初三——二次函数归类复习一、二次函数与面积
面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高②分割法/拼凑法
1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？
y
y
A E B
O
x A O B x
D
C
图一图二
y
A O
P
B x
图三
y M
y
C
D E
N y
D
C
B
O x O A x 图四图五O E x 图六
2、抛物线y x22x 3 与 x 轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，D为抛物线的顶点，连接 BD ，CD ，
（1）求四边形 BOCD 的面积 .
（2）求△BCD 的面积 .（提示：本题中的三角形没有横向或
纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在
图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）
1 x2x 4与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，
3、已知抛物线y
2
（1）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴；
（2）求四边形 ABMC 的面积 .
4、已二次函数y x 22x 3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；
（2）求 A 、B、 C、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；
（3 ）在抛物线上（除点 C 外），是否存在点N ，使得S NAB S ABC,
y
若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
A B
O x
C
P
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得S NAB S ABC，若存在直接写出N 的坐标；若不存
y
在，请说明理由.
A B
O x
C
变式一图
变式二：在双曲线 y 3
N ，使得S NAB S ABC，若存在直接写出N 的坐标；若不存上是否存在点
x
在，请说明理由 .
y
A B
O x
C
变式二图
5、抛物线y x 22x 3 与 x 轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛
物线上一动点，点 E运动到什么位置时，△ EBC的面积最大 ,并求出此时点 E的坐标和△ EBC的最大面
积．
【模拟题训练】
1．（ 2015? 三亚三模）如图，直线y= ﹣x+2与x轴交于点B，与 y 轴交于点C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A （﹣ 1， 0）．
（1）求 B、 C 两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3 ）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点 D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4 ）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标．
二、二次函数与相似
【相似知识梳理】
二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐
标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。
其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。
若是非直角三角形有如图1-2 的几种基本型。
利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。
【例题点拨】
【例 1 】如图 1-3 ，二次函数y ax2bx 2的图像与 x 轴相交于点A、B，与 y 轴相交于点C，经过
点 A 的直线y kx 2 与y轴相交于点D，与直线BC垂直于点E，已知AB=3，求这个二次函数的解
y
析式。
C
E
O A
x B
D
图1-3
【例 2 】如图 1-4 ，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为 C 4, 3 ，且在x轴上截得的线段AB 的长为 6.
（1）求二次函数解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点 D ，使得以 A 、 B、 D 三点为顶点的三角形与△ ABC 相似？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由。
D1Y
D2
H
E O A
B X
C
【例 3 】如图 1-6 ，在平面直角坐标系中，二次函数y 1 x 2bx c-的图像经过点A（4,0），C（0,2）。
4
（1 ）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（ -2,0 ）是否在该函数的图像上；
（2 ）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D 、 E 为顶点的三角形与△ABC 相似，试求点 E 的坐标。
y
C
1A x
O
图1-6
【模拟题训练】
2．（ 2015? 崇明县一模）如图，已知抛物线 y= x 2
+bx+c 经过直线 y= ﹣ +1 与坐标轴的两个交点
A 、
B ，点
C 为抛物线上的一点，且∠ ABC=90 °．
（ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）求点 C 坐标；
（3 ）直线 y= ﹣ x+1 上是否存在点 P ，使得△ BCP 与△ OAB 相似？若存在，请
直接写出 P 点的坐标；
若不存在，请说明理由．
三、二次函数与垂直
【方法总结】
①应用勾股定理证明或利用垂直
②三垂直模型
【例 1 】：如图，直线 l 过等腰直角三角形ABC 顶点
B，A 、C 两点到直线l 的距离分别是 2 和 3 ，则 AB
的长是（）
【例 2 】：在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2 +bx+c
与x 轴的两个交点分别为 A （ -3 ， 0）、 B（1 ，0 ），
过顶点 C 作 CH ⊥x 轴于点 H.
（1）直接填写： a=，b=，顶点 C 的坐标为；
（2）在 y 轴上是否存在点 D ，使得△ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；
【例 3 】、（ 2011山东烟台）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过
y
C O A x
B
(第26题图 )
七、二次函数与图形转换
常见图像变换：①平移（上加下减，左加右减）②轴对称（折叠）
【模拟题训练】
8 ．（ 2014? 西城区一模）抛物线 y=x 2
﹣ kx ﹣ 3 与 x 轴交于点 A ，B，与 y 轴交于点C，其中
点 B 的坐标为（ 1+k ，
0 ）．
（ 1）求抛物线对应的函数表达式；
（ 2）将（ 1 ）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G，求抛物线G 所对应的函数表达式；
（ 3）将线段BC 平移得到线段B′ C′B（的对应点为B′，C 的对应点为C′，）使其经过（ 2 ）中所得抛物线G 的
顶点 M ，且与抛物线G 另有一个交点N，求点 B′到直线OC′的距离 h 的取值范围．
.
