分式的乘除（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.
2.会分式的乘法、除法运算.
3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】
【高清课堂402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：
a c ac
b d bd
?=
，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：
a c a d ad
b d b
c bc
÷=?=
，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整
式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约
分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）
和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
要点二、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
n
n n a a b b
??
= ???（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n
n n a a b b ??= ???写成n
n a a b b ??
= ???
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的
奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算
乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如
()2
2
2222
a b a b a b b b b ---??=≠ ???
. 【典型例题】 类型一、分式的乘法
1、先化简，再求值：2222
22x y x
x x xy y --+g ，其中2x =，1y =． 【思路点拨】先把分子、分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把2x =，
1y =代入可求分式的值．
【答案与解析】
解： 222222x y x x x xy y --+g 2
()()2()x y x y x
x x y +-=-g 2()22x y x y
x y x y
++=
=--．
当2x =，1y =时，原式2221
621
?+?=
=-．
【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式求分式的值的方法． 举一反三：
【变式】已知分式
2|2|(3)0a b a b -+-=+，计算22222a ab a ab
b a b
+--g 的值． 【答案】
解： 222
22222
()()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b +-+-==-+-g g ． ∵
2
|2|(3)0a b a b
-+-=+， ∴ 2
|2|(3)0a b -+-=，且0a b +≠，即20a -=且30b -=，解得2a =，3b =，此时50a b +=≠．
∴ 原式222439
==．
类型二、分式的除法
2、课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当3x =，522-73时，求代
数式22
2122
11
x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．
【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的x 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母x 的取值无关．
【答案与解析】
解： 2222122(1)11
11(1)(1)2(1)2
x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--g ．
所以无论x 取何值，代数式的值均为
1
2
，即代数式的值与x 的取值无关． 所以当3x =，522-，73+时，代数式的值都是1
2
．
【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 举一反三：
【变式】已知20a b +=，其中a 不为0，求2
222
2b a ab a b ab a --÷
+的值.
【答案】
解：原式＝()()()()
2
a a
b a b a b b a a b ++-?- ＝()22
b b a +. ∵ 20a b +=， ∴ a b 2-=.
∴ 原式＝2
2
224)2()(a a a a =--.
∵ a 不为0，
∴ 原式＝4
1
.
类型三、分式的乘方
3、 （2015春?泉州校级期中）计算：
．
【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣
?
=﹣．
【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方． 类型四、分式的乘除法、乘方混合运算 【高清课堂402545分式的乘除运算 例2（4）】
4、 若m 等于它的倒数，求32222)2
.()2
2(
4
44m m m m m m m -
-+÷-++的值．
【答案与解析】
解：
2223
2442().()422
m m m m m m m +++÷--- ()()()()()()()
22
32
222228
2282m m m m m m m m m m +-=-??+-+-=-
+
∵m 等于它的倒数，
∴1
,m m
=
解得1m =± ∴1m =时，原式＝124；1m =-时，原式＝3
8
-.
【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三：
【变式】（2014春?安县校级月考）化简：．
【答案】 解：原式=﹣
?
?
=﹣
．
初中数学八年级下册 8.4分式的乘除（1） 班级 姓名 学号 学习目标： (一)知识与技能目标 使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题． （二）过程与方法目标 经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性 （三）情感与价值目标 渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练． 学习重点：掌握分式的乘除运算。 学习难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算。 教学过程 一、情境引入： 你还记得分数的乘除法法则吗？你能用类似于分数的乘除法法则计算下面两题吗？ （1）b ac 34·3229ac b = （2）b ac 34 32 29ac b = 二、探究学习： （1）你能说出前面两道题的计算结果吗？ （2）你能验证分式乘.除运算法则是合理的.正确的吗？ （3）类比分数的乘除法则，你能从计算中总结出怎样进行分式的乘除法运算吗？ 归纳小结： （1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积 的分母。 即： a b ×c d =ac bd 。 （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被 除式相乘。 即：a b ÷c d =a b ×d c ＝ad bc 。
