:ax b c +=或ax b c +=-。 2。含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时,b x a = ;（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程