数列的通项公式的求法以及典型习题练习
数列解题方法与研究顺序
一、累加法
累加法是最基本的两个数列解题方法之一，适用于广义的等差数列，即an+1=an+f(n)。
1.若an+1-an=f(n)（n≥2），且a2-a1=f(1)，则可得an+1-
a1=∑f(n)（k=1至n）。
例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。
解：由题可知，f(n)=2n+1，故an+1-an=f(n)=2n+1，且a2-
a1=f(1)=3.
根据累加法得an+1-a1=∑f(n)=∑(2n+1)=n(n+1)+n= n^2+2n，即an=n^2+2n。
所数列{an}的通项公式为an=n^2+2n。
2.若an+1-an=f(n)，则可得an+1/an=f(n)。
例2：已知数列{an}满足an+1=an+2×3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。
解：由题可知，f(n)=2×3+1=7，故an+1-an=f(n)=7.
根据累乘法得an+1/an=f(n)=7，即an=3×7^(n-1)。
所以数列{an}的通项公式为an=3×7^(n-1)。
二、累乘法
累乘法是最基本的两个数列解题方法之二，适用于广义的等比数列，即an+1=f(n)×an。
1.若an+1/an=f(n)，则可得an+1/an=∏f(k)（k=1至n）。
例3：已知数列an=an-1/n，a1=2，求数列的通项公式。
解：由题可知，f(n)=1/n，故an+1/an=f(n)=1/n。
根据累乘法得an+1/an=∏f(k)=∏(1/k)=1/n。即an=n!/n。
所以数列的通项公式为an=n!/n。
2.若an+1/an=f(n)，则可得an+1×an=f(n)。
例4：已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5×an，a1=3，求数列{an}的通项公式。
解：由题可知，f(n)=2(n+1)5，故an+1/an=f(n)=2(n+1)5.
根据累乘法得
an+1×an=∏f(k)=∏2(k+1)5=2^(n+1)×3^(n(n+1)/2)，即
an=3^n×2^(n-1)。
所以数列{an}的通项公式为an=3^n×2^(n-1)。
三、待定系数法
待定系数法适用于an+1=qa(n)+f(n)的情况，基本思路是转化为等差数列或等比数列，因为数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1.形如an+1=can+d（c≠1）型
1）若c=1时，数列{an}为等差数列；
2）若d=0时，数列{an}为等比数列；
3）若c≠1且d≠0时，数列{an}可以通过待定系数法求得通项公式。
2.形如an+1=qa(n)+f(n)（q≠1）型
可通过待定系数法转化为an+1-an=q(an-1-an)+f(n)，再利用累加法或累乘法求解。
例5：设n是首项为1的正项数列，且an+1/an+an/an+1=1（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an=________。
解：将等式an+1/an+an/an+1=1化为an+1^2=an(an+1-an)，即an+1^2=an^2+an-an^2=an。
将an+1=an+1/an化为an+1^2=an(an+1)/an，即
an+1^2=an^2+an，即an+1^2-an^2=an。
根据待定系数法，假设an=n^2+an+b，则an+1=(n+1)^2+b，代入上式得2n+1=2n+b，解得b=1.
所以数列的通项公式为an=n^2+n+1.
为1，求数列{a
n
的通项公式。
首先，我们可以将递推公式改写为分式形式：
a
n 1
2a
n
a
2
a
n
a
1
1
将分式变换为倒数的形式，得到：1
a
n 1
1
2
a
n
1
a
1
1
再进行递推，得到：
1
a
n
1
2
n 1
a
1
1
2
n 1
因此，数列{a n
的通项公式为：a
n
2
n 1
的通项公式。
解：将递推式化简得4a n 2
4a
n 1
a
n
1，即a
n
4a
n 1
a
n 3
4.因此，设a
n
c
1
a
n 1
c
2
a
n 3
代入已知条件可得c 1
1/4，c
2
1/16.因此，a
n
1/4 a
n 1
1/16 a
n 3
且a
1
1，a
2
2，a
3
421/47/4.综上所述，数列{a n
的通项公式为a
n
1/4 a
n 1
1/16 a
n 3
且a
1
1，a
2
2，a
3
7/4.