（3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。即：( a b )n ＝a n b n 三、典型例题： 例1、计算：1. b a a 2284-.6312-a a b 2。（ c b a 4+）2 例2、计算、1.x y 62÷231x 2.2 244196a a a a +++-÷12412+-a a 归纳小结：分式的乘法运算，先把分子、分母分别相乘，然后再进行约分；进行分式除法运算，需转化为乘法运算；根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做显得较繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做有时简单易行，又不易出错. 四、反馈练习： （1） xy z y x z 5423 2÷- (2) b a b a 22+-.2222b a b a -+ (3) （a-4）.1681622 +--a a a (4) 2222) 1()1()1(--+x x x ÷1)1(22--x x 五、探究交流： （1）在夏季你是怎么挑选西瓜的呢? （2）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ 七、课堂小结： 1、分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。 2、当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分。
分式乘除法 一、选择题 1. 下列等式正确的是（ ） A. （－1）0 ＝－1 B. （－1）－1 ＝1 C. 2x －2 ＝221x D. x －2y 2 ＝22x y 2. 下列变形错误的是（ ） A. 4 63232 24y y x y x -=- B. 1)()(3 3 -=--x y y x C. 9 )(4)(27)(12323b a x b a b a x -= -- D. y x a xy a y x 3) 1(9)1(32 222-=-- 3. cd ax cd ab 4322-÷ 等于（ ） A. －x b 322 B. 23 b 2x C. x b 322 D. －2 22283d c x b a 4. 若2a ＝3b ，则2 2 32b a 等于（ ） A. 1 B. 3 2 C. 2 3 D. 6 9 5. 使分式2 2222)(y x ay ax y a x a y x ++?--的值等于5的a 的值是（ ） A. 5 B. －5 C. 5 1 D. －5 1 6. 已知分式)3)(1() 3)(1(-++-x x x x 有意义，则x 的取值为（ ） A. x ≠－1 B. x ≠3 C. x ≠－1且x ≠3 D. x ≠－1或x ≠3 7. 下列分式，对于任意的x 值总有意义的是（ ） A. 152--x x B. 112+-x x C. x x 81 2+ D. 2 32+x x 8. 若分式 m m m --21||的值为零，则m 取值为（ ） A. m ＝±1 B. m ＝－1 C. m ＝1 D. m 的值不存在
9. 当x ＝2时，下列分式中，值为零的是（ ） A. 2 322+--x x x B. 94 2--x x C. 2 1 -x D. 1 2 ++x x 10. 每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌 糖果每千克的价格为（ ） A. y x m y nx ++元 B. y x ny m x ++元 C. y x n m ++元 D. 21（n y m x +）元 11. 下列各式的约分正确的是（ ） A. 2()2 3()3a c a c -= +- B. 2 2 32 abc c a b c ab = C. 2 2 12a b ab a b a b = ---- D. 2 2 2142a c a c c a =+--+ 12. 在等式22 211 a a a a a M +++=+中，M 的值为 （ ） A. a B. 1a + C. a - D. 2 1a - 13. 小马虎在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A. 11 326b a a ?= B. 22 ()b a b a a b ÷=-- C.11 1x y x y ÷=+- D. 2 2 11() () x y y x y x ? = --- 14. 下列式子：,,1,1,32,32πn m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 15. 下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、2 2a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 16. 下列分式中是最简分式的是（ ） A 、a 24 B 、112+-m m C 、122 +m D 、m m --11 17. 下列计算正确的是（ ） A 、 m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、 n n m n 1=?÷
分式(基础)知识讲解
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
分式的概念和性质(基础) 【学习目标】 1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件． 2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母． 要点诠释:（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. (2)分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般 性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况． （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母, 如a π 是整式而不能当作分式． （4)分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如 2 x y x 是 分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件:分母不等于零. ２.分式无意义的条件:分母等于零. 3．分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释:(１）分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零. （2)本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. (3）必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于０的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表 示是:A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1)基本性质中的Ａ、Ｂ、Ｍ表示的是整式．其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠０是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必 须重点强调M≠0这个前提条件. （2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 分式的乘除
