一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）
1．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转的速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤附近的物体随星球做圆周运动,由此能得到半径为R,密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ，下列表达式正确的是：（ ）
A ．2T =
B ．2T =
C ．T =
D ．T =
【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
AB.当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即
2224m GMm R
R T
π= 解得：
2T =① 故B 正确，A 错误； CD. 星球的质量
34
3
M ρV πρR ==
代入①式可得：
T =
故C 正确，D 错误．
2．2020年5月24日，中国航天科技集团发文表示，我国正按计划推进火星探测工程，瞄准今年7月将火星探测器发射升空。假设探测器贴近火星地面做匀速圆周运动时，绕行周期为T ，已知火星半径为R ，万有引力常量为G ，由此可以估算（ ） A ．火星质量 B ．探测器质量 C ．火星第一宇宙速度 D ．火星平均密度
【答案】ACD 【解析】 【分析】
本题考查万有引力与航天，根据万有引力提供向心力进行分析。 【详解】
A ．由万有引力提供向心力
2
224Mm G m R
R T
π= 可求出火星的质量
23
2
4R M GT
π= 故A 正确；
B ．只能求出中心天体的质量，不能求出探测器的质量，故B 错误；
C ．由万有引力提供向心力，贴着火星表面运行的环绕速度即火星的第一宇宙速度，即有
22Mm v G m R R
= 求得
2GM R
v R T
π=
=
故C 正确；
D ．火星的平均密度为
23
2234343
R M GT V GT R ππρπ=== 故D 正确。 故选ACD 。
3．如图为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则（ ）
A ．A 的质量一定大于
B 的质量 B ．A 的加速度一定大于B 的加速度
C ．L 一定时，M 越小，T 越大
D ．L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，它们的向心力减小 【答案】BCD 【解析】 【分析】 【详解】
A ．双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故有
22A A B
B m r m r ωω＝
因为A B r r >，所以A B m m <，选项A 错误；
B ．根据2a r ω=，因为A B r r >，所以A B a a >，选项B 正确；
C ．根据牛顿第二定律，有
2
22()A B A A
m m G
m r L T
π= 2
22()A B B B
m m G
m r L T
π= 其中
A B r r L +=
联立解得
33
2 2 ()A B L L T G m m GM
ππ==+
L 一定，M 越小，T 越大，选项C 正确； D ．双星的向心力由它们之间的万有引力提供，有
2
=A B
m m F G
L 向 A 的质量m A 小于B 的质量m B ，L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，根据数学知识可知，它们的质量乘积减小，所以它们的向心力减小，选项D 正确。 故选BCD 。
4．三颗人造卫星A 、B 、C 都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A 、C 为地球同步卫星，某时刻A 、B 相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T 1，B 的运行周期为T 2，则下列说法正确的是（ ）
A ．C 加速可追上同一轨道上的A
B ．经过时间
12
122()
T T T T -，A 、B 相距最远
C ．A 、C 向心加速度大小相等，且小于B 的向心加速度
D ．在相同时间内，A 与地心连线扫过的面积大于B 与地心连线扫过的面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】
【详解】
A ．卫星C 加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A 点，故A 错误；
B ．卫星A 、B 由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为π，所以可得
B A t t ωωπ-=
其中
B B
2T πω=
，A A 2T πω=
则经历的时间
12
122()
TT t T T =
-
故B 正确；
C ．根据万有引力提供向心力，可得向心加速度
2
GM
a r =
可知AC 的向心加速度大小相等，且小于B 的向心加速度，故C 正确； D ．绕地球运动的卫星与地心的连线在相同时间t 内扫过的面积
1
2
S vt r =?
