结论一 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.
例1 已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 A. －5 B. －3 C. －1 D. 5 【答案】C
【变式训练】
1．已知函数22
1sin 201722017x x f x x ++?
?+= ?+??，则2017
2017i i f =??
???
∑=______． 2．已知函数()22
1
(1
x cosx sinx f x x cosx +-+=++x R)∈的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝_____________． 结论二 函数周期性问题
已知定义在R 上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2【山东省德州市2019届高三期末联考】已知定义在的奇函数满足，当时，，则（ ） A ． B ．1 C ．0 D ．-1 【答案】D 【解析】
根据题意，函数f （x ）满足f （x +2）＝﹣f （x ），则有f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），即函数是周期为4的周期函数，
则f （2019）＝f （﹣1+2020）＝f （﹣1），
又由函数为奇函数，则f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣（1）2
＝﹣1； 则f （2019）＝﹣1；
故选：D ． 【变式训练】
1.【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当
3,02x ??
∈- ???
时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =
A. 2log 5-
B. 2
C. 2-
D. 2log 5 2. 已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______． 结论三 函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R 上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
例3【2018四川省广元市统考】已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)2f x f x ++-=，
()()3
11g x x =-+，若函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点为()()()112220182018,,,,,,x y x y x y L ，则
()20181
i
i
i x y =+=∑（ ）
A. 8072
B. 6054
C. 4036
D. 2018 【答案】B
【变式训练】
1. 【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，
当[]2,0x ∈-时， (
)12x
f x ??
=- ? ???
，若在区间()2,6-内关于x 的方程
()()log 20(0,1)a f x x a a -+=>≠有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1,14??
-
???
B. ()14，
C. ()18，
D. ()8+∞，
2.【2019年安徽省宿州市十三所重点中学】定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 结论四 反函数的图象与性质
若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1
(x).特别地,y=a x
与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1
(x)的图象上.
例4【2019年上海市浦东新区】已知函数的图像经过点，反函数的图像经过点. （1）求的解析式； （2）求证：是增函数. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】
(1)由题意可得：， ∴， ∴ （2）， 任取且， = ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴是增函数.
【变式训练】【2018四川省成都市9校联考】已知函数()2
f x x ax =-（
1
x e e
≤≤， e 为自然对数的底数）与()x
g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是
A. 11,e e ??+???
? B. 11,e e ??-???
? C. 11,e e e e
??-+???
? D. 1
,e e e ??-???
?
结论五 两个经典不等式
(1)对数形式:≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.
(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.
例5 设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥.
证明x>-1时, f(x)≥?x>-1,1-e-x≥?1-≥e-x(x>-1)?≥(x>-1)?x+1≤ex(x>-1).当x>-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x>-1时, f(x)≥.
【变式训练】1.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )
2.已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.
结论六三点共线的充要条件
设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得
=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.
例6【福建省厦门市2019届高三上期末】在平面四边形中，面积是面积的2倍，数列满足，且，则（）A．31 B．33 C．63 D．65
【答案】B
【解析】
∴，即，
∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴，即，
所以.
【变式训练】
1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在ABC
V中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN
上且
22
=
1111
AP m AB BC
??
++
?
??
u u u v u u u v u u u v
，则实数m的值为（）
A. 1
B. 1
2
C.
9
11
D.
5
11
2.【河北省唐山一中2019届高三上期中】如图，在△ABC中，，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若，则的最小值为( )
A．2 B． C．6 D．
结论七三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心?||=||=||=.
(2)O为△ABC的重心?++=0.
(3)O为△ABC的垂心?·=·=·.
(4)O为△ABC的内心?a+b+c=0.
例7【2019年吉林省辽源市田家炳高级中学】在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则等于( )
A．－ B．－ C． D．
【答案】B
【解析】
【变式训练】
1.【吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期中】点为的重心，，则( )
A． B． C． D．
是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
4.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．
结论八等差数列
设S n为等差数列{a n}的前n项和.
(1)a n=a1+(n-1)d=a m+(n-m)d,p+q=m+n?a p+a q=a m+a n(m,n,p,q∈N*).
(2)a p=q,a q=p(p≠q)?a p+q=0.
(3)S k,S2k-S k,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.
(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.
(5)S n====….
(6)若等差数列{a n}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(a m+a m+1),S偶-S奇=md,=.
(7)若等差数列{a n}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)a m,S奇=ma m,S偶=(m-1)a m,S奇-S偶=a m,=.
(8)若S m=n,S n=m(m≠n),则S m+n=-(m+n).
