4·3 灯光与影子
1.中心投影
探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
注：发光点、物体上的点及其影子上的对应点在一条直线上。
2.视点、视线、盲区
人眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，人看不到的地方称为盲区。
视点、视线、盲区和点光源有着密切的联系。将人的眼睛与点光源类比，视线与点光源发出的光线相似，影子则与盲区相似。
例1.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
解：D
点拨：路灯光线的投影是中心投影，在灯光下，直立物体的影子与物体的高度不成定比例．例2. 如图所示，小明、小刚分别住在同一座楼的四层和六层上，他们楼前面有一供热中心，要去他俩家家访的王老师在下面喊他们，小明说：“王老师在哪儿呢？”小刚则说：“我看到王老师啦！”请问此时王老师在什么位置？（王老师的身高忽略不计）
解：此时王老师位置在线段AB内部。
分析：由视点与障碍物的顶点连一直线，可以找出盲区。小明不能看到，说明王老师在小明的盲区内，小刚能看到，则说明王老师在其盲区之外。此题也说明楼层越高盲区越小的生活常识。
例3. 如何才能使如图7所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等。试画图说明。
解：（1）可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连接它们影子的顶点与树的顶点，
此时为平行投影。
（2）可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连接影子的顶点与树的顶点，相交于点P。此时为中心投影，P点即为光源位置。
分析：连接物体顶点与其影长顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法。另外，还应注意：若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等。
人教版数学九年级下册第29章投影与视图 29.1 投影复习练习 1. 圆形的物体在太阳光的投影下是( ) A．圆形 B．椭圆形 C．线段 D．以上都有可能 2．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( ) A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 3. 如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( ) 4. 在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是( ) A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上 C．两根竿子不平行 D．一根倒在地上 5. 小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( ) A．三角形 B．线段 C．矩形 D．正方形 6. 把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
7．当投影线从物体左方射到右方时，如图的几何体的正投影是( ) 8. 用________照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影．________光线叫做投影线，________所在的平面叫做投影面． 9．由__________形成的投影是平行投影，由________(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影． 10. 投影线________投影面产生的投影叫正投影． 11. 物体与________的位置关系不同，其正投影也可能不同． 12. 在一天中，从早晨到傍晚物体的影子由正西向________、________、_______和正东方向移动 13. 如图是小明在学校时上午、下午看到的学校操场上的旗杆的影子的俯视图，将它们按时间顺序进行排列为________． 14. 几何体在平面P的正投影，取决于__________（填序号） ①几何体形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小． 15. 如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子逐渐变_____
初中数学思维方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法
关于初中数学知识点总结5篇 初中数学基础知识：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。下面就是小编给大家带来的初中数学知识点总结，希望能帮助到大家! 初中数学知识点总结1 一、数与代数a、数与式：1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算：加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根： ①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。 ②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。 实数： ①实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式： ①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和
5.1相交线 5·1·1相交线 1.邻补角、对顶角. 有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角. 如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角. 2.主要性质 （1） 对顶角的性质：对顶角相等 （2）邻补角的性质：互为邻补角的两个角和为?180 证明如下： ∠1和∠3相等。 ∵∠1＋∠2＝1800 ，∠2＋∠3＝180 0 、 ∴∠1＝∠3（同角的补角相等） 同理∠2和∠4相等。 这就是说：对顶角相等。 例1．直线a 、b 相交，∠1＝400，求∠2、∠3、∠4的度数。 分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？ 解：∵∠1＋∠2＝1800，∴∠2＝1800—∠1＝1800—400＝1400. ∠3＝∠1＝400，∠4＝∠2＝1400. 例2. 已知，如图， 80,35=∠ =∠COF AOC ，求：DOF AOD ∠∠和的度数 1 2 3 4 O B A C D 1 2 3 4 O B A C D
解：∵∠AOC 和∠AOD 是互补角，又∠AOC=35°，∴∠AOD=180°-35°=145°。 ∠DOF 和∠COF 也是互补角，∴同理，∠DOF=180°-∠COF=180°-80°=100°。 例3. 下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔 〕 A B C D 分析：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。 解：C 例4.下列说法正确的是〔 〕 A 、相等的角是对顶角 B 、一个角的邻补角只有一个 C 、补角即为邻补角 D 、对顶角的平分线在一条直线上 解：根据性质可知，只有D 选项是对的。 5.1.2 垂线 1．垂直的表示法. 垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图. 2. 垂线的画法 让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。 3. 垂线的性质 性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 4. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 5. 垂直在生活中的应用 O D C B A 1 2 1 2 1 2 1 2
投影与视图 知识要点 1、投影 （1）投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （2）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection). （3）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。 （4）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 2、三视图 （1）三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状，三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （2）特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
(1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.
