实数的有关概念练习题（1）
一、细心选一选
1．下列各式中正确的是（）
A． B. C. D.
2. 的平方根是( )
A．4 B. C. 2 D.
3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（）
A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4．和数轴上的点一一对应的是（）
A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数
5．对于来说（）
A．有平方根B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（）
A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）
A． B. C. D.
8．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与
9．-8的立方根与4的平方根之和是（）
A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）
A． B. C. D.
二、耐心填一填
11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
13．__ __的平方根等于它本身，__ __的立方根等于它本身，
__ __的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。
16．大于，小于的整数有______个。
17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
21．计算
⑴⑵⑶
⑷∣∣+∣∣⑸×+×
22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：
实数的有关概念练习题（2）
一、选择题：
1．的算术平方根是（）
A．0.14 B．0.014C．D．
2．的平方根是（）
A．－6 B．36C．±6 D．±
3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④
，其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在下列各式中，正确的是（）
A．; B．;C．;D．
5．下列说法正确的是（）
A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数
C．无限小数是无理数D．是分数
6．下列说法错误的是（）
A．B．
C．2的平方根是D．
7．若，且，则的值为（）
A．B．C．D．8．下列结论中正确的是（）A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
C. 两个无理数之和一定是无理数;
D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9．-27 的立方根与的平方根之和是（）
A．0 B．6C．0或-6D．-12或6
10．下列计算结果正确的是（）
A．B．C．D．
二．填空题:
11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、
⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有_______ ___；无理数的有_______ ___.（填序号）
12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.
14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题：
16．计算或化简：
(1) (2)
17．已知，且x是正数，求代数式的值。
18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？⑵估计边长的值在哪两个整数之间。⑶把边长在数轴上表示出来。
课时1 实数的概念 知识点1 无理数的定义 1.(2018广东广州中考)四个数, 12中,是无理数的是 ( ) B.1 C.12 D.0 2.(2018广东汕头潮阳实验学校期中),,46π-是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.给出下列说法:①无限小数都是无理数;②无理数都是无限小数;③带根号的数都是无理数;④两个无理数的和还是无理数.其中错误的是 .(填序号) 知识点2 实数的定义及分类 4.下列说法正确的是 ( ) A.正实数和负实数统称实数 B.正数、0和负数统称有理数 C.带根号的数和分数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 5.把下列各数分别填入相应的集合中. 1,,7 π-,-0.2121121112…(每两个2之间依次多一个1). 有理数集合:｛ …｝; 无理数集合:｛ …｝; 负实数集合:｛ …｝. 知识点3 实数与数轴的关系 6.(2017湖北武汉英格实验中学模拟)给出下列结论:①数轴上的点只能表示无理数;②任何一个无理数都能用数轴上的点表示;③实数与数轴上的点一一对应;④有理数有无限个,无理数有有限个.
其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 7.(2018山东淄博张店区二模)如图,若数轴上的点A,B 分别于实数-1,1对应,用圆规在数轴上画点C,则与点C 对应的实数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 知识点4 实数范围内的绝对值、相反数、倒数 8.(2018江苏苏州吴江区一模3 ( ) A.33 B.-3333 9.(2018吉林模拟2的倒数是 ( ) 2222 327-的倒数是 ,绝对值是 . 11.(2017河南洛阳孟津期中)设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的实数,求a+b+c 的值.、 12.28(27)a b +-与互为相反数,33a b 的值.
