“将军饮马”类题型大全
一．求线段和最值
1（一）两定一动型
例1：
如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF 上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．
分析：
这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．
解答：
作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．
变式：
如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．
分析：
考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．
解答：
连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.
2
（二）一定两动型
例2：
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．
分析：
这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．
解答：
作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，
则AD·BC＝BE·AC，
4×6＝BE·5，BE＝4.8
变式：
如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．
分析：
这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．
解答：
如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.
（三）两定两动型
例3：
如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.
分析：
这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．
解答：
作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’． CF＋EF＋DE＝C’F＋ EF＋D’E，当C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．
变式：
（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．
分析：
本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．
解答：
作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．
小结：
以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．
（二）求角度
例1:
P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．
（1）∠AOB＝_____°
（2）求证：OP平分∠MPN
分析：
这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB 的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．
解答：
（1）法1：
如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．
再分析：
考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．
解答：
（1）法2：
易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°
（2）
由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．
变式：
如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．
分析：
这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．
解答：
如图，
∵∠BAE＝136°，
∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°
由对称性知，
∠MAA′＝∠MA′A，
∠NAA″＝∠NA″A，
∠AMN＋∠ANM
＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°
思考题：
1.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．
2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为________．
【例1】【两点间距离】 如图，一个底面圆周长为24cm ，高为5cm 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 的最短路线长为_______ 【练习1】 如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺， 有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则葛藤的最短长度是＿＿＿尺． 【例2】【两定一动】 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝1 3S 矩形ABCD ，则PA ＋PB 的最小值为_______ 模型总结： 【练习2】 （1）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为_________ 方法提炼
（2）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4， 点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为. 【例3】【两定两动】 已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．M、N分别是直线a,b上的动点，且MN⊥a，当满足AM+MN+NB的长度和最短时，AM+NB= 模型总结：
已知直线 3 : 3 l y x =，CD是该直线上的一条动线段，且CD=2，点A() 23,1 +，连接AC、AD， 则△ACD周长的最小值为___________ 【例4】【一定两动】 如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 模型总结：
2018年中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ???-==0,0,00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用
将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值
M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；
河北中考复习之规律探索 1、观察图4给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为 A ．3n －2 B ．3n －1 C ．4n ＋1 D ．4n －3 2、观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式： （2）通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式． 3、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6 ，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） A ．13=3+10 B ．25=9+16 C ．36=15+21 D ．49=18+31 4、将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和 5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．2 5、如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”． 如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”． …… ① ② ③ ⑤ ④ 4×0＋ 1＝4×1－3； 4×1＋1＝4×2－3； 4×2＋1＝4×3－3； ___________________； ___________________； …… 图 4 第2个 s = 5 第1个 s =1 第3个 s =9 …… 第4个 s =13
