§9.6双曲线
1.双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
(1)当a (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x 2m －y 2 n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线. ( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1 e 22＝ 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线). ( √ ) 2.若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率 为 ( ) A. 5 B.5 C. 2 D.2 答案 A 解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为bc a 2＋ b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝ c 2，∴5a 2 ＝c 2， ∴离心率e ＝c a ＝ 5. 3.(2013·福建)双曲线x 24－y 2 ＝1的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A.25 B.45 C.255 D.455 答案 C 解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y ＝±12x 的距离d ＝25 ＝25 5. 4.(2012·天津)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 2 16＝1有相同的渐近线， 且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2 解析 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 2 16λ＝1. 由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5?λ＝1 4，则a 2＝1，b 2＝4. 又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2. 5.(2012·辽宁)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________. 答案 2 3 解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 2|＝x (x >0)，|PF 1|＝2＋x ，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8， 所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1， 所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3. 题型一 双曲线的定义及标准方程 例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2 9＝1有相同的焦点，且双曲线的离心 率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________. (2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________. (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________. 思维启迪 设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的 两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a 、b 、c ；根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件) 答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 2 4＝1 (3)x 2 －y 2 8 ＝1(x ≤－1) 解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝7 4.由于双 曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 2 9＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7. 又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274， 所以a ＝2，b 2 ＝c 2 －a 2 ＝3，故双曲线的方程为x 24－y 2 3 ＝1. (2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝ 22 2－(－2)2＝－2. ∴双曲线的标准方程为y 22－x 2 4 ＝1. (3)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2， 所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|. 又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2 －y 2 8 ＝1(x ≤－1). 思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.利用定义时，要 特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支. (1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线 上，则C 的方程为 ( ) A.x 220－y 2 5＝1 B.x 25－y 2 20＝1 C.x 280－y 2 20 ＝1 D.x 220－y 2 80 ＝1 (2)设椭圆C 1的离心率为5 13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的 两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ( ) A.x 242－y 2 32＝1 B.x 2132－y 2 52＝1 C.x 232－y 2 4 2＝1 D.x 2132－y 2 12 2＝1 答案 (1)A (2)A 解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. ∵x 2a 2－y 2 b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2. ① 又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2b a ＝1，即a ＝2b . ② 由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 2 5 ＝1，故应选A. (2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 2 32＝1. 题型二 双曲线的几何性质 例2 (1)(2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2 的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边 形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C.32 D.62 (2)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2 ＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支 上的任意一点，则OP →·FP → 的取值范围为 ( ) A.