初中数学竞赛辅导资料(40)
线段、角的和差倍分
甲内容提要
证明线段、角的和,差,倍,分,常用两种方法:一是转化为证明线段或角的相等关系;一是用代数恒等式的证明方法。
一. 转化为证明相等的一般方法
㈠通过作图转化
1. 要证明一线段(角)等于两线段(角)的和(用截长补短法)
⑴分解法――把大量分成两部分,证它们分别等于两个小量
⑵合成法――作出两个小量的和,证它与大量相等
2. 要证明一线段(角)等于另一线段(角)的2倍
⑴折半法――作出大量的一半,证它与小量相等
⑵加倍法――作出小量的2倍,证它与大量相等
㈡应用有关定理转化
1. 三角形中位线等于第三边的一半,梯形中位线等于两底和的一半
2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半
3. 直角三角形中,含30度的角所对的直角边等于斜边的一半
4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍
6. 三角形的重心(各中线的交点)分中线为2∶1
7. 有关比例线段定理
二. 用代数恒等式的证明
1. 由左证到右或由右证到左
2. 左右两边分别化简为同一个第三式
3. 证明左边减去右边的差为零
4. 由已知的等式出发,通过恒等变形,到达求证的结论
乙例题
例1.已知:△ABC 中,∠B =2∠C ,AD 是高
求证:DC =AB +BD
分析一:用分解法,把DC 分成两部分,分别证与AB ,BD 相等。
可以高AD 为轴作△ADB 的对称三角形△ADE ,再证EC =AE 。
∵∠AEB =∠B =2∠C 且∠AEB =∠C +∠EAC ,∴∠EAC =∠C
辅助线是在DC 上取DE =DB ,连结AE 。
分析二:用合成法,把AB ,BD 合成一线段,证它与DC 相等。
仍然以高AD 为轴,作出DC 的对称线段DF 。
为便于证明,辅助线用延长DB 到F ,使BF =AB ,连结AF ,则可得
∠ABD =2∠F =2∠C 。
例2.已知:△ABC 中,两条高AD 和BE 相交于H ,两条边BC 和AC 的中垂线相交于O ,垂足是M ,N
C
A B D F B C D
求证:AH =2MO , BH =2NO
证明一:(加倍法――作出OM ,ON 的2倍)
连结并延长CO 到G 使OG =CO 连结AG ,BG
则BG ∥OM ,BG =2MO ,AG ∥ON ,AG =2NO
∴四边形AGBH 是平行四边形, ∴AH =BG =2MO ,BH =AG =2NO
证明二:(折半法――作出AH ,BH
分别取AH ,BH 的中点F ,G 连结FG ,MN 则FG =MN =21AB ,FG ∥MN ∥AB 又∵OM ∥AD , ∴∠OMN
=∠HGF (两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM =∠HFG ∴△OMN ≌△HFG ……
例3. 已知:在正方形ABCD 中,点E 在AB 上且CE =AD +AE ,F 是AB 的中点
求证:∠
DCE =2∠BCF
分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE =AD +AE 条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。
我们可将AE (它的等量DG )加在正方形边CD 的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD (它的等量AG )加在
AE 的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图,证明(略)自己完成
例4.已知:△ABC 中,∠B 和∠C 的平分线相交于I ,
求证:∠BIC =90 +2
1∠A 证明一:(由左到右) ∠BIC =180
-(∠1+∠2)=180 -2
1(∠ABC +∠ACB ) =180 -21(∠ABC +∠ACB +∠A )+2
1∠A =90 +21∠A 证明二:(左边-右边=0) ∠BIC -(90 +2
1∠A ) =180 -21(∠ABC +∠ACB )-90 -2
1∠A =90 -21(∠ABC +∠ACB +∠A )=…… 证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形)
∵∠A +∠ABC +∠ACB =180 ∴∠A =180
-(∠ABC +∠ACB )
G
21∠A =90 -2
1(∠ABC +∠ACB ) 90 +21∠A =180 -21(∠ABC +∠ACB ),即∠BIC =90 +2
1∠A 丙练习40
1. △ABC 中,∠B =2∠C ,AD 是角平分线,求证:AC =AB +BD
2. △ABC 中,∠B =2∠C ,AD 是高,M 是BC 的中点,则AB =2DM
3. △ABC 中,∠B 的平分线和∠C 的外角平分线交于E ,则∠A =2∠E
4. △ABC 的AB =AC ,CD 是中线,延长AB 到E 使BE =AB ,连结EC ,则CE =2CD
5. 已知:等腰直角三角形ABC 中,∠A =Rt ∠,BD 是角平分线
求证:BC =AB +AD
6. 已知:△ABC 中,AB <AC ,AD 是高,AE 是角平分线
求证 :∠DAE =2
1(∠B +∠C ) 7. 已知:△ABC 中,AB =AC ,点D 在AC 的延长线上,
求证:∠CBD =2
1(∠ABD -∠D ) 8. 已知:AD 是△ABC 的中线,E 是AD 的中点,BE 延长线交AC 于F
求证:BF =4EF
9. 已知:在正方形ABCD 中,E 是BC 边上的一点,AF 平分∠DAE ,交CD 于F
求证:AE =BE +DF
10. 在△ABC 中,∠BAC =Rt ∠,BC 的中垂线MN 交AB 于M ,交BC 于N ,角平分线AD 延长线交MN 于E ,
则BC =2NE
(1987年泉州市双基赛题)
11. 以Rt △ABC 两直角边AC ,BC 为边向形外作正方形ACDE 和BCFG ,分别过E ,G 作斜边AB 所在直线的垂
线段EE ,,GG ,则AB =EE ,+GG ,
12. 已知:△ABC 中,AB =AC ,AD 是高,CE 是角平分线EF ⊥BC 于F ,GE ⊥CE 交CB 延长线于G ,
求证:FD =4
1CG (提示:以CE 为轴作△CEG 的对称三角形) 13. 已知:△ABC 中,∠A =100 ,AB =AC ,BD 是角平分线
求证:BC =BD +AD
14. 已知:正方形ABCD 中,AE 平分∠BAC 交BC 于E ,交BD 于F ,O 是对角线的交点
求证:CE =2FO
15. 已知:如图AC ,BD 都垂直于AB ,且CD 交AB 于E ,CE =2AD
求证:∠ADE =2∠BDE
16. 已知:△ABC 中,AB <AC <BC ,点D 在BC 上,点E 在BA 的延长线上,且BD =BE =AC ,△BDE 的外
接圆和△ABC 的外接圆交于点F
求证:BF =AF +FC (1991年全国初中数学联赛题)
(提示:在BF 上取BG =CF )
(15)
练习40
1.以AD轴作轴对称三角形
2.取AB中点N,再证明DN=DM
3.利用外角性质,分别用两角差表示∠A和∠E
4.有多种证明方法,注意三角形中位线性质
6.∠B+(∠BAE-∠DAE)=90,∠C+(∠EAC+∠DAE)=90
7.∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD,两边同加上∠CBD
10.作高AH
12延长GE交AC于M,则E是GM的中点,作EP∥BC交AC于P,则EP被AD平分5.在BC上取BE=BD,则△EDC等腰,作DF∥BC交AB于F,可证△ECD≌△ADF 16.在BF上截取BG=FC,△BGE≌△CFA,再证GE=GF