欧拉（Euler）线：
同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；
且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：
任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；
其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。费尔马点：
已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC 的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
海伦（Heron）公式：
塞瓦（Ceva）定理：
在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别
交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。
密格尔（Miquel）点：
若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，
构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，
则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（Gergonne）点:
△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，
则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Simson）线：
已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，
则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：
把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)
与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（Pappus）定理：
已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，
且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2 B3于A3 B2交于
点Z，则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（Desargues）定理：
已知在△ ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，
BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真
摩莱（Morley）三角形：
在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，
这个正三角形称为摩莱三角形。
帕斯卡（Paskal）定理：
已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线。
托勒密（Ptolemy）定理：
在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD
（任意四边形都可！哇哈哈）
斯图尔特（Stewart）定理：
设P为△ABC边BC上一点，且BP：PC＝n：m，则
m·(AB2)＋n·(AC2)＝m·(BP2 )＋n·(PC2)＋（m＋n）(AP2)梅内劳斯定理：
在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线
截于点X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝1
阿波罗尼斯（Apollonius）圆
一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。
布拉美古塔（Brahmagupta）定理：
在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。
广勾股定理：
在任一三角形中，
(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍．
(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍．
加法原理：
做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。
比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，
1：火车k1
2：飞机k2
3：轮船k3，那么从北京-上海的方法N = k1+k2+k3
乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，
做第一步有m1种不同的方法，
做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有m·n不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3…mn 种不同的方法.
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）
这一定理对于任意三角形ABC，都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）
余弦定理：
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去
这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c 三角为A,B,C ，则满足性质：
a 2=
b 2+
c 2
-2bc ·Cos A b 2
=a 2
+c 2
-2ac ·Cos B c 2
=a 2
+b 2
-2ab ·Cos C Cos C= (a 2
+b 2
-c 2
)/2ab Cos B= (a 2
+c 2
-b 2
)/2ac
Cos A= (c ^2+b ^2-a ^2)/2bc
解析几何中的基本公式
1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=
2、平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++
则：2
2
21B
A C C d +-=
注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο
则P 到l 的距离为：2
2
B
A C
By Ax d +++=
οο
4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?
??=+=0)y ,x (F b kx y
消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>?
若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x
则：2122))(1(x x k AB -+=
5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，
则???????λ+λ+=λ+λ+=112
121y y y x x x ，特别地：λ=1时，
P 为AB 中点且???
????
+=+=22
2121y y y x x x 变形后：y
y y y x x x x --=λ--=
λ21
21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα
适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2
11
21tan k k k k +-=
α
若l 1与l 2的夹角为θ，则=
θtan 21211k k k k +-，]2
,0(π
∈θ
注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。
（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=2
π
。
（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→
→，，夹角b a ；
（3）直线l 与平面]20[π
∈ββα，，的夹角；
（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2
0[π
，，其中l 1//l 2时夹角θ=0；
（5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，
8、直线的倾斜角α与斜率k 的关系
a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 9、直线l 1与直线l 2的的平行与垂直
（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2? k 1=k 2
②l 1⊥l 2? k 1k 2=－1 （2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零
① l 1//l 2?
2
12121C C B B A A ≠=； ② l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0； ③ l 1与l 2相交?
2
121B B A A ≠ ④ l 1与l 2重合?