中考数学复习资料
第一章实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32 ,7等； π+8等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a= - b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它
本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是
中考复习回归课本 数学基本知识点 一、实数 考点一、实数的概念及分类 1、 实数的分类：实数包括有理数和 ____________ . 2、 无理数 归纳起来有三类： ；3 - （1） 开方开不尽的数，如-.7， -，3 9等； 2 （2） 有特定意义的数，如圆周率 n, n 等； - （3） 有特定结构的数，如 0.1010010001…等； 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为 _________ ，零的相反数是 _，从数轴上看，互为相反数 的两个数所对应的点关于 _______ 对称，如果a 与b 互为相反数，则有a - b = 0 ,a = — b , 反之亦成立. 2、 绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的 __________ ,为.零的绝对值是它本身，也可 看成它的相反数，若=a ，则&为；若=—a ，则a _________ 0.正数大于零，负数小于零，正 数大于一切，两个负数，绝对值大的反而 . -、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有 _______ = 1,反之亦成立. 倒数等于本身的数是 ______ 和 _____ , ______ 没有倒数. 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于 a ,那么这个数就叫做a 的 ____________ （或二次方跟）. 一个正数有两个平方根，他们互为 _________ ;零的平方根是 —； __________ 没有平方根.正 数a 的平方根记做“ _、a ” . 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的 ____________ ，记作“ a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零 -、立方根 如果一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的 ___________ （或a 的三次方根） 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零 . 护TXT 爲）；注意皿双重非负性: Ya 工0 a _0
中考数学专题复习——探索规律 一、选择题 1.（2018年浙江省衢州市）32，3 3和34分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，3 6也能按此规律进行“分裂”，则3 6“分裂”出的奇数中最大的是( ) A 、41 B 、39 C 、31 D 、29 2．（2018湖南益阳）有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n(n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 A. 60n 厘米 B. 50n 厘米 C. (50n+10)厘米 D. (60n-10)厘米 3.(2018江苏宿迁)用边长为1的正方形覆盖33 的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( ) Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 4.（2018 四川 泸州）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm ，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是（ ） A ．2 158cm B ．2 176cm C ．2 164cm D ．2 188cm 5.(2018 湖南 益阳)如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6.(2018 河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） 32 3 5 33 9 11 34 13 15 17 19 7
如何做好2018年中考数学总复习 针对中考命题规律，遵循考试大纲和教学目标，为体现“基础知识全面考，主干内容重点考，热点知识反复考，冷点知识有时考”的命题原则，在2018年中考复习过程中，应引导学生抓好基础知识，并选择一些教材中的重点题型，补充一些教材之外的中考新题型，以提高学生解题的灵活性、可变性、发散性.现就谈谈本人在指导学生数学复习中的体会. 一、坚持“阅读——例题——练习”的原则 由于学生对所复习的部分内容已经有所遗忘了，为解决这个问题，我采用了“先阅读，后例题，再练习”的教学方法.具体步骤是：教师先让学生课前阅读相关的内容，课上再引导学生挖掘知识间的内在联系，归纳、整理、浓缩知识点，把各个局部的知识按照一定的方法建立全面的知识结构，形成知识网络，使学生更好地感知教材、记忆教材;或者上课
时让学生跟着老师的提示，快速地阅读课文.比如，在复习《相似三角形》一章时，我让学生快速地把课本上相关内容浏览一遍，让学生有个感性的认识之后，再精选适量的，具有代表性、典型性的例题讲解，并在讲解中让学生体会到刚才所复习的知识在解题中的应用. 在课堂教学中，根据练习题的数量和难度，规定时间进行练习.在练习时，教师特别关注学困生和优等生，指导学困生完成练习，引导优等生进行变式练习.学生在完成练习以后，可以把答案告诉学生，让他们通过参考答案弄明白部分题目错误的原因，此时教师要巡视学生的解题情况，对学生已经能自己纠正的问题，讲解时就不必再花时间了;对于学生还没有办法解答的问题，学生会向教师提出，教师要抓住这个时机，激发学生的求知欲，培养学生知难而进的精神，并树立攻破难题的信心.在讲解过程中，根据学生的解题情况，有针对性地调节例题内容，突破学生在练习中遇到的疑难问题，最后可让学生通过讨论来总结解题的方法及思路，达到举一反三的效果.课后要布置适量的相应练习，使学生对所复习的知识达到巩固的目的.
鲁教版2018中考数学专题复习 二次根式 1. 4 的平方根是（ ）A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 2.设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 3.实数a 化简后为 A ． 7 B ． －7 C ． 2a －15 D ． 无法确定 4.若0)3(12=++-+y y x ，则y x - 的值为 （ ）A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7 5. (-2)2 的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 6.下列运算正确的是（ ）A.25=±5 B.43-27=1 C.18÷2=9 D.24·3 2 =6 7.在实数0 、 2-中，最小的是（ ）A ．2- B ． C ．0 D 8. 12a -，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 9．下列各式中，正确的是（ ）A ． 3- B ．3- C 3± D 3± 10.已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为A.9 B.