2015中考数学函数专题复习
知识点1、平面直角坐标系与点的坐标
一个平面被平面直角坐标分成四个象限，平面内的点可以用一对有序实数来表示平面内的点与有序实数对是一一对应关系，各象限内点都有自己的特征，特别要注意坐标轴上的点的特征。点P（x、y）在x轴上?y＝0，x为任意实数，
点P（x、y）在y轴上，?x＝0，y为任意实数，点P（x、y）在坐标原点?x＝0，y＝0。
知识点2、对称点的坐标的特征
点P（x、y）关于x轴的对称点P1的坐标为（x，－y）；关于y轴的对称轴点P2的坐标为（－x，y）；关于原点的对称点P3为（－x，－y）知识点3、距离与点的坐标的关系
点P（a，b）到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即｜b｜
点P（a，b）到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即｜a｜
点P（a，b）到原点的距离等于：2
2b
a+
知识点4、与函数有关的概念
函数的定义，函数自变量及函数值；函数自变量的取值必须使解析式有意义当解析式是整式时，自变量取一切实数，当解析式是分式时，要使分母不为零，当解析式是根式时，自变量的取值要使被开方数为非负数，特别地，在一个函数关系中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。
知识点5、已知函数解析式，判断点P （x ，y ）是否在
函数图像上的方法：若点P （x ，y ）的坐标适合函数解析式，则点P
在其图象上；若点P 在图象上，则P （x ，y ）的坐标适合函数解析式．
知识点6、列函数解析式解决实际问题
设x 为自变量，y 为x 的函数，先列出关于x ，y 的二元方程，再用x 的
代数式表示y ，最后写出自变量的取值范围，要注意使自变量在实际问题中
有意义。
知识点7、一次函数与正比例函数的定义：
例如：y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的一次函数，特别
地当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx （k 是常数，k ≠0）这时，
y 叫做x 的正比例函数。
知识点8、一次函数的图象和性质
一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过点（０，b ）和点（－k b
，０）的一条
直线，k 值决定直线自左向右是上升还是下降，b 值决定直线交于y 轴的正
半轴还是负半轴或过原点。
知识点9、两条直线的位置关系
设直线 1和 ２的解析式为y ＝k1x ＋b1和y2＝k2x ＋b2则它们的位置
关系由系数关系确定
k1≠k2? 1与 ２相交，k1＝k2，b1≠b2? 1与 ２平行，k1＝k2，
b1＝b2? 1与 ２重合。
知识点10、反比例函数的定义
形如：y ＝x
k 或y ＝kx －1（k 是常数且k ≠0）叫做反比例函数，也可以写
成xy ＝k （k ≠0）形式，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应的函数值
y 之积等于已知常数k ， 知识点11、反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像是双曲线，它是以原点为对称中心的中心对称图形，
同时又是直线y ＝x 或y ＝－x 为对称轴的轴对称图形，当k ＞0时，图像的
两个分支分别在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，当k ＜0
时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增
大。
知识点12、反比例函数中比例系数k 的几何意义。
过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB 所得矩形的PAOB
的面积为|k|。
知识点13、二次函数的定义
形如：y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）那么y 叫做x 的二次函
数，它常用的三种基本形式。
一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）
顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k （a ≠0）
交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（ a ≠0，x 1、x 2是图象与x 轴交点的横
坐标）
知识点14、二次函数的图象与性质
二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象是以（a b ac a b 44,22--）为顶点，
以直线y ＝a
b 2-为对称轴的抛物线。 在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x ＜a b 2-
时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞a
b 2-时，y 随着x 的增大而增大。 在a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x ＜a