模拟训练题参考答案
1考点：二次函数综合题．
分析：（1
）分别令解析式 y= ﹣x+2 中 x=0 和 y=0 ，求出点 B、点 C 的坐标；
（ 2）设二次函数的解析式为y=ax
2
+bx+c ，将点 A 、 B、 C 的坐标代入解析式，求出 a 、 b 、 c 的值，进而求得解析式；
（ 3）由（ 2 ）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD 的值，再以点 C 为圆心， CD 为半径作弧交对称轴于 P1，以点 D 为圆心 CD 为半径作圆交对称轴于点P2， P3，作 CE 垂直于对称轴与点 E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（ 4）设出 E 点的坐标为（ a，﹣ a+2 ），就可以表示出 F 的坐标，由四边形 CDBF 的面积
=S △BCD+S △CEF+S △BEF求出 S 与 a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答： 解：（1 ）令 x=0 ，可得 y=2 ，
令 y=0 ，可得 x=4 ，
即点 B （ 4， 0）， C （0 ，2）；
（ 2 ）设二次函数的解析式为 y=ax 2
+bx+c ，
将点 A 、B 、 C 的坐标代入解析式得，
，
解得：
，
即该二次函数的关系式为
y= ﹣ x 2
+ x+2 ；
（ 3 ）∵ y= ﹣x 2
+ x+2 ，
∴ y= ﹣ （ x ﹣ ） 2
+ ，
∴抛物线的对称轴是 x= ．
∴ OD= ．
∵ C （0 ，2）， ∴ OC=2 ．
在 Rt △ OCD 中，由勾股定理，得
CD= ．
∵△ CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，
∴ CP 1=DP 2 =DP 3 =CD ．
如图 1 所示，作 CH ⊥x 对称轴于 H ，
∴ HP 1=HD=2 ，
∴ DP 1=4 ．
∴P 1（ ， 4），P 2（ ， ）， P 3（ ，﹣
）；
（ 4 ）当 y=0 时， 0= ﹣ x 2
+ x+2
∴x 1= ﹣ 1 ，x 2=4 ，
∴ B （4， 0）．
∵直线 BC 的解析式为： y= ﹣ x+2 ．
如图 2 ，过点 C 作 CM ⊥ EF 于 M ，设 E （ a ，﹣
a+2 ）， F （ a ，﹣ a 2
+ a+2 ），
∴ EF= ﹣ a 2
+ a+2 ﹣（﹣
a+2 ）= ﹣ a 2 +2a （ 0 ≤ x ≤ ．4）
∵S 四边形
CDBF =S
+S
+S = BD?OC+ EF?CM+ EF?BN ，
△ BCD
△ CEF △ BEF
= + a （﹣ a 2
+2a ） + （ 4 ﹣a ）（﹣
a 2
+2a ），
= ﹣a 2
+4a+ （ 0 ≤ x ≤ ．4）
= ﹣（ a ﹣ 2 ） 2
+
∴ a=2 时， S 四边形 CDBF 的面积最大 =
，
∴ E （2 ，1）．
点评： 本题考查了二次函数的综合运用，
涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用， 勾股定理的运用， 等
腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
2 ．
考点 ： 二次函数综合题．
分析： （ 1 ）根据直线的解析式求得 A 、 B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（ 2 ）作 CD ⊥x 轴于 D ，根据题意求得∠ OAB= ∠ CBD ，然后求得△ AOB ∽△ BDC ，根据相似三角形对应
边成比例求得 CD=2BD ，从而设 BD=m ，则 C （ 2+m ， 2m ），代入抛物线的解析式即可求得； （ 3 ）分两种情况分别讨论即可求得．
解答： 解：（1 ）把 x=0
代入 y= ﹣ x+1 得， y=1 ，
∴ A （0， 1），
把 y=0 代入 y= ﹣ x+1 得， x=2 ，
∴ B （2， 0），
把 A （ 0， 1 ）， B （ 2， 0）代入 y= x 2
+bx+c 得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式 y= x 2
﹣ x+1 ，
（ 2 ）如图，作 CD ⊥x 轴于 D ， ∵∠ ABC=90 °，
∴∠ ABO+ ∠ CBD=90 °， ∴∠ OAB= ∠ CBD ，
∵∠ AOB= ∠ BDC ，
∴△ AOB ∽△ BDC ，
∴ = =2，
∴ CD=2BD ， 设 BD=m ，
∴ C （2+m ， 2m ），
代入 y=
x 2﹣ x+1 得， 2m= （ m+2 ） 2 ﹣
（m+2 ） +1 ，解得， m=2 或
m=0 （舍去），
∴ C （4 ，4）；
（ 3 ）∵ OA=1 ，OB=2 ，
.
