第十八章 含参量积分
第一节 含参量正常积分
从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有
()()[].,,,?=d
c
b a x dy y x f x I （1）
一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的
x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值
的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()()
[].,,, b a x dy y x f x d x
c ∈=? （2）
图18-1
用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.
下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性.
定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则函数 ()()dy y x f d
c
?=,x I
在[]b a ,上连续.
证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ?，有[]b a x x ,∈?+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>?x 或0
-?+d
c
dy y x f y x x f x I x x I .,,)( （3）
由于()y x f ,在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个整数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要
,||,||2121δδ<-<-y y x x
就有
()().|,|2211ε<--y x f y x f （4） 所以由(3),(4)可推得；当.||ε
()()()()()??-=<-?+≤-?+d
c
d c
c d dx dy y x f y x x f x I x x I .|,,|||εε
这就证得()x I 在[]b a ,上连续.
同理可证：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则含参量y 的积分
()()dy y x f y J b
a
?=, （5）
在()d c ,上连续.
对于定理18-1的结论也可以写成如下的形式：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则对任何[]b a x ,0∈，都有
()()??→→=d c
d
c x x x x dy y x f dy y x f |,lim ,lim 0
这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 定理18-2（连续性） 设二元函数()y x f ,在区域
(){()()}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,
上连续，其中()x c ，()x d 为[]b a ,上连续函数，则函数
()()()
()
dy y x f x F x d x c ?
=, （6）
在[]b a ,上连续
证 对积分（6）用换元积分法，令
()()()().x c x d t x c y -+=
当y 在()x c 与()x d 取值时，t 在[]1,0上取值，且
()(()).dt x c x d dy -=
所以从（6）式可得
()()()
()
dy y x f x F x d x c ?
=,
=
()()()()()()()()dt x c x d x c x d t x c x f --+?10
,.
由于被积函数
()()()()()()
x c x d x c x d t x c x f --+])(,[
在矩形区域[][]1,0,?b a 上连续，由定理18-1得积分（6）所确定的函数()x F 在[]b a ,上连续.
下面讨论含参量积分的求导与积分运算的可交换性. 定理18-3（可微性） 若函数()y x f ,与其偏导数()y x f x
,??
都在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则
()()dy y x f x I d
c
?=,
在[]b a ,上可微，且
()()dy y x f x dy y x f dx d d c d
c
????=,,.
证 对于[]b a ,内任意一点x ，设[]b a x x ,∈?+（若x 为区间端点，则讨论单侧导数），则
()()()()dy x
y x f y x x f x x I x x I d c ??-?+=?-?+,, 由微分学的拉格朗日中值定理及()y x f ,在有界闭域R 上连续（从而一致连续），对任给正数
ε，存在正数δ，只要当δ
ε
θ<-?+=),(),(y x f y x x f x x ),()
,(),(y x f x
y x f y x x f x -?-?+
其中)1,0(∈θ.因此
dy
y x f x
y x f y x x f dy y x f f x I
x d c
x d c ),()
,(),(),(-?-?+≤-???
?
).(c d -<ε
这就证得对一切[]b a x ,∈，有
.),()(dy y x f x x I d d
d c x
???=
定理18-4（可微性）设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,?=上连续，)(),(x d x c 为定义在
[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数
?
=)()
(),()(x d x c dy y x f x F
在[]b a ,上可微，且
).())(,()())(,(),()()
()
(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='?
（7）
证 把)(x F 看作复合函数：
).
(),(,
),(),,()(x d d x c c dy y x f d c x H x F d
c
====?
由复合函数求导法则及活动上限积分的求导法则，有
).())(,()())(,(),()()()
(x c x c x f x d x d x f dy y x f dx dd d H dx dc c H x H x F dx d x d x c x '-'+=??+??+??=?
关于函数)(x I 和)(x F 的可积性，可由定理18-1与定理18-2推得：
定理18-5（可积性） 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则)(x I 和)(y J 分别在[]b a ,和[]d c ,可积.
这就是说：在),(y x f 连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：
dx dy y x f b
a d c ????????),(与dy dx y x f d c
b a ????
????),(. 为书写简便起见，今后将上述两个积分写作
dy y x f dx b
a
d c
?
?),(和dx y x f dy d c b
a
??),(
前者表示),(y x f 先对y 求积然后对x 求积，后者则求积顺序相反，它们统称为累次积分，或更确切地称为二次积分.
下面的定理指出，在),(y x f 连续性假设下，累次积分与求积顺序无关. 定理18-6 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则 dy y x f dx b
a
d c
?
?),(=dx y x f dy d c b
a
??),(. (8)
证 记
??
=u a
d
c dy y x f dx u I ,),()(1
?
?=
d
c
u
a
dx y x f dy u I ,),()(2
其中[]b a u ,∈，现在分别求)(1u I 与)(2u I 的导数。
?==
'u
a u I dx x I du d u I ).()()(1
对于)(2u I ，令?
==
u
a
dx y x f y u H ),(),(，则有
?=d
c dy y u H u I ),()(2 .
因为),(y u H 与),(),(y u f y u H u =都在R 上连续，由定理18-3，
???===='d c
d c u d
c u I dy y u f dy y u H dy y u H du
d u I ).