b 2-时，y 随着x 的增大而增大。在对称轴的右侧，即当x ＞a
b 2-时，y 随着x 的增大而减小。
当a ＞0，在x ＝a
b 2-时，y 有最小值，y 最小值＝a b a
c 442-， 当a ＜0，在x ＝a
b 2-时， y 有最大值，y 最大值＝a b a
c 442-。 知识点15、二次函次图象的平移
二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。
知识点16、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的
交点。
（1）与y 轴永远有交点（0，c ）
（2）在b2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，A （x1，0）、B （x2，
0）这两点距离为AB ＝|x1－x2|，（x1、x2是ax2＋bx ＋c ＝0的两个根）。
在b2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴只有一个交点。
在b2－4ac ＜0时，则抛物线与x 轴没有交点。
知识点17、求二次函数的最大值
常见的有两种方法：（1）直接代入顶点坐标公式（a
b a
c a b 44,22--）。 （2）将y ＝ax2＋bx ＋c 配方，利用非负数的性质进行数值分析。
两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。
练习题
1、已知一次函数与反比例函数的图象交于点(21)P -，和(1)Q m ，．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求Q 点的坐标；
（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：
当x
解：（1）设反比例函数关系式为k y x =，
反比例函数图象经过点(21)P --，
．2k ∴=-．∴反比例函数关第式2y x
=-． （2）点(1)Q m ，在2y x
=-上，2m ∴=-．(12)Q ∴-，．（3）示意图．
2．已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，．
（1）求b c +的值；
（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；
（3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，
且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图
思考）
解：（1）依题意得：2(1)(1)(1)2b c b -+--+=-，b c ∴+（2）当3b =时，5c =-，
2225(1)6y x x x ∴=+-=+-∴抛物线的顶点坐标是(1--，（3）当3b >时，抛物线对称轴112b x -=-
<-， ∴对称轴在点P 的左侧． 因为抛物线是轴对称图形，(12)P b --，
且2BP PA =．
(32)B b ∴--，122
b -∴-=-．5b ∴=．又2b
c +=-，7c ∴=-． ∴抛物线所对应的二次函数关系式247y x x =+-．
解法2：（3）当3b >时，112
b x -=-<-， ∴对称轴在点P 的左侧．因为抛物线是轴对称图形，
(12)P b --，，且2(32)BP PA B b =∴--，，2(3)3(2)2b c b ∴---+=-．
又2b c +=-，解得：57b c ==-，
∴这条抛物线对应的二次函数关系式是247y x x =+-．
解法3：（3）2b c +=-，2c b ∴=--，
2(1)2y x b x b ∴=+---分
BP x ∥轴，2(1)22x b x b b ∴+---=-即：2(1)20x b x b +-+-=．
解得：121(2)x x b =-=--，，即(2)B x b =--
由2BP PA =，1(2)21b ∴-+-=?．57b c ∴==-，
∴这条抛物线对应的二次函数关系式247y x x =+-
3.已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，
0）、
C （5，0）两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点
E ），再到达势力的线的对称轴上某点（设为点
F ），最后运动到点A.求使点
运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长.
解：（1）抛物线的解析式为35
185
32+-=x x y ；（2）线段OA 的三等分点为D （0，1）或（0，2）；（3）直线DC 的解析式为151+-=x y 或25
2+-=x y ；（3）点M （0，23）关于x 轴对称的点M ’（0，2
3-），点A （0，3）关于抛物线的对称轴x ＝3对称的点为A ’（6，3），连结M ’A ’，则M ’A ’ ＝215.根据轴对称性及两点之间线段最短可知，M ’A ’的长就是所求点P 运动的基本最
短总路径的长.直线M ’A ’的解析式为2343-=x y ，点x 轴交于点E （2，0），
与抛物线的对称轴交于点F （3，43）.