初三数学第一轮总复习 第一讲实数的概念及实数的运算 （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 (1)有理数: 和 统称为有理数。 （2）无理数： 小数叫做无理数。 （3）实数： 和 统称为实数。 （4）实数和 的点一一对应。 （5） 实数的分类 ①按定义分: ②按符号分: 实数( ) ( )0() ()()( )? ???????????????? ； 实数( )( )()0()( )( ) ??????? ?? ?????? （6）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （7）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （8）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a≠0）的倒数为1a . 。 （9）绝对值： =a 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号 时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 5.零指数幂和负指数幂:当a ≠0时a 0 =____;当a ≠0时且n 为整数时,a -n =(a 1 )n 6.三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】 例1 ①a 的相反数是-1 5 ,则a 是_______。(3－2)的倒数是_______，相反数是______． ②．数a ，b 在数轴上的位置如图所示: 化简2 () ()|| a a b a b a b -+--. a b ③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．
《实数》易错题和典型题 一、平方根、算术平方根、立方根的基本概念和区别 1.25的平方根是±５的数学表达式是（ ) A.525±= B.525= Ｃ.525±=± D ．525-= 2.81的算数平方根是 ；16的平方根是 ,=3 38- ，64-的立方根是 。 3.如果ｘ是2 3-） （的算数平方根，ｙ是16的算数平方根,则1xy x 2++= 。 4.若2x =729,则x= ;若2x =2 4-）（,则x= 。 5.已知２x-1的负的平方根是-３,3x+y －1的算数平方根是4，求x ＋2ｙ的平方根。 6.一个数的平方根等于这个数,那么这个数是 。 7.下列语句及写成的式子正确的是（ ) A.8是6４的平方根，即864= B ．864648=±的平方根，即是 C.864648±=±的平方根，即是 D.88-8-82 2=）（的算数平方根，即）是（ 9.已知有理数m 的两个平方根是方程4x ＋2y=6的一组解,则m= 。 10.已知=±x 11-x 232，则的平方根是）（ 。 二、对21-a ） （ 的化简:去绝对值符号 1.化解=22-1）（ ；=23-2）（ ；=22-3）（ 。 2.如果4m 2=，则m= ;如果1-a 1-a 2=）（，则a 的取值范围是 。 3.已知b a a -b b -a 10b 6a 2 +===，则且，= 。 4.实数ａ，ｂ,ｃ在数轴上的对应点如图所示，化解 233c -a b a -b -c a ）（）（+++ 三、被开方数的小数位移动与结果的关系 1.已知==200414.12，那么 ;=0 2.0 。 2.已知==23604858.0236.0，那么（ ) Ａ．４８58 B ．485.8 Ｃ.48.58 Ｄ.４.858 3.若===x 68.28x 868.26.233 ,3，那么， 。 4.已 知 853 .32.57,788.172.58301.0572.03 3,3 ===，，,则
6.3 《实数的概念及分类》导学案 教学目标： 认知目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类， 2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。 过程目标：1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩 充到实数的范围，从而总结出实数的分类， 2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究，体验“数形结合”思想。 情感目标： 经历探索从有理数到实数的扩充过程，培养探究精神，激发求知热 情；通过实数的分类，培养分类思想，发展分类意识。 教学重点：无理数，实数的概念及实数的分类； 教学难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系 教学过程： 【知识回顾，创设情境】 1、把下列各数按要求填在横线上： 整数 ；分数 ；正数 2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请与他人交流 。 【合作交流，探究新知】 有理数包括整数和分数，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3= ，35 = ，478= ，911= ，119 = 59= 我们发现，上面的有理数 归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？ 验证：下列有限小数能化为分数吗？ 5、2.3、0.25、1.334 无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料 设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② 则②－①得９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3 结论：有限小数或无限循环小数都能转化为分数 拓展：有限小数或无限循环小数就是有理数 问题：我们在求一个数的平方根或立方根时，发现有些数的平方根或立方 根是这样的小数，如=3.1415926552374 …， 1.101001000100001. …， … 这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，它们是什么数呢？ .