[3－23，＋∞) B.[3＋23，＋∞) C.[－7 4 ，＋∞) D.[7 4 ，＋∞) 思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率e ，可以求出a ，c 的关系式，进而求出e . (2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x ，y 的取值范围. 答案 (1)D (2)B 解析 (1)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1. ∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝6 2.故选D. (2)由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23 －y 2 ＝1， 设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP → ＝(x ＋2，y )， ∵y 2 ＝x 2 3 －1， ∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2 ＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B. 思维升华 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝c a 是一个比值，故只需根据条件得到 关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题. (1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则 C 的渐近线方程为 ( ) A.y ＝±1 4x B.y ＝±13x C.y ＝±12 x D.y ＝±x (2)过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一 条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A → ，则此双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋ )， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝1 2. 即渐近线方程为y ＝±1 2 x .故选C. (2)如图，∵FB →＝2F A → ， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3. 又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a ＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b a )2＝4，∴e ＝2. 题型三 直线与双曲线的位置关系 例3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值. 思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解. 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点， 则方程组????? x 2－y 2＝1， y ＝kx －1 有两个不同的实数根， 整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∴? ???? 1－k 2 ≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2 )>0， 解得－2 双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2). (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)， 由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∴????? x 1 ＋x 2 ＝－2k 1－k 2 ，x 1x 2 ＝－2 1－k 2 . 当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝1 2|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝1 2 |x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝1 2|x 1－x 2|＝2， ∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2 ∴当k ＝0或k ＝±6 2 时，△AOB 的面积为 2. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“ 点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围. 解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0). 由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2 ＝1. (2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2 ＝1， 得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由题意知????? 1－3k 2≠0， Δ＝36(1－k 2 )>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2 <0， x A x B ＝－91－3k 2 >0， 解得3 3 3 3 62k 1－3k 2 ， ∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝22 1－3k 2 . ∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，2 1－3k 2). 设直线l 0的方程为：y ＝－1 k x ＋m ， 将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝42 1－3k 2. ∵ 3 3 忽视“判别式”致误 典例：(12分)已知双曲线x 2 －y 2 2 ＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点， 且点P 是线段AB 的中点？ 易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误. 规范解答 解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分] 由???? ? y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0).① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2 . 由题意，得k (1－k ) 2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.[11分] ∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点.[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的. (2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程. (3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验. 方法与技巧 1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近 线方程. 失误与防范 1.