4.一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数y
＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．
（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；
（2）求二次函数的解析式及它的最小值．
解：（1）令0y =，得3x =，∴点A 的坐标是(30)，……
令0x =，得3y =-，∴点B 的坐标是(03)-，…（2）二次函数2y x bx c =++的图象经过点A B ，， 0933b c c
=++?∴?-=?，解得：23b c =-??=-?． ∴二次函数2y x bx c =++的解析式是223y x x =-- 2223(1)4y x x x =--=--，∴函数223y x x =--的最小值为4-．
x
5.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新
1x+b (b 2 围. 解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．……1分∵k为正整数，∴k＝1，2，3．……2分 (2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；……3分 当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；……4分 当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根． (5) 分 综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意． 当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．……6分 (3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线b x y +=21经过A 点时，可得2 3 =b ；… …7分 当直线b x y +=21经过B 点时，可得2 1-=b ．… …8分 由图象可知，符合题意的b(b ＜3)的取值范围为2321<<-b ． 6．（本题14分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使 得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条 件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出 点D 的坐标． !) y=-0.5x 2+2.5x-2 (2) 假设存在点P, 设P （x,20.5 2.52x x -+-） 则 PM=∣20.5 2.52x x -+-∣, AM=∣4-x ∣ ∴当 AM AO PM OC =或AM OC PM AO =时， ∽ ∴ 2420.5 2.52x x x -=-+-或240.5 2.52x x x --+- 解得 12x = ，15x =，13x =- P 1(2,1), P 2(5,-2) , P 3(-3,-14) （3） （2，1） 7.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函 数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式； （2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段 PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之 间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四形？若 存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由. (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m 上，∴ 4=3+m. ∴ m=1. 设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. ∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上， ∴ 4=a(3-1)2,∴ a=1. ∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x 2-2x+1. (2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E . ∴ PE=h=y P -y E =(x+1)-(x 2-2x+1) =-x 2+3x. 即h=-x 2+3x (0＜x ＜3). (3) 存在. 解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC. ∵ 点D 在直线y=x+1上,∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 .即x 2-3x+2=0 . 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时， 四边形DCEP 是平行四边形. 解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP ∥CE. 设直线CE 的函数关系式为y=x+b.∵ 直线CE 经过点C(1,0),∴ 0=1+b,∴ b=-1 . ∴ 直线CE 的函数关系式为y=x-1 .∴ ???+-=-=1212x x y x y 得x 2-3x+2=0. 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. 8. 某块试验田里的农作物每天的需水量y （千克）与生长时间x （天）之间的关系如折线图所示．?这些农作物在第10?天、?第30?天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克． （1）分别求出当x ≤40和x ≥40时y 与x 之间的关系式； （2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，?那么应从第几天开始进行人工灌溉？ 解：（1）当x ≤40时，设y ＝kx ＋b ． 根据题意，得20001050300030,1500. k b k k b b =+=????=+=??解这个方程组,得， ∴当x ?≤40时，y 与x 之间的关系式是y ＝50x ＋1500， ∴当x ＝40时，y ＝50×40＋1500＝3500， 当x ≥40?时，根据题意得，y ＝100（x －40）＋3500，即y ＝100x －500． ∴当x ≥40时，y 与x 之间的关系式是y ＝100x －500． （2）当y ≥4000时，y 与x 之间的关系式是y ＝100x －500， 解不等式100x －500≥4000，得x ≥45， ∴应从第45天开始进行人工灌溉． 9. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x 图象交于A （－2，1），B （1，n ）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围． 解析：（1）求反比例函数解析式需要求出m 的值．把A （－2，1）代入y ＝m x 中便可求出m ＝－2．把B （1，n ）代入y ＝2x -中得n ＝－2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x 的取值范围． 解：（1）y ＝－2x ，y ＝－x －1 （2）x ＜－2或0＜x ＜1 10. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）?与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？ 解：（1）设此一次函数表达式为y ＝kx ＋b ．则?? ?=+=+20 202515b k b k ，解得k ＝－1，b ＝40，?