2
12121C C B B A A ==； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在 点斜式： )(οοx x k y y -=- （1）斜率不存在：οx x = （2）斜率存在时为
)(οοx x k y y -=-
两点式： 1
21
121x x x x y y y y --=--
截距式：
1=+b
y
a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，
交y 轴于),0(b 当直线l 在坐标轴上，
截距相等时应分：
（1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设
1=+a
y a x 即x+y=a 一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 11、直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
，0相离r d
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆
定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为
常数）则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0 标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a 定义域：}{a x a x ≤≤-值域：}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴 长=2b 焦距：2c 准线方程：c a x 2 ± = 焦半径 ： ) (2 1c a x e PF +=， ) (2 2x c a e PF -=， 2 12PF a PF -=， c a PF c a +≤≤-1等 （注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。） 注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +==等等。顶 点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。 （2）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．． 将有关线段1PF 、 2 PF 、2c ，有关角2 1 PF F ∠结合起来，建立1PF +2PF 、1 PF ? 2 PF 等关系 （3）椭圆上的点有时常用到三角换元：? ??θ=θ =sin cos b y a x ； （4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴 上时，其相应的性质。 二、双曲线 （一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数）， 则动点P 的轨迹是双曲线。 Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。 （二）图形： （ 三）性质 方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122 22=-b x a y )0,0(>>b a 定义域：}{a x a x x ≤≥或； 值域为R ； 实轴长=a 2，虚轴长=2b 焦距：2c 准线方程：c a x 2 ± = 焦半径： )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=，a PF PF 221=-； 注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1 顶点到准线的距离：c a a c a a 2 2+-或；焦点到准线的距离：c a c c a c 22+-或;两准线间的距离=c a 2 2 （2）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：?=-02222b y a x x a b y ±= 若渐近线方程为 x a b y ± =? 0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22 22b y a x 若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） （3）特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为 y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ； （4）注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠， 将有关线段1 PF 、2 PF 、2 1 F F 和角结合起来。 二、抛物线 （一）定义：到定点F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。 （二）图形： （三）性质：方程： 焦参数-->=p p px y ),0(,22； 焦点： )0,2 (p ，通径p AB 2=； 准线： 2 p x -=； 焦半径：,2 p x CF +=ο过焦点弦长 p x x p x p x CD ++=+++=21212 2 注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2 p ；焦点到准线的距离=p ；通 径长=p 2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （2）抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 οοy p y 或 或)2,2(2pt pt P P οοοοpx y y x 2),(2 =其中 欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式： 塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。 数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ? ?=1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且 满足FB AF EA CE DC BD ? ?=1，则D 、E 、F 三点共线. 【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABC j M Q G A C B X Y P 【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC 【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线. 【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD 于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP 【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDC D 塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1= ? ? PA CP NC BN MB AM 塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1= ? ? PA CP NC BN MB AM ， 则AN、BP、CM相交于一点. 【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F， 过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形. 求证：△LMN为正三角形. G C L M E D F N 欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。 欧拉大定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr 九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。 海伦公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝ 21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝ ))()((c p b p a p p --- 塞瓦定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则 1=??FB AF EA CE DC BD 密格尔定理：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西姆松定理：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。 笛沙格定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O ，BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线 摩莱三角形：在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 初中数学公理和定理 一、公理（不需证明） 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相 等,那么这两条直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理：两点之间，线段最短。 8、直线公理：过两点有且只有一条直线。 9、平行公理：过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行 10、垂直性质：经过直线外或直线上一点， 有且只有一条直线与已知直线垂直 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类： 一、直线与角 1、两点之间，线段最短。 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 10、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转） 11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 15、轴对称的性质： （1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）对应线段相等、对应角相等。 16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称： (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 (2)对应点到旋转中心的距离相等； (3)对应线段相等、对应角相等 重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。 