(),(),(),()(2
故得)()(21
u I u I '='，因此对一切[]b a u ,∈，有 k u I u I +=)()(21（k 为常数）
当a u =时，0)()(21==a I a I ，于是0=k ，即得 []b a u u I u I ,),()(21∈=. 取b u =，就得到所要证明的（8）式。
例1 计算?+→1
020cos 1lim
x
x dx
αα
分析：两种运算是否可换序：含参量积分的连续性定理。
解 记x
x x f ααcos 11),(2
+=
，则])21
,21[]1,0([),(-?∈C x f α， 因而：[]2/1,2/1cos 1)(102-∈+=?C x
x dx
I αα，故， 4
1)0()(lim 1020π
αα=+==?→x dx I I 。
注：这类题目通常要求确定参量的活动区间，技巧是，在极限点附近取充分小的区间，满足
定理要求的条件即可。
例2 计算?++=
1
021)1ln(dx x x I
分析：此类题目较难：难在其一：看似是一个正常的定积分，但利用定积分的计算技术（常规）无法解决；其二：由于其一，必须引入新的计算方法：含参量积分法，但问题是：如何引入参量，参量的位置如何确定？一旦选择了合适的参量位置，具体的计算过程就很简单了。通过例子具体说明。
解 考虑含参量积分：?++=
1
021)
1ln()(dx x x I αα，则I I =)1(.
因此，只须计算)(αI ：)(αI 与I 相比，虽然积分结构相同，但由于含有参量，因而处理的方法更多，比如求导： ?++=
'1
02)1)(1()(dx x x x
I αα （转化为有理式的积分）
?--+++=
1
022]11[11dx x x x αα
αα )]1ln(2ln 21
4
[112ααπα+-++=
， 两边积分，则 )1(2ln 8
2
2ln 8
)()0()1(1
I d I I I -+
='=
-?
π
αα。 由于(0)0I =，故(1)ln 28
I π
=
。
注：处理思路：分析被积函数结构，在较难处理的因子中引入参量，通过求导法将其简化，便于计算。
还有一类积分的计算，须利用含参量积分的换序定理，通过换序达到简化计算的目的。
例3 计算1
(0).ln b a
x x I dx b a x
-=
>>?
解 解法一：积分法，即利用积分换序定理计算。 由于
x
x x dy x a
b b
a
y
ln -=?
，故，利用含参量积分的换序定理，
a
b
dy y dx x dy dy x dx I b
a b a
y
b
a
y
++=+===?
????11ln
111
10
。 解法二：求导法，即利用含参量积分的求导定理计算。 记1
() ln y a
x x I y dx x
-=
?
，[,]y a b ∈。定义 , 01,(,)ln 0, 0,y a
x x x a y b f x y x x a y b ?-<≤≤≤?
=??=≤≤?
则，(,)f x y 、(,)y f x y 在[0,1][,]a b ?上连续，故
1
01() =
1y
I y x dx y
'=+? 因而，()ln(1)I y y c =++，注意到()0I a =，故ln(1)c a =-+，所以， 1()ln
1b
I I b a
+==+。 注：用含参量积分的积分换序定理计算定积分，需要对被积函数仔细分析，将其转化为对另一个变量的积分，这是较困难的一步。总之：利用含参量积分换序定理计算定积分是一种高级的计算方法，难度较高，须通过多练才能掌握。
第二节 参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法
设函数()y x f ,定义在无界区域(){}∞+<≤≤≤=y c b x a y x R ,|,上，若对每个固定的
[]b a x ,∈，反常积分
()dy y x f c
?
+∞
, （1）
都收敛，则它的值是x 在[]b a ,上取值的函数，当记这个函数为()x I 时，则有 ()()[]b a x dy y x f x I c
,,,∈=
?
+∞
， （2）
称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论
证方法上也极为相似.
首先引如含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则.
定义18-1 若含参量反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总从在某一实数c N >，使得当N M >时，对一切[]b a x ,∈，都有
()(),|,|ε<-?
x I dy y x f M
c
即
(),|,|
ε
+∞
dy y x f M
则称含参量反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛于()x I ，或简单地说含参量积分（1）在[]b a ,上一致收敛.
定理18-7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有
().|,|1
2
ε
定理18-8 含参量反积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数
()()∑∑?
∞
=∞
==+1
1
1
,n n n A A x u dy y x f n n
（4）
在[]b a ,上一致收敛.
证 [必要性]由（1）在[]b a ,上一致收敛，故对任给0>ε，必存在c M >,使当
M A A >'>''时，对一切[]b a x ,∈，总有
|
ε
'
''
A A dy y x f ),( . (5)
又由()∞→∞→n A n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当N n m >>时，就有
M A A N m >>.由（5）对一切[]b a x ,∈，就有
()()()()?
?
++++=++1
1
|,,|
||n n
m m
A A A A m n dy y x f dy y x f x u x u
= ()ε
+1
|,|
n m
A A dy y x f .
这就证明了级数（4）在[]b a ,上一致收敛.
[充分性] 用反证法.假若（1）在[]b a ,上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数c M >，存在相应的M A A >'>''和[]b a x ,∈'，使得
0),(ε≥'?
'
''
A A dy y x f .
现取{
}c M ,1max 1=，则存在112M A A >>及[]b a x ,∈，使得 .),(0
1
2
1
ε≥?A A dy y x f
一般地，取{})2(,max )2(2≥=-n A
n M n n ，则有N n n
M A A >>-122及[]b a x n ,∈使得
021
2),(ε≥?
-n
n A A n dy y x f . (6)
由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且.lim +∞=∞
→n n A 现在考察级数
()().,1
1
1
dy y x f x u n A A n n n n
∑?
∑∞
=∞
=+=
由（6）式知存在正数,0ε对任何正数N ,只要N n >，就有某个[],,b a x n ∈使得
()().,||021
2ε≥=
?
+dy y x f x u n n
A A n n n
这与级数（4）在[]b a ,上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛. 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.由于它们的证明与函数项级数相应的判别
法相仿，故从略.