七年级数学《实数》练习题 Ａ卷 基础知识 班级_＿_＿＿__＿姓名＿_＿_＿____成绩__＿__＿＿＿__ 一、判断题（１分×10=1０分） 1． 3是9的算术平方根 ( ） 2． ０的平方根是0,0的算术平方根也是0 （ ) 3． （-2)2 的平方根是2- （ ) 4． -0．5是０.2５的一个平方根 （ ） 5． a 是a 的算术平方根 ( ) 6． 64的立方根是4± （ ） 7． －10是1０00的一个立方根 ( ） 8． －７是-343的立方根 ( ） 9． 无理数也可以用数轴上的点表示出来 （ ) １0.有理数和无理数统称实数 （ ) 二、选择题（3分×6＝１8分） 11．列说法正确的是（） A 、 4 1 是5.0的一个平方根 B 、 正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0 C 、 72 的平方根是7 D 、负数有一个平方根 12．如果 25.0=y ,那么y 的值是（) A 、 0625.0 B 、 5.0- Ｃ、 5.0 Ｄ、5.0± 13．如果x 是a 的立方根,则下列说法正确的是（） A 、x -也是a 的立方根 B 、x -是a -的立方根 Ｃ、x 是a -的立方根 D 、等于3 a 14．π、 7 22、3-、3343、1416.3、3.0 可,无理数的个数是(） Ａ 、１个 B 、 ２个 C 、 ３个 D 、 4个 15．与数轴上的点建立一一对应的是(）（ A 、全体有理数 B 、全体无理数 Ｃ、 全体实数 D 、全体整数 16．果一个实数的平方根与它的立方根相等,则这个数是(）
A 、0 B 、正实数 C 、0和1 D 、１ 三、填空题（１分×30＝30分） 2.100的平方根是 ，10的算术平方根是 。 3．3±是 的平方根3-是 的平方根；2 )2(-的算术平方根 是 。 4．正数有 个平方根,它们 ;0的平方根是 ；负数 平方根。 5．125-的立方根是 ，8±的立方根是 ，0的立方根是 。 6．正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 。 7．2的相反数是 ，π-= ，3 64-＝ 8．比较下列各组数大小: ⑴140 12 ⑵ 2 1 5- 5.0 ⑶π 14.3 23 四、解下列各题。 1． 求下列各数的算术平方根与平方根（3分×4=１2分） ⑴225 ⑵ 144 121 ⑶ 81.0 ⑷ 2 )4(- 2． 求下列各式值（3分×6=１8分） ⑴ 225 ⑵16.0- ⑶289 144 ± ⑷ 364 ⑸
、 实数练习题及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各式中无意义的是（） A. B. C. D. 2.在下列说法中： 10的平方根是±； -2是4的一个平方根； 的平方根是④的 算术平方根是；⑤，其中正确的有（） 个个个个 3.下列说法中正确的是（） A.立方根是它本身的数只有1和0 B.算数平方根是它本身的数只有1和0 C.平方根是它本身的数只有1和0 D.绝对值是它本身的数只有1和0 4.的立方根是（） A. B. C. D. 5.现有四个无理数，，，，其中在实数+1 与+1 之间的有（）个个个个 6.实数，-2，-3的大小关系是（） A. B. C. D. 7.已知=，=，= 5，则的值是（） 8.若，则的大小关系是（） A. B. C. D. 9.已知是169的平方根，且，则的值是（） B.±11 C. ±15 或 10.大于且小于的整数有（） 个个 C .7个个
二、填空题（每小题3分，共30分） 10.绝对值是，的相反数是. 11.的平方根是，的平方根是，-343的立方根是，的平方根是. 12.比较大小： （1）；（2）；（3）；（4） 2. 13.当时，有意义。 14.已知=0，则=. 15.最大的负整数是，最小的正整数是，绝对值最小的实数是，不超过的最大整数是. 16.已知且，则的值为。 17.已知一个正数的两个平方根是和，则=，=. 18.设是大于1的实数，若在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、C 三点在数轴上从左至右的顺序是. 19.若无理数满足1，请写出两个符合条件的无理数. 三、解答题（共40分） 20.（8分）计算： （1）；（2）；（3）；（4） ； 21.（12分）求下列各式中的的值： （1）；（2）；
第一章实数的概念、性质和运算 【考试大纲内容精要解析】 第一节“条件充分性判断”——解题策略与应试技巧 MBA联考综合能力考试中，数学部分有问题求解和条件充分性判断两大题型。内容涉及实数的概念、性质和运算，整式和分式，方程和不等式，数列，排列组合与概率论初步，平面几何与解析几何初步等数学基础知识。从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。 以下我们就从这几个方面并结合联考真题进行分析： 一、充分条件的有关概念 1、四种命题及其关系： 原命题互逆逆命题 若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ 互互 互为为互 否否 逆逆 否否 否命题逆否命题 若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ 【注】：互为逆否的两组命题等价（即同真同假） 2、充分条件、必要条件 )，称p是q的充分条件，q是p的必要条件 若p，则q（即p q 充分条件：有之则必然，无之未必不然 必要条件：有之未必然，无之则必不然 【注】：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 具体判断时:注意两点：（1）分清条件与结论——抓“主语” （2）推导方向 对于具体问题可以有以下情况：（1）充分不必要 (2) 必要不充分 （3）充分而且必要（充要） （4）既不充分也不必要