求数列前N 项和的方法 1. 公式法 等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3 )]1(2 1 [+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利 用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N * ,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n
＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 {a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的 通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21 }的通项之积 设n n n S 2226242232+???+++=…………………………………① 14322 226242221++???+++=n n n S ………………………………② （设制错位） ① － ② 得 14322 22222222222)211(+-+???++++=-n n n n S （错位相减） 1 1 2221 2+-- - =n n n ∴ 12 2 4-+-=n n n S
数列通项公式的常用方法及例题 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 二、n s 与n a 的关系式法：⎩⎨ ⎧≥-==-2 ,1,11n S S n S a n n n 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311= +，其中11=a ，求n a . 三、累加法：()n f a a n n =--1，()的函数是一个关于n n f 例4： 12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a
四、累乘法：()1 n n a f n a -=，()的函数是一个关于n n f 例5：111,1 n n n a a a n -== - ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 五、构造法： ㈠、两边加常数：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形 式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 处理方法：设1n n a ka b λλ-+=++ 则1()n n b a k a k λλ-++=+ b k λλ+=令 1 b k λ∴=- 111111n n n n b b a k a k k b a k k b a k --⎛⎫∴+ =+ ⎪--⎝ ⎭+-∴=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ ∴数列1n b a k ⎧ ⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比，11 b a k +-以为首项的等比数列，借助它去求n a 例6：已知111,21n n a a a -==+ () 2,n n N *≥∈ 求通项n a
数列的通项公式的求法以及典型习题练习 数列解题方法与研究顺序 一、累加法 累加法是最基本的两个数列解题方法之一，适用于广义的等差数列，即an+1=an+f(n)。 1.若an+1-an=f(n)（n≥2），且a2-a1=f(1)，则可得an+1- a1=∑f(n)（k=1至n）。 例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。 解：由题可知，f(n)=2n+1，故an+1-an=f(n)=2n+1，且a2- a1=f(1)=3. 根据累加法得an+1-a1=∑f(n)=∑(2n+1)=n(n+1)+n= n^2+2n，即an=n^2+2n。 所数列{an}的通项公式为an=n^2+2n。 2.若an+1-an=f(n)，则可得an+1/an=f(n)。
例2：已知数列{an}满足an+1=an+2×3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。 解：由题可知，f(n)=2×3+1=7，故an+1-an=f(n)=7. 根据累乘法得an+1/an=f(n)=7，即an=3×7^(n-1)。 所以数列{an}的通项公式为an=3×7^(n-1)。 二、累乘法 累乘法是最基本的两个数列解题方法之二，适用于广义的等比数列，即an+1=f(n)×an。 1.若an+1/an=f(n)，则可得an+1/an=∏f(k)（k=1至n）。 例3：已知数列an=an-1/n，a1=2，求数列的通项公式。 解：由题可知，f(n)=1/n，故an+1/an=f(n)=1/n。 根据累乘法得an+1/an=∏f(k)=∏(1/k)=1/n。即an=n!/n。 所以数列的通项公式为an=n!/n。 2.若an+1/an=f(n)，则可得an+1×an=f(n)。 例4：已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5×an，a1=3，求数列{an}的通项公式。 解：由题可知，f(n)=2(n+1)5，故an+1/an=f(n)=2(n+1)5.
求数列的通项公式的方法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0 ≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵ 2 5 5a S = ∴ 211)4(2 4 55d a d a +=??+ …………② 由①②得：531=a ，5 3 =d ∴n n a n 5353)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 练一练：已知数列 ,32 1 9,1617 ,8 15,4 1 3试写出其一个通项公式：__________； 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法： { 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 2 12---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-21 1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n
求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法
数列通项公式的十种求法 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1*11()n n n a a a q q n N q -== ⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n + =+ 例 1 数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例2 数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。〔3 1.n n a n =+-〕 三、累乘法 n n a n f a )(1= + 例3 数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 〔(1) 1 2 32 5 !.n n n n a n --=⨯⨯⨯〕 评注：此题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为 12(1)5n n n a n a +=+，进而求出132 112 21 n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅ ⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 例4数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的 通项公式。〔! .2 n n a = 〕
评注：此题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出13 2122 n n n n a a a a a a a ---⋅⋅ ⋅ ⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 n n n qa pa a +=++12〔其中 p ，q 均为常数〕。 例5 数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。〔125n n n a -=+〕 评注：此题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-， 从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 例 6 数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 〔1133522n n n a -=⨯-⨯-〕 评注：此题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为
数列史上最全求通项公式10种方法并配 大量习题及答案 求数列通项公式的方法有很多种。这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。下面我们逐个讲解这些重要的方法。 递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示 数列的前n项和。这种方法有两种类型。第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。第二种类型是a(n-1),an和 a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的 思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。只要适合 an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。基本的书写步骤是 将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。 +f(n)。因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部 分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和， 要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。 累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通 项公式问题，都可以使用累乘法。它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。*f(n)。 以上是数列通项公式的三种求法。 2.改写每段话： 首先，我们来看等式左右两边的乘积。左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。需
