多项式整除的概念是：多项式整除,是指被除式能以除式作为一个因式进行因式分解。
多项式除以多项式方法 多项式除以多项式是高中数学中的一个重要概念和计算方法。在代数学中，多项式是由一个或多个变量以及它们的系数和指数的和组成的表达式。多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，并得到商和余数的过程。 我们来回顾一下多项式的基本概念。一个多项式可以写成如下形式：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0为常数，x为变量，n为非负整数。多项式的次数是指最高次项的指数，记作deg(f)。如果一个多项式的系数都为0，那么它是一个零多项式。 多项式除法的目的是将一个多项式f(x)除以另一个多项式g(x)，并得到商q(x)和余数r(x)。可以表示为f(x) = g(x)·q(x) + r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。商q(x)和余数r(x)可以通过多项式除法算法来求解。 多项式除法的算法可以通过长除法的思想来理解。首先，我们将被除式f(x)和除式g(x)按照次数从高到低排列，并对齐各项的同类项。然后，从最高次项开始，将f(x)的最高次项除以g(x)的最高次项，得到一个部分商。将这个部分商乘以g(x)，得到一个中间结果，并将其与f(x)相减，得到一个新的多项式。重复这个过程，直到新的多项式的次数小于g(x)的次数为止。
通过多项式除法，我们可以得到商和余数。商表示被除式能够被除式整除的次数，而余数表示除法的余项。多项式除法可以用来求解多项式的根和因式分解，是代数学中的重要工具。 除了长除法的方法，还有其他的方法可以进行多项式的除法运算。比如，可以使用多项式的因式分解来进行除法运算。如果被除式和除式都可以进行因式分解，那么我们可以将它们进行因式分解后进行简化，然后进行除法运算。这种方法在一些特殊情况下可以更加高效。 在实际应用中，多项式除法在代数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在电路分析中，我们可以使用多项式除法来求解电路的传输函数。在信号处理中，多项式除法可以用来进行滤波器设计和信号分析。在计算机科学中，多项式除法可以用来进行多项式插值和多项式拟合等计算。 总结起来，多项式除法是高中数学中的一个重要概念和计算方法。通过多项式除法，我们可以将一个多项式除以另一个多项式，并得到商和余数。多项式除法可以用来求解多项式的根和因式分解，具有广泛的应用价值。通过合理的计算方法，我们可以高效地进行多项式除法运算，并在实际问题中应用它们。
第一章 多项式 Polynomials 多项式是代数中的一个基本概念，求解多项式方程的是最古老的数学问题之一. 多项式理论不仅对数学本身非常重要，而且它的重要性更体现在实际应用中. 1.1数域 整数的整除性 集合的概念：若干事物的全体称为一个集合，组成集合的这些事物称为集合的元素. 集合的概念只是一个描述性的说明．集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性. 常用大写字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素. 当a 是集合A 的元素时，就说a 属于A ，记作：a A ∈；当a 不是集合A 的元素时，就说a 不属于A ，记作：a A ? 集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.M ＝｛x | x 具有性质P ｝； 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例如，22{(,)4,,}M x y x y x y R =+=∈， {1,2,3,}N = . 不含任何元素的集合叫做空集，记为φ. 如果B 中的每一个元素都是A 中的元素，则称B 是A 的子集合或B 包含于A ，记作B A ?，空集是任意集合的子集合. 如果A 与B 两集合含有完全相同的元素，则称 A 与B 相等，记作A ＝ B . A ＝ B 当且仅当A B ?且B A ? . 集合{}A B x x A x B =∈∈且称为 A 与B 的交： 集合{}A B x x A x B =∈∈或称为A 与B 的并： 为了在下面课程里讨论起来严谨和方便, 需要引入数域的概念. 数是数学中一个最基本的概念, 人们对客观世界的认识的不断深入，使
关于多项式除以多项式 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下： ∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2． 由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项 6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式． 整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)． 解： 所以商式为2x＋1，余式为2x＋8． 与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系： 9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)． 这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0