3、MBA 联考中，只要求判定“充分性”——有之则必然 （1）若p 是q 的充分条件，也说：p 具备了使q 成立的充分性； （2）若p 不是q 的充分条件，即 p q ?，也即：p 不具备使q 成立的充分性。 由于在MBA 联考中，只要求对条件充分性进行判断，故实际上只需考虑“p q ?”与“p q ?”两种类型的命题真假。 解题关键——“有之则必然，无之未必不然”，重点在前一句。 例1：x,y 是实数，︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ (1)x ＞0, y ＜0 (2) x ＜0, y ＞0 【解题分析】：（1）“有之” x ＞0,y ＜0 “则” ︱x ︱+︱y ︱=x －y ︱x －y ∣= x －y (∵x －y ＞0) “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（1）充分 （2）“有之” x ＜0,y ＞0 “则” ︱x ︱+︱y ︱＝﹣x ＋y ︱x －y ∣＝﹣x ＋y (∵x －y ＜0） “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（2）也充分 注：对“无之未必不然”可以这样理解。如上例中条件（1）为结论成立的充分条件，但若无条件（1）（即“无之” ），结论未必不成立（“未必不然”）。如上述的条件（2）仍然使结论成立。这说明充分条件不一定唯一。 4、从集合的角度分析 若从集合的观点对条件充分性问题加以分析。我们可以发现：条件充分性问题实质上是两个集合之间的一种蕴含关系。 对于命题：“若A ，则B ”，实质上是指A 蕴含B 。回顾集合之间的包含关系：若A ?B （即A 是B 的子集），指“对任意的x ∈A,有x ∈B ”。这正是关系“A B ?”。因而我们有：若能够判断出A ?B ，即A 是B 的子集，则A 就是B 的充分条件。 MBA 中的很多问题，可以用集合的方法进行判断。 例2：关于x 的不等式x ≤1. (1) x ＜1 (2)x ＝1 解题分析：设B ＝｛x ∣x ≤1｝，A 1＝｛x|x ＜1｝，A 2=｛x ∣x ＝1｝ 虽然有A 1?B ，A 2?B 故条件（1）充分，条件（2）也充分。 注：对于任意两个集合A 与B ，它们之间可能的关系有： （ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ） MBA 联考中的“条件充分性判断”问题，由于只考虑充分性，如判断A 是否为B 的充分条件，则只有图(ⅲ)、(v) 满足A ?B 。 即A 是B 的充分条件，其它关系下，A 都不是B A B A B B A A B A （B ）
2013年中考复习之实数的概念 知识考点： 实数是初中数学的重要内容，也是学习数学的基础，应熟练掌握数轴、相反数、绝对值、倒数等概念，并能正确运用实数的有关概念提高综合解题能力。注意“0”的特殊性并重视数形结合的数学思想。 精典例题： 【例1】将下列各数填入相应的结合内： －2、94、0、060sin 、327-、?13.0、7 22、π-1、2.161161161…、030tan 、0)2004(- 自然数集合：｛ ……｝ 无理数集合：｛ ……｝ 整数集合：｛ ……｝ 分析：①实数的分类是以运算结果为标准，9 4是有理数而不是无理数；式的分类则以形式为标准，如x x 2 是分式而不是整式。②有理数的表现形式为：分数、整数、有限小数、无限循环小数；无理数的表现形式有定义形式、开方开不尽的方根、π等等。 【例2】填空： （1）如果3-a 与1+a 互为相反数，则a ＝ 。 （2）如果1=x ，那么2322+-x x ＝ 。 （3）如果a a =2，则a 为 。 （4）一个数乘以 得这个数的相反数，一个数的 数乘以这个数的倒数得－1。 （5）3与它的负倒数之和是 。 （6）已知4=a ，6=b ，且a ＞b ，ab ＜0，则b a -＝ 。 （7）52个纳米的长度为0.000 000 052米，用科学记数法表示为 米。 答案：（1）1；（2）1或7；（3）非负数；（4）－1、相反；（5） 332；（6）10；（7）5.2×10－8 探索与创新： 【问题一】某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1 个
注意：在我的光盘中这些资料全为word 文档，可以自由编辑、排版，修改！我在这题故意把它转成了图片，请你注意分辨。
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数? ???????? ? ???????--???---)()32,21() 32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ?????????? 实数第一章 勾股定理 姓名 座号 班级 一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（6，8，10）；（9，12，15）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数） 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ± ” ，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：a+b=0，a=—b ， 2、绝对值：若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1 4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