维尔斯特拉斯M 判别法 设有函数(),y g 使得
()().,,|,|+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f
若
()dy y g c
?
+∞
收敛，则()dy y x f c
?
+∞
,在[]b a ,上一致收敛.
狄利克雷判别法 设 (i) 对一切实数c N >，含参量反常积分
()dy y x f N
c
?,
对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切c N >及一切[],,b a x ∈都有
();,M dy y x f N
c
≤?
（ii ）对每一个[],,b a x ∈函数()y x g ,关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量x ，
()y x g ,一致地收敛于0，
则含参量反常积分
()()dy y x g y x f c
,,?
+∞
在[]b a ,上一致收敛. 阿贝尔判别法 设 （i ）
()dy y x f c
?
+∞
,在[]b a ,上一致收敛；
（ii ）对每一个[],,b a x ∈函数()y x g ,为y 的单调函数，且对参量x ，()y x g ,在[]b a ,上一致有界，
则含参量反常积分
()()dy y x g y x f c
,,?
+∞
在[]b a ,上一致收敛.
二、一致收敛性判别举例
根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行：首先考虑能否用维尔斯特拉斯判别法，其次，考虑用阿贝尔和狄利克雷判别法，再次，考虑用狄利克雷判别法，最后，考虑非一致收敛性。但是，上述只是解决此类问题的一般规律。事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。特别，当所给题目是讨论同一积分在不同参数区间上的一致收敛性时，通常在小区间上是一致收敛，在大区间上非一致收敛。
例1 讨论
?
+∞
-0
sin xdx e x α在 i)00[,)(0)ααα∈+∞> ii) ()+∞,0内一致收敛性。
解 i)当0[,)αα∈+∞时，由于 x x
e x e 0sin αα--≤，故，利用维尔斯特拉斯判别法可
得 ，
?
+∞
-0
sin xdx e x α关于0[,)αα∈+∞一致收敛。
ii)当(0,)α∈+∞时，可以考虑非一致收敛性。事实上：取2,4
n A n π
π=+
1,2
n
n n n A A A π
α'=+=
'，则，],[,2
2
sin n n A A x x '∈≥
，因而
1
sin ()224
n
n n n
n A A A x
x n n
A A e
xdx e dx A A e ααα'''----'≥≥-=?
? 故，
?
+∞
-0
sin xdx e x α关于(0,)α∈+∞非一致收敛。
例2 证明
?
+∞
-0
sin dx x
x
e x
α在[)+∞,0上一致收敛。
证明 典型的阿贝尔判别法所处理对象.由于
?
+∞
sin dx x x 收敛（广义积分的狄利克雷判别法：即2sin ,01
≤→?'A A xdx x
），因此，
关于α一致收敛.又x
e α-是关于x 的单调函数且一致有界，故由阿贝尔判别法可知该积分关
于[0,)α∈+∞一致收敛.
例3 证明：
?
+∞
sin dx x
xy
关于y 在],[b a 上一致收敛，（+∞<<
证明 首先注意到，这只是一个无穷限广义积分，0=x 不是奇点。
当y ∈],[b a 时，由于对任意的A >0,
()0
1cos 22
sin A
Ay xydx y y a
-=
≤≤?
，
且1
x
单调且一致有界（1>x 时），由狄利克雷判别法，?+∞0sin dx x xy 一致收敛。 y ∈()+∞,0时，此时，
sin A
xydx ?
不再一致有界，可能造成非一致收敛。
事实上，取n
y n A n A n n
n 1
,23,=='=ππ， π
π
ππ
π
πππ32
sin 32sin sin 23
2
3
23=
>=?
??n n n n n n n dx n x n dx x n x dx x xy 故，?
+∞
sin dx x
xy
关于y ∈()+∞,0非一致收敛。
三、 含参量反常积分的性质
定理18-9（连续性） 设()y x f ,在[][]+∞?,,c b a 上连续，若含参量反常积分 ()()dy y x f x I c
?
+∞
=
, （7）
在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上连续.
证 由定理18-8，对任一递增且趋于∞+的数列{}()c A A n =1，函数项级数 ()()()x u dy y x f x I n n n A A n n
∑∑?
∞
=∞
===
+1
1
1
, （8）
在[]b a ,上一致收敛，又由于()y x f ,在[][]+∞?,,c b a 上连续，故每个()x u n 都在[]b a ,上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数()x I 在[]b a ,上连续.
这个定理也表明，在一致收敛的条件下，极限运算和积分运算可以交换：
()()().,lim ,,lim 0
00dy y x f dy y x f dy y x f c
x x c
c
x x ??
?
+∞
→+∞
+∞
→== （9）
定理18-10（可微性）设()y x f ,与()y x f x ,在区域[][]+∞?,,c b a 上连续.若
()()dy y x f x I c
?
+∞
=,在[]b a ,上收敛，
()dy y x f c
x ?
+∞
,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上
可微，且
()().,dy y x f x I c
x ?
+∞
=' （10）
证 对任一递增且趋于∞+的数列{}()c A A n =1，令 ()().,1
dy y x f x u n n
A A n ?
+=
由定理18-3推得 ()().,1
dy y x f x u n n
A A n ?
+='
由
()dy y x f c
x ?
+∞
,在[]b a ,上一致收敛及定理18-8，可得函数项级数
()()∑∑?
∞
=∞
=+='
1
1
1
,n n A A x n dy y x f x u n n
在[]b a ,上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得
()()()()∑∑?
?