的办法补足缺项． 当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下： 于是得到 商式=2x＋1，余式=2x＋8． 对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下： 所以， (2x3－5x－4)(3x2－7x＋8) =6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32． 如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题． 1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)． 2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)． 3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)． 4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．
多项式除法 多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，从而得到商式和余式的过程。本文将详细地介绍多项式除法的概念、方法和应用。文章内容将会包括以下几个方面： 1. 多项式的基本概念 2. 多项式除法的基本原理 3. 一次多项式除法的步骤和实例 4. 高次多项式除法的步骤和实例 5. 多项式除法的应用 1. 多项式的基本概念 多项式是指一个形如 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n- 1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 的表达式，其中 $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ 都是实数常数，$x$ 是一个变量，$n$ 是一个非负整数。例如， $3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 就是一个多项式。
多项式由项组成，项是由系数和变量的幂次组成的。例如，$3x^{5}$ 和$-5x^{2}$ 就是多项式的两个项。多项式的次数就是最高次项的指数。例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 的次数就是 5。 2. 多项式除法的基本原理 在多项式除法中，我们通常将被除式写在长除法的“被除数”位置上，将除数写在“除数”位置上，然后进行一步步的计算，得到商式和余式。 需要注意的是，如果除式和被除数两者的次数一样，那么进行除法的结果通常是一个常数项。例如，$x^{2}+7$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果为 $7$。这种情况通常被称为“浅层除法”。 在深层多项式除法中，我们需要按照下面的步骤进行计算： 1. 将除数和被除数按照次数从高到低排列，并在次数低于除数次数的项上添加 0。 2. 取被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商式的最高次项，将其写在商式的最高次项位置上。
多项式的综合除法 多项式的综合除法是一种用于求解多项式除法的方法。多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。常用的多项式除法有长除法、综合除法和因式分解法。 综合除法在多项式的除法中是一种比较简便的方法，因为它直接使用多项式的系数进行计算，而不需要花费额外的时间去计算每一次的乘法。 使用综合除法时，我们需要先将两个多项式按照降幂排列，再将除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，并将其作为商的第一个系数。然后将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式。重复这个过程直到除式的次数比余数的次数低为止。 下面我们以一个例子来说明综合除法的具体步骤： 例题：求解 f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 被 g(x) = x - 2 整除的商和余数。 步骤一：将两个多项式按照降幂排列，得到： f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 g(x) = x - 2 步骤二：计算除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，得到： 1/1 × x = x 将其作为商的第一个系数，得到： q(x) = x 步骤三：将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式，得到： x(x-2) = x^2 - 2x f(x) - x(x-2) = (x^3 - 3x^2 + x + 5) - (x^2 - 2x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5
步骤四：重复步骤二和步骤三，得到： 1/1 × (x^2 - 2x) = x - 2 q(x) = x + 1 (x^3 - 4x^2 + 3x + 5) - (x^2 - 2x)(x + 1) = -x - 5 步骤五：最后余数为 -x - 5 。 因此， f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中商为 q(x) = x + 1，余数为 r(x) = -x - 5。 综合除法的优点在于它简便易行，只需要按照一定的步骤计算即可得到答案。这使它在实际问题中的运用更加广泛，特别是在计算机科学和工程领域中的应用更是广泛。
代数式除法的表示 摘要： 一、代数式除法的概念 1.定义与符号表示 2.除法与分数的关系 二、代数式除法的性质 1.结合律 2.交换律 3.分配律 三、代数式除法的运算方法 1.简单代数式的除法 2.多项式除法 3.分式除法 四、代数式除法的应用 1.实际问题中的应用 2.数学问题中的应用 正文： 代数式除法是代数学中的一个重要内容，它涉及到许多基本的数学概念和运算方法。首先，我们要了解代数式除法的概念。 代数式除法是一种将一个多项式除以另一个多项式的运算。在代数式中，除法通常用斜杠“/”表示，例如：a/b，表示a除以b。当除法中的除数和被