(9)S m+n=S m+S n+mnd.
例8【广东省揭阳市2019届高三学业水平考试】已知数列满足，，则数列中最大项的值为______.
【答案】
【解析】
由得，
即数列是公差为8的等差数列，故，所以，
当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.
【变式训练】
1. 等差数列{}n a共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中间m项的和为（）
A. 50
B. 75
C. 100
D. 125
2. 【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列的公差，的前项和为，若，则下列结论中正确的是（）
A. 是递增数列
B. 是递减数列
C. 有最小值
D. 有最大值
3.【四川省广元市2019届高三第一次高考适应】已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则_____．结论九等比数列
已知等比数列{a n },公比为q,前n 项和为S n .
(1)a n =a m ·q n-m
,a n+m =a n q m
=a m q n
(m,n∈N *
).
(2)若m+n=p+q,则a m ·a n =a p ·a q (m,n,p,q∈N *
);反之,不一定成立. (3)a 1a 2a 3…a m ,a m+1a m+2…a 2m ,a 2m+1a 2m+2…a 3m ,…成等比数列(m∈N *
). (4)公比q≠-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等比数列(n∈N *
).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N *),公比为q,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则=q. (6){a n },{b n }是等比数列,则{λa n },,{a n b n },也是等比数列(λ≠0,n∈N *).xk-*/w
(7)通项公式a n =a 1q n-1=·q n .从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq 3
. 例9【吉林省高中2019届高三上期末】在递增的等比数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】
（2）由（1）得， 所以 ， 则， 所以. 【变式训练】
1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-， 48
9
a =-，则当n T 取得最大值时， n 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.【广东省惠州市2019届高三第三次调研】 已知公差为正数的等差数列的前项和为，且，,数列的前项和。 （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和．
结论十 多面体的外接球和内切球
1.长方体的体对角线长d 与共顶点的三条棱的长a,b,c 之间的关系为d 2
=a 2
+b 2
+c 2
;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2
=a 2
+b 2
+c 2
.
2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.
例10【四川省泸州市2019届高三第一次诊断】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________． 【答案】 【解析】
与球心在同一平面内，是的外心， 设球半径为， 则的边长， ，
【变式训练】
1.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A. 17π B. 25π C. 34π D. 50π
2.球O 的球心为点O ，球O 内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥V ﹣ABC 内接于球O ，已知OA ⊥OB ，AC ⊥BC ，则三棱锥V ﹣ABC 的体积的最大值为_____．
结论十一 焦点三角形的面积公式
(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积=b 2·tan,其中θ=∠F 1PF 2.
(2)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积=,其中θ=∠F 1PF 2.
例11 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P 在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程. 【解析】设，则. ，
又， ，即. 解得：.
所求椭圆的标准方程为或. 【变式训练】
1.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 2
1
2121=，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 33
B. 32
C. 3
D.
3
3
2. 双曲线
116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3
π则 △F 1PF 2面积为( ) A ．163
B ．323
C ．32
D ．42
结论十二 圆锥曲线的切线问题
1.过圆C:(x-a)2
+(y-b)2
=R 2
上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2
. 2.过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.
3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2
=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).
(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.
(2)当点M 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.
(3)当点M 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.
例12 已知抛物线C:x 2
=4y,直线l:x-y-2=0,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点,当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程.
【变式训练】
1.过点(3,1)作圆(x-1)2
+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( ) +y-3=0 =0
=0 +y-3=0
2.设椭圆C:+=1,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为.
结论十三圆锥曲线的中点弦问题
1.在椭圆E:+=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.
2.在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=.
(2)k1·k2=.
(3)k0·k=.
例13 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【变式训练】1.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是.
2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.
结论十四圆锥曲线中的一类定值问题
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA 与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
例14 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0.证明:直线AB的斜率k AB为定值,并求出该定值.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),k PA=k,
则k PB=-k(k≠0),又P(8,4),
所以直线PA的方程为y-4=k(x-8),
【变式训练】已知椭圆C:+=1,A为椭圆上的定点,若其坐标为A,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
结论十五圆锥曲线中的一类定点问题
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.
(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.
(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).
例15 已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.
求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.
解析由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x 得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=(-2pt)2-4(-2pm)=4p2t2+8pm>0,即pt2+2m>0,①
因为以AB直径的圆过顶点O(0,0),所以·=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把式①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.
(1)当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;
(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.
综上,lAB过定点(2p,0).
【变式训练】已知椭圆+=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题
AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E 为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
例16 过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=时,求证:AM1⊥AN1.