实数的概念与运算 (1) 班级________ 姓名________ 小组 _______ 一：学习目标：了解实数的定义与分类，会进行实数的有关运算.提高运算能力。 二：学习过程： （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 （1）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （2）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （3）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a ≠0）的倒数为1a .则 。 （4）绝对值： （5）实数和 的点一一对应。 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a ×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这 个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ． 有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法：a b -＞0a ?＞b ，a b -=0a b ?=，a b -＜0a ?＜ b （2）商值比较法： 若a b 、为两正数，则a b ＞1a ?＞b ；1;a a b b =?=a b ＜1a ?＜b （3）绝对值比较法： 若a b 、为两负数，则a ＞b a ?＜b a b a b a =?=；；＜b a ?＞b 5．二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2() ()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ 二：【经典考题剖析】 1．下列各数中：-1，0，169，2π ，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π-722. 有理数集合{ …}； 正数集合 { …}； 整数集合 { …}； 自然数集合{ …}； 分数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 2. 已知(x-2)2 +|y-4|+6z -=0，求xyz 的值．． 课海拾贝/ 反思纠错
初中数学之实数教案 2018-12-04 一、内容特点 在知识与方法上类似于数系的第一次扩张，初中数学教案----实数。也是后继内容学习的基础。 内容定位：了解无理数、实数概念，了解（算术）平方根的概念；会用根号表示数的（算术）平方根，会求平方根、立方根，用有理数估计一个无理数的大致范围，实数简单的四则运算（不要求分母有理化）。 二、设计思路 整体设计思路：无理数的引入----无理数的表示----实数及其相关概念（包括实数运算），实数的应用贯穿于内容的始终。 学习对象----实数概念及其运算；学习过程----通过拼图活动引进无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数概念；以类比，归纳探索的方式，寻求实数的.运算法则；学习方式----操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。 具体过程：首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念，然后通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算。最后教科书总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。 第一节：数怎么又不够用了：通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；会判断一个数是有理数还是无理数，初中数学教案《初中数学教案----实数》。 第二、三节：平方根、立方根：如何表示正方形的边长？它的值到底是多少？并引入算术平方根、平方根、立方根等概念和开方运算。 第四节：公园有多宽：在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值，为此这一节内容介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等，其目的是发展学生的数感。 第五节：用计算器开方：会用计算器求平方根和立方根。经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。 第六节：实数。总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。
实数练习题 一、判断题（1分×10=10分） 1． 3是9的算术平方根 （ ） 2． 0的平方根是0，0的算术平方根也是0 （ ） 3． （-2）2 的平方根是2- （ ） 4． -0.5是0.25的一个平方根 （ ） 5． a 是a 的算术平方根 ( ) 6． 64的立方根是4± （ ） 7． -10是1000的一个立方根 （ ） 8． -7是-343的立方根 （ ） 9． 无理数也可以用数轴上的点表示出来 （ ） 10.有理数和无理数统称实数 （ ） 二、选择题（3分×6=18分） 11．列说法正确的是（） A 、 4 1 是5.0的一个平方根 B 、 正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C 、 72 的平方根是7 D 、负数有一个平方根 12．如果 25.0=y ，那么y 的值是（） A 、 0625.0 B 、 5.0- C 、 5.0 D 、5.0± 13．如果x 是a 的立方根，则下列说法正确的是（） A 、x -也是a 的立方根 B 、x -是a -的立方根 C 、x 是a -的立方根 D 、等于3 a 14．π、 7 22、3-、3343、1416.3、3.0 可，无理数的个数是（） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 15．与数轴上的点建立一一对应的是（）（ A 、全体有理数 B 、全体无理数 C 、 全体实数 D 、全体整数 16．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（） A 、0 B 、正实数 C 、0和1 D 、1 三、填空题（1分×30=30分） 2.100的平方根是 ，10的算术平方根是 。