即一次函数表达式为y ＝－x ＋40． （2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元 w ＝（x －10）（40－x ）＝－x 2＋50x －400＝－（x －25）2＋225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 点评：解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 11. 已知点A （0，－6），B （－3，0），C （m ，2）三点在同一直线上， 试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）． 解：设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b ，则130,6, k b b -+=?? =-? 解得k 1＝－2，b ＝－6．? 所以直线AB 的解析式为y ＝－2x －6． ∵点C （m ，2）在直线y ＝－2x －6上，∴－2m －6＝2， ∴m ＝－4，即点C 的坐标为C （－4，2）， 由于A （0，6），B （－3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C （－4，2），设经过点C 的反比例函数的解析式为y ＝2k x ．则2＝24k -， ∴k 2＝－8．即经过点C ?的反比例函数的解析式为y ＝－8x ． 12. 某校九年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示关系． （1）求y 与x 的函数关系式； （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：?该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ （3）当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，?你有何感想（不超过30字）？ 解：（1）设y ＝kx ＋b ，∵x ＝4时，y ＝400；x ＝5时，y ＝320， ∴400480,:3205720k b k k b b =+=-????=+=?? 解之得 ∴y 与x 的函数关系式为y ＝－80x ＋720． （2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元）， 当y ＝380时，380＝－80x ＋720，得x ＝4.25． 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25＋780＝2395（元）， 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． （3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元， 则W ＝xy ＝x （－80x ＋720）＝－80（x －92）2＋?1620． ∴当x ＝92 时，W 最大值＝1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算， 则50a≥W最大值＋780，?即50a?≥1620＋780．解之得，a≥48． 所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算， 由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯． 13 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1?日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；?它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示． （1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？ （市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 解：（1）设y1＝mx＋n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1）， ∴ 0 5.1 50 2.1 n m n += ? ? += ? 解得：m＝－3 50 ，n＝5.1， ∴y1＝－3 50 x＋5.1（0≤x≤50）． （2）又由题目已知条件可设y2＝a（x－25）2＋2．因其图象过点（15，3）， ∴3＝a（15－25）2＋2，∴a＝1 100 ， ∴y2＝1 100x2－1 2 x＋33 4 （或y＝1 100 （x－25）2＋2）（0≤x≤50） （3）设第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y1－y2＝－1 100 （x2－44x＋315）（0≤x≤55）． 依题意：y1－y2＝0，即x2－44x＋315＝0，∴（x－9）（x－35）＝0，解得：x1＝9，x2＝35． 所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱。 函数与几何综合专题 解答题 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交 于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式． 4．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值； （Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说 明理由． 6．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q． （1）试确定三角板ABC的面积； （2）求平移前AB边所在直线的解析式； （3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标． 专题复习(五) 函数的实际应用 题 类型 1 一次函数的图象信息题 1.求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础． 2.用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值． 3.在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段． 1．(2018·吉林)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 30 min.小东骑自行车以 300 m/min 的速度直接回家，两人离家的路程 y(m)与各自离开出发地的时间 x(min)之间的函数图象如图所示： (1)家与图书馆之间的路程为4 000 m，小玲步行的速度为100m/min； (2)求小东离家的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)求两人相遇的时间． 专题课件 解：(1)结合题意和图象可知，线段 CD 为小东路程与时间的函数图象，折线 O—A—B 为小玲路程与时间的函数图象， 则家与图书馆之间路程为 4 000m，小玲步行速度为(4 000－2 000)÷(30－10)＝100 m/min. 故答案为：4 000，100. (2)∵小东从离家 4 000 m 处以 300 m/min 的速度返回家， 则x min 时，他离家的路程 y＝4 000－300x， 40 自变量x 的范围为0≤x≤. 3 (3)当x＝10 时，y 玲＝2 000，y 东＝1 000，即两人相遇是在小玲改变速度之前， ∴令 4 000－300x＝200x，解得 x＝8. ∴两人相遇时间为第 8 分钟． 2．(2018·成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用 y(元)与种植面积 x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米 100 元． (1)直接写出当0≤x≤300和x＞300 时，y 与x 的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 1 200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于 200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的 2 倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？ 