5·2 平行线 5·2·1 平行线 1. 平行的定义 同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 注意：同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线. 直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 2.平面中两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交. 3. 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行. 符号语言：∵b∥a,c∥a ∴b∥c. 4．比较平行公理和垂线的第一条性质. 共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外. 例1．在同一平面内，三条直线的交点个数可能是． 分析： 画图试试，可知最多三条，也可能交于一点，也有可能其中2条平行，那就有2个交点，还可能是三条线都平行，那就没有交点了。 解：0或1或2或3. 例2．下列说法正确的是（） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 分析; 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 答：A正确
例3．若∠α与∠β是同旁内角，且∠α=50°，则∠β的度数是（ ） A ．50° B ．130° C ．50°或130° D ．不能确定 分析：没说这两条直线是什么关系，∴同旁内角的度数关系不明确。 例4．下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 分析：（1）是对的；（2）错误，因为如果这个点是在直线上，那就不存在过这个点与该直线平行的点了(公理的前提是直线外一点)；（3） 是对的，同一平面内，两条直线间只有这两种关系；（4）正确，即使这个点在直线上也是可以的。 例5．如图，直线AB ，CD 被DE 所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1 ∠3． 答：∠1和∠3是同位角，∠1和∠5是内错角，∠1和∠2是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1=∠3． 5.2.2 直线平行的条件 平行判定的条件： 1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单地说:同位角相等,两条直线平行. 符号语言： ∵∠1=∠2 ∴AB ∥CD. 2. 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等,两直线平行. 符号语言：∵∠2=∠3 ∴a ∥b. 3. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补,两直线平行. 符号语言： ∵∠4+∠2=180° ∴ a ∥b. 例1．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ 分析：垂直总与直角联系在一起，我们学过哪些判断两条直线平行的方法？ 答：这两条直线平行. a b c ┐1 ┐2
29.1投影(1) 【学习目标】 1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念； 2、了角平行投影和中心投影的区别； 3、学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识． 【学习重点】 理解平行投影和中心投影的特征 【学习难点】 在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影 【导学过程】 一、合作学习，探究新知 自学提纲： 1、投影的定义：一般地， 叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． 2、投影的分类 （1）平行投影 ①平行投影的定义：是平行投影．如物体在太阳光的照射下形成影子（简称日影）就是平行投影． ②太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化． （2）中心投影 ①中心投影的定义：叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光线照射下形成影子就是中心投影． ②产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置． （3）如何判断平行投影与中心投影： 分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置．
二、教师点拨： 例1：王丽和赵亮两个小朋友晚上在广场的一盏灯下玩，如图1，AB 的长表示王丽的身高，BM 表示她的影子，CD 的长表示赵亮的身高，DN 表示他的影子，请画出这盏灯的位置. 例2：某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是【 】 例3：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度【 】 A ．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米 三、针对练习： 1．探照灯、手电筒、路灯等的光线可以看成是从______个点发出的，像这样的光线所形成的投影称为________. 2．投影可分为_____和_____；一个立体图形，共有_______种视图. A C D B 图1 N M