【课题】分式的乘除 【教学目的】 熟练地进行分式乘除法的混合运算. 利用上节课分式乘法运算的基 础，达到熟练地进行分式乘除法的混合运算的目的.课堂练习以学生自己讨论为主，使学生对所做的题目作自我评价， 【教学重难点】 重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算 难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 关键是点拨运算符号问题、 变号法则. 【课时安排】1课时 【教学方法】 【教学步骤】或【课堂教学设计】 第一步：课堂引入 计算：（1）)(x y y x x y -?÷ (2) )21()3(43x y x y x -?-÷ 第二步：讲授新课 （P17）例4.计算 [分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统 一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式， 最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的. （补充）例.计算 (1)) 4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-? =x b b a xy y x ab 34)98(23232-?-? (先把除法统一成乘法运算) =x b b a xy y x ab 349823232?? （判断运算的符号） =32 916ax b （约分到最简分式） (2) x x x x x x x --+?+÷+--3)2)(3()3(444622 =x x x x x x x --+?+?+--3)2)(3(3 1444622 (先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+?+?--3)2)(3(3 1)2()3(22 (分子、分母中的多项式分解因式)
分式的乘除（基础） 【学习目标】 1. 学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则 . 2. 会分式的乘法、除法运算 . 3. 掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算 . 【要点梳理】 要点一、分式的乘除法 1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 . 用字母表示为： a c ac ，其中 a 、 b 、 c 、d 是整式， bd 0 . b d bd 2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 用字母表示为： a c a d ad b d b c ，其中 a 、b 、c 、 d 是整式， bcd 0 . bc 要点诠释：（ 1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整 式 . （ 2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否 约分，然后再乘 . （ 3）整式与分式相乘， 可以直接把整式 （整式可以看作分母是 1 的代数式） 和分式的分子相乘作为分子，分母不变 . 当整式是多项式时，同样要 先分解因式，便于约分 . （ 4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式 . 要点二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： n a a n （ n 为正整数） . b b n a n n a n 要点诠释：（ 1）分式乘方时，一定要把分式加上括号 . 不要把 a n a b n 写成 b b b （ 2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的 奇次方为负 . （ 3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （ 4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如 2 2 a b a b a 2 b 2 . b b 2 b 2 【典型例题】 类型一、分式的乘法
《分式的乘除法》典型例题 例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分 （1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除） （1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算 （1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分 （1）3286b ab ； （2）2 22322xy y x y x x --
例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ； （2）36 ) (4)(3a b b a a --； （3）22 2y y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分： （1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a
参考答案 例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除
分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则
8.4分式的乘除（1） 学习目标： (一)知识与技能目标 使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题． （二）过程与方法目标 经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性 （三）情感与价值目标 渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练． 学习重点：掌握分式的乘除运算。 学习难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算。 教学过程 一、情境引入： 你还记得分数的乘除法法则吗？你能用类似于分数的乘除法法则计算下面两题吗？ （1）b ac 34·3229ac b = （2）b ac 34 32 29ac b = 二、探究学习： （1）你能说出前面两道题的计算结果吗？ （2）你能验证分式乘.除运算法则是合理的.正确的吗？ （3）类比分数的乘除法则，你能从计算中总结出怎样进行分式的乘除法运算吗？ 归纳小结： （1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积 的分母。 即： a b ×c d =ac bd 。 （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被 除式相乘。 即：a b ÷c d =a b ×d c ＝ad bc 。