解：(1)y＝{130x（0 ≤ x ≤ 300），80x＋15 000（x＞300）.) (2)设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植(1 200－a)m2. ∴a≤2(1 200－a)，解得a≤800. 又a≥200，∴200≤a≤800. 当200≤a＜300 时， W1＝130a＋100(1 200－a)＝30a＋120 000. 函数探究 【例1】 1.抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2 +4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2 +4x+6的值等于 ． 3.已知二次函数y=ax 2 ﹣2ax+1（a ＜0）图象上三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）C （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 1＜y 3＜y 2 D ．y 3＜y 1＜y 2 方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2 ＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－，顶点坐标（-， )来求对称轴及顶点坐标． 2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法； (2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断． 举一反三 1.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y=x 2 +4x+10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ） A ．（﹣3，7） B ．（﹣1，7） C ．（﹣4，10） D ．（0，10） 2.已知关于x 的函数y=（2m ﹣1）x 2 +3x+m 图象与坐标轴只有2个公共点，则m= ． 3.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．312y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．213y y y >> 考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系 【例2】 二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，给出下列结论： ①2a +b ＞0；②b＞a ＞c ；③若﹣1＜m ＜n ＜1，则m+n ＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|． 其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）． 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是全体 a≠，而b c 实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 函数及其图像 典题探究 例1： 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2： 2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下图能反映y 与x 的函数关系式的大致图象是（ ） 例3： 函数3 y x = -自变量x 取值范围是（ ） A ．1x ≥且3x ≠ B ．1x ≥ C ．3x ≠ D ． 1x >且3x ≠ 例4： 已知二次函数2 (1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数y ax c =+的大致图像可能是（ ） A B C D 课后练习 A 组 【确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围】 1.函数1 2 y x =-的自变量x 的取值范围是 2.在函数1 2-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______________________ 3.在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是 4.在函数2 1-= x y 中，自变量x 的取值范围是___________________ 5. 函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 6. 在函数x x y 2 -=中，自变量x 的取值范围是_______________________________ 7. 在函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 【求函数值】 8.如果一次函数y=-x+b 经过（0，-4），则b= 9.函数1 3y x = +中，当x=-1时，y= 10. 函数21 y x =+x=-4时，y= 11.已知函数y=kx+b 的函数图像与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2,则x=3时， y= B 组 【用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系】 12.水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注 水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） 13.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程 A . B C D 函数综合复习训练题 一 .反比例函数、一次函数部分 7．如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x =的图象在第一象限相交于点A ,与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ,AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）. 8如图，A 、B 是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴,A Ｃ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则( ) A. 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 9如图，点A 、B 是双曲线3 y x =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段, 若1S =阴影，则12S S += ． 1０如图，直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，过点A 作A Ｍ⊥ｘ轴， 垂足为Ｍ，连结B Ｍ,若ABM S ?=2,则k 的值是（ ） Ａ.2 ?Ｂ、m －2 C 、m ??? D 、4 1１.将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图3,直线a 与反比例函数 ()1 0y x x = >的图像相交于A ,与x 轴相交于B ，则22OA OB -= y O x A C B x y A B O 1S 2S B A O y x a O B x y C A 图5 1２.从2、3、4、５这四个数中，任取两个数()p q p q ≠和,构成函数2y px y x q =-=+和,并使这两个函数图象的交点在直线2x =的右侧,则这样的有序数对()p q ，共有（ ) A ．1２对? B.6对 C ．5对??D.３对 15.