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矩阵理论试题

矩阵理论2007年考试

一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?）

1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ，

如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( )

2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )

3、设n n C

A ?∈可逆，n n C

B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆.

( ∨ ) 4、设323121000a a A a a a a -?? ?=- ? ?-??

为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵. ( )

5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( )

6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )

7、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( )

8、0010140110620

118A ??????=??????

至少有2个实特征值. ( ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( )

10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( )

二、计算与证明（60分）

1. (10分)设矩阵n n A C

?∈可逆, 矩阵范数||||?是n

C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||1

1||||1max ||()||||||||||min ||()||v v v x v

y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==,

1100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,

结论成立.

2.(10分) 已知矩阵110130110,112114A b ???? ? ?== ? ? ? ?????

(1) 求矩阵A 的最大秩分解;

(2) 求A +

;

(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解?

(4) 求方程组Ax b =的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解) 解: (1)10110101011011A BD ???? ?== ? ??? ???

, (2)12111()1213T T B B B B +--??== ?-??, 121121()13521T T D D DD +--?? ? ?== ?- ? ?-??, 541033157215541A D B +++-?? ? ?== ?- ? ?-??

, (3) 314AA b b +?? ?== ? ???

, 方程组Ax b =有解;

(4) 最小范数解:()01101T

x A b +==. 3. (10分) 设矩阵n n A C

?∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n n H C ?∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.

证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)H H H H x HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,

R λ∈.

(必要性) A 为单纯矩阵, 所以11, (,,), n i A P DP D diag R λλλ-==∈,

令H H P P =, 则1H H HA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵.

4. (10分) 设矩阵n n A C ?∈为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin 圆盘定理证明:

(1) 矩阵A 为可逆矩阵;

(2) 如果矩阵A 的所有主对角元均为负数, 证明A 的所有特征值都有负实部.

5. (10分)

(1) 设矩阵()m n A C m n ?∈<, 且H m AA I =, 其中m I 为单位矩阵, 证明H

A A 酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵.

证明: 由于矩阵H A A 和H m AA I =的非零特征值相同, 所以矩阵H A A 的特征值为1(m 个)和 0(n m -个), 同时由于矩阵H A A 为Hermite 矩阵, 所以矩阵H A A 酉相似于对角矩阵000m

n n

I D ???= ??? (2) 设矩阵m n n A C ?∈, 证明: 2||||1AA +=.

证明: 令2B AA B B +=?=. 设B 的特征值为λ, 则2λλ=, 即0,1λ=.设

,00n x C x Ax ∈≠?≠, 所以有()1()B Ax AA Ax Ax +==?, 即1是矩阵B 的特征值, 故()1r B =, 1/22||||[()]()1H B r B B r B ?===.

6. (10分) (1) 设矩阵()ij n n A a ?=, 则

,||||max ||a ij i j

A n a =? 是矩阵范数.

(2) 设,,,n x y p q C ∈, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||||m A .

上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分

上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置. 一、单项选择题（每题3分，共15分） 1. 设???? ? ??=001001001A ，则=-199200A A ( ) （A ）E ；（B ）0；（C ）A ；（D ）2A . 2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) （A ）次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的通常乘法；（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；（C ）平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算 0x x k =?，k 是实数，0x 是某一取定向量；（D ）投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) （A ）保持向量的长度不变；（B ）将标准正交基变为标准正交基；（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵. 4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) （A ）A 与对角矩阵相似；（B ）A 的特征值只可能是1或者0；（C ）A A )1sin()sin(=；（D ）幂级数10)(-∞ =-=∑A E A k k . 5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( ) （A ）{}021=?V V ；（B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+；（C ）21V V +的零元素的分解式唯一；（D ）V V V =?][21. 二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为

2016矩阵论试题

第 1 页共 6 页（A 卷）学院系专业班级姓名学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷太原理工大学矩阵分析试卷（A ）适用专业：2016级硕士研究生考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟共 8页一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是（）. (A) A 一定可以对角化；（B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ；（D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(