由万有引力提供向心力，可知
2
2GMm v m r r
= 解得
12S vt r =?=可知，在相同时间内，A 与地心连线扫过的面积大于B 与地心连线扫过的面积，故D 正确。 故选BCD 。
5．如图所示，宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱与人的总质量为m ，月球质量为M ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，轨道舱到月球中心的距离为r ，不计月球自转的影响。卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成。已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r 时，引力势能为
p GMm
E r
=-
，则（ ）
A ．返回舱返回时，在月球表面的最大发射速度为v gR =
B ．返回舱在返回过程中克服引力做的功是(1)R W mgR r
=-
C ．返回舱与轨道舱对接时应具有的动能为2
2k mgR E r
=
D ．宇航员乘坐的返回舱至少需要获得(1)R
E mgR r
=-能量才能返回轨道舱
【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
A ．返回舱在月球表面飞行时，重力充当向心力
2
v mg m R
＝
解得
v gR =已知轨道舱离月球表面具有一定的高度，故返回舱要想返回轨道舱，在月球表面的发射速gR ，故A 错误；
B ．返回舱在月球表面时，具有的引力势能为GMm
R
-
，在轨道舱位置具有的引力势能为GMm
r
-
，根据功能关系可知，引力做功引起引力势能的变化，结合黄金代换式可知 0
02
GMm m g R
= GM =gR 2
返回舱在返回过程中克服引力做的功是
(1)R
W mgR r
=-
故B 正确；
C ．返回舱与轨道舱对接时，具有相同的速度，根据万有引力提供向心力可知
2
2 GMm v m r r
＝ 解得动能
2
22212k GMm mgR E mv r r
==
＝ 故C 正确；
D ．返回舱返回轨道舱，根据功能关系可知，发动机做功，增加了引力势能和动能
22
(1)22R mgR mgR mgR mgR r r r
-+=-
即宇航员乘坐的返回舱至少需要获得2
2mgR mgR r
-的能量才能返回轨道舱，故D 错误。
故选BC 。
6．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双是系统设某双星系统A 、B 绕其连线上的某固定点O 点做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L ，运动周期为T ，已知万有引力常量为G ，若AO OB >，则（ ）
A ．星球A 的线速度一定大于星球
B 的线速度 B ．星球A 所受向心力大于星球B 所受向心力
C ．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期增大
D ．两星球的总质量等于23
2
4L GT π
【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】
A ．双星转动的角速度相等，根据v R ω=知，由于AO O
B >，所以星球A 的线速度一定大于星球B 的线速度，故A 正确；
B ．双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知向心力大小相等，故B 错误；
C ．双星AB 之间的万有引力提供向心力，有
2
A B A A 2m m G
m R L ω=，2A B B B 2
m m G m m L
ω= 其中
2T
π
ω=
，A B L R R =+ 联立解得
()2233
A B A B 2244ππL m m R R GT GT
+=+=
解得()
23
A B
4πL
T
G m m
=
+
，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期也减小，故C错误；
D．根据C选项计算可得
23
A B2
4L
m m
GT
π
+=
故D正确。
故选AD。
7．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量为m的星球位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星球的距离均为L，并绕其中心O做匀速圆周运动．忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是 ()
A．每颗星球做圆周运动的半径都等于L
B．每颗星球做圆周运动的加速度与星球的质量无关
C．每颗星球做圆周运动的线速度
Gm
v
L
=
D．每颗星球做圆周运动的周期为2
L
T L
Gm
π
=
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
A．三颗星球均绕中心做圆周运动，由几何关系可知
r＝2
cos30
L
?
