【典型题】高一数学上期末试卷带答案(1)
一、选择题
1．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ?>=?--≤?
，
关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数
解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞
B ．10,2?
? ???
C ．31,2?? ???
D ．(1,+)∞
2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
3．已知函数()()2,2
11,2
2x a x x f x x ?-≥?
=???-
?, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0
成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)
B ．13,8??-∞ ??
? C ．(－∞，2]
D ．13,28??
????
4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
5．函数()2
sin f x x x =的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-
，则m 的取值范围是
A ．9,4
??-∞ ??
?
B ．7,3
??-∞ ??
?
C ．5,2
??-∞ ??
?
D ．8,3
??-∞ ??
?
7．函数
()()2
12
log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞
D ．()1,+∞
8．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．21
1
y x =
+ C ．2x y =-
D ．()lg 1(0)y x x =+>
9．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合
{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R
A B ?
，则a 的取值范围是（ ）
A ．210a -≤≤
B ．210a -<<
C ．2a ≤-或10a ≥
D ．2a <-或10a >
10．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有
()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112x
f x ??
=- ???
，若在区间(]2,6-内关于x
的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ）
A ．()1,2
B ．()2,+∞
C ．(
D ．
)
2
11．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）
A ．][(),22,-∞-?+∞
B ．][)
4,20,?--?+∞?
C ．][(),42,-∞-?-+∞
D ．][(),40,-∞-?+∞
12．若不等式2
10x ax ++≥对于一切10,2x ??∈ ???
恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥
B ．2a ≥-
C ．52
a ≥-
D ．3a ≥-
二、填空题
13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.
14．函数2
2log (56)y x x =--单调递减区间是 ．
15．已知函数()21311log 12
x x k x f x x x ?-++≤?=?-+>??
，()()2ln 21x
g x a x x =+++()a R ∈，若对
任意的均有1x ，{}
2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．
16．函数()(
)4log 5f x x =-+________. 17．0.11.1a =
，1
2
log b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 18．已知35m n k ==，且
11
2m n +=，则k =__________ 19．若函数()(21)()
x
f x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.
20．已知函数2,01,()1(1),13,2
x x f x f x x ?<≤?=?-<≤??则关于x 的方程4()0x
f x k -=的所有根的和
的最大值是_______. 三、解答题
21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11x
f x x
+=
-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；
()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
22．已知函数31
()31
x x
f x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；
（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.
23．已知全集U =R
，函数()lg(10)f x x =
-的定义域为集合A ，集合
{}|57B x x =≤<
（1）求集合A ； （2）求()U C B A ?.
24．已知集合{}
24A x x =-≤≤，函数()()
2log 31x
f x =-的定义域为集合B .
(1)求A B ；
(2)若集合{}
21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ??，求实数m 的取值范围. 25．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，为二次函数且顶点为(1,1)，
(2)0f =.
（1）求函数()f x 在R 上的解析式；
（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.
26．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2
y ax bx c =++，乙选择了模型?x
y p q r =+，其中y 为患病
人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <，341x x =，从而得解
【详解】
解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ?>=?--≤?
，
，可作函数图象如下所示：
依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数
()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令
12341
10122
x x x x <-<<<
<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以34
1x x =，则
34
1
x x =
，()41,2x ∈ 所以123444
1
2x x x x x x +++=-+
+，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ??
∈ ???，即44152,2x x
??+∈ ??? 1234441120,2x x x x x x ??
∴+++=-+
+∈ ???
故选：B
【点睛】
本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
构造函数()log 2
x x
f x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】
构造函数()21log 1log 212log x
x x f x x
==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】
本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220
{1
(2)2()1
2a a -<-?≤-,解出13
8
a ≤,选B.
考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图
象逐渐下降,故在分界点2x =处,有2
1(2)2()12
a -?≤-,解出13
8
a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】
因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，
由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()
3002%
1.x
-<，
0.70.2x <，
两边取对数得，
lg 0.7lg 0.2x < ，
lg 0.214
lg 0.73
x >
= ，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据函数()2
sin f x x x =是奇函数，且函数过点
[],0π，从而得出结论．
【详解】
由于函数()2
sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；
又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】
(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1
个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9
x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278
(37)(38)0,,33
x x x x ∴--=∴=
=（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ?
?∴∈-∞ ??
?，故选B ．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
求出函数
()()2
12
log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间.
【详解】
解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞.
内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数
12
log y u =在()0,∞+上为减函数，
由复合函数同增异减法可知，函数
()()2
12
log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】
对于A ：2
y x =的值域为[
)0,+∞；
对于B ：
20x ≥，211x ∴+≥，21
011
x ∴<
≤+， 21
1
y x ∴=
+的值域为(]0,1； 对于C ：2x
y =-的值域为(),0-∞； 对于D ：
0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，
()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；
故选：D ． 【点睛】
此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由()()620x x -->可得{}|26=< 44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为 R C B 的子集可得结果. 【详解】 由()()ln 62y x x =--可知，