±3 C.3 D. 5 11.计算75147-＋27之值为何（ ）A ．53 B ．33 C ．311 D ． 911 12.．计算 63125412 9? ÷之值为何（ ）A ．123 B ．63 C ．33 D ．433 13. 8的立方根是（ ）A ．2 B ．-2 C ．3 D ．4 14.下列各式计算正确的是A ．2 ． 15.下面计算正确的是（ ） A.3 32 35 = D.2- 16.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞3 17． ）A ．3 B ．－3 C ．±3 D ． 18.计算221－63 1＋8的结果是（ ）A ．32－23 B ．5－ 2 C ．5－3 D ．22 19.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． ． 20. 已知y 2xy 的值为（ ）A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 21.下列计算正确的是（ ） 4 22.已知a 、b 为两个连续的整数，且a b ，则a b += 23.计算：28-= 24. 当x =2 211x x x ---=____________．25. x 的取值范围是 ． 26. 实数x ，y 满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 2011 -y 2011 = ．27. 计算的结果是 ． 第2题图
2017年中考数学应用题专题复习 1、整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题： （1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？ （2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？ 2、由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？ 3、为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元． （1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？ （2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 4、某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%． （1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？ （2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？ （3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？ 5、我国西南五省市的部分地区发生严重旱灾，为鼓励节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，右图反映的是每月收取水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系. （1）小明家五月份用水8吨，应交水费______元； （2）按上述分段收费标准，小明家三、四月份分
2018数学中考总复习 一元一次方程应用题 （Day1）从实际问题到方程 1. 已知矩形的周长为20厘米，设长为x厘米，则宽为 . 2.学生a人，以每10人为一组，其中有两组各少1人，则学生共有（）组. A. 10a－2 B. 10－2a C. 10－(2－a) D.(10+2)/a 3．一个两位数的个位数字与十位数字都是，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是 4．一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后甲乙两人合作完成这项工程，则可以列的方程是 5．一队师生共328人，乘车外出旅行，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租用多少辆客车？如果设还要租x辆客车，可列方程为 6．民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5％购买行李票。一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付了1323元，求该旅客的机票票价。 7. 在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?” 8．某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？ 9．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数。 10．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数。 11．小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄。
函数 一. 教学目标： 1. 会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标 2. 会确定点关于x轴，y轴及原点的对称点的坐标 3. 能确定简单的整式，分式和实际问题中的函数自变量的取值范围，并会求函数值。 4. 能准确地画出一次函数，反比例函数，二次函数的图像并根据图像和解析式探索并理解其性质。 5. 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系并用函数解决简单的实际问题。 二. 教学重点、难点： 重点：一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质及应用 难点：函数的实际应用题是中考的重点又是难点。 三.知识要点： 知识点1、平面直角坐标系与点的坐标 一个平面被平面直角坐标分成四个象限，平面内的点可以用一对有序实数来表示平面内的点与有序实数对是一一对应关系，各象限内点都有自己的特征，特别要注意坐标轴上的点的特征。点P（x、y）在x轴上?y＝0，x为任意实数， 点P（x、y）在y轴上，?x＝0，y为任意实数，点P（x、y）在坐标原点?x＝0，y＝0。 知识点2、对称点的坐标的特征 点P（x、y）关于x轴的对称点P 1的坐标为（x，－y）；关于y轴的对称轴点P 2 的坐标为（－ x，y）；关于原点的对称点P 3 为（－x，－y） 知识点3、距离与点的坐标的关系 点P（a，b）到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即｜b｜ 点P（a，b）到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即｜a｜ 点P（a，b）到原点的距离等于：2 2b a+ 知识点4、与函数有关的概念 函数的定义，函数自变量及函数值；函数自变量的取值必须使解析式有意义当解析式是整式时，自变量取一切实数，当解析式是分式时，要使分母不为零，当解析式是根式时，自变量的取值要使被开方数为非负数，特别地，在一个函数关系中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。
2018年中考数学第一 轮基础知识总复习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章数与式 课时1．实数的有关概念 【考点链接】 一、有理数的意义 1．数轴的三要素为、和 . 数轴上的点与构成一一对应. 2．实数a的相反数为________. 若a，b互为相反数，则b a = . 3．非零实数a的倒数为______. 若a，b互为倒数，则ab= . 4．绝对值 在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数的绝对值。即一个正数的绝对值等于它；0的绝对值是；负数的绝对值是它的。 ( a>0 ) 即│a│= ( a=0 ) ( a<0 ) 5．科学记数法：把一个数表示成的形式，其中1≤a＜10的数，n是整数. 6．一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从 左边第一个不是的数起，到止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 二、实数的分类 1．按定义分类 正整数 整数零自然数 有理数负整数 正分数 分数有限小数或无限循环小数 实数负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2．按正负分类 实数