3
L
A错误；
B．任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供，根据平行四边形定则得
F＝2
2
2
Gm
L
cos 30°＝ma
解得
a ＝
3Gm
B 错误； CD ．由
F ＝222Gm L cos 30°＝m 2v r ＝m 2
24T
πr
得
v ＝
Gm
L T ＝2πL
3L Gm
C 正确，
D 错误。 故选C 。
8．2020年6月23日，我国北斗卫星导航系统最后一颗组网卫星成功发射，这是一颗同步卫星。发射此类卫星时，通常先将卫星发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面高h 1，远地点N 距地面高h 2，进入该轨道正常运行时，其周期为T 1，机械能为E 1，通过M 、N 两点时的速率分别是v 1、v 2，加速度大小分别是a 1、a 2。当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面高h 2的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的运动周期为T 2，速率为v 3，加速度大小为a 3，机械能为E 2。下列结论正确的是（ ） ①v 1＞v 3 ②E 2＞E 1 ③a 2＞a 3 ④T 1＞T 2
A ．①②③
B ．②③
C ．①②
D ．③④
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
①根据万有引力提供向心力有
22Mm v G m r r
= 解得卫星的线速度
v =
可知半径越大，线速度越小，所以v 1＞v 3，①正确；
②飞船要从图中椭圆轨道变轨到圆轨道，必须在N 点加速，其机械能增大，则E 2＞E 1，②正确；
③根据万有引力提供向心力有
2
Mm
G
ma r = 解得
2
GM
a r =
可知a 2=a 3，③错误；
④因图中椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，根据开普勒第三定律3
2a k T
=可知T 1＜T 2，
④错误，故选C 。
9．一球状行星的自转与地球自转的运动情况相似，此行星的一昼夜为a 秒，在星球上的不同位置用弹簧秤测量同一物体的重力，在此星球赤道上称得的重力是在北极处的b 倍(b 小于1)，万有引力常量为G ，则此行星的平均密度为（ ）
A ．()
231Ga b π-
B ．23Ga b
π
C ．()
2301Ga b π-
D ．
230Ga b
π
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 在北极时，可知
02
GMm
mg R = 赤道上的物体随地球做匀速圆周运动所需向心力
2
2(
)F m R a
π=向 因此在赤道上的重力
0mg F mg -=向
由题可知
g
b g = 星球的密度
3
=
4
3
M
R
ρ
π
整理得
()
2
3
1
Ga b
ρ
π
=
-
A正确，BCD错误。
故选A。
10．卫星围绕某行星做匀速圆周运动的轨道半径的三次方（r3）与周期的平方（T2）之间的关系如图所示。若该行星的半径R0和卫星在该行星表面运行的周期T0已知，引力常量为G，则下列物理量中不能求出的是（）
A．该卫星的线速度B．该卫星的动能
C．该行星的平均密度D．该行星表面的重力加速度
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
A．卫星在该行星表面运行，则卫星的线速度
2R
v
T
π
＝
选项A可求，不符合题意
B．卫星的动能
2
1
2
k
E mv
=
因不知卫星的质量，故无法求得，选项B符合题意；
C．在星球表面，根据万有引力提供向心力得
2
22
00
4
Mm
G mR
R T
π
＝
解得
23
2
4R
M
GT
π
=
则行星的密度
23
00
343
M M V GT R πρπ=
=
=
选项C 可求，不符合题意。
D ．在星球表面，根据万有引力与重力近似相等得
2
0Mm
G
mg R ＝ 解得
20
22
004R M g G R T π==
选项D 可求，不符合题意。 故选B 。
11．电影《流浪地球》讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使自转角速度大小为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星（比邻星）。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N 台“喷气”发动机，如下图所示（N 较大，图中只画出了4个）。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F 的推力，该推力可阻碍地球的自转。已知描述地球转动的动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F =ma 具有相似性，为
M I β=，其中M 为外力的总力矩，即外力与对应力臂乘积的总和，其值为NFR ；I 为地
球相对地轴的转动惯量；β为单位时间内地球的角速度的改变量。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法中正确的是（ ）
A ．在M I β=与F =ma 的类比中，与质量m 对应的物理量是转动惯量I ，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度