3．3±是 的平方根3-是 的平方根；2)2(-的算术平方根是 。 4．正数有 个平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根。 5．125-的立方根是 ，8±的立方根是 ，0的立方根是 。 6．正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 。 7．2的相反数是 ，π-= ，3 64-= 8．比较下列各组数大小： ⑴⑵ 2 1 5- 5.0 ⑶π 14.3 2 四、解下列各题。 1． 求下列各数的算术平方根与平方根（3分×4=12分） ⑴225 ⑵ 144 121 ⑶ 81.0 ⑷ 2 )4(- 2． 求下列各式值（3分×6=18分） ⑴225 ⑵16.0- ⑶289 144± ⑷ 364 ⑸ 3125- ⑹327125 - 3． 求下列各式中的x ：（3分×4=12分） ⑴2 x 49= ⑵ 81252 =x ⑶8 333 =-x ⑷125)2(3=+x 附加题：（10分×2=20分） 1． 怎样计算边长为1的正方形的对角线的长？ 2． 如图 平面内有四个点，它们的坐标分别是 )22,1(A )22,3(B )2,4(C )2,1(D ⑴依次连接A 、B 、C 、D ，围成的四边形是什么图形？并求它的面积
数与式 §1.1 实数及其运算 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，实数 和数轴上的点是一一对应的。 2、相反数：只有符号 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是，0的相反数是， a 、 b 互为相反数?。 3、倒数：实数a 的倒数是，没有倒数，a 、b 互为倒数?. 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离原点的叫做这个数的绝对值。 a = 5、初中阶段学过的三种非负数形式：、、。 提醒：相反数等于本身的数是. 倒数等于本身的数有.绝对值等于本身的数是. 三、科学记数法、近似数 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成的形式叫做科学记数法，其中a 的取值范围是。 2、近似数：一般地，将一个数四舍五入后得到的数称为这个数的近似数。 四、平方根、算术平方根、立方根 1、若x 2 = a (a ≥0)， 则x 叫做a 的，记做±a ，其中正数a 的平方根叫做a 的算术平方根， 记做，正数有个平方根，它们互为，0的平方根是，负数平方根。 2、若x 3=a ，则x 叫做a 的，记做3a ，正数有一个的立方根，0的立方根是，负数有一个的立方根。 提醒：平方根等于本身的数是， 算术平方根等于本身的数有.立方根等于本身的数有. 【中考典例】 考点1 实数的概念 例1 （2015安徽）在－4，2，－1，3这几个数字中，比－2小的数是 ( ) （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0） （有限或无限循环小数）
A.－4 B.2 C.－1 D.3 例2 （20130，－π13 ，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3（2015浙江丽水）在数－3，2，0，3中，大小在－1和2之间的数是（ ） A ．－3 B ．2 C ．0 D ．3 例4（2015山东潍坊）在2-，0 2，1 2- ） A. 2- B. 0 2 C. 1 2- D. 例5（2015上海）下列实数中，是有理数的为（ ） （A ） (B) (C) ( D) 0. 例6（2015四川巴中）－2的倒数是（ ） A ．2 B ． 12 C ．1 2 - D ．－2 例7 (2015贵州安顺)|-2015|等于（ ） A. 2015 B. -2015 C. ±2015 D. 12015 例8（2015山东海市）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻 重的角度看，最接近标准的工件是（ ） A. -2 B. -3 C. 3 D. 5 例9（2015山东威海）已知实数b a ,在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A. a ＜1＜b B.1 ＜a - ＜b C. 1 ＜ a ＜b D. b - ＜a ＜-1 例10（2015山东菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反 数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ） A.点M B. 点N C. 点P D. 点Q 考点2 非负数的性质 A ．m ＞6 B ．m ＜6 C ．m ＞-6 D ．m ＜-6 考点3 科学记数法、近似数 例1（2015四川自贡）将2.05×310-用小数表示为（ ） A ．0.000205 B ．0.0205 C ．0.00205 D ．－0.00205
第1讲实数概念与运算 一、知识梳理 实数的概念 1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。 (1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。 (2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。实数a的相反数是______0的相反数是________ ②性质：若a+b=0 则a与b互为______, 反之，若a与b 互为相反数，则a+b= _______ (3)倒数： ①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。 ②a 的倒数是________(a≠0) (4)绝对值：①定义：一般地数轴上表示数a的点到原点的_______, 叫数a的绝对值。 ② 2、平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a的平方根，a的平方根表示为_________.（a≥0） (2)算术平方根：正数a的____的平方根叫做a的算术平方根，数a的算术平方根表示为为_____（a≥0） (3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a的立方根，数a的立方根表示为______。 注意：负数_________平方根。 实数的运算 1、有效数字、科学记数法 （1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