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2. 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1). 3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是 y ＝±a b x . 4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点. A 组 专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题 1.(2013·北京)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为 ( ) A.y ＝±2x B.y ＝±2x C.y ＝±12x D.y ＝±2 2 x 答案 B 解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±b a x ，y ＝±2x . 2.(2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2 sin 2θtan 2θ＝1的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 答案 D 解析 双曲线C 1：e 21＝ sin 2 θ＋cos 2θcos 2 θ＝1 cos 2θ ， 双曲线 C 2：e 22 ＝sin 2 θ＋sin 2θtan 2θsin 2 θ＝1＋tan 2θ＝1 cos 2θ ， ∴C 1，C 2离心率相等. 3.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 答案 B 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称 轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2 a 2－1)＝ b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2 a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 2 16 ＝1的渐近线相切的圆的方程是 ( ) A.x 2＋y 2－10x ＋9＝0 B.x 2＋y 2－10x －9＝0 C.x 2＋y 2＋10x ＋9＝0 D.x 2＋y 2＋10x －9＝0 答案 A 解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝ 20 5 ＝4， 所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆.即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0. 5.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A.(1，＋∞) B.(1,2) C.(1,1＋2) D.(2,1＋2) 答案 B 解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2 a )，E (a,0)， 因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB → >0， 即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0， 整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B. 二、填空题 6.已知双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，且双曲线过点M (4，3)，则双曲线的方程为________. 答案 x 24 －y 2 ＝1 解析 ∵双曲线过点M (4，3)，M 在y ＝x 2下方， ∴双曲线焦点在x 轴上， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，又b a ＝1 2， 因此设a ＝2k ，b ＝k (k >0)，∴x 24k 2－y 2 k 2＝1， 代入M (4，3)解得k ＝1，a ＝2，b ＝1， ∴方程为x 24 －y 2 ＝1. 7.已知双曲线x 2n －y 2 12－n ＝1的离心率是3，则n ＝________. 答案 4 解析 根据双曲线方程得n (12－n )>0，∴0 n ＝3，∴n ＝4. 8.(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1| ＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________. 答案 3 解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°， 由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ， ∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a ＝ 3. 三、解答题 9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10). (1)求双曲线方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积. (1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3， 又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上. (3)解 21MF F S ＝1 2 ×43×|m |＝6. 10.直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围； (2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程 2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0. ① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点， 故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2 (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得??? x 1 ＋x 2 ＝2k 2－k 2 ， x 1 ·x 2 ＝2 k 2 －2 . ② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0). 则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0. ③ 把②式及c ＝ 6 2 代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－6 5 ?(－2，－2)(舍去)， 可知存在k ＝－6＋6 5 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 3＋1 2 D. 5＋1 2 答案 D 解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ， ∴b a ·(－b c )＝－1， 整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52 (舍去)，故选D. 2.(2013·重庆)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A.??? ?233，2 B.?? ?? 