证明证法一:如图所示,当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,由抛物线定义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.
因为MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°,所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.
由②可得y1·y2=-p2.
因为=(-p,y1),=(-p,y2),
故·=0,即AM 1⊥AN 1.
证法三:同证法二得y 1·y 2=-p 2
. 因为=-,=-,故·=-1,即AM 1⊥AN 1. 【变式训练】
1. 设抛物线2
4C y x =：的焦点为F ，直线3
=2
l x -
：，若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，则以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三个答案均有可能
2.已知抛物线C:y 2
=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若·=0,则k= .
【变式训练】【答案】
结论一 奇函数的最值性质 【变式训练】 1．【答案】2018 ， ， ，则=. 2．【答案】2 【解析】,又为奇函数 ∴的图象关于点对称，
∴最大值对应的点与最小值对应的点也关于点对称 ∴，即 故答案为：2
结论二 函数周期性问题 【变式训练】 1. 【答案】A
【解析】依题意，故函数为周期为的周期函数， ，故选A. 2.【答案】 【解析】
根据题意，函数是周期为2的函数，则， 又由为奇函数，则，
故答案为：
结论三函数的对称性
【变式训练】
1. 【答案】D
【解析】∵，
∴函数图象的对称轴为，即，
又函数为偶函数，即，
∴，
∵函数为周期函数，且是一个周期．
结合函数为偶函数，且当时，，画出函数在区间上的图象（如图所示），并且．
∵在区间内方程有且只有4个不同的根，
∴函数和的图象在区间内仅有4个不同的公共点．
结合图象可得只需满足，解得．
∴实数的取值范围是．
2. 【答案】D
【解析】
因为图像关于点对称，所以，所以，又为偶函数，所以，所以，所以函数最小正周期为2，所以.
结论四反函数的图象与性质
【变式训练】
【答案】A
结论五两个经典不等式
【变式训练】
1.
【答案】B
【解析】因为f(x)的定义域为即{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.
令g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选
结论六三点共线的充要条件
【变式训练】
1. 【答案】D
【解析】设，
∴．
又,
∴，解得．
∴．选D．
2.【答案】A
【解析】
由已知，可得=
==，
因为P，M，Q三点共线，所以=1，
所以mn+m===（）（）
=≥
=2，
故选：A．
结论七三角形“四心”向量形式的充要条件【变式训练】
1. 【答案】C
【解析】
中，已知，
由余弦定理可得，
所以，
设的中点为，
因为点为的重心，
所以，
可得
，故选C.
2. 【答案】C
【解析】设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
4.【答案】重心
【解析】
∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），
且，
∴P、C、D三点共线，
又D是AB的中点，
∴CD为中线，
∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．
故答案为重心．
结论八等差数列
【变式训练】
1. 【答案】B
【解析】设等差数列前m项的和为x，由等差数列的性质可得，中间的m项的和可设为x+d，后m项的和设为x+2d，
由题意得2x+d=200，3x+3d=225，
解得x=125，d=﹣50，
故中间的m项的和为75，
故选B．
2. 【答案】C
【解析】，
则是递增数列，
但应是先减后增数列，
故错误，
应有最小值，故正确
故选
3.【答案】
【解析】
方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0可化为x2﹣2x+m＝0①，或x2﹣2x+n＝0②，
设是方程①的根，
则将代入方程①，可解得m，
∴方程①的另一个根为．
设方程②的另一个根为s，t，（s≤t）
则由根与系数的关系知，s+t＝2，st＝n，又方程①的两根之和也是2，
∴s+t
由等差数列中的项的性质可知，
此等差数列为，s，t，，
公差为[]÷3，
∴s，t，
∴n＝st
∴，|m﹣n|＝||．
故答案为：
结论九等比数列
【变式训练】
1.【答案】C
2.【答案】（1），.（2）
【解析】
（1）由题意知，
∴，
又公差为正数，故，,，
∴，
由得
当，
当时，
综上得．
（2）由（1）知
∴①
〖解法1〗（错位相减法）
②
得
．
〖解法2〗（待定系数法）
设
由，得解得
所以
〖解法3〗（分合法）
∴
化简得
结论十多面体的外接球和内切球
【变式训练】
1.【答案】C
2.【答案】
【解析】圆锥的母线长为 =2，设球O的半径为r，则，解得r=1．
∵OA⊥OB，OA=OB=1，∴AB=，
∵AC⊥BC，∴C在以AB为直径的圆上，
∴平面OAB⊥平面ABC，
∴O到平面ABC的距离为，
故V到平面ABC的最大距离为．
又C到AB的最大距离为，
∴三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为 =．
故答案为：．
结论十一焦点三角形的面积公式
【变式训练】
1.【答案】A
【解析】设，则，
故选答案A.