除数都是代数式时，我们称之为代数式除法。此外，代数式除法与分数有密切的关系，可以将代数式除法转换为分数形式，例如：a/b = a × 1/b。 代数式除法具有以下几个基本的性质：结合律、交换律和分配律。结合律指的是，对于任意代数式a、b和c，有(a/b) / c = a/ (b/c)。交换律指的是，对于任意代数式a和b，有a/b = b/a。分配律指的是，对于任意代数式a、b 和c，有a × (b/c) = (a × b) / c。 代数式除法的运算方法包括简单代数式的除法、多项式除法和分式除法。简单代数式的除法指的是将一个单项式除以另一个单项式的运算。例如，将2x 除以3，结果为2x/3。多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式的运算。例如，将多项式3x^2 + 2x除以2x，结果为(3x^2 + 2x) / 2x = 3x/2 + 1。分式除法是将一个分式除以另一个分式的运算。例如，将分式2x/3除以x/2，结果为(2x/3) / (x/2) = 4x/3。 代数式除法在实际问题和数学问题中都有广泛的应用。例如，在实际问题中，我们可以用代数式除法来计算投资收益、速度和距离之间的关系等。在数学问题中，代数式除法可以帮助我们解决方程和不等式的问题，从而求得未知数的值。 总之，代数式除法是代数学中的一个重要内容，它涉及到许多基本的数学概念和运算方法。
整式的除法概念及法则 一、整式的定义 整式是代数式的一种形式，它由若干个代数式按照加法和减法运算符连接而成，且每个代数式都是整数或有理数的乘积。整式通常用字母表示未知数，也可以用具体数字表示。 二、整式的除法概念 整式的除法即将一个整式除以另一个整式的运算。整式的除法可以简化代数式的表达，使得计算更加简便。 1. 一般的除法过程 整式的除法过程与算术中的除法类似，主要包括以下步骤： - 将除式与被除式按 照一定规则对齐。 - 依次将被除式里的每一项与除式的首项进行除法运算。 - 求商的步骤需要使用乘法和减法运算。 - 直至被除式的所有项都进行了除法运算， 最后的余数项可以保留或继续进行进一步的合并化简。 2. 整式的除法的结果 若整式A除以整式B的结果为整式C，则满足等式：A = B * C。其中，整式C称 为A除以B的商，若除法运算有余数，则余数也是整式。 三、整式除法的基本法则 整式的除法具有一些基本的法则，我们可以根据这些法则进行整式的除法运算。 1. 除法的可逆性 对于任意非零的整式A、B和C来说，若A除以B的商为C，则A除以C的商等于B，即：A / B = C，则 A / C = B。
2. 除法的唯一性 对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，同时A除以B的商 为D，则C和D相等，即：如果 A / B = C 且 A / B = D ，那么 C = D。 3. 除法的分配性 对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A加上C乘以B 的结果等于A乘以D的商，即： A / B = C 那么 A + C * B = A / D 4. 除法的消去性 对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A乘以D除以B 乘以D的商等于C，即：如果 A / B = C ，那么 A * D / B * D = C。 四、整式除法的具体步骤 整式除法的具体步骤如下： 1. 根据除法的定义，对于被除式和除式进行合理的排列，确保每一项按照幂次降序排列。 2. 利用被除式的首项与除式的首项进行除法运算，得出商的首项。 3. 将商的首项乘以除式的每一项，再减去被除式对应幂次的所有项。 4. 利用减法后的结果和除式进行下一步的除法运算，得到商的下一项。 5. 重复上述步骤，直至被除式的所有项都进行了除法运算。 6. 若有余数项，则 将余数项保留作为整式除法结果中的余数。 五、整式除法的应用 整式的除法是代数式简化和推导的基础，它在多项式的因式分解、多项式方程的解法等领域具有重要的应用。 结论 整式的除法是代数学中重要且常用的运算之一。我们可以利用整式除法法则来简化代数式的表达，并且应用整式除法解决多项式相关的问题。通过掌握整式的除法的概念及法则，并熟练运用相关计算方法，能够提高我们在代数学领域的解题能力。
第8讲 整式的除法 在大多数科学中，后一代人往往撕毁了前一代人所建立的 成就，但在数学中，每一代人都是在老的结构上建立新的成果。 ——赫尔曼·汉克而 知识方法扫描 整式的除法，包括单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式除以多项式. 像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除或g(x)整除f(x)． 当除式是一次式时，有如下的结论： 余数定理：多项式f(x)除以x-a 所得的余数等于f(a), 因式定理：若多项式f(x)除以x-a 所得的余数f(a)=0， 则f(x)含有因式x-a. 经典例题解析 例1．已知,63,43==y x 求y x y x --+2792的值 解 y x y x --+2792=)(3)2(233y x y x --+ =y x y x 33243333÷+÷=3324)3()3()3()(3y x y x ÷+÷ =44÷62+43÷33=27 200。 例2．已知,2)(,523)(223+=+-=x x g x x x f 求)(x f 除以)(x g 的商式)(x Q 和余式).(x R 解 用竖式除法，有： 所以有：.23)(-=x x Q .96)(+-=x x R 例3．已知,0132 =+-a a 求1825222 345+-+-a a a a a 的值． 解法1 先做多项式除法)13()8252(22345+-÷-+-a a a a a a ：