233，2 C.??? ?233，＋∞ D.?? ? ?233，＋∞ 答案 A 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30° 233 3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2， 若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( ) A.4＋2 3 B.3－1 C. 3＋1 2 D.3＋1 答案 D 解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ， △MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝2 3－1 ＝3＋1，故选D. 4.(2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2 16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚 轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________. 答案 44 解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16， 由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为 |PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 5.已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且 |PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________. 答案 53 解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝2 3a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理， 得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2 －4c 22·83a ·23a ＝178－9 8e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝5 3， 即e 的最大值为5 3 . 6.已知离心率为4 5的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为 虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP → ，求四边形ANBM 的面积. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1 且满足????? a 2－ b 2a ＝45， 2a 2＋b 2＝234， 解方程组得? ???? a 2＝25， b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 2 9＝1. (2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP → 得M 为BP 的中点， 所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0). 将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程， 得??? x 2025＋y 20 9 ＝1，(2x 0 －5)2 25－4y 20 9＝1， 消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0. 解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去).∴y 0＝332. 由此可得M (－52，33 2)，∴P (－10,33). 当P 为(－10,33)时， 直线P A 的方程是y ＝33 －10＋5(x ＋5)， 即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 2 9＝1， 得2x 2＋15x ＋25＝0. 所以x ＝－5 2或－5(舍去)， ∴x N ＝－5 2 ，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴. ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×33 2 ＝15 3. 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 选修4－1几何证明选讲 1．平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________． (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________． 2．相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应________的两个三角形________； ②两边对应成________且夹角________的两个三角形________； ③三边对应成________的两个三角形________． (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于____________． ②相似三角形周长的比等于____________． ③相似三角形面积的比等于________________________． 3．直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________． 4．圆中有关的定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数． (3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理 过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线． ②切线的性质定理 圆的切线________于经过切点的半径． (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长________． (5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________． (6)相交弦定理 圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________． (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________．(8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________． (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆； (ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角________； 2015年高考理科数学试卷全国1卷 1．设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 3．设命题p ：2 ,2n n N n ?∈>，则p ?为（ ） （A ）2 ,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈ 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（ （B ）（ （C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =- + （B ）1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC = + （D ）4133 AD AB AC =- 实验八描绘小电珠的伏安特性曲线 考纲解读 1.掌握滑动变阻器的使用方法及连接方式.2.