B ．β的单位为rad/s
C ．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小
D ．地球停止自转后，赤道附近比两极点附近的重力加速度大 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
A ．在M=Iβ与F =ma 的类比中，与转动惯量I 对应的物理量是m ，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度，A 正确；
B ．根据
NFR I β=
得
NFR I
β=
代入单位运算可知其单位为2s -，故B 错误；
C ．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大，故C 错误；
D ．地球停止自转后，赤道附近和两极点附近的重力加速度大小相等，故D 错误。 故选A 。
12．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。若AO >OB ，则（ ）
A ．星球A 的质量一定大于
B 的质量 B ．星球A 的线速度一定小于B 的线速度
C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A ．根据万有引力提供向心力
221122m r m r ωω=
因为12r r >，所以有
12m m <
即A 的质量一定小于B 的质量，选项A 错误；
B ．双星系统角速度相等，因为12r r >，根据v r ω=知星球A 的线速度一定大于B 的线速度，选项B 错误；
CD ．设两星体间距为L ，根据万有引力提供向心力公式得
22
12
12
222
44
m m
G mr mr
L T T
ππ
==
解得周期为
()
3
12
2
L
T
G m m
π
=
+
由此可知双星的距离一定，质量越大周期越小，选项C错误；
总质量一定，双星之间的距离就越大，转动周期越大，选项D正确。
故选D。
13．太空中存在一些离其他恒星很远的、由两颗星体组成的双星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。如果将某双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。由于双星间的距离减小，则（）
A．两星的运动角速度均逐渐减小B．两星的运动周期均逐渐减小
C．两星的向心加速度均逐渐减小D．两星的运动线速度均逐渐减小
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
AB．设两星的质量分别为1
M和
2
M，相距L，
1
M和
2
M的角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律得
对1
M
2
12
11
2
M M
G M r
L
ω
=
对2
M
2
12
22
2
M M
G M r
L
ω
=
因为
12
L r r
=+
解得
2
1
12
M
r L
M M
=
+
1
2
12
M
r L
M M
=
+
22T π
ω==双星的总质量不变，距离减小，周期减小，角速度增大，A 错误，B 正确； C ．根据
12
11222
M M G
M a M a L
== 知，L 变小，则两星的向心加速度均增大，故C 错误； D ．由于
21112M v r L M M M ω==
=+
12212M v r L M M M ω==
=+
可见，距离减小线速度变大．故D 错误． 故选B 。
14．靠近地面运行的近地卫星的加速度大小为a 1，地球同步轨道上的卫星的加速度大小为a 2，赤道上随地球一同运转（相对地面静止）的物体的加速度大小为a 3，则（ ） A ．a 1=a 3＞a 2 B ．a 1＞a 2＞a 3
C ．a 1＞a 3＞a 2
D ．a 3＞a 2＞a 1
【答案】B 【解析】 【分析】
题中涉及三个物体：地球赤道上有一随地球的自转而做圆周运动物体3、绕地球表面附近做圆周运动的近地卫星1、地球同步卫星2；物体3与卫星1转动半径相同，物体3与同步卫星2转动周期相同，从而即可求解． 【详解】
地球上的物体3自转和同步卫星2的周期相等为24h ，则角速度相等，即ω2=ω3，而加速度由a =r ω2，得a 2＞a 3；同步卫星2和近地卫星1都靠万有引力提供向心力而公转，根据
2GMm ma r =，得2
GM
a r =，知轨道半径越大，角速度越小，向心加速度越小，则a 1＞a 2，综上B 正确；故选B ． 【点睛】
本题关键要将赤道上自转物体3、地球同步卫星2、近地卫星1分为三组进行分析比较，最后再综合；一定不能将三个物体当同一种模型分析，否则会使问题复杂化．
15．北京时间2019年4月10日，人类首次利用虚拟射电望远镜，在紧邻巨椭圆星系
M87的中心成功捕获世界首张黑洞图像。科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速倍）超过光速时，该天体就是黑洞。已知某天体质量为M ，万
有引力常量为G ，光速为c ，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（ ）
A ．2
2GM c
B ．22c GM
C D ．
2
GM
c 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
地球的第一宇宙速度为v 1，根据万有引力提供向心力，有
212v Mm
G m
R R
= 解得
21GM v R =?