证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ， 再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部 ★过两点有且只有一条直线 ●两点之间线段最短 ★同角或等角的补角相等 ●同角或等角的余角相等 ★过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ●直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ★平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ●如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 ★同位角相等，两直线平行 ●内错角相等，两直线平行 ★同旁内角互补，两直线平行 ●两直线平行，同位角相等 ★两直线平行，内错角相等 ●两直线平行，同旁内角互补 ★三角形三边关系定理三角形两边的和大于第三边 ●三角形三边关系推论三角形两边的差小于第三边 ★三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° ●三角形内角和定理推论1直角三角形的两个锐角互余 ★三角形内角和定理推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ●三角形内角和定理推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ★全等三角形的对应边、对应角相等 ●边角边公理（ＳＡＳ）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ★角边角公理（ＡＳＡ）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ●角边角公理推论（ＡＡＳ）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ★边边边公理（ＳＳＳ）有三边对应相等的两个三角形全等 ●斜边、直角边公理（ＨＬ）有斜边和一条直角边应相等的两个直角三角形全等 ★角平分线定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ●角平分线定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 ★角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 ●等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角） ★等腰三角形的性质推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 ●等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ★等腰三角形的性质推论3等边三角形两边的各角都相等，并且每一个角都等于60° ●等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ★等腰三角形的判定推论1三个角都相等的等边三角形 ●等腰三角形的判定推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ★在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ●直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ★垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ●垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ★线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 ●轴对称定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形 ★轴对称定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 ●轴对称定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 ★轴对称逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 初中三年的数学定理！提分必备，快收藏 中学数学必备定理 一点、线、角 点的定理：过两点有且只有一条直线 点的定理：两点之间线段最短 角的定理：同角或等角的补角相等 角的定理：同角或等角的余角相等 直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 二几何平行 平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行推论：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 三三角形内角定理 定理：三角形两边的和大于第三边 推论：三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 四全等三角形判定 定理：全等三角形的对应边、对应角相等 边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等五角的平分线 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 六等腰三角形性质 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 七对称定理 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 八直角三角形定理 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 初中数学竞赛辅导 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 欧拉（ Euler ）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形 的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的 一半。 费尔马点： 已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。 海伦（ Heron）公式： 塞瓦（ Ceva）定理： 在△ ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P 的直线，分别 交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。密格尔（ Miquel ）点： 若 AE、 AF、ED、 FB四条直线相交于 A、B、C、 D、E、F 六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（ Gergonne）点 : △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（ Simson）线： 已知 P 为△ ABC外接圆周上任意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（ Pappus）定理： 已知点 A 、A 、A 在直线 l 1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l 2 上， 123123 且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于 点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。 中学数学竞赛中常用的几个重要定理 数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ? ?=1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、 E 、 F ，且满足FB AF EA CE DC BD ? ?=1，则D 、E 、F 三点共线. 【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于 点P. 证明：△MPQ ∽△ABC j M Q G A C B X Y P 【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC 【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线. 【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分 别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点 O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP 【练习2】在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD 上，AE的延长线交BC于F. 若BE：ED=2AC：DC，则∠ADB=∠FDC D 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则 1=??PA CP NC BN MB AM 塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足 1=??PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点. 初中数学定理公式总结（附带背诵口诀） 1、一元二次方程根的情况 △=b2-4ac（前提必须化成一般形式ax2+bx+c=0） 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。 ③平行四边形的对边相等并且平行，对角相等，邻角互补。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领形的四条边相等，对边平行，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。 矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等且平分，四个角都是直角。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的所有性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形。 多边形： ①n边形的内角和等于（n-2）180° ②多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和 多边形的外角和都等于360度 平均数：对于n 个数x 1，x 2 … x n ，我们把（x 1+x 2+…+x n ）/n 叫做这个n 个数的算术平均数，记为12n x x x x n ++???+= 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数 时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 方差公式：2222121()()()n s x x x x x x n ??= -+-+???+-? ?其中x 是n 个数x 1，x 2 … x n 的平均数 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理 三角形两边的和大于第三边 16、推论 三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、 A B C D F P F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交 于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则 据塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． A B C D F P D / A B C D E F G 九年级基础知识竞赛 班级 姓名 学号 1. 小数是无理数 2.2a = a m .a n = (a m ) n = a 0 = a p -= 3. 一个单项式中，所有字母的指数的 叫做这个单项式的次数。 4.