掌握伏安特性曲线的描绘方法.3.理解小电珠的伏安特性曲线为什么不是一条直线． 考点一对实验原理和电路设计的考查 例1(2013·天津理综·9(3))要测绘一个标有“3 V0.6 W”小灯泡的伏安特性曲线，灯泡两端的电压需要由零逐渐增加到3 V，并便于操作．已选用的器材有： 电池组(电动势为4.5 V，内阻约1 Ω)； 电流表(量程为0～250 mA，内阻约5 Ω)； 电压表(量程为0～3 V，内阻约3 kΩ)； 电键一个、导线若干． ①实验中所用的滑动变阻器应选下列中的________(填字母代号)． A ．滑动变阻器(最大阻值20 Ω，额定电流1 A) B ．滑动变阻器(最大阻值1 750 Ω，额定电流0.3 A) ②实验的电路图应选用下列的图________(填字母代号)． ③实验得到小灯泡的伏安特性曲线如图1所示．如果将这个小灯泡接到电动势为1.5 V 、内阻为5 Ω的电源两端，小灯泡消耗的功率是________W. 图1 解析 ①测绘小灯泡的伏安特性曲线，要求能较大范围地测量数据，所以控制电路部分应用分压式接法，滑动变阻器应用最大阻值小额定电流大的A. ②因为小灯泡两端的电压由零逐渐增加到3 V ，故滑动变阻器应采用分压接法．灯泡的电阻R ＝U 2P ＝15 Ω，额定电流I ＝P U ＝0.2 A ，由R ＝15 Ω＜ R A R V ＝ 15 000 Ω，依据 公式法“大内小外”的原则，可知电流表应采用外接法，故选B. ③在灯泡的I －U 图上作出电源的I －U 图线，交点坐标即为这个电源给这个灯泡供电时的电压和电流，此时P 灯＝IU ＝0.1×1 W ＝0.1 W. 答案 ①A ②B ③0.1 考点二 对实验数据处理与分析的考查 例2 物理兴趣小组的同学们从实验室中找到一只小灯泡，其标称功率值为0.75 W ，额定电 2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 （5月10日8:30至11:00） 一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从 小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ． 2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ． 3．设线段BC α?，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面 α成30?角，且 2A B B C C D c m ===，则线段AD 的长度为 ． 4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ． 5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33 (,)P m m n n --向该圆引两 条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个． 6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ． 7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ． （必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，2 2 sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152 1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字 为 ． 二（本题满足16分） 求2232x y -=的整数解． 三（本题满足20分） 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=?，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =． 考点容 要求 考纲解读 动量、动量守恒定律及其应用 Ⅱ 1．动量守恒定律的应用是本部分的重点和难点，也是高考的热点，动量和动量的变化量这两个概念常穿插在动量守恒定律的应用中考查． 2．动量守恒定律结合能量守恒定律来解决碰撞、打击、反冲等问题，以及动量守恒定律与圆周运动、核反 应的结合已成为近几年高考命题的热点． 3．波粒二象性部分的重点容是光电效应现象、实验规律和光电效应方程，光的波粒二象性和德布罗意波是理解的难点． 4．核式结构、玻尔理论、能级公式、原子跃迁条件在选做题部分出现的几率将会增加，可能单独命题， 也可能与其他知识联合出题． 5．半衰期、质能方程的应用、计算和核反应方程的书写是高考的热点 弹性碰撞和非弹性碰撞 Ⅰ 光电效应 Ⅰ 爱因斯坦光电效应方程 Ⅰ 氢原子光谱 Ⅰ 氢原子的能级结构、能级公式 Ⅰ 原子核的组成、放射性、原子核衰变、半衰期 Ⅰ 放射性同位素 Ⅰ 核力、核反应方程 Ⅰ 结合能、质量亏损 Ⅰ 裂变反应和聚变反应、裂变反应堆 Ⅰ 射线的危害和防护 Ⅰ 实验：验证动量守恒定律 问题，试题一般以基础知识为主， 较简单. 第1课时动量守恒定律及其应用 考纲解读1.理解动量、动量变化量的概念.2.知道动量守恒的条件.3.会利用动量守恒定律分析碰撞、反冲等相互作用问题． 1．[对动量、动量变化量的理解]下列说确的是( ) A．速度大的物体，它的动量一定也大 B．动量大的物体，它的速度一定也大 C．只要物体的运动速度大小不变，物体的动量也保持不变 D．物体的动量变化越大则该物体的速度变化一定越大 答案 D 2．[动量守恒的判断]把一支弹簧枪水平固定在小车上，小车放在光滑水平地面上，枪射出一颗子弹时，关于枪、弹、车，下列说确的是( ) A．枪和弹组成的系统动量守恒 B．枪和车组成的系统动量守恒 C．枪弹和枪筒之间的摩擦力很小，可以忽略不计，故二者组成的系统动量近似守恒D．枪、弹、车三者组成的系统动量守恒 答案 D 解析力、外力取决于系统的划分．以枪和弹组成的系统，车对枪的作用力是外力，系统动量不守恒．枪和车组成的系统受到系统外弹簧对枪的作用力，系统动量不守恒．枪弹和枪筒之间的摩擦力属于力，但枪筒受到车的作用力，属于外力，故二者组成的系统 2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷） 参考答案及评分标准 一试 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22 a b a +=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=． 2．若实数α满足ααtan cos =，则αα 4cos sin 1 +的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 2 2=+αα， 得 )cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224 αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα． 3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111???=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示 n z 的共轭复数，则=2015z ． 答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有 211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+． 4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ?的最小值为 ． 答案 34 ． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则 由||||DP BQ = 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=--- ,因此， 22133()(2)(1)(1)1()244 PA PQ t t t t t t ?=-?-+-?--=-+=-+≥ ． 当12t =时，min 3 ()4 PA PQ ?