（3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。即：( a b )n ＝a n b n 三、典型例题： 例1、计算：1. b a a 2284-.6312-a a b 2。（ c b a 4+）2 例2、计算、1.x y 62÷231x 2.2 244196a a a a +++-÷12412+-a a 归纳小结：分式的乘法运算，先把分子、分母分别相乘，然后再进行约分；进行分式除法运算，需转化为乘法运算；根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做显得较繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做有时简单易行，又不易出错. 四、反馈练习： （1） xy z y x z 5423 2÷- (2) b a b a 22+-.2222b a b a -+ (3) （a-4）.1681622 +--a a a (4) 2222) 1()1()1(--+x x x ÷1)1(22--x x 五、探究交流： （1）在夏季你是怎么挑选西瓜的呢? （2）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ 七、课堂小结： 1、分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。 2、当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分。
分式的乘除乘方专题练习 例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2 )(3，)(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 例23234)1(x y y x ? a a a a 2122)2(2+?-+ x y xy 2263)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a 1.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分.约分的依据是分式的基本性质. 若分式的分子、分母是多项式，必须先把分子、分母分解因式，然后才能约去公因式. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，又叫做既约分式.分式的运算结果一定要化为最简分式. 2.分式的乘法 3.分式的除法 例3、 若4 32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值. 例4、计算 （1）3322）（c b a - （2）432 22 )()()(x y x y y x -÷-?- （3）233 2)3()2(c b a bc a -÷- （4）23222 2)()()(x y xy xy x y y x -?+÷-
分式的乘方 求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b a )n . 分式的乘方，是把分子、分母各自乘方. )56(3)1(122ab cd c b a -÷-、计算： （2）432 643xy y x ÷-（3）（xy －x 2）÷x y xy - （4）2223b a a a b -+÷b a b a -+3 （5）32 24)3()12(y x y x -÷- （6）322 2233 22322)2()2()34(c b ab a c b a b a ab c +-÷-? 2、如果 32=b a ，且a ≠2，求5 1-++-b a b a 的值 、 计算（1）)22(2222a b ab b a a b ab ab a -÷-÷+-- （2）(23 34b a )2·(2 23a b -)3·(a b 3-)2
一、选择题 1. 下列分式a bc 1215，a b b a --2 )(3，)(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 2. 下列变形错误的是（ ） A..46323224y y x y x -=- B.1)()(33-=--x y y x C.9)(4)(27)(12323b a x b a b a x -=-- D.y x a xy a y x 3) 1(9)1(32222-=-- 3. cd ax cd ab 4322-÷等于（ ） A. －x b 322 B. 2 3 b 2x C. x b 322 D. －222283d c x b a 4. 若2a ＝3b ，则22 32b a 等于（ ） A. 1 B. 32 C. 23 D. 6 9 5. 使分式2 2222)(y x ay ax y a x a y x ++?--的值等于5的a 的值是（ ） A. 5 B. －5 C. 51 D. －5 1 6. 已知分式) 3)(1()3)(1(-++-x x x x 有意义，则x 的取值为（ ） A. x ≠－1 B. x ≠3 C. x ≠－1且x ≠3 D. x ≠－1或x ≠3 7. 下列分式，对于任意的x 值总有意义的是（ ） A. 152--x x B. 1 12+-x x C. x x 812+ D. 232+x x 8. 若分式m m m --21||的值为零，则m 取值为（ ） A. m ＝±1 B. m ＝－1 C. m ＝1 D. m 的值不存在 9. 当x ＝2时，下列分式中，值为零的是（ ） A. 2 322+--x x x B. 942--x x C. 21-x D. 12++x x 10. 每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为（ ） A. y x my nx ++元 B. y x ny mx ++元 C. y x n m ++元 D. 21（n y m x +）元
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、 21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴ 275x x -+； ⑵ 1 23 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. ⑵ 下列式子，哪些是分式？ 5a -； 2 34x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有、无意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 例1：当x 时，分式5 1 -x 有意义； 例2：分式 x x -+21 2中，当____=x 时，分式没有意义； 例3：当x 时，分式1 1 2-x 有意义； 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义； 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x -