已知, Ａ、B 、Ｃ、D 、E 是反比例函数16 y x = （ｘ>0) 图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数）,分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形(阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示)? \ 16如图7所示,P 1(x 1，y 1）、Ｐ2（x 2，ｙ2)，……Ｐn (x n ，y n )在函 数y=x 9 （x>0)的图象上,△O Ｐ1A 1，△Ｐ2A １Ａ2，△P 3A 2A 3…… △P n Ａｎ-１A ｎ……都是等腰直角三角形，斜边ＯA 1，Ａ１A 2 ,……Ａn-1Ａn ,都在x 轴上,则y １+y 2+…+y n = 。 １7(1０分）如图，一次函数y kx b =+(0)k ≠的图象与反比例函数(0)m y m x =≠的图象相交于A 、B 两点． (１）根据图象,分别写出点A 、B 的坐标; (2)求出这两个函数的解析式． 18(０9长春)如图，点P 的坐标为(2， 2 3 ),过点Ｐ作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线1 B A O x y 1 中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四） 5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3 中考数学函数总复习习题 （2）★★如图，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用= 灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。 （1）根据图象分别求出l1、l2的函数关系式； （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？ （3）小亮房间计划照明2500小时，他买一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答 案，不必写出解答过程） l1 例24 小丽的家与学校的距离为d 0千米，她从家到学校先以匀速v1跑步前进，后以匀速v2 （v2 < v1）走完余下的路程，共用t 0小时. 下列能大致表示小丽距学校的距离y（千米） 与离家时间t（小时）之间关系的图像是（） 例25 如图，点A在第二象限内，点B 在x 轴负半轴上，若∠ABO = 45°， ∠AOB = 60°，OA = 6，求经过A、B两点的直线的解析式. 反比例函数 1. 反比例函数的解析式与它的图象上的点 例26（1）经过（2，-3）的双曲线是（） （A）y = －6 x （B）y = 6 x （C）y = 3 2x （D）y = －3 2x （2）如果双曲线y= x k经过点（2，-3），那么此双曲线也 经过点 （ ） （A ）（-3，-2） （B ）（-3，2） （C ）（2，3） （D ） （-2，-3） 例27 （1）近视眼镜的度数 y （度）与镜片焦距 x （米）成 反比例. 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼 镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式是 . （优选y = x k ） （2） 已知 y = ( 2 - m )x m - 4是反比例函数，则 m = , 此函数图象在 第 象限. （优选y = kx - 1 ） （3）已知反比例函数 x k y = 的图象经过 点（1，2），则函数 y = - kx 可确定为（ ）. （A ）y = - 2x （B ） y = x 21- （C ） x y 21= （D ）y = 2x （ 优选k = xy ） 2. 反比例函数中的数形结合（依形判数、由数思形） 例28 （1）反比例函数y=x 2的图像在________象限. （2）反比例函数y =k x （k ≠0）的图象经过点P ，如图所示， 根据图象可知，反比例函数的解析式为 。 中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A ° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A x (1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22 专题复习(十) 函数的实际应用题 1．(2016·合肥蜀山区二模)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭用水量划分为两个阶梯，一、二级阶梯用水的单价之比等于1∶2.如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x(m 3 )之间的函数关系．其中射线AB 表示第二阶梯时y 与x 之间的函数关系． (1)写出点B 的实际意义； (2)求射线AB 所在直线的表达式． 解：(1)图中B 点的实际意义表示当用水量为25 m 3 时，所交水费为70元． (2)设第一阶梯用水的单价为m 元/m 3 ，则第二阶梯用水单价为2m 元/m 3 ，设A(a ，30)， 则?????am ＝30，am ＋2m （25－a ）＝70.解得? ????a ＝15，m ＝2. ∴A(15，30)，B(25，70)． 设线段AB 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，则?????15k ＋b ＝30，25k ＋b ＝70.解得? ????k ＝4，b ＝－30. ∴线段AB 所在直线的表达式为y ＝4x －30. 2．(2016·芜湖南陵县一模)某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y ＝－2x ＋100. (1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式(利润＝售价－制造成本)； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)z ＝(x －18)y ＝(x －18)(－2x ＋100) ＝－2x 2 ＋136x －1 800. ∴z 与x 之间的函数解析式为z ＝－2x 2 ＋136x －1 800(18≤x≤50)． (2)由z ＝350，得350＝－2x 2 ＋136x －1 800， 解得x 1＝25，x 2＝43. 将z ＝－2x 2 ＋136x －1 800配方，得z ＝－2(x －34)2 ＋512(18≤x≤50)． ∴当x ＝34时，z 最大＝512. 答：销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 3．(2016·合肥十校联考)某企业生产一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x(套)与每套的售价y 1(万元)之间满足关系式y 1＝190—2x ，月产量x(套)与生产总成本y 2(万元)存在如图所示的函数关系． (1)直接写出y 2与x 之间的函数关系式； (2)求月产量x 的取值范围； (3)当月产量x(套)为多少时，这种产品的利润W(万元)最大？最大利润是多少？ 解：(1)y 2＝30x ＋500. (2)由题意，得190－2x≥120，解得x≤35. 又x ＞0，∴月产量x 的范围是0＜x≤35 . (3)由题意，得 W ＝(190－2x)x －(30x ＋500) ＝－2x 2 ＋160x －500 ＝－2(x －40)2 ＋2 700. 中考数学专题练习函数含 答案 The document was prepared on January 2, 2021 《函数》 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．在平面直角坐标系中，点A(－2，3)在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2．线段EF 是由线段PQ 平移得到的，点P （﹣1，4）的对应点为E （4，7），则点Q （﹣3，1）的对应点F 的坐标为( ) A ．（﹣8，﹣2） B ．（﹣2，﹣2） C ．（2，4） D ．（﹣6，﹣1） 3.函数1 x y x = +中的自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．1x ≠- C ．0x > D ．x ≥0且1x ≠- 4. 若点 在函数 的图象上，则 的值是（ ） B.