一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关
https://www.doczj.com/doc/ac16326832.html, 中考资源网 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@https://www.doczj.com/doc/ac16326832.html, - 1 - 4.3灯光与影子（一） 教学目标： 知识与技能目标： 1．经历实践、探索的过程，了解中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用． 2．通过观察、想象，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化． 3．能区别平行投影与中心投影条件下物体的投影． 过程与方法目标： 1．经历实践、探索的过程．培养学生的实践、探索能力． 2．由观察、想象进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化，训练学生的观察、想象能力． 情感态度与价值观目标： 1．经历观察、实验、想象等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 重点、难点、关键： 1．重点：了解中心投影的含义。 2．难点：在中心投影条件下物体与其投影之间相互转化的理解。 3．关键：通过观赛、想象、实践来探索中心投影的含义。 教学过程： 做一做： 取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒去照射这些小棒和纸片。 提问：（1）固定手电筒，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？ （2）固定小棒和纸片，改变手电筒的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？ 例题：确定图4—14中路灯灯泡所在的位置。 解：如图4—14，过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶门作一条直线，两线相交于点O ，点O 就是路灯灯泡所在的位置。 议一议 1．图4—16是两棵小树在同一时刻的影子，请在图中画出形成树影的光线，它们是太阳的光线还是
初中数学基本知 点 1、整数 ( 包括：正整数、 0、 整数 ) 和分数 ( 包括：有限小数和无限 循小数 ) 都是有理数 ．如：－ 3， ，0.231， 0.737373?， ， ．无限不 循小数叫做 无理数 ．如：π，－ ，0.1010010001?( 两个 1之 依次多 1个0) ．有理数和无理数 称 数． 2、 ：a ≥0 丨a 丨＝ a ； a ≤0 丨a 丨＝－ a ．如： 丨－ 丨＝ ；丨 3.14－π丨＝ π－3.14． 3、一个近似数，从左 笫一个不是 0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做 个近似数的 有效数字．如： 0.05972精确到 0.001得0.060， 果有两个有效数字 6，0． 4、把一个数写成± a ×10n 的形式 ( 其中 1≤a ＜10，n 是整 数) ， 种 数法叫做 科学 数法．如：－40700＝－ 4.07 × 105 ，0.000043＝4.3 ×10－ 5 ． 5、乘法公式 ( 反 来就是因式分解的公式 ) ：①( a ＋b)( a － b) ＝a 2－b 2．② ( a ±b) 2＝a 2±2ab ＋b 2．③ ( a ＋b)( a 2 － ab ＋b 2) ＝a 3＋b 3．④ ( a －b)( a 2＋ab ＋b 2) ＝ a 3－b 3；a 2 ＋b 2＝( a ＋b) 2－2ab ，( a －b) 2＝( a ＋b) 2 －4ab ． 6、 的运算性 ： ①a m ×a n ＝a m ＋ n ．②a m ÷a n ＝a m － n ．③ ( a m n ＝ a mn ．④ ab n ＝a n n ．⑤ ( ) n ＝n ． ) ( ) ) b ⑥a n ＝a n ，特 ：( n ＝( ) n ．⑦a 0＝1( a ≠0) ．如： a 3 － 1 － × a 2＝a 5，a 6÷a 2＝a 4，( a 3) 2＝a 6，( 3a 3) 3＝27a 9 ，( －3)
2.2 有理数的减法 学习目标 1. 理解并掌握有理数减法法则。 2. 了解有理数减法和现实生活的广泛联系，学会运用有理数减法解决的实际问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 知识详解 1.有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示该法则为：a-b=a+（-b）；其中a、b表示任意有理数，即a、b既可以是正数，也可以是负数和0。 注意：（1）进行有理数的减法运算有两个步骤：第一步，将减号变成加号，把减数的相反数变成加数。第二步，进行有理数加法运算，特别注意在第一步中将有理数减法“转化”为加法时，要同时改变两个符号：a运算符号由“-”号变为“+”号；b改变减数的性质符号。（2）减数与被减数不能互换，即减法没有交换律。 有理数的减法体现了转化的思想，把未知的问题转化为已知的问题赖解决。 