因式分解的常用方法（1）提公因式法：ab-bc = （2）运用公式法： a 2 - b 2 = a 2-2ab+b 2 = 5、分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变。 6.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：x= 7.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中根的判别式，通常用“?”来表示，即?= 8. 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么x 1+x 2= x 1x 2= 9.、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 、不等式两边 都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 、不等式两边都乘以（或除以）同一个负 数，不等号的方向 。 10.在一组数据,,,,21n x x x 这组数据的方差。通常用“2s ”表示，即2s = 11.点P(x,y)到x 轴的距离等于 ,点P(x,y)到y 轴的距离等于 ,点P(x,y)到原点的距离 等于 12.一般地，如果y= ，那么y 叫做x 的一次函数。y= ，y 叫做x 的正 比例函数。一次函数的图像都是 .一次函数有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增 大而 （2）当k<0时，y 随x 的增大而 13、反比例函数中反比例系数的几何意义，过反比例函数)0(≠=k x k y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S= 。 14二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y= （2）顶点式：y= （3）交点式：y= 15如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即 当x= 时y= 。 16一元二次方程中的ac 4b 2-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当?>0时， 图像与x 轴有 交点；当?=0时，图像与x 轴有 交点；当?<0时，图像与x 轴 交点。 17、线段垂直平分线上的点和这条线段 相等。和一条线段 相 等的点，在这条线段的垂直平分线上。 18.角平分线上的点到这个角的 相等。到一个角的 相等的点在这个角 的平分线上。 19过一点 一条直线与已知直线垂直. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短。 一般定理及公式 1、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 2、推论任意多边的外角和等于360° 3、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 4、等腰梯形的两条对角线相等 5、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 6、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 7、比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 8、合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 9、等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a 10、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 11、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 12、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 13、如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 14、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 15、从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 16、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 17、①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 18、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 19、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 20、正三角形面积√3a／4 ，a表示边长 21、弧长计算公式：L=nπR／180 22、扇形面积公式：S扇形=nπR2／360=LR／2 23、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三角函数定理及公式两角和公式sin(A+B)=sin A·cos B+cos A·sin Bsin(A-B)=sin A·cos B-sin B·cos Acos(A+B)=cos A·cos B-sin A·sin Bcos(A-B)=cos A·cos B+sin A·sin Btan(A+B)=(tan A+tan B)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tan A-tan B)/(1+tan A·tan B) cot(A+B)=(cot A·cotB-1)/(cot B+cot A) cot(A-B)=(cot A·cot B+1)/(cot B-cot A) 倍角公式 初中数学基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 48、定理四边形的内角和等于360° 49、四边形的外角和等于360° 50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51、推论任意多边的外角和等于360° 52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 几何篇 梅涅劳斯定理：当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AC、A于点D、E、F时，（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1 以及逆定理：在三角形ABC三边所在直线上有三点D、E、F ，且（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1 ，那么D、E、F三点共线。 角元形式梅捏劳斯定理： （sin∠BAD/sin∠DAC）×(sin∠ACF/sin∠FCB)×(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 塞瓦定理：指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F， 如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。” 正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 余弦定理： ，在△ABC中，余弦定理可表示为： c2=a2+b2-2ab cosC a2=b2+c2-2bc cosA b2=a2+c2-2ac cosB 托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等 于两条对角线的乘积。 三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角 正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系, ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。 西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的 任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西 姆松线） 斯特瓦尔特定理设已知△ABC及其底边上B、C两 点间的一点D，则有 AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。 初二公式定理大全 1、单独的一个数或一个字母也是单项式。 2、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3、一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 4、几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单向式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。 5、一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 6、单项式和多项式统称整式。 7、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 8、把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项。 9、几个整式相加减，通常用括号把每个整式括起来，再用加减号连接：然后去括号，合并同类项。 10、幂的乘方，底数不变，指数相同。 11、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 12、幂的乘方，底数不变，指数相乘。 13、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 14、单向式与单向式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单向式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式。 15、单向式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 16、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 17、两个数的和与这两个数的差的积＝这两个数的平方差。这个公式叫做（乘法的）平方差公式。 18、两数和（或差）的平方＝它们的平方和，加（或减）它们积的2倍。这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。 19、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 20、同底数幂相加，底数不变，指数相减。 21、任何不等于0的数的0次幂都等于1. 22、单向式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 23、多项式除以单向式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 24、吧一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 25、ma+mb+mc，它的各项都有一个公共的因式m，我们把因式M叫做这个多项式各项的公因式。 由m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得ma+mb+mc=m(a+b+c)初中数学竞赛定理大全
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