（2）科学记数法：一个数M 可表示为a ?10n 或a ?10-n 形式，其中1//10a ≤∠，n 为正整数，当/M/≥10时，可表示为__________形式，当/M/<1时，可表示为____________形式。 2、实数的运算： （1）运算顺序：在进行混合运算时，先算______,再算_______，在最后算_________;有括号时，先算括号里面的。 （2）零指数：0a =__________（a≠0），负指数：p a -=________（a≠0，p 是正整数）。 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 二、题型、技巧归纳 考点一：实数的概念 1、5-的相反数是（ ） A ．5 B ．5- C ．55- D ．55 2、如果 2()13?-=，则“”内应填的实数是（ ） A ． 32 B ． 23 C ．23- D ．32 - 3、在实数π、13 、2、sin30°,无理数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 技巧归纳： 1.只有符号不同的两个数互为相反数； 2.乘积为1的两个数互为倒数 3.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 考点二：平方根、算术平方根、立方根 4、已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ． 技巧归纳： 一个数的平方根互为相反数，相加等于0 考点三：实数的运算 5、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m 的颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为( )
实 数1（平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算） 板块一：战前准备——打败拦路虎！ 第一作战目标：平方根 相关知识：平方 224,=2749,=211121,=221441,=2321024,= 4＝( )2 49＝( )2 121＝( )2 1024＝( )2 5＝( )2 250＝( )2 平方根的概念：____________________________________________________ ____________________________________________________。 示例： 若22＝4，则2就叫做4的平方根； 若(－2)2＝4，则－2就叫做4的平方根； 若(±2)2＝4，则±2就叫做4的平方根。 练习：25的平方根为_______，81的平方根为_______，5的平方根为_______。 练习升级：0的平方根为_______。 练习再升级：－5的平方根为_______？ 总结： 1．只有非负数才有平方根！ 2．正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根只有一个，就是0。 负数没有平方根。 第二作战目标：算术平方根 算术平方根的概念： ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________。 示例：4的平方根是±2，其中2叫做4的算术平方根。 5叫做5的算术平方根。 练习：2564 的平方根是______，算术平方根是______。 0.0001的平方根是________，算术平方根是________。 (－3)2的平方根是________，算术平方根是________。 ______，算术平方根是______。 a (a ≥0)的平方根是________，算术平方根是________。 又总结了： 1．先确定这个数是谁，再去判断它的平方根和算术平方根。( (－3)2 2a ≥00！(双重非负)
初中数学实数与二次根式的基本概念进阶考试要求： 重难点： 1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系； 2.能进行实数的运算 3.二次根式(0) a≥的内涵，(0) a≥是一个非负数；2a =(0) a≥；a = (0) a≥ 及其运用． 4.二次根式乘除法的规定及其运用． 5.二次根式的加减运算． 例题精讲： 实数 模块一实数的概念及分类 1．实数的概念 实数：有理数和无理数的统称． 2．实数的分类
0???????? ???? ???????? ??? ???????????? ???????????? 正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意： （1）实数还可按正数，零，负数分类． （2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般 用2n 1- 或2n 1+ （n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数． （4）带根号的数不一定是无理数，如9． 【例1】 下列实数 31 7 ，π-，3.14159 21中无理数有（ ）． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 【难度】1星 【解析】是不是有理数，要看化简之后的结果，所以无理数有π- 【答案】A 【巩固】有下列说法： （1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数； （3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【难度】1星 【解析】略． 【答案】C 模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0. （1）实数a 的相反数是a -. （2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0. （3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. 倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1. （1）实数a (a ≠0)的倒数是 1a . 2345