高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和：()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质： （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a + =+；（2）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1 n n a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒= ，或G = 前n 项和：()11(1) 1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪ =-⎨≠⎪ -⎩（要注意公比q ） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =·· 3．求数列通项公式的常用方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1 2n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 二、累加法 )(1n f a a n n =-- 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列1 1、 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 2、 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 3、 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 4、 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 5、 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 6、 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项 公式。
数列2 1. 已知数列{}n a 满足2 1 1=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项 4、已知在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a 5、 已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1 (31+++=n n n a a ，求n a 。 6、 已知数列{}n a 中，11 =a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a
数列求通项的七种方法及例题 数列求通项的7种方法及例题： 1. 已知首项和公比法： 设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。 例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。 答案：a5=2×3^4=2×81=162 2. 已知前n项和法： 设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。 例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。 答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 8 3. 等差数列的通项公式： 设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。 例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求 a5。 答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 18 4. 等比数列的通项公式： 设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求 a5。 答案：a5=2×3^4=2×81=162 5. 三项和平均数法： 设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。 例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。 答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 5 6. 泰勒公式法： 对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。 例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。 答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/8 7. 斐波那契数列法： 斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
一． 观察法之答禄夫天创作 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093 ,5 42,2 11（3） ,5 2,2 1,3 2 , 1（4） ,5 4 ,43, 32,21-- 解：（1）变形为：101 －1，102 ―1，103 ―1，104 ―1，……∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 22 ++=n n n a n （3）;1 2+= n a n （4）1 )1(1+⋅ -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式： a n ＝1* 1 (1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。 例1： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2 ，a 3 = f (d +1)= d 2 ，∴ a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2 ，b 3 =f (q －1)=(q －2)2 ， ∴2 2 13)2(q q b b -= =q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －
求数列通项公式的十种方法 一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。 扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为 公差的等差数列，由等差数列的通项公式， 畤“+心)|, 3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\ 2 2 评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2 ｛q r ｝的通项公式。 例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数 a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛ b K ｝的通项公式； 解：•/ a fj = -2(n + I) /. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n .・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分 I 练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6, ① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3, 又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),② 由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0 T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) • 当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、 二2, • • @7二5/7 —3, 三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。 解:由 a n+i = a n + 2n +1 得 % - a n =2n + l 则 解：^,=2^l+3x2H 两边除以2n+,.得勞=令+ £，则"^ 利用色 S](心 1) S“一S”]g2)
数列通项公式解法总结及习题训练（附答案） 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法： { 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥。 3.作商法：已知12 ()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)() ,(2) (1) n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。 4.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。 5.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。 6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。 1）递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨ ⎧-==+q st p t s 2）形如1 1n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。 7.数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明。 8.换元法 换元的目的是简化形式，以便于求解。 9、不动点法 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求 10定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+ 解题基本步骤：1、确定()f n 2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为？ 3、列出关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++4、比较系数求1λ，2λ 5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式 6、解得数列{}n a 的通项公式 习题 1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a = （A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 2.（2010安徽）(5)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 （A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 3. (2011年高考四川)数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =( ） A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11