2. 代数和 几个正数和负数的和称为代数和。代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，因为m-n=m+（-n），所以可将m-n看做m和-n的代数和，即m+（-n）形式省略加号和括号，写成m-n的形式。 3. 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可统一为加法运算。它的运算方法和步骤如下： （1）利用有理数减法法则将减法统一成加法； （2）省略各加数的括号和它前面的加号； （3）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。 注意： （1）每个数字前面的符号都是这个数字的性质符号，因此在交换加数的位置时，一定要连同符号一起交换。 （2）计算如果需要添括号，一定要连同加数前面的符号一起括进括号内，并将原来省略的符号还原。 【典型例题】 例1：计算-10-8所得的结果是（） A．-2 B．2 C．18 D．-18 【答案】D 【解析】-10-8=-18 例2：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（）
初中数学思想之整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式 四．几何与图形中的整体思想
北师大版九年级上第四章第三节 灯光与影子（一）教案 一、教学目标： （一）知识与技能 1、经历实践、探索的过程，了解中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用． 2、通过观察、想象，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化． 3、能区别平行投影与中心投影条件下物体的投影． （二）过程与方法 1、经历实践、探索的过程．培养学生的实践、探索能力． 2、由观察、想象进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化，训练学生的观察、想象能力． （三）情感态度与价值观 1、经历观察、实验、想象等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2、初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 二、教学重点： 1、通过实践、探索，归纳中心投影的含义． 2、能进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化． 3、能根据投影判断是平行投影还是中心投影．教学难点 教学难点： 1.通过实践、探索，归纳中心投影的含义． 2.平行投影与中心投影的区别． 三、教学过程： (一)提出问题，引入新课 大家看过皮影戏吗?你知道什么是皮影戏吗?皮影戏是怎样演出来的呢? 皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐． 皮影戏的原理实际上就是用灯光把剪影照射在银幕上，在现实生活中我们也经常可见有关灯光与影子的实例．比如，在灯光下．做不同的手势可以形成各种各样的手影．上面我们说的皮影与手影都是在灯光照射下形成的影子．灯光与影子在日常生活中有着非常广泛的应用，这节课我们就来探讨一下这个话题． （二）推进新课 1．中心投影的含义． 取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒(或台灯)等去照射这些小棒和纸片．问题1：请大家先想象一下．小棒和三角形、矩形纸片在灯光照射下的影子是什么样子的? （小棒的影子是小棒，三角形、矩形纸片的影子还是三角形和矩形．） 问题2：(1)固定手电筒(或台灯)，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化? 问题3：(2)固定小棒和纸片，改变手电简(或台灯)的摆放位置和方向，它们的影子发生了
初中数学基本知识点总结（精简版） 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n． ⑥a－n＝1 n a ，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9， (－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x b2－4ac叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体
初中数学思维方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