第一章整数的可除性 整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的 q，使得 成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立， 则称a不被b整除，记为 显然每个非零整数a称这四个数为a的平 凡约数，a 下面的结论成立： ∣a⇔±b∣±a； (ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a； (ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数； (ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数； (ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得 a = bq + r ，0 ≤ r < b (2) 成立 且q 。 中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被 例1 若1n >，且111n n -+ 求n 222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什 300”位于哪个字母的下面 A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组 故300=7×42+6与6同在字母D 的下面 例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。m N +∈
某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？ 三、整除的特征 从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分 为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A 并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和 1()1()2()()()(1)t k k k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔ 推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。 推论：能被4或25整除的数的特征是：这个数的末二位数能被4或25整除。 推论：能被8或125整除的数的特征是：这个数的末三位数能被8或125整除。 和能被3或9整除。 例 235476能被9整除？ 3、设d 是101k +的约数，则()k d N d S N '⇔ 或11()n n k k d a a a a a A k -+- 推论：能被11整除的数的特征是：这个数的奇数位上的数字之
本科毕业论文(设计) 论文题目：有理数域上多项式的因式分解 学生姓名： 学号： 专业： 班级： 指导教师： 完成日期：年月日
有理数域上多项式的因式分解 内容摘要 多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究. 本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的. 关键词：有理数域多项式因式分解
Rational polynomial factorization domain Abstract Polynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied. This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose. Key words：Rational number field polynomial factoring
整 式 的 乘 除 知识点归纳： 回顾：代数式 1、 单项式的概念 由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。 单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。 次数如何判断？ 如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 单独的数字或字母也称单项式 2、 多项式的概念 几个单项式的和叫做多项式。 多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 次数如何判断？ 二次项、一次项……判断根据？ 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 代数式分类总结
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 5、同底数幂的乘法法则 什么是同底数幂？ 同底数幂中的底数可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，但 和不是
同底数幂。 n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）解释 结论： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+∙+ 1．填空： （1）m a 叫做a 的m 次幂，其中a 叫幂的________，m 叫幂的________； （2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为c ，指数为3，这个数为________； （3）4)2(-表示________，42-表示________； （4）根据乘方的意义，3a ＝________，4a ＝________，因此43a a ⋅＝)()()(+ 2．计算： （1）=⋅64a a （2）=⋅5b b （3）=⋅⋅32m m m （4）=⋅⋅⋅953c c c c （5）=⋅⋅p n m a a a （6）=-⋅12m t t （7） =⋅+q q n 1 （8）=-+⋅⋅112p p n n n 3．计算： （1）=-⋅23b b （2） =-⋅3)(a a （3）=--⋅32)()(y y （4） =--⋅43)()(a a （5）=-⋅2433 （6） =--⋅67)5()5( （7）=--⋅32)()(q q n （8） =--⋅24)()(m m （9）=-32 （10） =--⋅54)2()2( =--⋅69)(b b =--⋅)()(33a a
