集合
集合的含义与表示
集合与元素
集合是由元素组成的
A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
集合中元素的属性
1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
元素与集合的关系
1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；
2）元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。
集合相等
如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
集合的分类
有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；
无限集：集合中元素的个数是不可数的；
空集：不含有任何元素的集合，记做?.
集合的表示方法
常用数集
（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；
（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；
（3）整数集：全体整数的集合，记做Z
（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q
（5）实数集：全体实数的集合，记做R
集合的表示方法
1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。
2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且
｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.
注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字
④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；
（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。
韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。
列举法和描述法之间的相互转换
（1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。
（2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。
选择题
下列每组对象可构成一个集合的是 （ ）
（A）中国漂亮的工艺品 （B）与1非常接近的数
C）高一数学第一张的所有难题 （D）不等式2x+3＞1的解
.下列说法正确的是 （ ）
（A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合
（B）0与｛0｝表示同一个集合
C）{x∈Q|b
∈??}是有限集 （D）{x|x∈Q且x2+x+2=0}是空集
已知a=
3，A={x|x≥√2}，则 （ ）
（A）a?A （B）a∈A （C）{a}=A （D）a?{a}
4.已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是 （ ）
A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形
下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ）
A）M={(3,2)},N={(2,3)} （B）M={2,3},N={3,2}
C）M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} （D）M={(3,2)},N={(2,4)}
用列举法表示集合{x|x2-3x+2=0}为 （ ）
A）{(1,2)} （B）{(2,1)} （C）{1,2} （D）{x2-3x+2=0}
由大于-3且小于11的偶数组成的集合是 （ ）
A）{x|-3C）{x|-3设a，b都是非零实数，c＞0，y=a
+b|b|+c|c|可能取的值组成的集合为 （ ）
A）{3} （B）{3,2,1} （C）{3,1，-1} （D）{3，-1}
填空题
由实数x，-x，√x2，-√x33所组成的集合里最多有 个元素。
用列举法表示集合A={x|x∈??，8
∈??}=
集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合，则a= b=
用符号“∈”“?”填空：
（1）0 ??
, √2 Z 3√2 {x|x>4}
2）5 {x|x=n2+1，x∈??
} （-1,1） {y|y=x2} （-1,1） {(x,y)|y=x2}
解答题
已知M={2,a,b},N={2a,a,b2},且M=N，试求a和b的值.
.已知集合M={-2，3x2+3x-4，x2+x-4}，若2∈M，求x.
.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.若A是单元素集合，求a的值及集合A.
集合间的基本关系
子集
子集定义的三种语言
A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集
B 的子集，记作A?B（或A?B），读作集合B含于集合A（或集合B包含集合A）。
a∈A，都有a∈B，则称集合A是集合B 的子集。
Venn图
若集合A是集合B 的子集，可用右图来表示两个
集合之间的关系。
B A
集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元
A等于集合B，记作A=B。（A?B且B?A?A=B）
真子集
A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A为集合B的真子集，记作
B或BA（若A?B，且A≠B，则集合A是集合B 的真子集）
子集的性质
A?A，即任何一个集合都是它本身的子集
A?B，B?A，那么A=B
A?B，B?C，那么A?C
AB，BC，那么AC
空集
不含任何元素的集合叫做空集，记作?.
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
、0、?与{?}之间的关系
≠{0}≠?≠{?} 0∈{0} ?? {0} ?∈{?} ??{?}
有限集合的子集的个数
个元素的集
合有2n个子集
个元素的集合有2n-1个真子集
个元素的集合有2n-1个非空子集
个元素的集合有2n-2个非空真子集
随堂练一练】
选择题
下列命题中，正确的有 （ ）
①空集是任何集合的真子集
②若AB，B C，则AC
③任何一个集合均有两个或两个以上的真子集
④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A?B
（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
集合M={1,2,3}的真子集的个数是 （ ）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
已知{1,2}?M{1,2,3,4}，则符合条件的集合M的个数是 （ ）
A）3 （B）4 （C）6 （D）8
已知M={y∈??|??=|??|}，N={x∈??|x=N2}，则下列关系中正确的是 （ ）
A）NM （B）M=N （C）M≠N （D）MN
下列六个关系式中：①{a，b}={b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?={?}；④{0}=?；⑤?{0}；⑥0∈{0}，
（ ）
A）1 （B）3 （C）4 （D）6
填空题
已知集合{2x,x2-x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围为
设A={x|1 8.若集合A={x2+ax+3=0}为空集，则实数a的取值范围为
解答题
设集合A={1,2,3},B={x|x?A},求集合B.