由题得第二宇宙速度
21v
又由题星体成为黑洞的条件为2v c >，即
c 解得
2
2GM
R c <
选项A 正确，BCD 错误。 故选A 。
高考物理万有引力与航天专题训练答案 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -
（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R =
一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难） 1．2020年也是我国首颗人造卫星“东方红一号”成功发射50周年。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km ，远地点高度约为2060km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为1a ，线速度1v ，东方红二号的加速度为2a ，线速度2v ，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为3a ，线速度3v ，则下列大小关系正确的是（ ） A ．213a a a >> B ．123a a a >> C ．123v v v >> D ．321v v v >> 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 AB ．对于两颗卫星公转，根据牛顿第二定律有 2 Mm G ma r = 解得加速度为2GM a r = ，而东方红二号的轨道半径更大，则12a a >；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律 2a r ω= 且东方红二号卫星半径大，可得23a a >，综合可得123a a a >>，故A 错误，B 正确； CD ．假设东方红一号卫星过近地点做匀速圆周运动的线速度为1v '，需要点火加速变为椭圆轨道，则11 v v '>；根据万有引力提供向心力有 2 2Mm v G m r r = 得卫星的线速度v = 可知，东方红二号的轨道半径大，则1 2v v '>；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律有 v r ω= 且东方红二号卫星半径大，可得23v v >，综上可得11 23v v v v '>>>，故C 正确，D 错误。 故选BC 。 2．在地球上观测，太阳与地内行星（金星、水星）可视为质点，它们与眼睛连线的夹角有最大值时叫大距。地内行星在太阳东边时为东大距，在太阳西边时为西大距，如图所示。已知水星到太阳的平均距离约为0.4天文单位（1天文单位约为太阳与地球间的平均距
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=
高中物理万有引力与航天专题训练答案及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求： (1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期． 【答案】（1） R=m M M +L, r=m M m +L,（2）()3L G M m + 【解析】 （1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+ 两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：22 22244mM G mR Mr L T T ππ== 可得 R M r m ＝ ，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m = +,m r L M m =+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM M G m R m L L T T M m ππ==?+ 则：()()233 42L L T M m G G m M π= =++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径． 2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g 月； (2)月球的质量M ； (3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T .
一、第七章万有引力与宇宙航行易错题培优（难） 1．2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】 本题考查人造地球卫星的变轨问题以及圆周运动各量随半径的变化关 系． 2 2 v Mm m G r r =，得 GM v r =，在人造卫星自然运行的轨道上，线速度随着距地心 的距离减小而增大，所以远地点的线速度比近地点的线速度小，v A 万有引力与航天重点规律方法总结 一.三种模型 1．匀速圆周运动模型： 无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。 3.“天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二.两种学说 1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律 1.开普勒定律： 第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆 的一个焦点上 第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫 过相同的面积。 第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公 转周期T 的二次方的比值都相等。 表达式为：)4(2 23 π GM K K T R == k 只与中心天体质量有关的 定值与行星无关 2.牛顿万有引力定律 1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律 ⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式: r F Mm G 2 =万 ⑶.适用条件: a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离） b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附 近的物体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在 空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ： 备战2021新高考物理-重点专题-万有引力与航天（三） 一、单选题 1.三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，运行方向如图所示.已知 ，则关于三颗卫星，下列说法错误的是（） A.卫星运行线速度关系为 B.卫星轨道半径与运行周期关系为 C.已知万有引力常量G，现测得卫星A的运行周期T A和轨道半径R A，可求地球的平均密度 D.为使A 与B同向对接，可对A适当加速 2.如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是() A.B，C的角速度相等，且小于A的角速度 B.B，C的线速度大小相等，且大于A的线速度 C.B，C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度 D.B，C的周期相等，且小于A的周期 3.2020年4月24日，国家航天局宣布，我国行星探测任务命名为“天问”，首次火星探测任务命名为“天问一号”。已知万有引力常量，为计算火星的质量，需要测量的数据是（） A.火星表面的重力加速度和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 B.火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径和火星的公转周期 C.某卫星绕火星做匀速圆周运动的周期和火星的半径 D.某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径和公转周期 4.一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，F N表示人对秤的压力，下面说法中正确的是（） A.g′=0 B.g′= C.F N=0 D.F N= 5.2019年11月23日8时55分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号“乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第50、51颗北斗导航卫星。