= ． 5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案： 2 55 ．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法 第2讲 光合作用与细胞呼吸 [考纲要求] 1.光合作用的基本过程(Ⅱ)。2.影响光合作用速率的环境因素(Ⅱ)。3.细胞呼吸(Ⅱ)。 1．细胞呼吸的过程图解 2．影响细胞呼吸的环境因素分析 [ 1．有氧和无氧时，酵母菌呼吸作用产物不同(2013·新课标Ⅱ，3D)(√) 2．有氧呼吸产生的[H]在线粒体基质中与氧结合生成水(2010·课标全国，2B)(×) 3．无氧呼吸不需要O2的参与，该过程最终有[H]的积累(2010·课标全国，2C)(×) 4．人体在剧烈运动时所需要的能量由乳酸分解提供(2014·新课标Ⅱ，6C)(×) 5．无氧呼吸的终产物是丙酮酸(2010·课标全国，2A)(×) 6．葡萄糖氧化分解为丙酮酸只发生在细胞有氧时(2012·上海，25A)(×) 7．及时排涝，能防止根细胞受酒精毒害(2012·福建，1B)(√) 8．无氧和零下低温环境有利于水果的保鲜(2009·浙江，4A)(×) 题组一从细胞呼吸的过程与方式进行考查 1．人的肌肉组织分为快肌纤维和慢肌纤维两种，快肌纤维几乎不含有线粒体，与短跑等剧烈运动有关；慢肌纤维与慢跑等有氧运动有关。下列叙述错误的是() A．消耗等摩尔葡萄糖，快肌纤维比慢肌纤维产生的A TP多 B．两种肌纤维均可在细胞质基质中产生丙酮酸、[H]和A TP C．短跑时快肌纤维无氧呼吸产生大量乳酸，故产生酸痛感觉 D．慢跑时慢肌纤维产生的A TP主要来自于线粒体内膜 答案 A 解析由题意可知，快肌纤维进行无氧呼吸，慢肌纤维进行有氧呼吸。慢跑时慢肌纤维产生的ATP 主要来自于线粒体内膜。消耗等摩尔葡萄糖时，快肌纤维比慢肌纤维产生的ATP要少。两种肌纤维均可在细胞质基质中产生丙酮酸、[H]和ATP，短跑时快肌纤维无氧呼吸产生大量乳酸，故产生酸痛感觉。 2．不同种类的生物在不同的条件下，呼吸作用方式不同。若分解底物是葡萄糖，下列对呼吸作用方式的判断不正确的是() A．若只释放CO2，不消耗O2，则细胞只进行无氧呼吸 B．若CO2的释放量多于O2的吸收量，则细胞既进行有氧呼吸，也进行无氧呼吸 C．若CO2的释放量等于O2的吸收量，则细胞只进行有氧呼吸 2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围. 第1课时 功 功率 考纲解读1.会判断功的正负，会计算恒力的功和变力的功.2.理解功率的两个公式P ＝W t 和P ＝F v ，能利用P ＝F v 计算瞬时功率.3.会分析机车的两种启动方式． 1．[功的理解]下列关于功的说法，正确的是( ) A ．力作用在物体上的一段时间内，物体运动了一段位移，该力一定对物体做功 B ．力对物体做正功时，可以理解为该力是物体运动的动力，通过该力做功，使其他形 式的能量转化为物体的动能或用来克服其他力做功 C ．功有正、负之分，说明功是矢量，功的正、负表示力的方向 D ．当物体只受到摩擦力作用时，摩擦力一定对物体做负功 答案 B 2．[功率的理解]关于功率公式P ＝W t 和P ＝F v 的说法正确的是( ) A ．由P ＝W t 知，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率 B ．由P ＝F v 既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率 C ．由P ＝F v 知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制地增大 D ．由P ＝F v 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比 答案 BD 3．[功和功率的计算]一质量为m 的物体静止在光滑的水平面上，从某一时刻开始受到恒定 的外力F 作用，物体运动了一段时间t ，该段时间内力F 做的功和t 时刻力F 的功率分别为( ) A.F 2t 22m ，F 2t 2m B.F 2t 2m ，F 2t m C.F 2t 22m ，F 2t m D.F 2t 2m ，F 2t 2m 答案 C 4．[对重力做功和摩擦力做功的分析]如图1所示，滑块以速率v 1沿斜面由底端向上滑行， 至某一位置后返回，回到出发点时的速率变为v 2，且v 2 第4课时 万有引力与航天 考纲解读1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度． 1．[对开普勒三定律的理解]火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运 动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心 B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C 解析 火星和木星在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，速度的大小不可能始终相等，因此B 错；太阳在这些椭圆的一个焦点上，因此A 错； 在相同时间内，某个确定的行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，因此D 错，本题答案为C. 2．[对万有引力定律的理解]关于万有引力公式F ＝G m 1m 2 r 2，以下说法中正确的是( ) A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 答案 C 解析 万有引力公式F ＝G m 1m 2 r ，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它 推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C. 3．[第一宇宙速度的计算]美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗 类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒—22b ”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估 §6.2 等差数列及其前n 项和 1． 等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2． 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3． 等差中项 如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 4． 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． 5． 等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1) 2d . 6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7． 等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 第1课时动量守恒定律及其应用 考纲解读1.理解动量、动量变化量的概念.2.知道动量守恒的条件.3.会利用动量守恒定律分析碰撞、反冲等相互作用问题． 1．[对动量、动量变化量的理解]下列说法正确的是( ) A ．速度大的物体，它的动量一定也大 B ．动量大的物体，它的速度一定也大 C ．只要物体的运动速度大小不变，物体的动量也保持不变 D ．物体的动量变化越大则该物体的速度变化一定越大 答案 D 2．[动量守恒的判断]把一支弹簧枪水平固定在小车上，小车放在光滑水平地面上，枪射出 一颗子弹时，关于枪、弹、车，下列说法正确的是( ) A ．枪和弹组成的系统动量守恒 B ．枪和车组成的系统动量守恒 C ．枪弹和枪筒之间的摩擦力很小，可以忽略不计，故二者组成的系统动量近似守恒 D ．枪、弹、车三者组成的系统动量守恒 答案 D 解析 内力、外力取决于系统的划分．以枪和弹组成的系统，车对枪的作用力是外力，系统动量不守恒．