课题：与圆有关的轨迹方程 北京市第八十中学 王伟 一、教学时间：10.27 二、教学目标： 1、掌握求曲线的方程的一些常见方法； 2、建立数形结合思想，培养学生运用解析几何的基本思想方法； 3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力； 三、教学重难点: 重点：求与圆有关的轨迹方程的方法； 难点：建立动点坐标之间的等量关系； 四、教学用具：计算机、投影仪、圆规、三角板； 五、教学过程： （一）复习提问导入新课： 1什么叫曲线的方程、方程的曲线？ 2求曲线的方程的步骤是什么？ 学生回答 教师点评：明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程，2、通过方程研究平面曲线的性质。 （二）新课： 今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程； 例1已知定点A （6，0），点B 是圆 2+y x 求点P 的轨迹方程。 解法一：作PQ ∥OB 交x 轴于点Q ， ∵P 为AB 中点，∴PQ 为△OAB 的中位线 ∴Q(3，0)，|PQ|= OB 21 ∴|PQ|=2 3，由圆的定义知，P 在以Q （3，0）为圆心，半径r=|PQ|=23的圆上，∴点P 的轨迹方程是：49)3(22=+-y x ； 1、解法一由学生探讨，寻求解答，展示思维过程； 2、教师点评，总结解法一：定义法； 用计算机演示动点P 的轨迹图形，学生观察运动变化规律。 教师提问：例1的解答还有其他方法吗？ 学生观察分析：动点P 的轨迹依赖圆上点B 的变化；
解法二：设P ),(),,(11y x B y x ，由中点坐标公式得： ?? ???+=+=202611y y x x ∴???=-=y y x x 26211∵B ),(11y x 在圆922=+y x 上,∴92121=+y x ∴9)2()62(22=+-y x ∴4 9)3(22=+-y x 教师总结解法二：坐标转移法，并把例1进行的拓展： 变化A 点的位置探求点P 的轨迹方程（1） A 在圆上 （2）A 在圆内 变化P 点位置探求点P 的位置关系（1）P 分AB 的比为2：1 （2）P 在的延长线上，使BP AB = 学生回答在上述四种情况中如何解答？ 例2 自圆外一点A （6，0）引圆922=+y x 的割线ABC ，求弦BC 的中点P 的轨迹方程。 定义法 解法一：∵OP ⊥AP,取OA 中点M 则M(3，0)，|PM|=3， 由圆的定义得P 点轨迹方程为0622=-+x y x 几何法 1 解法二：设P ),(y x ，连OP ，则OP ⊥BC 14 ,-=-?⊥x y x y k k BC OP 即，即0422=-+x y x ，当0=x 时P 点坐标为（0，0）是方程的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为0422=-+x y x （在圆的内部分） 几何法2 解法三 ：设P ),(y x ，连OP ，=),(y x ,=),6(y x --,∵⊥， ∴·=0,0)()6(=-+-y y x x ，0622=-+x y x （在圆的内部分） 几何法2 解法四 ：设P ),(y x ，连OP ，OP =),(y x ,PA =),6(y x --,∵OP ⊥PA ， ∴OP ·=0,0)()6(=-+-y y x x ，0622=-+x y x （在圆的内部分） 坐标转移法 解法五：设 ),,(),,(2211y x C y x B ),(y x P 则 4212 1=+y x …..①
求圆的轨迹方程练习 1、 点P 00(,)x y 是圆224x y +=上的动点，点M 为OP （O 为原点）中点，求 动点M 的轨迹方程。 2、 已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P 满足｜PA ｜=2｜PB ｜，则点P 轨迹方程所包围的图形面积等于 3、 等腰三角形ABC 底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C 的轨迹方程。 4、设A 为圆22(1)1x y -+=上的动点，PA 是圆的切线且｜PA ｜=1，求P 的轨迹方程。 5、 已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且｜BC ｜＝６，求BC 中点轨迹方程。 6、 长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线 段AB 的中点的轨迹方程。 7、 已知点M 与两个定点O （0，0），A(3，0)的距离的比为12 ，求点M 的轨迹方程。 8、 已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切，求动圆圆心轨迹方程。 9、 点A(0,2)是圆2216x y +=内定点，B,C 是这个圆上的两动点，若BA CA ⊥， 求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹。 10、 已知点M （x,y ）与两个定点A 、B 距离的比是一个正数m ，求点M 的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑 11m m =≠和两种情形） 1、22x y 1+= 2、4π 3、22(6)82x y +-=（除（-1，15）、（1，-3）） 4、22(1)2x y -+= 5、2216x y += 6、222x y a += 7、 224x+1y +=（） 8、22(5)(7)x y 25-++=或22(5)(7)x y 9-++= 9、解法一：设BC 中点M （x,y)
圆锥曲线轨迹方程的解法 目录 一题多解 (2) 一．直接法 (3) 二. 相关点法 (6) 三. 几何法 (10) 四. 参数法 (12) 五. 交轨法 (14) 六. 定义法 (16)
一题多解 设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。 一．直接法 设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设 OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41 (x ≠0)，即点P 的 轨迹方程是（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1)。 二．定义法 ⊥⊥OPC =90°，⊥动点P 在以M （0,2 1 ）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点 O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1) 三．相关点法 设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0, ⊥x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ⊥(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0, ⊥x ≠0,即（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1） 四．参数法 ①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1， 即（1+k 2）x 2－2x =0,⊥.12 221k x x +=+ 设点P （x,y ），则2 2211],1,0(112k k kx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x － 21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )， 则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+= y x 消去θ得（x －21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1）