两颗卫星均属于中圆轨道（MEO）卫星，是我国的“北斗三号”系统的组网卫星。这两颗卫星的中圆轨道（MEO）是一种周期为12小时，轨道面与赤道平面夹角为60°的圆轨道。是经过GPS和GLONASS运行证明性能优良的全球导航卫星轨道。关于这两颗卫星，下列说法正确的是（） A.这两颗卫星的动能一定相同 B.这两颗卫星绕地心运动的角速度是长城随地球自转角速度的4倍 C.这两颗卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的 D.其中一颗卫星每天会经过赤道正上方2次 6.如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相等且小于c的质量，则下列判断错误的是（） A.b所需向心力最小 B.b、c周期相等，且大于a的周期 C.b、c向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c线速度大小相等，且小于a的线速度 7.将地球看成质量均匀的球体，假如地球自转速度增大，下列说法中正确的是() A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力增大 B.放在两极地面上的物体所受的重力增大 C.放在赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力增大 D.放在赤道地面上的物体所受的重力增大 8.太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是（） A.2年 B.4年 C.8年 D.10年 9.若将八大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示：从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( ) 万有引力与航天--例题 考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2 r ＝m 4π2 r T 2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)． 2．天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2 G ， 天体密度ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3g 4πGR . (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r . ①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3 GT 2 ； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3πr 3 GT 2R 3 ； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体 密度ρ＝3π GT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一 个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( ) A ．地球的质量m 地＝gR 2 G B ．太阳的质量m 太＝4π2L 3 2 GT 22 C ．月球的质量m 月＝4π2L 3 1GT 21 D ．可求月球、地球及太阳的密度 1．[天体质量的估算]“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝×10－11 N·m 2/kg 2 ，月球的半径 为×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( ) A ．×1010 kg B ．×1013 kg C ．×1019 kg D ．×1022 kg 2．[天体密度的计算]“嫦娥三号”探测器已于2013年12月2日1时30分，在西昌卫星发射中心成功发射．“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．已知月球半径为R 0，月球表面处重力加速度为 g 0，地球和月球的半径之比为R R 0＝4，表面重力加速度之比为g g 0＝6，则地球和月球的密度之比 ρρ0 为( ) C ．4 D ．6 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量． (2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度 时，V ＝43 πR 3 中的R 只能是中心天体的半径． A O 万有引力与航天专题 1．【2012?湖北联考】经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧 还存在着一颗未知行星B ，则行星B 运动轨道半径为（ ） A ． 030002()2t R R t T =- B ．T t t R R -=000 C ． 3 20000)(T t t R R -= D ．300200T t t R R -= 2．【2012?北京朝阳期末】2011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b （Kepler 一22b ），距离地球约600光年之遥，体积是地球的2．4倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b 绕恒星做圆运动的轨道半径可测量，万有引力常量G 已知。根据以上数据可以估算的物理量有（ ） A.行星的质量 B ．行星的密度 C ．恒星的质量 D ．恒星的密度 3．【2012?江西联考】如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、 M （M>> m 1，M>> m 2）。在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内 绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ； 从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （ ） A ．a 、b 距离最近的次数为k 次 B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次 C ．a 、b 、c 共线的次数为2k D ．a 、b 、c 共线的次数为2k-2 4．【2012?安徽期末】2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全 第六章 万有引力与航天知识点总结 一. 万有引力定律： ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们 之间的距离r 的二次方成反比。即： 其中G =6. 67×10 －11N ·m 2/kg 2 ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力： 1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果： （1）物体随地球自转的向心力： F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。 （2）重力约等于万有引力： 在赤道处：mg F F +=向，所以R m R GMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m R GMm 22自ω>>，所以2R GM g =。 地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重 力大小相等。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小， 就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰 好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。 在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g += 。 强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。 2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。 