初中数学思维的方法 贵州省威宁县观风海中学刘龙邮编553106 【内容摘要】数学的思维方法是形成学生良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。课程标准指出，数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理及由其内容所反映出来的数学思维方法。数学思想和方法纳入基础知识范畴，足见数学思维方法的教学问题已引起教育部门的高度重视，也充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。因此，探讨数学思维方法认识及教学的一系列问题，已成为数学现代数学教育的一项重要课题。 【关键词】 思维，纽带，桥梁，课题 数学思维是指人们按习惯比较固定的思路或特殊新的不稳定思路去考虑问题、分析问题的思想。数学思维和数学数学方法是紧密联系的，一般来说，强调指导思想时称数学思维，强调操作过程时称数学方法。我主要从以下几方面来谈数学思维的方法 一、明确基本要求，渗透“层次教学 《数学大纲》对初中数学渗透的数学思想、方法划分为三个层次。即“了解”“理解”和“会运用”。在数学教学中，要求学生了解数学思想有数形结合的思想，分类的思想，化归的思想、类比的思想和函数的思想等等。这里需要说明的是，有些数学思想在数学大纲中并没有明确提出来。比如化思想是渗透在学习新知识和运用知识、解决问题的过程中的。在方程的解法中就贯穿了“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。 教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知、发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法等。要求“理解”
第五节去括号 1.法则 当括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，括号里各项的符号都不改变；当括号是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉后，括号里各项的符号都要改变. ①去括号时，若括号前的系数不是1，则要按乘法分配律来计算，即要用括号外的系数 乘以括号内的每一项. ②去括号时，括号与前面的“+”或“—”一起去掉；括号前有“—”号，不管括号前 是否有系数，去括号后，括号里“每一项”都要变号. ③当括号前有稀疏和多重括号时可利用乘法分配律先去小括号，再去中括号，最后去大 括号，也可先去大括号，再去中括号，最后去小括号. 2.在去括号中常常出现两种错误. ①在去括号时当括号前是“—”时，去掉括号和“—”往往只改变第一项的符号，而忘记括号里的其他各项的符号. ②“变符号”与使用“分配律”顾此失彼，出现漏乘系数或忘记改变某些项的符号等. （1）2（x－3）－3（y＋5） （2）3a＋（－3b＋c） （3）x－2[y＋2x－（x－y）] （4）2a－｛－3b＋[4a－（3a－b）]｝ 【解析】 （1） 2（x－3）－3（y＋5）（2）3a＋（－3b＋c） ＝2x－6－3y－15 ＝3a－3b＋c ＝2x－3y－21 （2） 3a+(-3b+c) =3a-3b+c （3）x－2[y＋2x－（x－y）] ＝x－2[y＋2x－x＋y] ＝x－2[2y＋x] ＝x－4y－2x ＝－4y－x (4) 2a-{-3b+[4a-(3a-b)]} =2a-{-3b+[4a-3a+b]} =2a-{-3b+a+b} =2a+3b-a-b =a+2b 2. 求下列各式的值 （1）2a－2（2a＋b）＋3（a－b），其中a＝－3，b＝2. （2）若2x2－5x＋5＝0，求代数式（15x2－18x＋9）－（－3x2＋19x－31）－8x的值. 【解析】 （1）2a－2（2a＋b）＋3（a－b） ＝2a－4a－2b＋3a－3b
初中数学解题思想方法全部内容 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法
北师大九年级第四章第三节 灯光与影子作业 一、积累·整合 1．“皮影戏”作为我国一种民间艺术，对它的叙述错误的是（） A．它是用兽皮或纸板做成的人物剪影，来表演故事的戏曲 B．表演时，要用灯光把剪影照在银幕上 C．灯光下，做不同的手势可以形成不同的手影 D．表演时，也可用阳光把剪影照在银幕上 2．给出下列结论正确的有（） ①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的 ②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的 ③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关 ④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．给出以下命题，命题正确的有（） ①太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影 ②物体的投影的长短在任何光线下，仅与物体的长短有关 ③物体的俯视图是光线垂直照射时，物体的投影 ④物体的左视图是灯光在物体的左侧时所产生的投影 ⑤看书时人们之所以使用台灯是因为台灯发出的光线是平行的光线. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、拓展·应用 4．确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子；
5．当物体的影子落在一个平面上时，两物体在灯光下产生的影子与在阳光下产生的影子有何区别？ 6．下图中是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化？ 7．以下各图是某人站在室内，由远及近逐渐靠近窗口观察室外的一组照片。 （1）按此人逐渐靠近窗口的顺序，这5张照片的顺序应为__________ （2）说出此人观察室外的视角由大到小的顺序 8.身高1.8米的人站在离灯杆5.6米的地方,影长2.4米,灯离地多少米? 三、探索·创新 9.为了测量路灯的高度,把一根长1.5米的竹竿竖直立在水平地面上, 测得竹竿的影子长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长为1.8米,求路灯离地面的高度.