－2 D. －1 5. 对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（ ） A ．函数值随自变量的增大而减小 B ．函数的图象不经过第三象限 C ．函数的图象与x 轴的交点坐标是（0，4） D ．函数的图象向下平移4个单位长度，可以得到2y x =-的图象 6. 对于函数x y 6 = ，下列说法错误的是 （ ） A. 图像分布在一、三象限 B. 图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大 D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小 7. 关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是（ ） A ．顶点坐标为(1，2-) B ．对称轴是直线1x = C ．开口方向向上 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 8. 设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数x k y = 图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是 ． 10.在平面直角坐标系中，与点M （-2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 . 11.一次函数62+=x y 的图象与x 的交点坐标是 . 12．反比函数k y x =的图象经过点（2，－1），则k 的值为 . 13．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 . 14.小明放学后步行回家，如果他离家的路程s (米)与步行时间(t 分钟)的函数图象如图，他步行回家的平均速度是 米/分钟． 15.如图，已知A 点是反比例函数(0)k y k x =≠的图象上一点，AB y ⊥轴于 B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为 . 函数图像与动点问题 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q 同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→Ｄ方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→Ｄ方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 2．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的有（） （1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元； （2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元； （3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5； ④OB=3，正确结论的序号是（） A．①②③B．①③C．①②④D．③④ 4．如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（） A．B．C．D． 5．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，直线y=﹣x 从原点出发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（） A．B．4 C．6 D．8 6．函数y=的图象为（） A．B．C．D． 专题二：函数图像 1、（2013年潍坊市）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（）. 2、（2013成都市）在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是（） =-x+3 B. =2x D. 3、（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米； ②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升； ③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A 停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S；当点P与点A重合时，△ABP y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 4、(2013年临沂)如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C 两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t(s),△OE 的面积为s()，则s()与t(s)的函数关系可用图像表示为（） S(S(1616 88t(s84Ot(s O84B）（（A） S(S(161688 t(s t(s O4884O）C（． 5、（2013四川南充，9，3分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B 出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时；；③直线NH的解析式为y=－t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。其中正确的结论个数为（） D. 1 A. 4 B. 3 C. 2 C 6、(2013年黄石)如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为，高度为，则关于的函数图像大致是（） 7、（2013?自贡）如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（） 函数 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P 、Q 同时从 顶点A 出发，点P 沿A→B→C→D 方向以2厘米/秒的速度前进，点Q 沿A→D 方向以1厘米/秒的速度前进，当Q 到达点D 时，两个点随之停止运动．设运动时间为x 秒，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为y （cm 2），则y 与x 的函数图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，某电信公司提供了A ，B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ） （1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元； （2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元； （3）若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：d=5﹣x （0≤x ≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3，正确结论的序号是（ ） A ．①②③ B ．①③ C ．①②④ D ．③④ 4．如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A 的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h 与铁块被提起的时间t 之间的函数关系的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，直线y=﹣x 从原点出发沿x 轴正方向平移，被平行四边形ABCD 截得的线段EF 的长度l 与平移的距离m 的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（ ） A ． B ．4 C ．6 D ．8 6．函数y=的图象为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG ，设 中考数学函数专题试卷（一） 一、单选题（共15题；共30分） 1.