实数的概念 课时目标 1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类； 2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系. 知识精要 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类 ???????????????? ?????????正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 4. 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即 2x a =，那么x 就叫做a 的平方根. 5. 平方根的性质与表示 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根. （2）正数a 的两个平方根可以用 “ a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； ； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0． 12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义 如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质 （1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示； （2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在； （4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”. 热身练习
第1课时实数的概念与运算 【复习目标】 1．理解有理数、相反数、绝对值、乘方的意义，掌握有理数的运算律，能运用运算律简化运算，并能运用有理数的运算解决简单的实际问题． 2．会求有理数的相反数与绝对值，能比较有理数的大小，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 3．能用数轴上的点表示有理数及简单的无理数，知道实数与数轴上的点一一对应． 4．了解平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数、近似数、有效数字的概念，了解开方与乘方互为逆运算． 5．会用根号表示平方根、立方根，能用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，能把给出的实数按要求进行分类，会比较实数的大小，会进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）． 6．能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，在解决实际问题时能根据问题的要求对结果取近似值，会用科学记数法表示一个较大或较小的数，能用有理数估计一个无理数的大致范围． 【知识梳理】 1．实数的分类： (1)按定义分类： 2．数轴：规定了________、_______和_______的直线叫做数轴，数轴上的点与_______是一一对应的关系．
3．相反数：只有_______的两个数互为相反数．数a的相反数是_______；若a和b互为相反数，则a＋b＝_______． 4．绝对值：在数轴上，表示数a的点到_______的距离，叫做数a的绝对值，记作a，正数的绝对值是_______，负数的绝对值是_______，0的绝对值是_______，即 5．倒数：乘积为_______的两个数互为倒数．数a(a≠0)的倒数是________；若实数a，b互为倒数，则ab＝_______． 6．科学记数法：把一个数表示成a×10n(_______≤a<_______，n为不等于0的整数）的形式的方法叫做科学记数法． 7．近似数与有效数字：一个与实际数值很接近的数叫做近似数．一般地，近似数由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位，这时，从左边第一个不是_______的数字起，到_______止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 8．平方根、算术平方根与立方根： (1)若x2＝a(a≥0)，则称x为a的_______，记为＋a或a，其中a叫做a的_______．0的算术平方根是_______．同样，若x3＝a，则称x为a的_______，记为3a，0的立方根为_______． (2)一个正数的平方根有两个，它们_____，负数没有平方根．一个数的立方根只有一个．9．实数的大小比较： (1)数轴表示法：将两个实数分别表示在数轴上，_______边的数总比_______边的数大． (2)代数比较法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而________． (3)根式比较：若a>b≥0，则a_______b． 10．实数的运算： (1)实数的运算法则： ①加法法则：同号两数相加，取_______的符号，并把绝对值_______；异号两数相加，取_______的加数的符号，并用_______减去_______；互为相反数的两数之和等于_______． ②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_______． ③乘法法则：两数相乘，同号得_______，异号得_______，并把绝对值相乘；0乘任何