∞
=∞
=∞
+=='
='+1
1
,,,1
n n c
x A A x n dy y x f dy y x f x u x I n n
或写作
()().,,??+∞+∞
??=c x c
dy y x f x dy y x f dx d
最后结果表明在定理条件下，求导运算和积分运算可以交换. 定理18-11(可积性) 设()y x f ,在[][)+∞?,,c b a 上连续，若()()?
+∞
=c
dy y x f x I ,在[]b a ,上
一致收敛，则()x I 在[]b a ,上可积，且
()().,,dx y x f dy dy y x f dx c
b
a
b a
c
????
+∞+∞
= （11）
证 由定理18-9知道()x I 在[]b a ,上连续，从而()x I 在[]b a ,上可积.
又由定理18-9的证明可以看到，函数项级数（8）在()x I 在[]b a ,上一致收敛，各项()x u n 在[]b a ,上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有
()()()∑?∑??
?∞
=∞
=+==11
1
,n b
a
n b
a
A A n
b
a
n n
dy y x f dx dx x u dx x
()∑?
?∞
=+=1
1
,,n A A b
a
n n
dx y x f dy （12）
这里最后一步是根据定理18-6关于积分顺序的可交换性.（12）式又可写作
()().,dx y x f dy dx x I b
a
b
a
c
??
?+∞=
这就是（11）式.
当定理18-11中x 的取值范围为无限区间[)+∞,a 时，则有如下定理： 定理18-12 设()y x f ,在[][)+∞?+∞,,c a 上连续.若 （i ）
()dx y x f a
?
+∞
,关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，()dy y x f c
?
+∞
,关于x 在任何
闭区间[]b a ,上一致收敛； （ii ）积分
()?
?+∞
+∞a
c
dy y x f dx |,|与()??+∞+∞
c
a
dx y x f dy |,| （13）
中有一个收敛，
则（13）中另一个积分也收敛，且
()()??
?
?
+∞+∞
+∞
+∞
=c
a
a
c
dx y x f dy dy y x f dx .,, （14）
证 不妨设设（13）中第一个积分收敛，由此推断得
()?
?
+∞
+∞
a
c
dy y x f dx ,
也收敛.当c d >时，
()()??
?
?
+∞
+∞
+∞
-=
a
c
d
c
a
d dy
y x f dx dx y x f dy I ,,()()()??
???
?
+∞
+∞+∞
+∞
--=
a
d
a
d c
d
c
a
dy y x f dx dy y x f dx dx y x f dy .,,, .
根据条件（i ）及定理18-11，可推得
()?
?
+∞
+∞
=
a
d
d dy y x f dx I ,
()()???
?
+∞+∞+∞
+≤
A
d
A
a
d
dy y x f dx dy y x f dx .|,|, (15)
有条件（ii ），对于任给的0>ε，有a G >，使当G A >时，有
()2
|,|ε
<
??
+∞
+∞
dy y x f dx d
A
选定A 后,由
()dy y x f c
?
+∞
,的一致收敛性，存在c M >，使得当M d >时有
()()
.2,a A dy y x f c
-<
?
+∞
ε
把这两个结果应用到（15）式，得到
,2
2
εε
ε
=+
<
d I
即,0lim =+∞
→d d I 这就证明了（14）式.
例1 计算)0(,2cos )(0
2
2>=?
+∞
-a yxdy e y I x a
解 记yx e f x a 2cos 2
2-=，则[)],[,0d c C f ?+∞'∈，yx xe
f x a y 2sin 22
2--=，
且2
2x a y xe
f -≤，而
?+∞-a
x a dx xe 2
2收敛，故dx f a
y ?
+∞
一致收敛，由可微性定理，
()y I y f dx +∞
'=
?
?+∞-∞+--=02022cos 2|2sin 12222yxdx e a y yx e a x a x a )(22y I a
y
-=
解之，22
/()y a I y ce
-=。其中a
dx e
I c x a 2)0(0
2
2π
=
=
=?
∞
+-。
第三节 欧拉积分
在微分方程、概率论等应用领域经常遇到如下的含参量积分：
(),0,0
1>=Γ-+∞
-?s dx e x s x s （1）
()()0,0,1,1
1
1>>-=--?q p dx x x p q B q p （2）
在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，其中前者又称为格马函数（或许写作Γ函数），后者称为贝塔函数（或写作B 函数）.下面我们分别讨论这两个函数的性质.
一 、 Γ函数
Γ函数可写成如下两个积分之和：
()()(),0
110
1s J s I dx e x dx e x s x s x s +=+=Γ-+∞
---??
其中()s I 当1≥s 时是正常积分，当10<s 时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得），所以含参量
积分（1）在0>s 时收敛，即Γ函数的定义域为0>s . 1. ()s Γ在定义域0>s 内连续且可导
在任何闭区间[]b a ,()0>a 上，对于函数()s I ，当10≤≤x 时有x
a x s e x e x ----≤11，由于
dx e x x a --?
1
1收敛，从而()s I 在[]b a ,上一致收敛；对于()s J ，当+∞<≤x 1时，有
x
b x
s e x e
x ----≤11，由于dx e x x b -+∞
-?1
1收敛，从而()s J 在[]b a ,上也一致收敛，于是()s Γ在
0>s 上连续.
用上述相同的方法考察积分
()
??
+∞----+∞
=??0110
.ln xdx e x dx e x s
x s x
s
它在任何闭区间[]b a ,()0>a 上一致收敛.于是由定理18-10得到()s Γ在[]b a ,上可导，由
b a ,的任意性，()s Γ在0>s 上可导，且
()?+∞
-->=Γ'0
1.0,ln s xdx e x s x s
仿照上面的办法，还可推得()s Γ在0>s 上存在任意阶导数：
()
()?+∞
-->=Γ
1.0,)(ln s dx x e x s n x s n
2. 递推公式()()s s s Γ=+Γ1 对下述积分应用分部积分法，有
??