∴AB=，
∵ B（2，0），C（4，4），
∴BC=2 ，
①当△AOB∽△PBC时，则=
∴=，解得，PB=，
作 PE⊥x轴于 E，则△AOB∽△PEB ，
∴=，即=，
∴PE=1 ，
∴P的纵坐标为±1，代y=入﹣x+1 得， x=0或 x=4 ，
∴ P（0， 1）或（ 4，﹣ 1）；
②当△AOB∽△ CBP时，则=，
即=，解得， PB=4，
作 PE⊥x轴于 E，则△AOB∽△ PEB ，
∴=，即=，
∴PE=4 ，
∴P的纵坐标为± 4 ，代y=入﹣x+1得，x=﹣6或x=10，
∴ P（﹣6 ，4 ）或（ 10 ，﹣ 4）；
综上， P 的坐标为（ 0， 1）或（ 4，﹣ 1）或（﹣ 6， 4）或（ 10 ，﹣ 4）．
点评：本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解题的关键．
3．
考点：二次函数综合题．
分析： （1 ）分类讨论：△ BOC ∽△ BOA ，△ BOC ∽△ AOB ，根据相似三角形的性质，可得答案；
（ 2 ）根据全等三角形的性质，可得
C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（ 3 ）根据相似三角形的性质， 可得关于 a 的方程， 根据解方程， 可得 a 的值可得 p 点坐标， 分类讨论：
当点 P 的坐标为（
， 1 ）时，根据正弦函数据，可得∠
的度COP 数，根据等腰三角形得到性质，可
得答案； 当点 P 的坐标为（﹣
， 1 ）时，根据正弦函数据，可得∠
的度AOP 数，根据三角形外角的
性质，可得答案．
解答： 解：（1 ）点 C 的坐标为（ m ， 0 ）或（ 4m ， 0 ）．或（﹣ 4m ， 0 ）；
（ 2 ）当△ BOC 与△
AOB 全等时，点 C 的坐标为（ m ，0 ），
二次函数 y= ﹣ x 2
+bx+c 的图象经过 A 、B 、 C 三点，
，解得
．
二次函数解析式为
y= ﹣ x 2
+4 ，点 C 的坐标为（ 2 ，0 ）；
（ 3 ）作 PH ⊥ AC 于 H ，设点 P 的坐标为（ a ，﹣ a 2
+4 ），
∵∠ AHP= ∠ PHC=90 °，∠
APH= ∠ PCH=90 °﹣∠ CPH ，
∴△ APH ∽△ PCH ，∴= ，
即 PH 2
=AH?CH ，
（﹣ a 2 +4 ） 2
= （a+2 ）（ 2﹣ a ）．
解得 a= ，或 a= ﹣ ，即 P （ ，1 ）或（﹣ ，1），
如图：
当点 P 1 的坐标为（
， 1）时， OP 1=2=OC ， sin ∠P 1OE= = ∴∠ COP=30 °，
∴∠ ACP=
=75 °
当点 P 的坐标为（﹣，1）时，sin∠P2OF==，
∠P2OF=30°．
由三角形外角的性质，得∠P 2 OF=2∠ACP，即
∠ACP=15 °．
点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等
腰三角形的性质，三角形外角的性质．
4 ．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠ MAO=∠ BMO=∠ MBO=45 °从而得出△ MAB是等腰直角三角形．
（ 2 ）分别过 C 点， D 点作 y 轴的平行线，交x 轴于 E、F，过 M 点作 x 轴的平行线交EC 于 G，交 DF
于 H ，设 D（ m ，m 2
﹣1 ）， C（n ，n
2
﹣ 1 ），通过 EG∥ DH，得出=，从而求得m 、 n 的关系，根
据 m 、n 的关系，得出△CGM∽△MHD，利用对应角相等得出∠CMG+∠ DMH=90 °，即可求得结论．解答：解：（1）△MAB是等腰直角三角形．理由如下：
由抛物线的解析式为：y=x 2
﹣1 可知 A （﹣ 1 ， 0 ），B（ 1 ， 0 ），
∴ OA=OB=OM=1 ，
∴∠AMO=∠ MAO=∠ BMO=∠ MBO=45 °，∴∠AMB=∠ AMO+∠ BMO=90 °，AM=BM，∴△MAB是等腰直角三角形．
（ 2 ） MC⊥ MD．理由如下：