【三年中考试题】 1．(2008年，2分) 8-的倒数是（ ） A ．8 B ．8- C ．18 D ．18 - 2．（2008年，3分）若m n ，互为相反数，则555m n +-= ． 3.（2009年，3分）若m 、n 互为倒数，则2(1)mn n --的值为 ． 4．（2009年，3分）据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大 国，年发电量约为12 000 000千瓦．12 000 000用科学记数法表示为 ． 5．（2010年，3 分）-的相反数是 ． 6．（2010年，3分）如图7，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ． 课时2. 实数的运算与大小比较 【考点链接】 一、实数的运算 1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、 、 六种，其中减法转化为 运算，除法、乘方都转化为 运算。 2. 数的乘方 =n a ，其中a 叫做 ，n 叫做 . 3. =0a （其中a 0 且a 是 ）=-p a （其中a 0） 4. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 二、实数的大小比较 1．数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大. 2．正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的． 3．实数大小比较的特殊方法 图7
2017-2018九下数学教学进度及复习计划（2018-2）
课后5.1 平行四边 形及多边形 四边形证明四边形证明四边形证明 圆有关的计算周测：刘文源 7 （4.9-4 .13）课 上 7.1 视图与 投影 8.1 统计8.2 概率 二轮：运动型 问题（1） 二轮：运动型 问题（双动点） 主备：赵卫 国，刘文源课 后 一模综合题练习周测：渠海霞 8 （4.16-4.20）课 上 预计一模考试 预计一模考试预计一模考试 二轮：运动型 问题（动点+动 线） 二轮：运动型 问题（动点+动 面） 主备：郑朝 龙，赵静课 后 15专题+23， 24题 16专题+23， 24题 9 （4.23-4.27）课 上 二轮：立体图 形与平面图形 的转化 二轮：特殊平 行四边形的相 关证明添加条 件型 二轮：特殊平 行四边形的相 关证明探究结 论型 二轮：实物抛 物线型问题 二轮：销售问 题 主备：渠海 霞，周茜 课 后 填空选择模块、证明模块、代数模块练习 周测：赵连江 10 （4.30-5.4）课 上 二轮：二次式 的综合应用 二轮： 16+20+22代数 模块 二轮： 16+20+22代数 模块 二轮：阅读理 解问题：几何 问题代数解 二轮：阅读理 解问题：代数 问题几何解 主备：赵卫 国，刘文源 课 后 填空选择模块、证明模块、代数模块练习 周测：赵静 11 （5.7-5 .11）课 上 选择与填空选择与填空 小综合检测1小综合检测2小综合检测3 课 后 选择与填空讲 评 选择与填空讲 评 小综合检测1 讲评及改错 小综合检测2 讲评及改错 小综合检测3 讲评及改错 12 （5.14-5.18）中考二模及中考二模讲评学生查缺补漏 13 （5.21－25）大综合2套及讲评学生查缺补漏 14 （5.28－6.1）大综合2套及讲评学生查缺补漏 15 （6.4－ 6.8） 学生自悟。大综合1套、机动
中考数学总复习专题---翻转折叠问题 【专题点拨】 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认 知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形 等知识综合运用。 【解题策略】 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换， 即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直 平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算. 【典例解析】 类型一：三角形折叠问题 例题1：（·浙江省湖州市·３分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得 ∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（） A．4 B． C．3D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠AB C， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴=， ∴=， ∴CD=，BD=BC﹣CD=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴=，即=， ∴DM=，MB=BD﹣DM=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，
∴△ABD∽△MBE， ∴=， ∴BE===． 故选B． 变式训练1： （·吉林·３分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方 式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）． 类型二：平行四边形折叠问题 例题2：（·湖北武汉·３分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B ＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．
专题一图表信息 专题提升演练 1.如图,根据程序计算函数值,若输入的x值为,则输出的函数值为() A. B. C. D. 2.如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运 动时间为t,分别以AP和PB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图 象大致为() 3.如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜, 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得 AB=1.2 m, BP=1.8 m,PD=12 m,则该古城墙的高度是() A.6 m B.8 m C.18 m D.24 m 4.某种蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(单位:A)与可变电阻R(单位:Ω)之间的 函数关系如图,当用电器的电流为10 A时,用电器的可变电阻阻值为Ω. .6 5为鼓励居民节约用电,某省试行阶梯电价收费制,具体执行方案如下: 档次每户每月用电数/度执行电价/(元/度) 第一档小于等于200 0.55
第二档大于200小于400 0.6 第三档大于等于400 0.85 例如:一户居民七月用电420度,则需缴电费420×0.85=357(元). 某户居民五月、六月共用电500度,缴电费290.5元.已知该用户六月用电量大于五月,且五月、六月的用电量均小于400度.问该户居民五月、六月各用电多少度? 500度,所以每个月用电量不可能都在第一档. 假设该用户五月、六月每月用电均超过200度, 此时的电费共计:500×0.6=300(元), 而300>290.5,不符合题意. 又因为六月用电量大于五月,所以五月用电量在第一档,六月用电量在第二档. 设五月用电x度,六月用电y度, 根据题意,得 故该户居民五月、六月各用电190度、310度. 6.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题: 图① 图② (1)图①中a的值为; (2)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数. (2)∵ =1.61, ∴这组数据的平均数是1.61. ∵在这组数据中,1.65出现了6次,出现的次数最多, ∴这组数据的众数为1.65.