已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+m-1=0}，若B?A，求实数m的取值范围.
设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B，求实数a、b的值.
集合的基本运算
并集
并集定义的三种语言
A或属于集合B的元素组成的集合叫做A和B的并集，记作A∪B.
A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图
A B A A A B B
“或”的含义：有三种情况：①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B
并集不是两个集合所有元素的简单拼凑，必须要满足集合元素的互异性，相同元素只能出现一次。
并集的运算性质：
①A?(A?B)； ②B?(A?B)； ③A?A=A； ④A??=A；
A∪B=B∪A； ⑥(A∪B)?B?A?B ⑦(A∪B)?A?B?A
交集
交集定义的三种语言
A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做A和B的交集，记作A∩B.
A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
Venn图
“所有”的含义：A∩B中的任一元素都是A和B的公共元素，A和B的公共元素都属于A∩B.
当A和B没有公共元素时，不能说A和B没有交集，而是A∩B=?
交集的运算性质：
①(A∩B)?A； ②(A∩B)?B； ③A∩A=A； ④A∩?=?；
A?B=B?A； ⑥A?B=B?A?B； ⑦A?B=A ?B?A
补集
全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，一般用字母U表
补集定义的三种语言：
①文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集
的补集，简称为集合A的补集。
②符号
语言:?
A={x|x∈U，且x?A}
Venn图
补集是相对于全集存在的，研究一个集合的补集之前
若x∈U，则x∈A和x∈?
A二者必居其一。 B A A B A U ?u A
补集运算性质：
①A∪(?
A)=U；②A∩?u A=?；③?
?u A=A；④?U (A∪B)=?u A∩?u B；⑤?U (A∩B)=?u A∪?u B
选择题
已知集合A={x|(x-1)?(x+2)=0}，集合B={x|(x+2)?(x-3)=0}，则集合A∪B是（ ）
A）{-1,2,3} （B）{-1,-2,3} （C）{1,-2,3} （D）{1,-2,-3}
设集合M={m∈??|-3A）{0,1} （B）{-1,0,1} （C）{0,1,2} （D）{-1,0,1,2}
若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x}，则满足条件的实数x有（ ）
A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
已知集合M={y|y=x2+1，x∈??}，N={y|y=x+1，x∈??}，则M∩N等于（ ）
A）(0,1),(1,2) （B）{(0,1),(1,2)} （C）{y|y=1或y=2} （D）{y|y≥1}
已知全集U={2,5,8}，且?
A={2},则集合A的真子集的个数为（ ）
A）3 （B）4 （C）5 （D）6
已知全集U={2,3,5}，集合A={2，|a-5|}，若?
A={3}，则a的值为（ ）
A）0 （B）10 （C）0或10 （D）0或-10
填空题
设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数为
2.设集合A={(x,y)|x+2y=7},集合B={(x,y)|x-y=-1}，则A∩B=
已知(1,2)∈A∩B，A={(x,y)|y2=ax+b}，B={(x,y)|x2-ax-b=0}，则a= ，b=
已知集合U={1,2,3,4,5}，A={2,3,4}，B={4,5}，则A∩?
B=
解答题
设全集U=R，集合A={x|x<1，或x>2}，集合B={x|x<-3，或x≥1}，求A∩B,A∪B,?
A , ?R B
设集合A={x|-21}，集合B={x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B={x|x>-2}，
A∩B={x|1已知A={0,1,2}，?
A={-3，-2，-1}，?U B={-3，-2,0}，用列举法写出集合B.
设全集I={2,3，x2+2x-3}，A={5}，?
A={2,y}，求x，y的值.