即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2 122 m m F G r =2 R Mm G mg = r G Mm = mg ? g = GM ；在地球表面高度为 h 处： (R + h) 2 (R + h) 2 Mm = mg ? g = = 4 , r 万有引力与航天重点知识归纳 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： a 3 T 2 = k 。其中 k 值与太阳有关，与行星无关。 （4）推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星 旋转时， a 3 = k ，但 k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 T 2 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为 v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③ R 3 = k ，R ——轨道半径。 T 2 2. 万有引力定律 （1）内容：万有引力 F 与 m 1m 2 成正比，与 r 2 成反比。 （2）公式： F = G m 1m 2 ，G 叫万有引力常量， G = 6.67 ? 10 -11 N ? m 2 / k g 2 。 r 2 （3）适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体， 指两球心间的距离；③一个均匀 球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4）两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力 mg ，另一个是 物体随地球自转所需的向心力 f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即 mg = G Mm - m ω 2 R ； R 2 ②在两极 F=mg ，即 G Mm = mg ；故纬度越大，重力加速度越大。 R 2 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上， R 2 R 2 G GM ，所以 g = h h h R 2 (R + h ) 2 g ，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法： G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = 4π 2 r 3 ，再根据 r 2 T GT 2 V M 3πr 3 π R 3 , ρ = ? ρ = 3 V GT 2 R 3 ，当 r=R 时， ρ = 3π GT 2 2．g 、R 法： G Mm = mg ? M = R 2 g R 2 G ，再根据V = 4 πR 3 ρ = M ? ρ = 3g 3 V 4πGR 3．v 、r 法： G Mm = m v 2 ? M = rv 2 r 2 r G 4．v 、T 法： G Mm = m v 2 , G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = v 3 T r 2 r 2 T 2πG 万有引力与航天专题 复习 Revised on November 25, 2020 万有引力与航天 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。 例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） 年 年 年 年 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正 比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 3 2a k T =2Mm F G r =1122 6.6710/G N m kg -=??12 2m m F G r =2R Mm G mg = 学科老师个性化教案 教师学生姓名上课日期10-28 学科物理年级高三教材版本人教版 学案主题万有引力 课时数量 （全程或具体时间） 第（5）课时授课时段19-21 教学目标 教学内容 万有引力和航天 个性化学习问 题解决 结合孩子的进度设计 教学重点、 难点 高考重难点 教学过程 万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密（欧多克斯、亚里士多德） 内容；地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳，月亮以及其他行星都绕地球运动。 2、“日心说”的内容及代表人物：哥白尼（布鲁诺被烧死、伽利略） 内容；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律： v v 远 近 开普勒第三定律：K—与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系： 33 3 222 ===...... a a a T T T 水 火 地 地水 火 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 K T R =2 3 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝ ' 2r Mm F ∝ 2r Mm G F = 2、表达式：2 2 1r m m G F = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。 4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。 5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质心间的距离。 6、推导：2224mM G m R R T π= ? 322 4R GM T π = 四、万有引力定律的两个重要推论 1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。 2、在匀质球体内部距离球心r 处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。 五、黄金代换 若已知星球表面的重力加速度g 和星球半径R ，忽略自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物 体的重力，有2Mm G mg R =所以2gR M G = 其中2 GM gR =是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为黄金替换。 导出：对于同一中心天体附近空间内有22 11 22GM g R g R ==，即：2 12221 g R g R = 环绕星体做圆周运动的向心加速度就是该点的重力加速度。 六；双星系统 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。 设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： M 1： 22 12111112 1 M M v G M M r L r ω== M 2： 22 1222222 22 M M v G M M r L r ω== M 1 M 2 ω1 ω2 L r 1 r 2 万有引力与航天专题——经典例题 1．(2018·重庆月考)(多选)下列说法正确的是( ) A ．关于公式r 3 T 2＝k 中的常量k ，它是一个与中心天体有关的常量 B ．开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用 C ．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离 D ．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略 2．假如地球的自转角速度增大，关于物体所受的重力，下列说法错误的是( ) A ．放在赤道上的物体所受的万有引力不变 B ．放在两极上的物体的重力不变 C ．放在赤道上的物体的重力减小 D ．放在两极上的物体的重力增大 3．(2018·河南商丘二模)(多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G 1；在南极附近测得该物体的重力为G 2.已知地球自转的周期为T ，引力常量为G ，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( ) A ．地球的密度为3πG 1GT 2G 2－G 1 B ．地球的密度为3πG 2GT 2G 2－G 1 C ．