----+-=A
x s A
x s A
x s dx e x s e x dx e x 0
100
|
?---+-=A
x s A
s dx e x s e
A 0
1
让+∞→A 就得到这个函数的递推公式：
()()s s s Γ=+Γ1 （3）
设,1+≤ ()()()() =-Γ-=Γ=+Γ111s s s s s s ()()().1n s n s s s -Γ--= （4） 公式（3）还指出，如果已知()s Γ在10≤ 若s 为正数1+n ，则（4）式可写成 ()()()?+∞ -==Γ?-=+Γ0 !!11211n dx e n n n n x . (5) 3. Γ函数图像的讨论 对一切0>s ，()s Γ和()s Γ''恒大于0，因此()s Γ的图像位于x 轴上方，且是向下凸的.因为()()121=Γ=Γ，所以()s Γ在0>s 上存在唯一的极小点0x 且().2,10∈x 又()s Γ在 ()0,0x 内严格减；在()+∞,0x 内严格增. 由于()()()()01>+Γ=Γ= Γs s s s s s s 及()()111lim 0=Γ=+Γ+ →s s ，故有 ()().1lim lim 00+∞=+Γ=Γ++→→s s s s s 由（5）式及()s Γ在()+∞,0x 上严格增可推得 ().lim +∞=Γ+∞ →s s 综上所述，Γ函数图像如图19-2. 图18-2 4. 延拓()s Γ 改写递推公式（3）为 ()().1s s s +Γ= Γ （6） 当01<<-s 时，（6）式右端有意义，于是可应用（6）式来定义左端函数()s Γ在()0,1-内 的值，并且可推得这时().0<Γs 用同样的方法，利用()s Γ已在()0,1-内有定义这一事实，由（6）时又可定义()s Γ在()1,2--内的值，而且这是().0>Γs 依次下去把()s Γ延拓到整个数轴（除了 ,2,1,0--=s 以外），如图18-2所示. 5. ()s Γ的其他形式 在应用上，()s Γ也常以如下形式出现.如令2 y x =，则有 ()? ?+∞ ---+∞->==Γ0 120 1).0(22 s dy e y dx e x s y s x s 令py x =，就有 ()? ?+∞ ---+∞->>==Γ0 10 1).0,0(p s dy e y p dx e x s py s s x s （7） 二、 B 函数 B 函数（2）当1 >q p 时这两个无界函数反常积分都收敛，所以函数()q p B ,的定义为0,0>>q p . 1．()q p B ,在定义域.0,0>>q p 内连续 由于对任何0,000>>q p 成立不等式 () (),,,11001 11 100q q p p x x x x q p q p ≥≥-≤----- 而积分 () dx x x q p ? +∞ ---0 1 01 01收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法知()q p B ,在 +∞<≤+∞<≤q q p p 00,上一致收敛.因而推得()q p B ,在 0,0>>q p 内连续. 2. 对称性：()()p q B q p B ,,= 作变换y x -=1，得 ()() dx x x q p B q p ?---=1 1 1 1, ().,) 1(1 1 1 p q B dy y y q p =-=?-- 3. 递推公式 ()()(),1,01,1 1 ,>>--+-= q p q p B q p q q p B （8） ()()(),0,1,11 1 ,>>--+-= q p q p B q p p q p B （9） ()()()()() ()1,12111,---+-+--= q p B q p q p q p q p B ()1,1>>q p 证 下面只证公式（8），公式（9）可由对称性及公式（8）推得，而最后一个公式则可由公式（8），（9）推得. 当1,0>>q p 时，有 ()()dx x x q p B q p ?---=1 1 11, () ()dx x x p q p x x q p q p ?---+ -= --101 11 2111 [ ()]()dx x x x x p q q p p ?------=-10 1 21111 ()()??---------=10 1011 211111dx x x p q dx x x p q q p q p ()(),,1 1,1q p B p q q p B p q ----= 依项并整理就得（8）. 4. ()q p B ,的其他形式 在应用中B 函数也常以如下形式出现.如令,cos 2 ?=x 则有 ().cos sin 2,1220 12???π d q p B p q --?= （10） 令() ,1,111,12 y dy dx y x y y x +=+=-+= 则有 ()() ? ∞ ++-+=0 1 .1,dy y y q p B q p p 考察 () ? ∞ ++-+1 1.1dy y y q p p 令t y 1 =，则有 ()() ? ?∞ ++-+-+-=+1 011 1.11dt t t dy y y q p q q p p 所以 ()() ? +--++=1 1 1.1,dy y y y q p B q p q p 三 、 Γ函数与B 函数之间的关系 当n m ,为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得 ()()1,1 1 ,--+-= n m B n m n n m B ().1,1 1 2211m B m n m n n m n +-+--+-= 又由于()? = = -1 1,1 1,m dx x m B m 所以 ()()()! 1! 11112211,--?+-+--+-= m m m m n m n n m n n m B ()()(),! 1!1!1-+--= n m m n 即 ()()()() .,m n m n n m B +ΓΓΓ= （11） 对于任何正实数q p ,也有相同的关系： ()()()() ().0,0,>>+ΓΓΓ= q p q p q p q p B （12） 习题十八 1.求下列极限 (1) ?-→+1 1 2 20lim dx x αα (2) ?→2 20cos lim xdx x αα 2.设dy e x F x x xy ?-=2 2 )(,求)('x F . 3.求下列极限 (1) (2)?+→10211lim xy dy x 4.设函数)(xy f 在],[],[d c b a D ?=上连续，证明：对于 D x ∈?),(μ,dy y x f x I c ?=μ μ),(),(存在，并且),(u x I 在D 上连续. 5.从等式 x e e dy e bx ax b a xy ----= ? 出发，计算积分)0(0>>-?+∞--a b dx x e e bx ax 6.求下列积分 (1) )2 :(0 2 2 2 22 2π = -?? +∞-+∞ --ax e dx x e e x x b x a 可利用公式提示 (2) dt t xt e t sin 0 ? +∞ - (3) dx x xy e x 2 cos 1-? +∞ - 7.求下列函数的导数 dy y xy x F x b x a ? ++=sin )()1(； dsdt s t f x F x x x t ? ?=2 sin ),()()2(； dy y x x x F ? +=1 2 2 )()3(； 第十九章 含参量正常积分 §19.1 含参量正常积分 教学要求： (1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念 定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上有定义，且对],[b a 内每一点 x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的 函数 ?=d c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1） 设二元函数),(y x f 在区域 }),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义， 函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2） 称()(,)d c I x f x y dy =?和() () ()(,)d x c x F x f x y dy =?为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。 类似可定义含参量y 的正常积分． 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 . 