2018 初三中考数学复习平行线的证明专题复习练习 1. 下列说法正确的是( D ) A．经验、观察或试验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数 D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个2. “两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”这句话是( C ) A．定义 B．假命题 C．公理 D．定理 3. 下列语句中，是命题的是( C ) A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点 4．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D＝65°，则∠ABC的大小是( A ) A．25°B．35°C．50°D．65° 5．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2等于( B )
A．90°B．100°C．130°D．180° 6．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是( A ) A．∠DCE>∠ADB B．∠ADB>∠DBC C．∠ADB>∠ACB D．∠ADB>∠DEC 7．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝50°，则∠2等于( C )
A．50°B．60°C．65°D．90° 8．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，且BE交CD于点D，∠CDE ＝150°，则∠C的度数为( C ) A．150°B．130°C．120°D．100° 9．如图，直线a∥b，∠A＝38°，∠1＝46°，则∠ACB的度数是( C )
2018初三年级数学中考总复习计划 1 2 3 初三毕业班总复习教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和4 效益，是每位毕业班数学教师必须面对的问题。下面就本学期初三数学总复习教学，5 拟定本届初三毕业班的复习计划。 6 一、第一轮复习【1月15—3月底】（共计8周） 1、第一轮复习的形式：“梳理知识脉络，构建知识体系”----理解为主，做题7 8 为辅 9 （1）目的：过三关 ①过记忆关 10 11 必须做到：在准确理解的基础上，牢记所有的基本概念（定 义）、公式、定理，推论（性质，法则）等。 12 13 ②过基本方法关 14 需要做到：以基本题型为纲，理解并掌握中学数学中的基本解题方法，例如：配方法，因式分解法，整体法，待定系数法，构造法，反证法等。15 16 ③过基本技能关 17 应该做到：无论是对典型题、基本题，还是对综合题，应该很清楚地知18 道该题目所要考查的知识点，并能找到相应的解题方法。 19 （2）宗旨：知识系统化 20 在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构。
（3）配套练习以《加速度》为主，按照考点分类进行知识点的复习，重视补缺 21 22 工作。 23 2、第一轮复习应注意的问题 24 （1）必须扎扎实实夯实基础 25 中考试题按难：中：易=1：2：7的比例，基础分占总分的70%，因此必须对基础26 数学知识做到“准确理解”和“熟练掌握”，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。 27 28 （2）必须深钻教材，不能脱离课本 29 （3）掌握基础知识，一定要从理解角度出发 数学知识的学习，必须要建立逻辑思维能力，基础知识只有理解透了，才可以举 30 31 一反三、触类旁通。相对而言，“题海战术”在这个阶段是不适用的。 32 （4）定期检查学生完成的作业，及时反馈对于作业、练习、测验中的问题，将33 问题渗透在以后的教学过程中，进行反馈、矫正和强化。 34 （5）模式为：提前预习两节的“陕西6年中考”和“知识要点梳理”，当堂内35 容为选择性的讲解“陕西6年中考”和“知识要点梳理”以及“典型例题精讲”，当36 天的作业为《加速度精练册》（两节）和预习两节的“陕西6年中考”和“知识要37 点梳理”。 38 （6）知识点共计94个，分散在八章内容里。（共计八周） 39 考点1：实数的分类 考点2：实数的相関概念 40 41 考点3：数轴
2018(上)NS数理推演拓展12 专题复习（三）应用题复习 姓名___________班级___________ 1．已知A、B两地相距80km ，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中直线DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s (km )与时间t (h )的函数关系的图象。根据图象解答下列问题。 (1)甲比乙晚出发几个小时?乙的速度是多少? (2)乙到达终点B地用了多长时间? (3)在乙出发后几小时，两人相遇? 2．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树。 （1）直接写出平均每棵树结的橙子数y（个）与x之间的关系式。 （2）果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少。 3．某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天120元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于210元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元?
4．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由． （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）． 5.某商店经销某玩具每个进价60元，每个玩具不低于80元出售，玩具的销售单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图． （1）试求表示线段AB的函数的解析式，并求出当销售数量n=20时的单价m的值； （2）写出该店当一次销售n（n＞10）个时，所获利润w（元）与n（个）之间的函数关系式：（3）店长小明经过一段时间的销售发现：卖27个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到________ 元？
将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.
3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱
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