例7：使分式 2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ） A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 分式的乘除法教案 富源县第六中学 游艳芬 课题 分式的乘除法 教学目标 1.分式乘除法的运算法则， 2.会进行分式的乘除法的运算. 补充： 教学重点 、难点 会进行分式的乘除法的运算. 补充： 教学方法 教学过程 ●教学过程 Ⅰ.创设情境，引入新课 ［师］上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？探索、交流——观察下列算式： 32×54=5342??,75×92=9 725??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2 795??. 猜一猜a b ×c d =? a b ÷c d =?与同伴交流. ［生］观察上面运算，可知： 两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘. 即a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零. ［师］如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. Ⅱ.讲授新课 1.分式的乘除法法则 ［师生共析］分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 2.例题讲解 例1］计算： （1）y x 34·32x y ;（2）22-+a a ·a a 212+. 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式. 解：（1）y x 34·32x y =3 234x y y x ?? =23222x xy xy ??=2 32x ; （2）22-+a a ·a a 212+ =)2()2(2+??-+a a a a =a a 212-. 出示投影片（§3.2 C ） ［例2］计算： （1）3xy 2 ÷x y 26;（2）4412+--a a a ÷4122--a a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 解：（1）3xy 2 ÷x y 26=3xy 2·26y x =2263y x xy ?=2 1x 2; 分式乘除法 一、选择题 1. 下列等式正确的是（ ） A. （－1）0 ＝－1 B. （－1）－1 ＝1 C. 2x －2 ＝221x D. x －2y 2 ＝22x y 2. 下列变形错误的是（ ） A. 4 63232 24y y x y x -=- B. 1)()(3 3 -=--x y y x C. 9) (4)(27)(12323b a x b a b a x -=-- D. y x a xy a y x 3)1(9)1(32 222-=-- 3. cd ax cd ab 4322-÷ 等于（ ） 【 A. －x b 322 B. 2 3 b 2x C. x b 322 D. －2 22283d c x b a 4. 若2a ＝3b ，则2 2 32b a 等于（ ） A. 1 B. 3 2 C. 23 D. 6 9 5. 使分式2 2222)(y x ay ax y a x a y x ++?--的值等于5的a 的值是（ ） A. 5 B. －5 C. 5 1 D. －5 1 6. 已知分式)3)(1() 3)(1(-++-x x x x 有意义，则x 的取值为（ ） A. x ≠－1 B. x ≠3 C. x ≠－1且x ≠3 D. x ≠－1或x ≠3 7. 下列分式，对于任意的x 值总有意义的是（ ） @ A. 152--x x B. 112+-x x C. x x 81 2+ D. 2 32+x x 8. 若分式m m m --2 1||的值为零，则m 取值为（ ） A. m ＝±1 B. m ＝－1 C. m ＝1 D. m 的值不存在 9. 当x ＝2时，下列分式中，值为零的是（ ） A. 2 322+--x x x B. 94 2--x x C. 2 1 -x D. 1 2 ++x x 10. 每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌 糖果每千克的价格为（ ） A. y x my nx ++元 B. y x ny mx ++元 C. y x n m ++元 D. 21（n y m x +）元 11. 下列各式的约分正确的是（ ） — A. 2()2 3()3a c a c -= +- B. 2 2 32 abc c a b c ab = C. 2 2 12a b ab a b a b = ---- D. 2 2 2142a c a c c a =+--+ 12. 在等式22 211 a a a a a M +++=+中，M 的值为 （ ） A. a B. 1a + C. a - D. 2 1a - 13. 小马虎在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A.11 326b a a ?= B. 22 () b a b a a b ÷=-- C.11 1 x y x y ÷=+- D. 2 2 11() () x y y x y x ? = --- 14. 下列式子：, ,1,1,32,32πn m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 ￥ A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 15. 下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、2 2 a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 16. 下列分式中是最简分式的是（ ） 《分式的乘除法》优质课比赛教案 一、素质教育目标 知识目标 经历探索分式的乘除法运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性。 能力目标 会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力，能解决一些实际问题。 情感目标 培养学生的观察、类比、归纳的能力和与同伴合作交流的情感，进一步体会数学知识的实际价值。 二、学法引导 通过类比分数的乘除法法则，获得分式的乘除法法则，并会利用法则进行分式的乘除法运算及解决有关的简单的实际问题。 三、教学设想 难点：正确运用分式的基本性质约分。 重点：理解分式乘除法法则的意义及法则运用。 疑点：如何找分子和分母的公因式，即系数的最大公约数，相同因式的最低次幂。 四、媒体平台 多媒体课件（自制）构思：激发学生的求知欲，巩固所学的知识。 五、教学步骤 （一）情境导入 观察下列运算 （二）解读探究 1、学生回答猜想后，多媒体显示过程，然后引导学生运用“数式相通”的类比思想，归纳分式乘除法法则。 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 （让学生全面参与、独立思考，由自己总结出分式的乘除法法则，培养学生的归纳、创造能力。） 2、乘法法则运用 多媒体示题并解答。学习例1，理解和巩固分式乘法法则。并强调分式的运算结果通常要化成最简分式和整式。 例1 计算 （1） （2） 例2计算 （1） （2） 3、做一做 多媒体出示做一做的问题情境，鼓励学生结合情境思考并完成做一做，体会生活中到处有数学，培养学生运用数学知识解决生活中实际问题的能力。多媒体显示解答过程。 (1)西瓜瓤的体积 整个西瓜的体积 (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是 （进一步丰富分式乘除法法则的情境，增强学生的代数推理能力与应用意识。） 4、除法法则运用 学习例2，多媒体示题和答案。巩固分式乘除法法则的运用，通过提示语，突破难点，解决疑点，使学生能正确找出分子和分母的公因式。 （三）巩固练习 完成随堂练习。重点看学生能否正确运用分式乘除法法则，能否利用分式的基本性质约分化简分式。多媒体未时示题并答案，学生可以看书。 1、计算 （1） （2） （3） 分式的乘除（第1课时）教案〖教学目标〗 〔－〕知识目标 1．同分母的分式加减法的运算法那么及其应用． 2. 异分母的分式加减法的运算法那么及其应用． 〔二〕能力目标 1．经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感． 2．会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出分式的加减法的运算法那么，发展有条理的思考及其语言表达能力． 〔三〕情感目标 1．