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有 4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求 10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是, 4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证： 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173 2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分: 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系: 含参量反常积分与欧拉积分 姓名：于赛楠(114942059) 司秀秀(114942004) 胡月月(114942011) 郑素丹(114942026) 田玉方(114942054) 冯娜娜(114942028) 任亚南(114942034) 班级： 11级数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012.11.4 i含参量反常积分与欧拉积分 1.含参量反常积分 1.1含参量积分的定义 定义1设函数定义在无界区域R=｜上，其中为一区间，若对每一个固定的反常积分 (1) 都收敛，则它的值是x在上取值的函数，当记这个函数为 称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 定义2 设在区域R=上有定义，若对的某些值,为函数的暇点，则称为含参量的无界函数反常积分，或简称为 含参量反常积分. 1.2含参量反常积分一致收敛的定义及判定 1.2.1一致收敛的定义 定义3 设含参量反常积分与函数（）对任给的正数，总存在某一实数N，使得当时，对一切，都有｜｜，即｜｜，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单的 说含参量积分在上的一致收敛. 定义4 对任给正数，总存在某正数d-c,使得当0时，对一切 ,都有｜｜则称含参量反常积分在上一 致收敛. 1.2.2一致收敛的柯西准则 定理1 含参量反常积分在I上一致收敛的充要条件是：对于任给的正数，总存在某一实数M c，使得当M 时，对一切x I，都有 ｜｜< . 证明必要性 若在上一致收敛，则任意存在存在 及有,因此，任意N, 充分性若任意，存在任意 ｜｜ 则令，得,这就证明了在上 一致收敛. 例 1 假设在[,=内成立不等式 , 若, 在上一致收敛, 证明在上一 致收敛且绝对收敛. 证明因为在上一致收敛,根据一致收敛的柯准则可 知对总存在某一实数使得当对一切有， ｜｜= 而｜｜｜｜, 在上收敛，即在上绝对收敛 在上一致收敛. 综上在上一致收敛，且绝对收敛. 1.2.3一致收敛的充要条件 定理1含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的 递增数列{}(其中=c),函数项级数 在上一致收敛. 例2 设为上连续非负函数在 第十九章含参量积分 目的与要求：1.掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2.掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.3. 了解r函数与B函数的定义与有关性质 重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性，含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明 第一节含参量正常积分 ?含参量正常积分的概念 1定义 设二元函数/(x,y)在矩形区域R = [m]x[c,d]上有定义，且对[。,用内每一点们函数f (x, y)关于)，在闭区间]上可积，则定义了尤的函数 /⑴=y)d y, xe[a,h] (i) c 设二元函数/(、,)，)在区域 G = {(%, y)\ c(x) < y < d(x\ a 间[c(x),J(x)]±可积，则定义了尤的函数 d(；) F(x)= \f(x.y)dy , A* e [a.b] (2) c由 称(1)和(2)为含参量]的正常积分.类似可定义含参量)，的正常积分. 二含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1连续性 定理19. 1(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,h]x\c^d]±连续，则函数d Z(x)= 在[。㈤上连续. C 证设x 6 [a.h],对充分小的Ar, ^*x4-ZLr e [a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或 k<0),于是 d Z(x + Ax)- /(x)= j[/(x + Ax,y)-/(x,y)]Jy (3) c 由于f^y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数总存在某个正数 S ,对/?内任意两点(X], )与(尤2，光)，只要 X,-X2\<3,_光|<$ 就有F3，)"-/(尤2,光』<￡⑷所以由(3) (4)可得：当|4xj < 8 , 含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε- (,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε §2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。 第十九章 含参量积分 一. 填空题 1. 若(,)f x y 在矩形区域[,][,]R a b c d =?上_________,则 (,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dy f x y dx =? ??? 2. 含参量反常积分 2 cos 1xy dx x +∞+? 在____________上一致收敛. 3. 设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续,若含参量反常积分 ()(,)c I x f x y dy +∞= ? 在[,]a b 上___________,则()I x 在[,]a b 上连续. 4. (1)_______.n Γ+= 5. 在1110 (,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --= ->>? 中如令 2cos x ?=, 则 (,)_______B p q = 6. 对于任何正实数,,p q Γ函数与B 函数之间的关系为(,)________.B p q = 7. (,)c f x y dy +∞ ? 在[,]a b 上不一致收敛是指______________. 8. 1 0lim _________.y -→=? 9. 设 2(), (1,1)(1sin )dx F y y y x π π-=∈-+?, 则 ()__________.F y '= 10. 利用Γ函数定义,4 ________.x e dx +∞ --∞ =? 二.证明题 1. 证明 22 222 1 () y x dx x y +∞ -+? 在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证明 2 x y e dy +∞ -? 在[,](0)a b a >上一致收敛. 3. 证明若函数()f x 在[,]a A 连续, 则[,)x a A ?∈, 有 01lim [()()]()()x a h f t h f t dt f x f a h →+-=-? 第十九章 含参量积分 总练习题 1、在区间1≤x ≤3内用线性函数a+bx 近似代替f(x)=x 2，试求a,b 使得积分?-+3 122)(dx x bx a 取最小值. 解：设f(a,b)=?-+3 122)(dx x bx a ， 由f a (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a =4a+8b-3 52=0, f b (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a x =8a+ 352b-40=0, 得驻点a=3 11 -,b=4. 又f aa =2?31dx =4, f bb =2?312 dx x =3 52, f ab =f ba =2?31xdx =8, 即f aa ·f bb -f ab 2=316>0， ∴(311-,4)是f 唯一的极小值点，即a=3 11 -,b=4时，积分取最小值. 2、设u(x)=?1 0)(),(dy y v y x k ，其中k(x,y)=???>-≤-y x x y y x y x ),1(),1(与v(y)为[0,1]上 的连续函数，证明：u ”(x)=-v(x). 证：当0≤x ≤1时，u(x)=?10)(),(dy y v y x k =?-x dy y v x y 0)()1(+?-1 )()1(x dy y v y x . 由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续知， u ’(x)=?-x dy y yv 0 )(+x(1-x)v(x)+?-1 )()1(x dy y v y -x(1-x)v(x) = -?x dy y yv 0)(+?-1 )()1(x dy y v y . u ”(x)=-xv(x)-(1-x)v(x)=-v(x). 3、求函数F(a)=?∞ +- 2)1sin(dx x x a 的不连续点， 并作函数F(a)的图像. 解：由?