多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。 例计算 写成以下这种形式： 然后商和余数可以这样计算： 1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线 之上(x3÷x = x2). 2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下(x2·(x−3) = x3−3x2). 3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写 在下面。((x3−12x2) −(x3−3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿 下来”。 4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。 横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。 算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。除法变换 使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数）， 这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1]得到的。
应用:多项式的因式分解 有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。 相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x 2-(r+s)x+rs 。 使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。 寻找多项式的切线 §2 一元多项式及整除性 下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。 学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。 定义4 设是一个数域，是一个文字，形式表达式 其中 是数域中的数，是非负整数） 称为数域上的一元多项式，通常记为。称为次项的系数。 例如： 是多项式 不是多项式，因为不是非负整数。 定义5 如果数域上多项式，同次项系数都相等，称与相等 记为： = 一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定 定义6 在（1）中如果 ，称为多项式的次数，记 P x ) 1( 0111a x a x a x a n n n n ++++-- i a P n P )(x f k k x a k x x x f 521 )(3+=123)(-++=x x x x g 1-P )(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g i i x x =⋅10 ≠n a n 01)(a x a x a x f n n +++=
第二章 多 项 式 §2.1 一元多项式的定义和运算 2.1.1 教学目的 2.1.1.1 掌握多项式、多项式相等、多项式次数的概念。 2.1.1.2 掌握多项式加法、减法与乘法的法则和性质。 2.1.2 教学重点 多项式的概念，多项式的运算法则和性质。 2.1.3 教学难点 对多项式形式表达式的理解。 2.1.4 教学过程 本节所说的R ，指的是含1的数环。 一、一元多项式的一些基本概念 Def 1： 数环R 上文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 n n 2210x a x a x a a ++++ （1） 这里n 是非负整数，0a ，1a ，…，a n 是R 中的数。 在（1）中0a 叫零次项或常数项，i i x a 叫i 次项，i a 叫i 次项的系数， 一元多项式常用f(x)、g(x)表示. Def 2： 若是数环R 上两个多项式f(x)和g(x)有完全相同的项或者只差一些系数为零的项，则称f(x)=g(x). 如 1+0x+5x 2+0x 3=1+0x+5x 2=1+5x 2 ，3+1x+2x 2=3+x+2x 2≠3+x+x 2 Def 3：在多项式中n n 2210x a x a x a a ++++ ，若a n ≠0， n n x a 叫多项式的最高次项，非负整数n 叫多项式的次数 多项式f(x)的次数记作0∂（f(x)）. 零多项式记为0且是唯一不定义次数.所以以后谈到多项式)x (f 的次数时总假定0)x (f ≠。非零常数是零次多项式，它的次数为0，有次数。 二、多项式的运算 （一）运算的定义 设n n x a x a x a a x f ++++= 2 210)(， 或∑==n i i i x a x f 0 )( m m x b x b x b b x g ++++= 2210)(, 或∑==m j j j x b x g 0 )(； 是数环R 上两个多项式，并且m ≤n ，则定义： 一）加法 f(x)+g(x)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+…+(a m +b m )x m +…+(a n +b n )x n 当m
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