从现实情境中提出问题，提高〝用数学〞的意识． 2．结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气． 〖教学重点〗 1．同分母的分式加减法． 2. 异分母的分式加减法． 〖教学难点〗 当分式的分子是多项式时的分式的减法． 〖教学过程〗 【一】课前布置 自学：阅读课本P12~P14，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题〔鼓励提问〕 【二】学情诊断 1.了解学生原有认知机构，解答学生提出的问题. 【三】师生互动 〔一〕 ［师］你昨天自学本节后，有什么收获 ［生］P12的〝一起探究〞挺有意思 ［师生讨论］一起探究中这组题目从几何的角度对同分母分式加减运算法那么进行验证。〔数学的法那么是可以从多角度验证的. 〕 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是： c a ±c b ＝c b a ± (其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，c 是含有字母的非零的整式)． 〔二〕 ［师］下面开始〝你编我来算〞环节〔找同学编同分母分式加减的题目，学生积极〕 ［生］编： (1) a 1＋a 2＝____________． (2) 22-x x - 24-x ＝____________． (3) 12++x x -11+-x x ＋13+-x x ＝____________． 〝我来算〞. 〔大家同时做先做完的同学到 黑板上板演. 找先做完的同学到老师——到黑板上判同学的解答〕 ［生1］解：(1)a 1＋a 2＝a 21+＝a 3； ［生2］解：(2)22-x x - 24-x ＝242--x x ； ［生3］解：12++x x -11+-x x ＋13+-x x ＝1312+-+--+x x x x ＝12+-x x ． ［师］我们先请当老师的同学来讲评一下运算过程． ［生］第(1)小题是正确的． ［生］第(2)小题没有把结果化简．应该为原式＝242--x x ＝2 )2)(2(-+-x x x ＝x ＋2． ［师］这位同学很仔细．我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简． ［生］第(3)小题，我认为也有错误．同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得(x ＋1)分母不变，做得对，但三个分式的分子x ＋2、x-1、x-3相加减应为(x ＋2)-(x-1)＋(x-3)．最后应为1 +x x 新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习 重难点突破 课外机构补习优秀资料 分式全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系． 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想． 【知识网络】 【要点梳理】 【分式全章复习与巩固知识要点】 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即 当B≠0时，分式A B 才有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 a c ac b d bd ?=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 a c a d ad b d b c bc ÷=?=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4．零指数 . 5.负整数指数 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将 分式的乘除乘方专题练习 一、典型例题 例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2 )(3，)(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 例23234)1(x y y x ? a a a a 2122)2(2 +?-+ x y xy 22 63)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a 1.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分.约分的依据是分式的基本性质. 若分式的分子、分母是多项式，必须先把分子、分母分解因式，然后才能约去公因式. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，又叫做既约分式.分式的运算结果一定要化为最简分式. 2.分式的乘法 乘法法测： b a ·d c =bd ac . 3.分式的除法 除法法则： b a ÷d c =b a ·c d =bc ad 例3、 若 4 32z y x ==,求222 z y x zx yz xy ++++的值. 例4、计算 （1）3 3 22）（c b a - （2） 43222)()()(x y x y y x -÷-?- （3）2 33 2 )3()2(c b a b c a - ÷- （4）232222)()()(x y xy xy x y y x -?+÷- 分式的乘方 求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是( b a )n . 分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为： (b a )n =n n b a (n 为正整数) 针对性练习： )56(3)1(122ab cd c b a -÷-、计算： （2）4 3 2643xy y x ÷-（3）（xy －x 2）÷x y xy - （4）2 223b a a a b -+÷b a b a -+3 （5）322 4)3()12(y x y x -÷- （6）3 2 2223322322)2()2()34(c b ab a c b a b a ab c +-÷-? 2、如果 32=b a ，且a ≠2，求 5 1 -++-b a b a 的值 三、巩固练习：1、 计算（1）)22(222 2a b ab b a a b ab ab a -÷-÷+-- （2）(2334b a )2·(223a b -)3·(a b 3-)2 （3）(22932x x x --+)3·（-x x --13）2 2、先化简，再求值：(b a ab 22+)3÷2223)b a ab (-·[)(21b a -]2 ，其中a=-21,b=3 2 3、（1）先化简后求值： 2 (5)(1)5a a a a -+-÷（a 2 +a ），其中a=－13． （2）先化简，再求值：21x x x -+÷1x x +，其中x=1． 4．已知m+1 m =2，计算4221m m m ++的值． 7．（宁夏）计算：（9a 2b －6ab 2）÷（3ab ）=_______． 8．（北京）已知x －3y=0，求 22 22x y x x y +-+·（x －y ）的值． 9．（杭州）给定下面一列分式：3x y ，－52x y ，73x y ，－9 4x y ，…（其中x ≠0）．分式乘除1)
分式的乘除法练习题
《分式的乘除法》优质课比赛教案
分式的乘除(第1课时)教案
新人教版八年级上册数学[分式全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
分式的乘除运算专题练习
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