3 3 1 2n 2n 3 n 21 2 2n 2 2 ⎩ ⎭ 数列通项公式的十二种求法 一、公式法 例 1 已知数列{a }满足a = 2a + 3⨯ 2n ， a = 2 ，求数列{a }的通项公式. n n +1 n 1 n 【解析】a = 2a + 3⨯ 2n 两边除以2n +1 ，得 a n +1 = a n + 3 ，则 a n +1 - a n = ， n +1 n 2n +1 2n 2 2n +1 2n 2 ∴ 数列⎧ a n ⎫ 是以 a 1 = 1为首项，以 3 为公差的等差数列，∴ a n = n - ，∴ a = 3 - 1)2n . ⎨ ⎬ n ( n ⎩ ⎭ 2 2 评注：本题解题的关键是把递推关系式a = 2a + 3⨯ 2n 转化为 a n +1 - a n = 3 ，说明数列⎧ a n ⎫ 是等差数列，再直 n +1 n 2n +1 2n 2 ⎨ ⎬ 接利用等差数列的通项公式求出 a n = 1+ (n -1) ，进而求出数列{a }的通项公式. 2n 2 n 4 13 1 变式 1 已知数列{ a n }，其中a 1 = 3 , a 2 = 年高考文科第八题改编）. 二、累加法 9 ，且当 n ≥3 时， a n - a n -1 = 3 (a n -1 - a n -2 ) ，求通项公式a n （1986 例 2.1 已知数列{a n }满足a n +1 = a n + 2n +1，a 1 = 1，求数列{a n }的通项公式. 【解析】由a n +1 = a n + 2n +1得a n +1 - a n = 2n +1则 a n = (a n - a n -1 ) + (a n -1 - a n -2 ) + + (a 3 - a 2 ) + (a 2 - a 1 ) + a 1 = [2(n -1) +1] + [2(n - 2) +1] + + (2 ⨯ 2 +1) + (2 ⨯1+1) +1 = 2[(n -1) + (n - 2) + + 2 +1] + (n -1) +1 = 2 (n -1)n + (n -1) +1 2 = (n -1)(n +1) +1 = n 2 所以a = n 2 . 评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1 = a n + 2n +1转化为a n +1 - a n = 2n +1，
数列通项公式的十种求法练习 例 1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 例4已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。 例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 例6 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 例7 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 例8已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公 式n a . 例9已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。 例11 已知数列{}n a 满足3(1)2115n n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。 例12 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。例13 已知数列{}n a 满足111(14124)116 n n n a a a a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
1 【典型例题】 1] a n (1) 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 (2) 比较系 数: {a n a n 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a n a n a n 1 a n ，设 a n 1 m m m b 1｝ 是等比数列， (a 1 b 、 ) k 1 f (n) 型。 a n 1 a n 满足a 1 1 1 1 n(n 1) n 1 1 n 1 n 1 1 m b 公比为 k n 2 n 1时 1时 1时 {a n } 1 1 b k 1 f(n) a n n 3 ka n k(a n a n 1 a n 1 k n1 a n 1 a n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) a 3 a 2 a 2 a 1 1 对这（n 个式子求和得: m) ka n km a n (a 1 a n a n a 1 代） k n1 f （n ）可求和，则可用累加消项的方 法。 1 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 a n 2 - n
(2)k 1 时, 当 f(n) an b 则可设a n - i A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k 1)A a a b a A a B - 2 (k 1)B A b 解得： k 1， k 1 (k 1) .{a n An B} 是以a i A B 为首项， k 为公比的等比数列 a n An B (a 1 A B) k n1 a n @1 A B) 八 An B 将 A 、B 代入即可 (3) f (n) q n ( q 0, 1) a n 1 k a n 1 n 1 n 1 n 等式两边同时除以q 得q q q q ［例3］冇1 f (n)办型。 (1 )若f (n )是常数时，可归为等比数列。 (2)若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： a 1 1 a n 3， 2n 1 a n 1 (n 2)求数列｛a n ｝ 的通项。 2n 1 a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 解: a n 1 a n 2 a n 3 a 2 a 1 2n 1 2n 1 2n 3 7 5 2 n 1 3 1 a n a 1 2n 1 2n 1 a n k 1 n C n 1 -C n q 则 q q G} 可归为 a n 1 ka n b 型 [例4] m a n 1 型。 n
通项公式和前n 项和 一、新课讲解： 求数列前N 项和的办法 1. 公式法 （1）等差数列前n 项和： 特此外,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+,即前n 项和为中央项乘以项数.这个公式在许多时刻可以简化运算. （2）等比数列前n 项和： q=1时,1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，,特别要留意对公比的评论辩论. （3）其他公式较罕有公式： 1.)1(211+==∑=n n k S n k n 2.)12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 3.21 3)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ,n ∈N * ,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 2. 错位相减法 这种办法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的办法,这种办法重要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,个中{ a n }.{ b n }分离是等差数列和等比数列. [例3]乞降：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2 2,,26,24, 2232n n 前n 项的和.
演习： 求：S n =1+5x+9x 2 +······+(4n -3)x n-1 答案： 当x=1时,S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时,S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ] 3. 倒序相加法乞降 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的办法,就是将一个数列倒过来分列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 4. 分组法乞降 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列恰当拆开,可分为几个等差.等比或罕有的数列,然后分离乞降,再将其归并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71, 41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,… 演习：求数列•••+•••),21 (,,813,412,211n n 的前n 项和. 5. 裂项法乞降 这是分化与组合思惟在数列乞降中的具体运用. 裂项法的本质是将数列中的每项（通项）分化,然后从新组合,使之能消去一些项,最终达到乞降的目标. 通项分化（裂项）如： （1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1 1 1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++= -则
通项公式和前n 项和 一、新课讲授： 求数列前N 项和的方法 1. 公式法 （1）等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 （2）等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 （3）其他公式较常见公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值.
2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习： 求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 答案： 当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ] 3. 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++⋅⋅⋅+++的值