下列各点中，在第二象限的点是（） A. （2，3） B. （2，－3） C. （－2，－3） D. （－2，3） 2.对于函数y=- x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（） A. 是一条直线 B. 过点（，-k） C. 经过一、三象限或二、四象限 D. y随着x增大而减小 3.抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（） A. （2，1） B. （2，﹣1） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，1） 4.圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（） A. S是R的正比例函数 B. S是R的一次函数 C. S是R的二次函数 D. 以上答案都不对 5.下列说法正确的是( ) A. 常量是指永远不变的量 B. 具体的数一定是常量 C. 字母一定表示变量 D. 球的体积公式V= πr3，变量是π，r 6.如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（）． A. B. C. D. 7.在一次函数y=-2x+1的图象上的点是（） A. B. C. D. 8.已知抛物线y=x2﹣x﹣3经过点A（2，y1）、B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（） A. y1＞y2 B. y1=y2 C. y1＜y2 D. 无法确定 9.（2017?枣庄）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y= （x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（） A. ﹣12 B. ﹣27 C. ﹣32 D. ﹣36 10.如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（） A. B. 3 C. D. 5 11.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（） A. B. C. D. 12.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（） A. h=﹣t2 B. y=﹣t2+t C. h=﹣t2+t+1 D. h=﹣t2+2t+1 13.如图，过点A0 (2，0)作直线l：y＝x垂直，垂直为点A1，过点A1作A1 A2⊥x轴，垂直为点 A2，过点A2作A2 A3⊥l，垂直为点A3，……，这样依次下去，得到一组线段：A0 A1，A1 A2，A2 A3，……，则线段A2016 A2017的长为（） 一、填空和选择 1.（2009，达州）在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为ρ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用][α ρ,表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为（1， 1），则其极坐标为[]?45,2.若点Q 的极坐标为[]?60,4，则点Q 的坐标为（ ） A.()32,2 B.()32,2- C.（23,2） D.（2，2） 2、在坐标平面内，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若点P （2a +1，4a -15）是第四象限内的整点，则整数a = . 3.已知点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），则线段AB 的中点坐标为??? ??++2,22121y y x x . 4、在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ） A ．()43， B ．()34， C ．()12--， D ．()21--， 5. （2009仙桃）如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O (如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ， n )，那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（ ）． A ．(m ＋2，n ＋1) B ．(m －2，n －1) C ．(m －2，n ＋1) D ．(m ＋2，n －1) 7、正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90°后，B 点的坐标为（ ） A ．（4，0） B ．（4，1） C ．（-2，2） D ．（3，1） 8.将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ’，则点A ’的坐标是（ ） A ．)2,32( B ．（4，-2） C ．)2,32(- D ．)32,2(- 9.如图，相交于点（5，5）的互相垂直的直线l 1和l 2与x 轴和y 轴相交于点A 和点B ，则四边形OAPB 的面积为 . 10、如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ， PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：x d 5 3 5- =(0≤x ≤5)，则结论： ① AF = 2 ② BF =5 ③ OA =5 ④ OB =3中，正确结论的序号是 . 11. （09山东潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐 标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ．答 12、（2010西城二模）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） A. 222+ B. 52 C. 62 D. 6 O 4 8 8 16 t(s) S ( （A ） O 4 8 8 16 t(s) S (（B ） O 4 8 8 16 t(s) S ( （C ） O 4 8 8 16 t(s) S (（D ） 专题二：函数图像 1、（2013年潍坊市）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（ ）. 2、（2013成都市）在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是（ ） A.y=-x+3 B.5y x = C.y=2x D.2 y 27x x =-+- 3、（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x 分，离出发地的距离为y 千米； ②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升； ③矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、 边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y=S △ABP ；当点P 与点A 重合时，y=0． 其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 4、(2013年临沂)如图，正方形ABCD 中，AB=8cm,对角线AC,BD 相交于 点O,点E,F 分别从B,C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC,CD 运动， 到点C,D 时停止运动，设运动时间为t(s),△OE 的面积为s(2 cm )，则 s(2cm )与t(s)的函数关系可用图像表示为（ ） 5、（2013四川南充，9，3分） 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从2019年中考数学专题复习 函数与几何综合 含解析
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