枪和车组成的系统受到系统外弹簧对枪的作用力，系统动量不守恒．枪弹和枪筒之间的摩擦力属于内力，但枪筒受到车的作用力，属于外力，故二者组成的系统动量不守恒．枪、弹、车组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，故D 正确． 3．[动量守恒定律的简单应用]在光滑水平面上，一质量为m 、速度大小为v 的A 球与质量 为2m 、静止的B 球碰撞后，A 球的速度方向与碰撞前相反．则碰撞后B 球的速度大小可能是( ) A ．0.6v B ．0.4v C ．0.3v D ．0.2v 答案 A 解析 设碰撞后A 球的速度大小为v A ，B 球的速度大小为v B ，碰撞前A 球的运动方向为正方向．根据动量守恒定律得：m v ＝2m v B －m v A 化简可得，v A ＝2v B －v ，因v A >0，所以v B >v 2 ，故只有A 项正确． 1．动量 专题五 应用力学两大观点分析多过程问题 考纲解读1.能熟练分析物体在各过程的受力情况和运动情况.2.会分析相邻过程的关联量，能找到解答问题的关键点.3.能够根据不同运动过程的特点，合理选择物理规律． 考点一 应用牛顿运动定律和动能定理分析多过程问题 若一个物体参与了多个运动过程，有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律求解；若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点，则往往用动能定理求解． 例1 如图1所示为某游戏装置的示意图．高处的光滑水平平台上有一质量为m 的滑块(可 视为质点)静止在A 点，平台的左端有一竖直固定的光滑半圆形细管BC ，其半径为2R ，与水平面相切于C 点，CD 为一段长度为5R 的粗糙水平轨道，在D 处有一竖直固定的半径为R 的光滑四分之一圆弧轨道DE ，E 点切线竖直，在E 点正上方有一离E 点高度也为R 的旋转平台，在旋转平台的一条直径上开有两个离轴心距离相等的小孔M 、N ，平台以恒定的角速度旋转时两孔均能经过E 点的正上方．某游戏者在A 点将滑块瞬间弹出，滑块第一次到达C 点时速度v 0＝3gR ，经过轨道CDE ，滑块第一次滑过E 点进入M 孔，又恰能从N 孔落下，已知滑块与CD 部分的动摩擦因数为μ＝0.1，重力加速度为g .求： 图1 (1)游戏者对滑块所做的功； (2)滑块第一次返回到C 点时对细管的压力； (3)平台转动的角速度ω. 解析 (1)从A 点到C 点，由动能定理得 W ＋mg ·4R ＝1 2m v 20 求得W ＝0.5mgR (2)从第一次经过C 点到第一次返回C 点整个过程， 电化学基础第四章原电池第一节了解2.1.理解原电池的工作原理，能够写出电极反应式和电池反应方程式。][目标要求 会判断原电池的正、负极，能够利用氧化还原反半反应、盐桥、内电路、外电路等概念。3. 应设计简单的原电池。 一、原电池将化学能转变为电能的装置。．1原电池定义：．将氧化还原反应的电子转移变成电子的定向移动。即将化学能转化成电能。2实质：3简单原电池的构成条件：．①活泼性不同的两个电极，②电解质溶液，③形成闭合回路，④能自发进行的氧化还原反应。二、原电池的工作原理工作原理：利用氧化还原反应在不同区域内进行，以适当方式连接起来，获得电流。以铜锌原电池为例：＋2进入溶液，Zn形成即Zn被氧化，锌原子失电子，1．在ZnSO溶液中，锌片逐渐溶解，4从锌片上释放的电子，经过导线流向铜片；＋2从铜片上得电子，还原成为金属铜并沉积在铜片上。CuSO溶液中，Cu4＋－2；－2e===Zn锌为负极，发生氧化反应，电极反应式为Zn－＋2 ===Cu。＋2e铜为正极，发生还原反应，电极反应式为Cu＋＋22，反应是自发进行的。＋总反应式为Zn＋CuCu===Zn 闭合回路的构成：2．外电路：电子从负极到正极，电流从正极到负极，溶液。溶液，阳离子移向CuSO内电路：溶液中的阴离子移向ZnSO44盐桥 3． 盐桥中通常装有含琼胶的KCl饱和溶液。当其存在时，随着反应的进行，Zn棒中的Zn＋＋＋222获得电子ZnCu过多，带正电荷。原子失去电子成为ZnZnSO进入溶液中，使溶液中4＋－22过多，溶液带负电荷。当溶液不能保持电中性时，将阻过少，SO沉积为Cu，溶液中Cu4－止放电作用的继续进行。盐桥的存在就避免了这种情况的发生，其中Cl向ZnSO溶液迁移，4＋K向CuSO溶液迁移，分别中和过剩的电荷，使溶液保持电中性，反应可以继续进行。4 知识点一原电池 ) (．下列装置中能构成原电池产生电流的是 1． B 答案 解析A、D项中电极与电解质溶液之间不发生反应，不能构成原电池；B项符合原电2，2H＋ 第2课时平抛运动 考纲解读1.掌握平抛运动的特点和性质.2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题． 1．[对平抛运动性质和特点的理解]关于平抛运动，下列说法错误的是() A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动 B．平抛运动的轨迹为抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也时刻变化 C．做平抛运动的物体在Δt时间内速度变化量的方向可以是任意的 D．做平抛运动的物体的初速度越大，在空中的运动时间越长 答案BCD 解析做平抛运动的物体只受重力作用，加速度为g恒定，任意时间内速度变化量的方向竖直向下(Δv＝gt)，运动时间由抛出时的高度决定，选项B、C、D错误． 2．[斜抛运动的特点]做斜上抛运动的物体，到达最高点时() A．速度为零，加速度向下 B．速度为零，加速度为零 C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度 D．具有水平方向的速度和加速度 答案 C 解析斜上抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动．因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C选项正确． 3．[用分解思想处理类平抛运动问题]如图1所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间．若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系不正确的是() 图1 A ．t 1>t 3>t 2 B ．t 1＝t 1′、t 2＝t 2′、t 3＝t 3′ C ．t 1′>t 3′>t 2′ D ．t 1 2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷） （2015-06-27） 一、选择题（每个5分，共6题） 1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为 A. 116 9 B. 367 C. 36 2.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是 A. B. C . 3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则 A. A B > B. A B ≥ C. A B ≠ D. A 和B 的大小关系不确定 4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程1 1cos n m C ρθ =-表示的不同双曲线条数为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5.使关于x k 有解的实数k 的最大值是 A. C. 6.设22{|,,}M x y x y Z αα==-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3 二、填空题（每个8分，共6题） 7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A ααα=，定义△A 为序列213243(,,,...)αααααα---，它的第n 项是1n n αα+-，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920αα==，则1α的值为： 9.