求与圆有关的轨迹方程 ［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N （x o, y o）, 求出用x，y表示x o，y o的关系式，将（x o, y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 ［讲解设计］重点和难点 例1 已知定点A（4，o ），点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。 例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC求弦BC中点P的轨迹方程。 方法一：（直接法）设P（x，y），连接OP则OPL BC 』-=一止 当x^0 时，k op ■ k AP=—1，即TT x—4 即x2+ y2—4x = O.① 当x= O时，P点坐标（0,0）是方程①的解， BC中点P的轨迹方程为x2+ y2—4x= O（在已知圆内的部分）. 方法二：（定义法） 由方法一知OPtAP,取OA中点M 则M2,0）, |PM =2 I OA = 2， 由圆的定义知，P的轨迹方程是（x —2）2+ y2= 4（在已知圆内的部分）. 例3 已知直角坐标平面上的点Q（2, 0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 （0）,求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 设直线MN切圆于N,则动点M组成的集合是：P={M||MN|= J'|MQ|} T圆的半径|ON|=1，二|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 , 设点M的坐标为（x, y）,则j 整理得（x-4）2+y2=7 . ???动点M的轨迹方程是（x-4 ）2+y2=7 . 它表示圆，该圆圆心的坐标为（4 , 0）,半径为越 例4 如图，已知两条直线11：2x-3y+2=0 , I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与丨1,丨2都相交, 并且I 1与I 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24,求圆心M的轨迹方程。 设动圆的圆心为M（x,y）,半径为r,点M到直线1* 2的距离分别为d1和dz 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
专题一求圆的轨迹方程 教学目标： 1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的 形式求圆的方程； 2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点： 1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆 的方程； 2、会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程： 第一部分知识点回顾 一、圆的方程 : 1 .圆的标准方程：x a? y b 2 r2o 2 ?圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0） 特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆 2 2 2 思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？ 答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；
3 .圆的参数方程：y a r s°s (为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为 r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元: (3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，0 2 )上的点，则圆的 普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是 (答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)； 3 (4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_ (答: [0 , 2]); (5) 方程x 22 - 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0 )}， N (x, y) | y x b , 若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& ) 二、点与圆的位置关系：已知点M x 0 ,y 0 及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 , (1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (2) 点 M 在圆 C 内 CM| r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (3) 点 M 在圆 C 上 CM r x 0 a $ y 0 r 2。女口 点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2 + y 2=1的内部，则a 的取值范围是(答: 2 ^22, r x r cos , y r sin ； x y t x r cos ,y r sin (0 r .,t)。 X i ,y i ,B X 2,y 2为直径端点的圆方程 x x 1 x X 2 y y 1 y y 2 0 如 (1) 圆C 与圆(X 1)2 y 2 1关于直线y x 对称， 则圆 C 的方程为 (答: x 2 (y 1)2 1); (2) 圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答: (x 3)2 (y 3)2 9或(x 1)2 (y 1)2 1 )；
与圆有关的轨迹方程 的求法
与圆有关的轨迹方程的求法 若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系： ? ??βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得???=β=α) ,(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0. 例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程. 【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴ 3 1||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分PA 的比为31 .
∴???????=-=????? ??????=+?+=+=+?+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即 又因2020y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622 =+??? ??-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16 9)43 (22>=+-y y x . 例3、已知圆,422=+y x 过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(22=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(22=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x 变式练习 1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且 3 1=，则点M 的轨迹方程是 解：设),(),,(11y x A y x M .∵31=，∴),3(3 1),(11y x y y x x --=--， ∴???????-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴??? ????=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴ 12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即16 9)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是16 9)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .
与圆的轨迹方程文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
求与圆有关的轨迹方程 [概念与规律] 求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问 题，其步骤是：? 设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x 0，y ）， ? 求出用x，y表示x 0，y 的关系式， ? 将（x 0，y ）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 [讲解设计]重点和难点 例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。 例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。 方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC， 当x≠0时，k OP·k AP＝－1，即 即x2＋y2－4x＝0. ① 当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解， ∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)． 方法二：(定义法) 由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2， 由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)． 例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长 > 设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|}
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
高一数学 4.1.2 与圆有关的轨迹问题课时 1 【学习目标】 1.初步理解用代数方法处理几何问题的思想，坐标法 3. 初步学习用代入法，定义法求点的轨迹方程，了解求点的轨迹方程的方法，步骤。【学习重点】求点的轨迹方程的方法，步骤。 【学习难点】求点轨迹的过程中寻找动点满足的几何关系 复习案 1、复习P92直线的点斜式方程的推导过程初步体会求点的轨迹的过程，方法 2、复习P118圆的标准方程方程的推导过程初步体会求点的轨迹的过程，方法。 学习案 动点M的坐标(x，y)满足的关系式称为点M的轨迹方程 例1、已知线段AB的端点B的坐标是（4,3）,端点A在圆22 (1)4 x y ++=上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。（试着作图，当点A在圆上运动时，追踪中点M的轨迹） 小结 当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且已知点P在某一曲线C上运动时，常用代入法(也称相关点法)求动点M的轨迹方程，其步骤是：(1)设动点M的坐标为(x，y)；(2)用点M的坐标表示点P的坐标；(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程 变式训练、 1、过原点O做圆2280 x y x +-=的弦OA求弦OA的中点M的轨迹方程 例2若Rt ABC ?的斜边的两端点A、B的坐标分别为（-3,0）（7,0）求直角顶点C的轨迹方程例3、已知点A(-3,0),B(3，0),动点P满足2 PA PB =，求点P 的轨迹方程分析：找出动点满足的关系式，代入动点的坐标，可得轨迹方程，由轨迹方程确定曲线的形状． 课堂小结 总结：求曲线的轨迹方程的步骤 （1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标（x,y） （2）列出点M满足条件的集合 （3）用坐标表示上述条件，列出方程 （4）将上述方程化简。 （5）证明化简后的以方程的解为坐标的解都是轨迹上的点。 练习 1、一动点到A(－4,0)的距离是到B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程 2、已知两定点A(-2，0)，B（1,0），若动点P满足2 PA PB =,则点P的轨迹方程 3、已知圆的方程为：2266140 x y x y +--+=,求过点() 3,5 A--的直线交圆得到的弦PQ 的中点M的轨迹方程 4、等腰三角形的顶点A的坐标是（4,2），底边一个端点B的坐标是（3,5），求另一个端点C的轨迹方程。
与圆有关的轨迹方程公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
求与圆有关的轨迹方程 [概念与规律] 求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤 是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x 0，y ）， 求出用x，y表示x 0，y 的关系式， 将（x 0，y ）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 [讲解设计]重点和难点 例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P 的轨迹方程。 例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。 方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC， 当x≠0时，k OP·k AP＝－1，即 即x2＋y2－4x＝0. ① 当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解， ∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)． 方法二：(定义法) 由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2， 由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)． 例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|} ∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1， 设点M的坐标为（x，y），则√(x2+x2?1)=√(x?2)2+x2
求轨迹方程的一般方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【变式】：已知圆 的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与 这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。 二：用直译法求轨迹方程 例2：一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？ 【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即 2| || |=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？ 三：用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。 例3．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
求与圆有关的轨迹方程 [概念与规律] 求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：? 设动点M （x ，y ），已知曲线上的点为N （x 0，y 0）， ? 求出用x ，y 表示x 0，y 0的关系式， ? 将（x 0，y 0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x ，y ）中x ，y 之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 [讲解设计]重点和难点 例1 已知定点A （4， 0），点B 是圆x 2+y 2=4 上的动点，点P 分AB 的比为2：1，求点P 的轨迹方程。 例2 自A （4，0）引圆x 2+y 2=4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程。 方法一：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ， 当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即 即x 2＋y 2－4x ＝0. ① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解， ∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)． 方法二：(定义法) 由方法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)． 例3 已知直角坐标平面上的点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0），求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|} ∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1， 设点M 的坐标为（x ，y ），则√(x 2+x 2?1)=√(x ?2)2 +x 2 整理得（x-4）2+y 2=7． ∴动点M 的轨迹方程是（x-4）2+y 2=7．
专题一 求圆的轨迹方程 教学目标： 1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程； 2、 掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点： 1、 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程； 2、 会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程： 第一部分 知识点回顾 一、圆的方程： 1．圆的标准方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=。 2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=> 特别提醒：只有当2 2 D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22 D E --，半径为 221 42 D E F +-的圆 思考：二元二次方程2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ 答案： （0,A C =≠且0B =且2 2 40D E AF +->））； 3．圆的参数方程：{ cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数） ，其中圆心为(,)a b ，半径为r 。圆的参数方程的主 要应用是三角换元： 222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。 4．()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如 （1）圆C 与圆22 (1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：2 2 (1)1x y ++=）； （2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(2 2 =-+-y x 或1)1()1(2 2 =++-y x ）； （3）已知(1,3)P -是圆 { cos sin x r y r θθ==（θ 为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________， P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________
动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 ，即 ， ．整理得，这就是动点 M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(2 2-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x
与圆有关的轨迹方程的求法 若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系： ? ? ?βα=βα=),() ,(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得?? ?=β=α) ,() ,(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0. 例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(2 2 =++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２ =1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程. 【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴ 3 1 ||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为 3 1. ∴???????=-=? ???? ?????? =+?+=+=+?+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(433 1131300000 0即 又因 202 y x + ＝１，且 y 0>0，∴19 16439162 2 =+ ??? ?? - y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16 9 )43 (22>= +-y y x .