2. 【答案】A
【解析】：设，则. .
故答案选A.
结论十二圆锥曲线的切线问题
【变式训练】
1.【答案】A
【解析】如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).
结论十三圆锥曲线的中点弦问题
【变式训练】【答案】
【解析】设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.
2.
证明设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),k AC==,又k PA==k,所以k AC=,由k BA·k PB =-知,k PB·k BA=k PB·k AC=·k PB=-,
所以k PB·k=-1,即PA⊥PB.
结论十四圆锥曲线中的一类定值问题
【变式训练】【解析】设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立方程得
消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则x E==.①
同理,设直线AF的方程为y=-k(x-1)+,学*/科+-/网
则x F=.②
所以k EF=
=
=,将①②代入上式,化简得k EF=.
结论十五圆锥曲线中的一类定点问题
【变式训练】【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得消去y得,(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题
【变式训练】
1. 【答案】C
【解析】根据结论知道一AB为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为，故这个圆和直线是相离的关系。故答案为：C。
2.【答案】2
【解析】如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又k MF==-,所以k AB=2.
普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（满分150分, 时间120分钟） 一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题, 16:题每题4分, 712:题每题5分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得4分或 5分, 否则一律得零分. 1. 已知集合{1A =, 2, 3, }4, {3B =, 4, }5, 则A B =I . 2. 若排列数6654m P =??, 则m = . 3. 不等式 1 1x x ->的解集为 . 4. 已知球的体积为36π, 则该球主视图的面积为 . 5. 已知复数z 满足3 0z z + =, 则||z = . 6. 设双曲线 22 2 1(0)9x y b b -=>的焦点为1F 、2F , P 为该双曲线上的一点, 若1||5PF =, 则2||PF = . 7. 如图所示, 以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点D 的三条棱所在的直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系, 坐标为(4, 3, 2), 则1AC u u u u r 的坐标为 . 8. 定义在(0, )+∞的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=, 若函数 310()() x x g x f x x ?-≤=? >?为奇函数, 则方程1 ()2f x -=的解为 . 9. 给出四个函数：①y x =-；②1y x =-；③3 y x =；④1 2y x =, 从其中任选2个, 则事件A ：“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率是 . 10. 已知数列{}n a 和{}n b , 其中2()n a n n N *=∈, {}n b 的项是互不相等的正 整数, 若对于任意n N * ∈, 数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项,
高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .
高中数学重要结论集锦 1.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1m n m n a a - = （0,,a m n N *>∈，且1n >） 4. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，* N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为' 12-n S ， 则'1212--=n n n n S S b a 。等比数列{}n a 的通项公式1 *11()n n n a a a q q n N q -==?∈； 等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 6． 同角三角函数的基本关系式 22 sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ，tan 1cot θθ?= . 2 21 1tan cos αα +=
?0
③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
高中数学二级结论 1．任意的简单n面体内切球半径为3V/S表V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积， 2．在任意三角形内都有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，至于有什么用，，，:三个tan加起来如果是负的那就是钝角三角形了 3．矩阵和矩阵逆的行列式，特征值都互为倒数， 4．斜二测画法画出的图形面积变小了，为原来的√2/4倍 5．过椭圆准线上一点作椭圆切线，两切点所在直线必过椭圆相应焦点，椭圆准线广义称极线，那个是极线的性质之一 6．在做导数题的时候要熟练以下不等式便于放缩等。。。e^x≥x+1 lnx≤x-1 泰勒基数展开，这个常用，一般前一问有提示 7．球的体积：V(r)=(4/3pi)r^3 求导：V'R=4pir^2=表面积，，，神奇！:这个我们老师的解释是，球的体积可以看成无穷个表面积的积分，所以体积的微分就应该是表面积 8．椭圆的面积S=派ab 应该很难用上，直接换元，转换成圆，再换回去就行了 9．圆锥曲线切线，隐函数求导高考不让用:用于秒杀选择填空，大题找思路以及验证等x 不用处理 10．来个非常有用的，。过椭圆x2/a2+y2/b2上任意一点(x0,y0)的切线方程为xx0/a2+yy0/b2既用xx0替换x2用yy0替换y2。双曲线也一样这个椭圆切线的结论可以用的，同理圆、双曲线、抛物线的切线方程都可以直接用 11．来个比较少用，但是选择填空一考到你可以捞大把时间的⊙▽⊙。。。。过椭圆外一点(x0,y0)作椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为xx0/a2+yy0/b2=1 这个叫做切点弦方程 12．分享个最最有用的。。椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2至于椭圆焦点在y轴上的情况，，。欢迎讨论把a、b换个位置就行了个最屌，双曲线的话上面的+号变-号，秒出答案 13．设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,双曲线焦点到渐近线距离为b 14．托密勒定理有道证明题用过这个 15．椭圆焦点三角形设顶角为A.焦点三角形面积为b平方tanA/2，双曲线是cot 16． 1.函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c的充要条件是函数关于((a+b)/2,c/2)中心对称 2.函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是函数关于x=(a+b)/2轴对称 3.L*Hospital*s rule 4.三角形中射影定理：a=bcosC+ccosB 5.任意三角形内切圆半径r=2S/(a+b+c) 6.任意三角形外切圆半径R=abc/4S=a/2sinA 7.Euler不等式：R>2r 8.海伦公式的变式：设三角形内切圆分三角形三边为不相邻的线段x,y,z则 S=sqrt(xyz(x+y+z))=1/4*sqrt(∑a∏(a+b-c)) 9.边角边面积公式：S=a^2sinBsinC/2sin(B+C) 10.各种三角恒等式 11.各种三角不等式： 1）在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA 2)嵌入不等式：x^2+y^2+z^2>=∑2yzcosA,x,y,z为实数 12.权方和不等式