满足使1[] 2n I =为纯虚数的最小正整数n= 10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为： 专题十电磁感应中的动力学和能量问题 考纲解读 1.能解决电磁感应问题中涉及安培力的动态分析和平衡问题.2.会分析电磁感应问题中的能量转化，并会进行有关计算． 考点一电磁感应中的动力学问题分析 1．导体的平衡态——静止状态或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件(合外力等于零)列式分析． 2．导体的非平衡态——加速度不为零． 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析． 例1如图1所示，MN、PQ为足够长的平行金属导轨，间距L＝0.50 m，导轨平面与水平面间夹角θ＝37°，N、Q间连接一个电阻R＝5.0 Ω，匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度B＝1.0 T．将一根质量为m＝0.050 kg的金属棒放在导轨的ab位置，金属棒及导轨的电阻不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.50，当金属棒滑行至cd处时，其速度大小开始保持不变，位置cd与ab之间的距离s＝2.0 m．已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.求： 图1 (1)金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小； (2)金属棒到达cd处的速度大小； (3)金属棒由位置ab运动到cd的过程中，电阻R产生的热量． 解析(1)设金属棒开始下滑时的加速度大小为a，则 mg sin θ－μmg cos θ＝ma a＝2.0 m/s2 (2)设金属棒到达cd位置时速度大小为v、电流为I，金属棒受力平衡，有 mg sin θ＝BIL＋μmg cos θ I＝BL v R 解得v＝2.0 m/s (3)设金属棒从ab 运动到cd 的过程中，电阻R 上产生的热量为Q ，由能量守恒，有 mgs sin θ＝12 m v 2＋μmgs cos θ＋Q 解得Q ＝0.10 J 答案 (1)2.0 m/s 2 (2)2.0 m/s (3)0.10 J 电磁感应与动力学问题的解题策略 此类问题中力现象和电磁现象相互联系、相互制约，解决问题前首先要建立“动→电→动”的思维顺序，可概括为： (1)找准主动运动者，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解感应电动势的大小和方向． (2)根据等效电路图，求解回路中感应电流的大小及方向． (3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的影响，从而推理得出对电路中的感应电流有什么影响，最后定性分析导体棒的最终运动情况． (4)列牛顿第二定律或平衡方程求解． 突破训练1 如图2所示，相距为L 的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ， 导轨上固定有质量为m 、电阻为R 的两根相同的导体棒，导体棒MN 上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B .将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN 下滑而EF 保持静止，当MN 下滑速度最大时，EF 与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是( ) 图2 A ．导体棒MN 的最大速度为2mgR sin θ B 2L 2 B ．导体棒EF 与轨道之间的最大静摩擦力为mg sin θ C ．导体棒MN 受到的最大安培力为mg sin θ D ．导体棒MN 所受重力的最大功率为m 2g 2R sin 2 θB 2L 2 答案 AC 解析 由题意可知，导体棒MN 切割磁感线，产生的感应电动势为E ＝BL v ，回路中的 电流I ＝E 2R ，MN 受到的安培力F ＝BIL ＝B 2L 2v 2R ，故MN 沿斜面做加速度减小的加速运动，当MN 受到的安培力大小等于其重力沿轨道方向的分力时，速度达到最大值，此后MN 做匀速运动．故导体棒MN 受到的最大安培力为mg sin θ，导体棒MN 的最大速度 专题一运动图象、追及相遇问题 考纲解读 1.理解匀变速直线运动的x－t图象、v－t图象，并会用它们解决问题.2.掌握追及与相遇问题的特点以及解决这类问题的一般方法． 1．[对位移图象的理解]一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移—时间图象如图1所示，则 () 图1 A．15 s内汽车的位移为300 m B．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2 C．20 s末汽车的速度为－1 m/s D．前25 s内汽车做单方向直线运动 答案 C 解析因为是位移—时间图象，15 s末的位移为30 m，前10 s内汽车的速度为3 m/s，加速度为零，A、B均错；20 s末汽车的速度v＝－1 m/s，C正确；由x－t图线的斜率表示速度可知：汽车在0～10 s沿正方向运动，10 s～15 s静止，15 s～25 s沿负方向运动，D错． 2．[对速度图象的理解]日本在2013年9月中旬用“艾普西龙”号固体燃料火箭成功发射了一颗卫星．此前多次发射均告失败．若某次竖直向上发射时火箭发生故障，造成火箭的v－t图象如图2所示，则下述说法正确的是() 图2 A．0～1 s内火箭匀速上升 B．1 s～2 s火箭静止不动 C．3 s末火箭回到出发点 D．5 s末火箭恰好回到出发点 答案 D 解析在v－t图象中，图线的斜率表示加速度，故0～1 s内火箭匀加速上升，1 s～2 s 内火箭匀速上升，第3 s 时火箭速度为0，即上升到最高点，故选项A 、B 、C 错；图线 与时间轴包围的面积表示位移，在0～3 s 内，x 1＝1 2 ×(1＋3)×30 m ＝60 m ，在3 s ～5 s 内，x 2＝－1 2×2×60 m ＝－60 m ，所以x ＝x 1＋x 2＝0，即5 s 末火箭恰好回到出发点，选 项D 对． 3． [利用v －t 图象分析追及相遇问题]两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶．t ＝0 时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v －t 图如图所示．则下列图对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是 ( ) 答案 AC 1． x －t 图象 (1)物理意义：反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律． (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向． 2． v －t 图象 (1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律． (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向． (3)“面积”的意义 ①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移的大小． ②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负． 3． 在分析追及与相遇问题时，可用以下方法： (1)临界条件法：当二者速度相等时，二者相距最远(最近)． (2)图象法：画出x －t 图象或v －t 图象，然后利用图象进行分析求解． (3)数学判别式法：设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判2015年高考理科数学试题及答案-全国卷2
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