例3、已知圆,42 2 =+y x 过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(2 2=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(2 2 =+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x 变式练习 1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆12 2=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且 MB AM 3 1 =，则点M 的轨迹方程是 解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(3 1 ),(11y x y y x x --=--， ∴???????-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴??? ???? =-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34( )134(22=+-y x ， 即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是16 9 )43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆12 2 =+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 . 解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴3 1==OB OA MB AM ， ∴31=. 由变式1可得点M 的轨迹方程是16 9 )43(22=+-y x . 3：已知直线1+=kx y 与圆42 2 =+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程. 解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2 ,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴ 0)12 (2)2()12,2()2,2(2=-+=-?=?y y x y x y x ，化简得1)1(2 2=-+y x .∴点P 的轨 迹方程是1)1(2 2=-+y x . 4、圆9)1()2(2 2=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是 王新敞 5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(2 2=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
求 圆的轨迹方程练习 1、 点P 00(,)x y 是圆224x y +=上的动点，点M 为OP （O 为原点）中点，求动点M 的轨迹方程。 2、 已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P 满足｜PA ｜=2｜PB ｜，则点P 轨迹方程所包围的图形面积等于 3、 等腰三角形ABC 底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C 的轨迹方程。 4、设A 为圆22(1)1x y -+=上的动点，PA 是圆的切线且｜PA ｜=1，求P 的轨迹方程。 5、 已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且｜BC ｜＝６，求BC 中点轨迹方程。 6、 长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段 AB 的中点的轨迹方程。 7、 已知点M 与两个定点O （0，0），A(3，0)的距离的比为12 ，求点M 的轨迹方程。 8、 已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切，求动圆圆心轨迹方程。 9、 点A(0,2)是圆2216x y +=内定点，B,C 是这个圆上的两动点，若BA CA ⊥， 求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹。 10、 已知点M （x,y ）与两个定点A 、B 距离的比是一个正数m ，求点M 的轨 迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑 11m m =≠和两种情形） 1、22x y 1+= 2、4π 3、22(6)82x y +-=（除（-1，15）、（1，-3）） 4、22(1)2x y -+= 5、2216x y += 6、222x y a += 7、 224x+1y +=（） 8、22(5)(7)x y 25-++=或22(5)(7)x y 9-++= 9、解法一：设BC 中点M （x,y)
期末复习4（曲线与方程、圆）学案 一、知识点梳理 1、曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果曲线C 上的点集与一个二元方程F （x,y ）=0的实数解集建立了如下两个关系： ①__________________________都是这个方程的解 ②____________________________都是曲线C 上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 2、曲线的交点 3、求轨迹方程的步骤：________、________、_________、________、________ 4、求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； ④代入法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程； ⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 5、圆的定义：____________________________________________________________ 6、圆的标准方程：圆心（a ，b ），半径r 的标准方程为______________________ 当圆心为（0,0）时，圆的标准方程为__________________________ 7、圆的一般方程：当______________时，方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0为圆的一般方程，它的圆心为_________________半径为________________________ 8、点与圆的位置关系：已知点P （x 1,y 1）及圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-，则有： （1）点P 在圆外?_________________________ （2）点P 在圆上?_________________________ （3）点P 在圆内?_________________________ 9、直线与圆的位置关系： 方法一、联立方程组，消元后得方程，?_______相交；?_______相切；?______相离 方法二、圆心到直线的距离d 满足：_________相交；__________相切；________相离
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） 【复习目标】 □1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。 【基础练习】 1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A ．y x = B ．||y x = C ．22y x = D ．220x y += 2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129 (0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段 4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________. 【例题精选】 一、直接法求曲线方程 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例1．已知ABC ?中，2,AB BC m AC ==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？ 二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。 例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于