+∞ sin dx x ax =2 π sgna ， §2 含参量反常积分 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求： (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序： 定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分 ()?+∞ c dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记 ()x I = ()?+∞ c dy y x f ,，x ∈[]b a , （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?M c x I dy y x f , 即 ()ε，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?2 1 ,A A x I dy y x f 例1 证明参量的反常积分 ?+∞ sin dy y xy 含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期：2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x ),(+∞-∞上连续. 例2 求下列极限：（1）dx a x ? -→+1 1 220lim α; (2)?→2 20cos lim xdx x αα. 解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ? -+11 22在[-1,1]上连续.则 ??? --→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续 性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正 的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ? ) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 关于含参量反常积分的证明 引言 刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。 一、证明过程中用到的定理 定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。 定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项()x u n 都连续，则()∑ ? b a n x u dx =()∑? x u n b a dx . 定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都 有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑n u ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则 ()()()∑∑ =??? ??x u dx d x u dx d n n . 定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx d c b a b a d c ? ???= ,,. 定理5 含参量反常积分()dy y x f c ? +∞ ,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞ +的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数 ()()∑ ? ∑∞ =∞ =+= 1 1 1 ,n A A n n N N x u dy y x f 在I 上一致收敛。 二、证明思想 由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分 转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。 三、含参量反常积分性质的证明 1、连续性 设()y x f ,在[]+∞?,c I 上连续，若含参量反常积分()()? +∞ = Φc dy y x f x ,在 I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。 第十九章含参量积分 【教学目的】 1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法； 2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法； 3.掌握欧拉积分的形式及有关计算 【教学重点】含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定 【教学难点】一致收敛性的判定 【教学时数】12学时 §1含参量正常积分 一、含参量积分的定义 以实例和引入. 定义含参量积分和. 含参量积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参量积分表达的函数为含参量积分. 二、含参量积分的解析性质 1. 含参量积分的连续性 Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在 上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) P173 2. 含参量积分的可微性及其应用 Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数 在上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和 定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参量积分在 上可微 , 且 . ( 证 )P174 例1 计算积分. P176. 例2 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 的阶导数存在 , 且. P177. 三、作业 §2 含参量反常积分 一、含参量无穷积分: 1. 含参量无穷积分 函数定义在上 ( 可以是无穷区间 ) . 以 为例介绍含参量无穷积分表示的函数. 2. 含参量无穷积分的一致收敛性 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义 (一致收敛性 ) 设函数定义在上 . 若对, 使对成立, 则称含参量无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间 内非一致收敛 3. 含参量无穷积分与函数项级数的关系: 3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的； （b ） 存在()x ?，使得 ()a x dx ?+∞ ?收敛，且 (,)(), [,)f x t x x a ?≤∈+∞； 则反常积分(,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致 收敛. 我们称定理中的()x ?为(,)f x t 的优函数. Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 若反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛； （b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得 (,)g x t L ≤； 则反常积分 (,)(,)a f x t g x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛. Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分 (,)A a f x t dx ?关于t T ∈ 一致有界，亦即，0M ?>（与A 、t 无关），使得 第十九章 含参量积分 1. 若f(x,y)在矩形域R =[a ,b]×[c,d]上 ，则????=d c b a b a d c dx y x f dy dy y x f dx ),(),(。 2. 含参量反常积分dy xy x ?+∞+021cos 在 上一致收敛。 3. 设f(x,y)在[a ,b]×[c,+∞]上连续，若含参量反常积分I （x ）=dy y x f c ? +∞),(在 [a ,b]上 ，则I （x ）在[a ,b]上连续。 4. =+Γ)1(n 。 5. 对于任何正实数p,q,Γ函数与B 函数之间的关系为B （p,q ）= 。 6. =+?-→dx y x y 112 20lim 。 一、 证明题。 7. 证明含参量反常积分dx x e y ? +∞ -12在),[+∞a 一致收敛（a 〉0）； 8. )0(,)1(ln )(110>=Γ-?a dx x a a 二、 计算题。 9. )2 1(n +Γ； 10. )25(-Γ 答案 一、 填空题。 1. 连续； 2. R ； 3. 一致连续； 4. n!； 5. B （p,q ）= )()()(q p q p +ΓΓΓ（p>0，q ﹥0）；6. 