高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为1 2020=+b y y a x x
1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B
高考数学常用结论集锦 一. 函数 1.函数 ()y f x =的图象的对称性: ①. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②. 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ?=-- 2.两个函数图象的对称性: ①. 函数 ()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②. 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④. 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =. 推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 4. 导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(000 00 ； ⑵常见函数的导数公式: ①' C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④. x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )log a a x e x =；⑧. x x 1)(ln '= ； ⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 二.数列 1. 若数列 {}n a 是等差数列，n S 是其前 n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+21 1()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1 212--=n n n n S S b a 。 等比数列 {}n a 的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈；等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 三.三角函数 1． 同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ，tan 1cot θθ ?=2 211tan cos αα += 2. 正弦、余弦的诱导公式： 2 12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-? 为偶数为奇数 即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()sin ,sin()cos 22 sin()sin ,cos()cos π π ααααπααπαα +=-+ =-=-=- 3. 和角与差角公式：sin()sin cos cos sin α βαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);
高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-<
∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2
1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>>
高考数学模拟试题 (一) 一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.） 1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（） A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7} B. {x|-4＜x≤-2或3≤x＜7 } C.{x|x≤-2或x＞3 } D. {x|x＜-2或x≥3} 2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（） A.2-i B.-2+i C.i D.2 3.若，则（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（） A.向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C.向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 如图，是一程序框图，则输出结果中（）
A. B. C. D. 6．平面的一个充分不必要条件是（） A.存在一条直线 B.存在一个平面 C.存在一个平面 D.存在一条直线 7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A． B． C． D． 8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则p的轨迹一定通过△ABC的（） A.外心 B. 重心 C.内心 D. 垂心 9.设{a n }是等差数列，从{a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a 20 }中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不 同的等差数列最多有（） A．90个 B．120个C．180个 D．200个10．下列说法正确的是 ( ) A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件 B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C．命题“使得”的否定是：“均有” D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题
1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集 有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)
2020年江苏省高考说明 -----典型题示例 (一)填空题 1．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【解析】本题主要考查对数函数的单调性．本题属容易题. 【答案】+∞1（－，） 2 . 2．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是_______. 【解析】本题主要考查复数的基本概念、基本运算．本题属容易题. 【答案】1. 3．设集合{1,1,3}A =-，2 {2,4}B a a =++，{3}A B ?=，则实数a 的值为_______. 【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识．本题属容易题. 【答案】1. 4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是______. 【解析】本题主要考查古典概型．本题属容易题. 【答案】 13 . 5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根棉花纤维中，有 根的长度小于20mm. 【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计．本题属容易题. 【答案】30 6．右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是________. 【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识．本题属容易题. 【答案】63. 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若11a =，公差2d =，22k k S S +-=， 则正整数k =________. 【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和与其通项的关系等基础知识． 本题属容易题. 【答案】5. 8．设直线1 2 y x b = +是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法．本题属中等题. 【答案】ln21-. (第6题) (第5题)
1高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、