当地球的自转周期为 G 2－G 1G 2 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 D ．当地球的自转周期为 G 2－G 1G 1 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 4．(2018·吉林长春外国语学校模拟)(多选)宇宙飞船绕地心做半径为r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m 的人站在可称体重的台秤上，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g 0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N 表示人对台秤的压力，则关于g 0、N ，下列式子正确的是( ) A ．g 0＝0 B ．g 0＝R 2 r 2g C ．N ＝0 D ．N ＝mg 5．(2018·福建厦门一模)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括4颗海洋水色卫星，2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( ) A ．在相等的时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等 B ．在相等的时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积之比为n ：1 C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星线速度之比为n ：1 D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星向心加速度之比为n 2：1 6．(2018·贵州遵义航天高级中学五模)(多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L .已知月球半径为R ，万有引力常量为G .则下列说法正确的是( ) A ．月球表面的重力加速度g 月＝2hv 20L 2 B ．月球的平均密度ρ＝3hv 20 2πGL 2R C ．月球的第一宇宙速度v ＝v 0 L 2h D ．月球的质量M 月＝hR 2v 2 0GL 2 7．(2018·辽宁省实验中学质检)设地球是一质量分布均匀的球体，O 为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四 个图中，能正确描述x 轴上各点的重力加速度g 的分布情况的是( ) 万有引力与航天 一、求天体的质量(或密度) 1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由mg=G 2R Mm 得 G g R M 2=.式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径． 已知一名宇航员到达一个星球,在该星 球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为G 1,在 两极用弹簧秤测量该物体的重力为G 2,经测量该星球的半径为R,物体的质量为m.求:该星球的质量. 设星球的质量为M,物体在两极的重力等于万有引力,即 解得 2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量 卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得22 2224T mr mr r v m r Mm G πω===.若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质量为G r GT r G rv M 3 223224ωπ=== 例、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r [解析]要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和 地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由 22ωmr r Mm G =可以求出中心天体地球的质量，所以C 项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2324GT r M π=，所以D 项正确． 3. 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2, ,由此估算该行星的平均密度为（ D ） A.1.8×103kg/m 3 B. 5.6×103kg/m 3 C. 1.1×104kg/m 3 D.2.9×104kg/m 3 ,22G r Mm G =. 2 2Gm R G M = 万有引力与航天 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。 例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） A.3年 B.9年 C.27年 D.81年 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法： 在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g 方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度） 例4.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表 面，小球落地时的速度大小为V . 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。 例5. 2017年1月23日，我国首颗1米分辨率C 频段多极化合成孔径雷达(SAS)卫星“高分三号”正式投入使用，某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t 扫过的弧长为L ，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是（ ） A. 卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为 B. 卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为 3 2a k T =2Mm F G r =1122 6.6710/G N m kg -=??1 22m m F G r =2R Mm G mg =2''''''R m M G mg =mg R Mm G =2334R M πρ?=2R Mm G mg = 高考物理万有引力与航天及其解题技巧及练习题(含答案)及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m ＝2.0 kg 的小物块从斜面底端以速度9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s 时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R ＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)该星球表面上的重力加速度g 的大小. (2)该星球的第一宇宙速度. 【答案】（1）g=7.5m/s 2 （2）3×103m/s 【解析】 【分析】 【详解】 （1）小物块沿斜面向上运动过程00v at =- 解得：26m/s a = 又有：sin cos mg mg ma θμθ+= 解得：2 7.5m/s g = （2）设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有： 2 mv mg R = 3310m/s v gR ==? 2．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为R ． （1）求月球表面的自由落体加速度大小g 月； （2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M 和月球的“第一宇宙速度”大小v ． 【答案】（1）22h g t =月 （2）2 2 2hR M Gt =；2hR v t = 【解析】 【分析】 （1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度； （2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】(完整版)万有引力与航天重点知识、公式总结
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