1； 二、 证明题。 7. 证明：),[+∞∈?a y ，e e e x x x a y y 2221--≤=； ?+∞-12dx x e a 收敛，由优函数判别法知：dx x e y ?+∞-12 在),[+∞a 一致收敛。 8. 证明：令e t x t x -=?=1ln ，dt dx e t --=，010∞t x ， ??∞--=01110)1(l n t a a dx x ·（-e t -）=dt ?∞-01t a ·)(a dt e t Γ=- 三、 计算题。 9. 解：π4 3)21(2123)121(23)23(23)123()25(=Γ?=+Γ=Γ=+Γ=Γ 10．解： π π222 !)!12(1 3)52)(32)(12()21(13)52)(32)(12()212()212()25)(23)(21()2 5()25)(23)(21(]1)25[()23)(21()23()23)(21(]1)23[()21()21()21(121)21(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=?---=Γ?---=--Γ-----==-Γ---=+-Γ--=-Γ--=+-Γ-=-Γ-=??????+??? ? ?-Γ=+Γ 第十八章 含参量积分 第一节 含参量正常积分 从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有 ()()[].,,,?=d c b a x dy y x f x I （1） 一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的 x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值 的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()() [].,,, b a x dy y x f x d x c ∈=? （2） 图18-1 用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分. 下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性. 定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则函数 ()()dy y x f d c ?=,x I 在[]b a ,上连续. 证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ?，有[]b a x x ,∈?+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>?x 或0 第十九章 含参量积分 2含参量反常积分 一、一致收敛性及其判别法 概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分?+∞ c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=?+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称?+∞ c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分. 定义1： 若含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M c Φ-?<ε, 即?+∞ M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛. 定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有?2 1 ),(A A dy y x f <ε. 定理19.8：含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是： +∞ →A lim F(A)=0, 其中F(A)=? +∞ ∈A I x dy y x f ),(sup . 例1：证明含参量反常积分?+∞ 0sin dy y xy 在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛. 116 第十二章 反常积分与含参变量的积分 一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ● 无穷积分： ():lim ()A a a A f x dx f x dx +∞→+∞=? ? ● 瑕积分： 0 ():lim ()b b a a f x dx f x dx δ δ+-→=?? b 为瑕点 若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞ ?收敛，则称()a f x dx +∞? 绝对收敛. 若()a f x dx +∞ ? 收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ● 比较判别法： 若0()() [,)f x c x x a ?≤≤?∈+∞ ()a x dx ?+∞ ? 收敛?()a f x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 发散?()a x dx ?+∞ ?发散 若0()() [,]f x c x x a b ?≤≤?∈ ()b a x dx ??收敛?()b a f x dx ? 收敛 ()b a f x dx ? 发散?()b a x dx ??发散 若()() ()a x f x g x f x dx +∞ →+∞? 收敛()a g x dx +∞ ?? 收敛 ● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足 () ().[,),0A a a f x f x dx M A a dx x λλ+∞ ≤?∈+∞?>? ? 收敛. ·若()f x 满足 ().[,)()(),0x b a a f x dx M x a b x b f x dx λλ≤?∈?->? ?收 敛. ● ·()f x 满足： ().[,)A a f x dx M A a x ≤?∈+∞→+∞? 时()g x 单调趋 于0 ()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛. 第十九章含参量积分 教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP 教案时数：12学时 §1含参量正常积分 和引入含参积分:. 以实例一. . 定义含参积分和含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分. 1. 含参积分地连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 > P172 证上连续 . ( 在Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 则函数上连续. ( 在在, 上连续证> P173p1EanqFDPw 2. 含参积分地可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连 上可导, , 则函数且在续 . ( 即积分和求导次序可换> . ( 证> P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连 上, 且可微, 和续,函数定义在则含参积分值域在, 上可微, 在且DXDiTa9E3d . ( 证>P174 计算积分. P176. 例1 例2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 地阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 : 含参无穷积分. 一． 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 为例介绍含参无穷积分表示地函数无穷区间> . 以.RTCrpUDGiT 2. 含参无穷积分地一致收敛性:, , 使地定义: 逐点收敛( 或称点态收敛> . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性> 设函数定义在上 . 若对 成立对, 则称含参无穷积分, 使 ( 关于在>一致收敛.5PCzVD7HxA Cauchy积分> 收敛准则Th 19.5 在上一致收( 敛, 对成立 . 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 例1 其中. 内非一致收敛 . P180但在区间jLBHrnAILg : 含参无穷积分与函数项级数地关系 3. 积分在上一致收敛Th 19.6 , 对任一数列在函数项级数, ↗, 上一致收敛. ( 证略>xHAQX74J0X 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass M 判别法: 设有函数, 1. 使在上有第十九章 含参量正常积分.
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